(共46张PPT)
第七章 随机变量及其分布
+X
wuH
IV
1=0310
0:哪-D,90
Ta
g
+X)
1=10813
0-D900=m7
S03
连续型随
机变量利用正态曲线的性
正态曲线
质求参数a,的方法
知识
方法
正态分布
利用正态分布求概
30原则率的方法
数学抽象数学运算」数形结合思想
素养或思想A级 基础巩固
1.设随机变量X~N(μ,7),若P(X<2)=P(X>4),则 ( )
A.μ=3,D(X)=
B.μ=6,D(X)=
C.μ=3,D(X)=7
D.μ=6,D(X)=7
解析:因为随机变量X~N(μ,7),P(X<2)=P(X>4),所以μ=3,D(X)=7.
答案:C
2.设随机变量X~N(1,σ2),若P(X>2)=0.2,则P(X≥0)= ( )
A.0.5 B.0.6 C.0.7 D.0.8
解析:因为随机变量X~N(1,σ2),
所以正态曲线的对称轴为直线x=1.
又因为P(X>2)=0.2,所以P(X<0)=0.2,
所以P(X≥0)=1-0.2=0.8.
故选D.
答案:D
3.(2021新高考全国Ⅱ卷)某物理量的测量结果服从正态分布N(10,σ2),下列结论中不正确的是 ( )
A.σ越小,该物理量在一次测量中在区间(9.9,10.1)的概率越大
B.σ越小,该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C.σ越小,该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等
D.σ越小,该物理量在一次测量中落在区间(9.9,10.2)与落在区间(10,10.3)的概率相等
解析:对于A,σ2为数据的方差,所以σ越小,数据在μ=10附近越集中,所以测量结果落在区间(9.9,10.1)内的概率越大,故A正确;对于B,由正态分布密度曲线的对称性知,该物理量一次测量大于10的概率为0.5,故B正确;对于C,由正态分布密度曲线的对称性知,该物理一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等,故C正确;对于D,因为该物理量一次测量结果落在区间(9.9,10.0)的概率与落在区间(10.2,10.3)的概率不相等,所以一次测量结果落在区间(9.9,10.2)的概率与落在区间(10,10.3)的概率不相等,故D错误.故选D.
答案:D
4.已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),且P(X<4)=0.8,则P(0A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.6
解析:因为随机变量X服从正态分布N(2,σ2),
所以μ=2,即正态曲线的对称轴是直线x=2.
因为P(X<4)=0.8,
所以P(X≥4)=P(X≤0)=1-P(X<4)=0.2,
所以P(0所以P(0答案:B
5.已知随机变量X服从正态分布N(1,σ2),若P(X>3)=0.044 2,则P(1≤X≤3)=0.455 8.
解析:因为X~N(1,σ2),
所以P(X≥1)=0.5.
又P(X>3)=0.044 2,
所以P(1≤X≤3)=P(X≥1)-P(X>3)=0.455 8.
6.已知随机变量X服从正态分布N(0,1),且P(X≤1)=0.841 3,求P(-1≤X≤0).
解:因为X~N(0,1),P(X≤1)=0.841 3,
所以P(X>1)=1-0.841 3=0.158 7,
所以P(X<-1)=0.158 7,
所以P(-1≤X≤0)=0.5-0.158 7=0.341 3.
B级 拓展提高
7.在一次共有10 000名考生的某市高二的联考中,这些学生的数学成绩X服从正态分布N(100,σ2),且P(80≤X≤100)=0.4.若按成绩分层随机抽样的方式抽取100份试卷进行分析,则应从120分以上的试卷中抽取 ( )
A.20份 B.15份 C.10份 D.5份
解析:由题意,知数学成绩X服从正态分布N(100,σ2),
且P(80≤X≤100)=0.4.
根据正态曲线的对称性,
可得P(80≤X≤120)=2×0.4=0.8,
所以P(X>120)=×(1-0.8)=0.1,
所以按成绩分层随机抽样抽取100份试卷时,应从120分以上的试卷中抽取100×0.1=10(份).
答案:C
8.已知X~N(1,σ2),若P(-1A.-a B.1-a C.a D.+a
解析:由题意,知随机变量X服从正态分布N(1,σ2),所以正态曲线关于直线x=1对称.
因为P(-1所以P(1所以P(-1答案:A
9.某种牛肉干每袋的质量X(单位:kg)服从正态分布,质检部门的检测数据显示:该正态分布为N(2,σ2),P(1.9≤X≤2.1)=0.98.某旅游团游客共购买这种牛肉干100袋,估计其中质量低于1.9 kg的袋数大约是1.
解析:由题意X~N(2,σ2),P(1.9≤X≤2.1)=0.98,
所以P(X<1.9)==0.01,
所以100袋牛肉干中,质量低于1.9 kg的袋数大约是100×0.01=1.
10.一投资者要在两个投资方案中选择一个,这两个投资方案的利润(单位:万元)分别为X,Y,且X,Y分别服从正态分布N(8,32)和N(7,12),投资者要求“利润不低于5万元”的概率尽量大,那么他应该选择哪一个方案
解:对于第一个方案有X~N(8,32),
则P(X≥5)=+P(5≤X≤11)=≈;
对于第二个方案有Y~N(7,12),
则P(Y≥5)=≈.
显然第二个方案“利润不低于5万元”的概率比较大,
故他应该选择第二个方案.
11.生产工艺工程中产品的尺寸偏差X(单位:mm)服从正态分布N(0,1.52),如果产品的尺寸与规定的尺寸偏差的绝对值不超过1.5 mm为合格品,求:
(1)X的概率分布密度函数;
(2)生产的5件产品的合格率不小于80%的概率.
解: (1)由题意X~N(0,1.52),
知μ=0,σ=1.5,
所以X的概率分布密度函数为f(x)=.
(2)由题意,知每件产品是合格品的概率为
P(|X|≤1.5)=P(-1.5≤X≤1.5)≈0.682 7.
设Y表示5件产品中的合格品数,
则Y~B(5,0.682 7),合格率不小于80%,
即Y≥5×0.8=4,
故P(Y≥4)=P(Y=4)+P(Y=5)≈×0.682 74×(1-0.682 7)+0.682 75≈
0.492 9.
C级 挑战创新
12.多选题甲、乙两类水果的质量(单位:kg)分别服从正态分布N(μ1,),N(μ2,),其正态曲线如图所示,则下列说法中正确的是 ( )
A.甲类水果的平均质量μ1=0.4 kg
B.甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值附近
C.甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小
D.乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于平均值附近
解析:由题中图象可知,甲类水果的平均质量μ1=0.4 kg,乙类水果的平均质量μ2=0.8 kg,故选项A,C都正确;因为σ越小,曲线越“瘦高”,表示随机变量的分布越集中,故选项B正确,选项D不正确.故选ABC.
答案:ABC
13.多空题为了解高三复习备考情况,某校组织了一次阶段考试.若高三全体考生的数学成绩近似服从正态分布N(100,17.52).已知成绩在117.5分以上的学生有64人,则此次参加考试的学生成绩低于82.5分的概率为0.16;如果成绩在135分以上的为特别优秀,那么本次考试数学成绩特别优秀的大约有10人.
(若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.68,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.95)
解析:由题意,知P(X<82.5)=P(X<μ-σ)=≈=0.16,
P(X>117.5)=P(X>μ+σ)=≈=0.16.
因为成绩在117.5分以上的学生有64人,所以参加此次阶段考试的高三考生总人数约有=400(人).
因为P(X>135)=P(X>μ+2σ)=≈=0.025,
所以本次考试数学成绩特别优秀的大约有400×0.025=10(人).
