A级 基础巩固
1.若随机变量X的分布列如下表所示,则a2+b2的最小值为 ( )
X 0 1 2 3
P a b
A. B. C. D.
解析:由分布列的性质,得+a++b=1,解得a+b=,所以a2+b2≥=,当且仅当a=b=时,等号成立.
答案:C
2.从只有3张中奖彩票的10张彩票中不放回地随机逐张抽取,设X表示第1次抽到中奖彩票时抽奖的次数,则P(X=3)= ( )
A. B. C. D.
解析:从只有3张中奖的10张彩票中不放回地随机逐张抽取,则所有的情况为.因为X=3表示第1次抽到中奖彩票时的抽奖次数为3,所以前2次抽取没有中奖,第3次抽取中奖的情况为,所以P(X=3)==.
答案:D
3.从含有2名女生的10名大学毕业生中任选3人进行某项调研活动,记女生入选的人数为X,则X的分布列为 ( )
A.
X 0 1 2
P
B.
X 1 2 3
P
C.
X 0 1 2
P
D.
X 0 1 2
P
解析:X的所有可能取值为0,1,2.
则P(X=0)==,P(X=1)==,
P(X=2)==,
故X的分布列为
X 0 1 2
P
答案:A
4.已知随机变量X的分布列如下表,则P(=1)=.
X 1 2 3 4
P
解析:依题意可得,P(|X-2|=1)=P(X=3)+P(X=1)=+=.
5.一个不透明的盒中装有9张各写有一个数字的卡片,其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片.
(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率;
(2)X表示所取3张卡片上的数字的中位数,求X的分布列.
解:(1)由古典概型的概率计算公式,得
P==.
(2)X的所有可能取值为1,2,3.
P(X=1)==,
P(X=2)==,
P(X=3)==.
故X的分布列为
X 1 2 3
P
B级 拓展提高
6.在5件产品中,有3件一等品和2件二等品,从中任取2件,则在下列事件中概率为的是 ( )
A.都不是一等品
B.恰有1件一等品
C.至少有1件一等品
D.至多有1件一等品
解析:设取到一等品的件数是X,
则X=0,1,2.P(X=0)==,
P(X=1)===,
P(X=2)==.
因为P(X=0)+P(X=1)=,
所以满足题设的事件是“至多有1件一等品”.
答案:D
7.如图所示,A,B两点由5条连线并联,它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2,3,4,3,2.现记从中任取3条线且在单位时间内能通过的最大信息总量为X,则P(X≥8)=.
解析:由已知,得X的可能取值为7,8,9,10.
P(X=7)==,
P(X=8)==,
P(X=9)==,
P(X=10)==.
所以X的分布列为
X 7 8 9 10
P
所以P(X≥8)=P(X=8)+P(X=9)+P(X=10)=++=.
8.一个不透明口袋中有大小、质地均相同的4个红球、3个黑球.随机取球,设取到1个红球得2分,取到1个黑球得1分,从袋中随机取4个球,记得分为随机变量X.
(1)求得分X的分布列;
(2)求得分大于6分的概率.
解:(1)从袋中随机取4个球的情况分别为1红3黑、2红2黑、
3红1黑、4红,
分别得分为5分、6分、7分、8分.
故X的可能取值为5,6,7,8.
P(X=5)==,
P(X=6)==,
P(X=7)==,
P(X=8)==.
故X的分布列为
X 5 6 7 8
P
(2)根据随机变量X的分布列,可以得到得分大于6分的概率为P(X>6)=P(X=7)+P(X=8)=+=.
9.为了解本学期学生参加公益劳动的情况,某校从初高中学段抽取了100名学生,收集了他们参加公益劳动时间(单位:h)的数据,绘制表格的一部分如下.
公益劳动时间/h [0,5) [5,10) [10,15) [15,20) [20,25) [25,30)
男生人数 6 9 10 10 9 4
女生人数 5 12 13 8 6 8
初中学段人数 a 8 11 11 10 7
高中学段人数
(1)从男生中随机抽取1人,求抽到的男生参加公益劳动时间在区间[10,20)上的概率;
(2)从参加公益劳动时间在区间[25,30)上的学生中抽取3人进行面谈,记X为抽到高中学段的人数,求X的分布列.
解:(1)由题意可得,100名学生中共有48名男生,其中共有20人参加公益劳动时间在区间[10,20)上.所以从男生中随机抽取1人,抽到的男生参加公益劳动时间在区间[10,20)上的概率P==.
(2)由题意可得,公益劳动时间在区间[25,30)上的学生人数为4+8=12.因为初中学段人数为7,所以高中学段人数为12-7=5.
所以X的所有可能取值为0,1,2,3.
所以P(X=0)==,P(X=1)==,
P(X=2)==,P(X=3)==.
所以随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P
C级 挑战创新
10.多空题已知随机变量X的分布列如下表:
X -1 0 1
P a b c
若a,b,c成等差数列,公差为d,则P(|X|=1)=,d的取值范围为.
解析:因为a,b,c成等差数列,
所以2b=a+c.
