(共25张PPT)
第七章 随机变量及其分布
+X
wuH
IV
1=0310
0:哪-D,90
Ta
g
+X)
1=10813
0-D900=m7
S03
读一已知该电子设备制造厂有关数据,根据条件求概率
想_根据全概率公式及条件概率公式求解
设A表示“取到的是次品”,B;(i=1,2,3)表示“所取到的
元件是由元件制造厂i提供的”,则a=B1∪B2∪B3,B1,
B2,B3两两互斥,且P(B)=0.15,P(B2)=0.80,P(B3)=
0.05,P(A|B1)=0.02,P(A|B2)=0.01,P(A|B3)=
0.03.
(1)由全概率公式,得
算
P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)
P(A|B3)=0.15×0.02+0.80×0.01+0.05×0.03=
0.0125
(2)此次品出自元件制造厂1的概率为
P(AB1)P(A|B1)P(B1)0.02×0.15
P(BIA)
P(A)
P(A)
0.0125
0.24
此次品出自元件制造厂2的概率为
iP(Bla)
P(AB2)P(A|B2)P(B2)0.01×080
P(A)
P(A)
0.0125
0.64,
此次品出自元件制造厂3的概率为
: P(B3A)
P(AB3)P(A|B3)P(B3)0.03×0.05
P(A)
P(A)
0.0125
0.12.
应用全概率公式所解决的问题的特点
(1)该随机试验可以分为两步,第一步试验有若干个
日可能结果,在第一步试验结果的基础上,再进行第二
步试验,又有若干个结果;
(2)如果要求与第二步试验结果有关的概率,那么用
全概率公式
知识全概率利用全概率公式求
公式
解概率问题的方法方法
数学抽象数学运算
素养或思想A级 基础巩固
1.8支步枪中有5支已经校准过,3支未校准,一名射手用校准过的步枪射击时,中靶的概率为0.8,用未校准的步枪射击时,中靶的概率为0.3.现从8支中任取1支射击,结果中靶,则所选用的枪是校准过的概率为 ( )
A. B. C. D.
解析:设A表示“射击时中靶”,B1表示“使用的枪校准过”,B2表示“使用的枪未校准”,则Ω=B1∪B2,B1,B2互斥.
所以P(A)=P(AB1)+P(AB2)
=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)
=0.8×+0.3×=,
所以P(B1|A)====.
答案:B
2.一批同型号的螺钉由编号为Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的三台机器共同生产,各台机器生产的螺钉占这批螺钉的百分率分别为35%,40%,25%,各台机器生产的螺钉次品率分别为3%,2%和1%.现从这批螺钉中抽到一颗次品,则次品来自Ⅱ号机器生产的概率为 ( )
A. B. C. D.
解析:设A表示“螺钉是次品”,B1表示“螺钉由Ⅰ号机器生产”,B2表示“螺钉由Ⅱ号机器生产”,B3表示“螺钉由Ⅲ号机器生产”,则
P(B1)=0.35,P(B2)=0.4,P(B3)=0.25,
P(A|B1)=0.03,P(A|B2)=0.02,
P(A|B3)=0.01,
P(A)=P(AB1)+P(AB2)+P(AB3)
=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+
P(A|B3)P(B3)
=0.03×0.35+0.02×0.4+0.01×0.25=0.021,
所以P(B2|A)===.
答案:B
3.现有n张彩票,里面只有一张奖券,每人从中随机摸取一张,则第二人摸到奖券的概率为.
解析:设Ai表示“第i人摸到奖券”,i=1,2,…,n,则A2=A2,
P(A2)=P(A2)=P()P(A2|).
由题意,得P(A1)=,P()=1-=,
P(A2|)=,
所以P(A2)=×=.
4.已知在所有男子中有5%患有色盲症,在所有女子中有0.25%患有色盲症.随机抽一人发现患色盲症的概率为0.026 25(设男子与女子的人数相等).
