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第六章 计数原理
+X
wuH
IV
1=0310
0:哪-D,90
Ta
g
+X)
1=10813
0-D900=m7
S03
读已知二项展开式中第6项为常数项,求n的值和有理项
想(1)元项展开式通项字母的指数为0
(2)字母的指数为整数
(1)根据题意,知x
的展开式的通项为
2Nx
T,+1=Cn(x3)
3
因为第6项为常数项,
所以当r=5时,2
10
0,
0,解得n=10
10-2
(2)由(1)可得T+1
3
10-2r
若T,+1为有理项,则有
∈Z,且0≤r≤10,r∈N
分析可得,当x=2,5,8时,3为整数,
则展开式中的有理项为45x2,-63,45x-2
1求二项展开式的特定项的常见题型
(1)求第k项,Tk=Ch-1ank+1b-1;
田_(2)求含x的项(或含xy的项);
(3)求常数项;
(4)求有理项
2求二项展开式的特定项的常用方法
(1)对于常数项,隐含条件是字母的指数为0(即0次项)
(2)对于有理项,一般是先写出通项,再寻找其中所有的
字母的指数恰好都是整数的项解这类问题必须合并通项
中同一字母的指数,根据具体要求,先令其为整数,再
根据数的整除性来求解
(3)对于二项展开式中的整式项,其通项中同一字母的指
数应是非负整数,求解方式与求有理项一致.
求展开式中二项
二项展开式「式系数与项的系
数的方法
二项式二项式系数
知识定理
求二项展开式的方法
通项
特定项的常用
方法
逻辑推理数学运算
素养或思想A级 基础巩固
1.在的展开式中,含x4的项的系数是 ( )
A.-10 B.10 C.-5 D.5
解析:的展开式的通项为Tr+1=(x2)5-r·=
(-1)r··x10-3r.令10-3r=4,得r=2.所以含x4的项的系数是(-1)2×=10.
答案:B
2.(x-y)10的展开式中x6y4的系数是 ( )
A.-840 B.840 C.210 D.-210
解析:在通项Tk+1=(-y)kx10-k中,令k=4,得(x-y)10的展开式中x6y4的系数为×(-)4=840.
答案:B
3.的展开式中的常数项是 ( )
A.第7项 B.第8项 C.第9项 D.第10项
解析:二项展开式的通项为Tk+1=·x12-k=·2k·.令12-k=0,得k=8.所以常数项为第9项.
答案:C
4.的展开式中倒数第3项为.
解析:由n=7,可知展开式中共有8项,
所以倒数第3项即为第6项,
所以T6=(2x)2·=×22×=.
5.在的展开式中,若常数项为60,则n的值为6.
解析:Tk+1=()n-k=2k.
令=0,得n=3k.
根据题意,得2k=60,经验证知k=2,故n=6.
6.已知在的展开式中,第9项为常数项,求:
(1)n的值;
(2)展开式中x5的系数;
(3)含x的整数次幂的项的个数.
解:的展开式的通项为Tk+1=·=
(-1)k.
(1)因为第9项为常数项,即当k=8时,2n-k=0,解得n=10.
(2)令2×10-k=5,得k=6.
所以x5的系数为(-1)6××=.
(3)要使2n-k为整数,即为整数,只需k为偶数,由于k=0,1,2,
3,…,9,10,故符合要求的有6项,分别为展开式的第1,3,5,7,9,11项.
B级 拓展提高
7.9192被100除所得的余数为 ( )
A.1 B.81 C.-81 D.992
解析:利用9192=(100-9)92的展开式,或利用(90+1)92的展开式.
方法一:(100-9)92=×10092-×10091×9+×10090×92--×
100×991+×992.
展开式中前92项均能被100整除,只需求最后一项除以100的余数.而992=(10-1)92=×1092-…+×102-×10+1,
前91项均能被100整除,后两项的和为-919.因原式为正,可从前面的数中分离出1 000,结果为1 000-919=81,
所以9192被100除所得的余数为81.
方法二:(90+1)92=×9092+×9091+…+×902+×90+.
前91项均能被100整除,后两项的和为92×90+1=8 281,显然8 281除以100所得的余数为81.
答案:B
8.已知(2x+)5,则展开式中x3的系数为10.
解析:(2x+)5的展开式的通项Tr+1=(2x)5-r()r=25-r.令5-=3,得r=4.因为25-4x5-2=10x3,所以展开式中x3的系数为10.
9.若f(x)=(x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4(x-1)+4,则f(2 021)-f(-2 021)的值为0.
解析:根据f(x)的解析式,逆用二项式定理,得f(x)=[(x-1)+1]4+3=
x4+3.显然f(-x)=f(x),即f(x)为偶函数,所以f(2 020)-f(-2 020)=0.
10.的展开式中的常数项为-20.
解析:=,的展开式的通项为Tk+1=
(-1)kx6-2k.令6-2k=0,解得k=3.故展开式中的常数项为-=-20.
11.利用二项式定理证明:49n+16n-1(n∈N*)能被16整除.
证明:49n+16n-1
=(48+1)n+16n-1
=·48n+·48n-1+…+·48++16n-1
=·48n+·48n-1+…+·48+16n,
48和16n都可以被16整除,所以·48n+·48n-1+…+·48+16n可以被16整除.
所以49n+16n-1(n∈N*)能被16整除.
C级 挑战创新
12.多空题在的展开式中,第4项的二项式系数是84,第4项的系数是-.
解析:Tk+1=×(x2)9-k×=××x18-3k,当k=3时,T4=×
×x9=-x9,所以第4项的二项式系数为=84,第4项的系数为-.
13.多空题已知二项展开式(1+2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则a4=80,a1+a3+a5=122.
解析:因为(1+2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,所以a4=×24=80,
a1+a3+a5=×21+×23+×25=122.
14.多空题若f(x)=(1+x)m+(1+x)n(m,n∈N*)的展开式中含x的项的系数是19,则f(x)的展开式中含x2的项的系数的最小值为81;当f(x)的展开式中含x2的项的系数取最小值时,f(x)的展开式中含x7的项的系数为156.
解析:由题意,知m+n=19,所以m=19-n.
含x2的项的系数为
+=+
=+
=n2-19n+171=+.
因为n∈N*,所以当n=9或n=10时,含x2的项的系数取最小值,最小值为+=81.
而此时含x7的项的系数为+=+=156.