由a+b+c=1,解得b=,
则P(|X|=1)=a+c=2b=.
由题意可得,a=-d,c=+d.
根据分布列的性质,得解得-≤d≤.(共29张PPT)
第七章 随机变量及其分布
+X
wuH
IV
1=0310
0:哪-D,90
Ta
g
+X)
1=10813
0-D900=m7
S03
知识閃点有关分布列的实方法
分布际问题的解法
数学建模
数学运算
素养或思想(共43张PPT)
第七章 随机变量及其分布
+X
wuH
IV
1=0310
0:哪-D,90
Ta
g
+X)
1=10813
0-D900=m7
S03
判断离散型随机
概念
变量的方法
离散
知识型随
分布列
确定离散型随机方法
机变
变量结果的步骤
量
分布列求离散型随机变
的性质量分布列的步骤
数学抽象数学运算方程思想
素养或思想A级 基础巩固
1.不透明的口袋中有大小、质地都相同的5个球,分别标有号码1,2,3,4,5,现随机有放回地取球2次,每次取1个,设2个球号码之和为随机变量X,则X所有可能取值的个数是 ( )
A.5 B.9 C.10 D.25
解析:号码之和可能为2,3,4,5,6,7,8,9,10,共9个.
答案:B
2.先后抛掷一枚质地均匀的骰子5次,下列不能作为随机变量的是 ( )
A.出现7点的次数
B.出现偶数点的次数
C.出现2点的次数
D.出现的点数大于2小于6的次数
解析:因为抛掷一枚质地均匀的骰子不可能出现7点,所以出现7点为不可能事件,所以出现7点的次数不能作为随机变量.
答案:A
3.设离散型随机变量X的分布列如下表,则p= ( )
X 1 2 3 4
P p
A. B. C. D.
解析:由分布列的性质可知,+p++=1,解得p=.
答案:D
4.一批产品共有12件,其中次品3件,每次从中任取1件不放回,在取得合格品之前取出的次品数X的所有可能取值是0,1,2,3.
5.小王的钱包中只剩下20元、10元、5元和1元的人民币各一张,他随机抽出两张.用X表示这两张金额之和,写出X的可能取值,并说明所取值表示的随机试验结果.
解:X的可能取值为6,11,15,21,25,30.
其中,X=6表示抽到的是1元和5元;
X=11表示抽到的是1元和10元;
X=15表示抽到的是5元和10元;
X=21表示抽到的是1元和20元;
X=25表示抽到的是5元和20元;
X=30表示抽到的是10元和20元.
B级 拓展提高
6.从装有除颜色外没有区别的3个黄球、3个红球、3个蓝球的不透明口袋中摸3个球,设摸出的3个球的颜色种类为随机变量X,则P(X=2)= ( )
A. B. C. D.
解析:X=2,即摸出的3个球有2种颜色,其中1种颜色的球有2个,另1种颜色的球有1个,故P(X=2)==,故选D.
答案:D
7.一个不透明口袋中有4个红球、3个黑球,从袋中任取4个球,取到1个红球得1分,取到1个黑球得3分,设得分为随机变量X,则P(X≤7)=.
解析:由题意可知,若得分不大于7,则4个球都是红球或3个红球、1个黑球,此时X=4或X=6.
因为P(X=4)==,P(X=6)==,
所以P(X≤7)=P(X=4)+P(X=6)=.
8.设离散型随机变量X的分布列为P=ak,k=1,2,3,4,5.
(1)求常数a的值;
(2)求P.
解:(1)由题意,得a+2a+3a+4a+5a=1,解得a=.
(2)由(1),得P=k,k=1,2,3,4,5.
所以P=P+P+P(X=1)=++=.
9.从某小组的5名女生和4名男生中任选3人去参加一项公益活动.
(1)求所选3人中恰有1名男生的概率;
(2)求所选3人中男生人数X的分布列.
解: (1)所选3人中恰有1名男生的概率
P==.
(2)X的可能取值为0,1,2,3.
P(X=0)==,
P(X=1)==,
P(X=2)==,
P(X=3)==.
故X的分布列为
X 0 1 2 3
P
C级 挑战创新
10.多选题已知随机变量X的分布列如下表(其中a为常数):
X 0 1 2 3 4
P 0.1 0.2 0.4 0.2 a
则下列计算结果正确的是 ( )
A.a=0.1
B.P(X≥2)=0.7
C.P(X≥3)=0.4
D.P(X≤1)=0.3
解析:由分布列的性质,可得0.1+0.2+0.4+0.2+a=1,解得a=0.1,故A选项正确;
由分布列可得,P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)=0.4+0.2+0.1=0.7,故B选项正确;
P(X≥3)=P(X=3)+P(X=4)=0.2+0.1=0.3,故C选项错误;
P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)=0.1+0.2=0.3,故D选项正确.故选ABD.
答案:ABD
11.多空题若离散型随机变量X的分布列为
X 0 1
P 9c2-c 3-8c
则常数c=,P(X=1)=.
解析:由分布列的性质可知,
解得c=,故P(X=1)=3-8×=.