解析:设A表示“抽到的是男子”,B表示“抽到的是女子”,C表示“这人患色盲症”,
则P(C|A)=0.05,P(C|B)=0.002 5,P(A)=0.5,P(B)=0.5,则P(C)=P(AC)+
P(BC)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B)=0.5×0.05+0.5×0.002 5=0.026 25.
5.有一批同型号的产品,已知其中由一厂生产的占30%,二厂生产的占50%,三厂生产的占20%,又知这三个厂的产品次品率分别为2%,1%,1%,求从这批产品中任取一件是次品的概率.
解:设事件B为“任取一件是次品”,事件A1为“任取一件是一厂的产品”,事件A2为“任取一件是二厂的产品”,事件A3为“任取一件是三厂的产品”,则A1∪A2∪A3=Ω,A1,A2,A3两两互斥.
由题意,得P(A1)=0.3,P(A2)=0.5,P(A3)=0.2,
P(B|A1)=0.02,P(B|A2)=0.01,P(B|A3)=0.01,
所以由全概率公式,得
P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)
=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+
P(A3)P(B|A3)
=0.3×0.02+0.5×0.01+0.2×0.01=0.013.
B级 拓展提高
6.根据以往临床记录,某种诊断癌症的试验有如下的效果,若以事件A表示“试验反应为阳性”,以事件C表示“被诊断者患有癌症”,则有P(A|C)=0.95,P(|)=0.95.现在对自然人群进行普查,设被试验的人患有癌症的概率为0.005,即P(C)=0.005,则P(C|A)≈ ( )
A.0.05 B.0.95 C.0.087 D.0.995
解析:因为P(|)=0.95,
所以P(A|)=1-P(|)=0.05.
因为P(C)=0.005,所以P()=0.995.
因为P(A|C)=0.95,
所以P(C|A)===≈0.087.
答案:C
7.对以往数据的分析结果表明,当机器调整良好时,产品的合格率为98%,而当机器发生某种故障时,其合格率为55%.每天早上机器开动时,机器调整良好的概率为95%.若某日早上第一件产品合格,则这台机器调整良好的概率约为0.971(保留三位小数).
解析:设事件A为“产品合格”,事件B为“机器调整良好”,
则有P(A|B)=0.98,P(A|)=0.55,P(B)=0.95,P()=0.05,
P(A)=P(A|B)P(B)+P(A|)P()=0.98×0.95+0.55×0.05=0.958 5,
故P(B|A)===≈0.971.
8.在某次考试中,要从20道题中随机抽出6道题,若考生至少能答对其中的4道题则可通过;若至少能答对其中5道题则获得优秀.已知某考生能答对所有题目中的10道题,并且知道他在这次考试中已经通过,求他获得优秀成绩的概率.
解:设事件A为“该考生6道题全答对”,事件B为“该考生答对了其中5道题而另1道答错”,事件C为“该考生答对了其中4道题而另2道题答错”,事件D为“该考生在这次考试中通过”,事件E为“该考生在这次考试中获得优秀”,则A,B,C两两互斥,且D=A∪B∪C,E=A∪B,由古典概型的概率公式及加法公式可知
P(D)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=++=,
P(E|D)=P(A∪B|D)=P(A|D)+P(B|D)=+=+=
+=,即所求概率为.
C级 挑战创新
9.多空题同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应,由长期的经验知,三家的正品率分别为0.95,0.9,0.8,三家产品数的比为2∶3∶5,混合在一起,从中任取一件,则此产品为正品的概率为0.86;现取到一件产品为正品,则它是由甲、乙、丙三个厂中丙厂生产的可能性大.
解析:设事件A表示取到的产品为正品,B1,B2,B3分别表示产品由甲、乙、丙厂生产.
由已知,得P(B1)=0.2,P(B2)=0.3,P(B3)=0.5,
P(A|B1)=0.95,P(A|B2)=0.9,P(A|B3)=0.8,
故P(A)=P(Bi)P(A|Bi)=0.2×0.95+0.3×0.9+0.5×0.8=0.86,
P(B1|A)==≈0.220 9,
P(B2|A)==≈0.314 0,
P(B3|A)==≈0.465 1,
故它是由丙厂生产的可能性大.
