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第七章 随机变量及其分布
+X
wuH
IV
1=0310
0:哪-D,90
Ta
g
+X)
1=10813
0-D900=m7
S03
离散型随机变量的方差
方差的求法方法
知识离散型随机变量的标准差
离散型随机变量的方差的性质
数学数学
抽象运算
素养或思想A级 基础巩固
1.若随机变量X满足P(X=1)=0.3,P(X=2)=0.7,则E(X)和D(X)的值分别为 ( )
A.0.6和0.7
B.1.7和0.09
C.0.3和0.7
D.1.7和0.21
解析:E(X)=1×0.3+2×0.7=1.7,D(X)=(1-1.7)2×0.3+(2-1.7)2×0.7=0.21.
答案:D
2.随机变量X的分布列如下表,若E(X)=1.1,则D(X)= ( )
X 0 1 x
P p
A.0.36 B.0.52 C.0.49 D.0.68
解析:由随机变量分布列的性质求得p=.
由E(X)=0×+1×+x=1.1,得x=2.
故D(X)=(0-1.1)2×+(1-1.1)2×+(2-1.1)2×=0.49.
答案:C
3.甲、乙两支女子球队在去年的某场比赛中,甲队平均每场进球数为3.2,乙队平均每场进球数为1.8.已知甲队去年全年比赛进球数的标准差为3,乙队去年全年比赛进球数的标准差为0.3.下列说法中,正确的个数为 ( )
①甲队的进球技术比乙队好;②乙队发挥比甲队稳定;③乙队几乎每场都进球;④甲队的表现时好时坏.
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:因为甲队平均每场进球数为3.2,乙队平均每场进球数为1.8,甲队平均数远大于乙队,所以甲队的进球技术比乙队好,所以①正确;
因为甲队去年全年比赛进球数的标准差为3,乙队去年全年进球数的标准差为0.3,乙队的标准差小于甲队,所以乙队发挥比甲队稳定,所以②正确;
因为乙队进球数的标准差为0.3,说明每次进球数均值,乙队几乎每场都进球,所以③正确;甲队标准差为3,说明甲队表现时好时坏,所以④正确.
答案:D
4.已知随机变量X的分布列为
X -1 0 1
P a
则X的均值E(X)=-;若随机变量Y=2X+1,则Y的方差D(Y)=.
解析:由随机变量X的分布列,得
++a=1,解得a=,
所以E(X)=-1×+0×+1×=-,
所以D(X)=×+×+×=.
因为随机变量Y=2X+1,
所以Y的方差D(Y)=4D(X)=.
5.编号为1,2,3的三名同学随意入座编号为1,2,3的三个座位,每名同学一个座位,若与座位编号相同的学生人数为X,则D(X)=1.
解析:由题意可知,X的所有可能取值为0,1,3.
因为P(X=0)==,
P(X=1)==,
P(X=3)==,
所以X的分布列为
X 0 1 3
P
所以E(X)=0×+1×+3×=1,
所以D(X)=(0-1)2×+(1-1)2×+(3-1)2×=1.
6.已知随机变量X的分布列如下表,E(X)=.
X 0 1 x
P p
(1)求D(X)的值;
(2)若Y=3X-2,求D(Y)的值.
解:由++p=1,得p=.
因为E(X)=0×+1×+x=,
所以x=2.
(1)D(X)=×+×+×=.
(2)因为Y=3X-2,
所以D(Y)=D(3X-2)=9D(X)=5.
B级 拓展提高
7.甲、乙两名射击运动员命中环数X,Y的分布列如下表.由表可知,射击成绩比较稳定的运动员是 ( )
概率 环数k
8 9 10
P(X=k) 0.3 0.2 0.5
P(Y=k) 0.2 0.4 0.4
A.甲
B.乙
C.二人一样
D.无法比较
解析:由题中分布列可得,
E(X)=8×0.3+9×0.2+10×0.5=9.2,
E(Y)=8×0.2+9×0.4+10×0.4=9.2,
所以D(X)=(8-9.2)2×0.3+(9-9.2)2×0.2+(10-9.2)2×0.5=0.76,
D(Y)=(8-9.2)2×0.2+(9-9.2)2×0.4+(10-9.2)2×0.4=0.56.
所以E(X)=E(Y),D(X)>D(Y).
所以甲、乙两名射击运动员命中环数的均值相等,而乙的成绩波动性较小,比较稳定.
答案:B
8.随机变量X的取值为0,1,2.若P(X=0)=,E(X)=1,则D(X)=.
解析:设P(X=1)=a,P(X=2)=b,
则解得
所以D(X)=(0-1)2×+(1-1)2×+(2-1)2×=.
9.袋子中装有大小形状完全相同的5个小球,其中红球3个,白球2个,现每次从中不放回地取出1个球,直到取到白球为止.
(1)求取球次数X的分布列;
(2)求取球次数X的均值和方差.
解:(1)由题意知,X的可能取值有1,2,3,4,
P(X=1)=,
P(X=2)=×=,
P(X=3)=××=,
P(X=4)=××=,
故X的分布列为
X 1 2 3 4
P
(2)由(1)知,取球次数X的均值为
E(X)=1×+2×+3×+4×=2,
X的方差D(X)=(1-2)2×+(2-2)2×+(3-2)2×+(4-2)2×=1.
10.某花店每天以5元/枝的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以10元/枝的价格出售,如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理.
(1)若花店一天购进16枝玫瑰花,求当天的利润y(单位:元)关于当天需求量n(单位:枝,n∈N)的函数解析式.
(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表:
日需求量n 14 15 16 17 18 19 20
频数 10 20 16 16 15 13 10
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.
①若花店一天购进16枝玫瑰花,X表示当天售卖玫瑰花的利润(单位:元),求X的分布列、均值及方差;
②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花,你认为应购进16枝还是17枝 请说明理由.
解:(1)当n>16时,y=16×(10-5)=80,
当n≤16时,y=10n-16×5=10n-80,
即y=(n∈N).
(2)①由(1)知,X可取60,70,80.
P(X=60)=0.1,P(X=70)=0.2,P(X=80)=0.7.
故X的分布列为
X 60 70 80
P 0.1 0.2 0.7
E(X)=60×0.1+70×0.2+80×0.7=76,
D(X)=(60-76)2×0.1+(70-76)2×0.2+(80-76)2×0.7=44.
②花店一天应购进16枝玫瑰花.理由如下:
如果花店一天购进17枝玫瑰花,Y表示当天的利润(单位:元),那么Y的分布列为
Y 55 65 75 85
P 0.1 0.2 0.16 0.54
Y的均值为E(Y)=55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4.
Y的方差为D(Y)=(55-76.4)2×0.1+(65-76.4)2×0.2+(75-76.4)2×0.16+
(85-76.4)2×0.54=112.04.
由以上的计算结果可以看出,D(X)C级 挑战创新
11.多空题已知随机变量X的分布列如下表.
X a 2 3 4
P b
若E(X)=2,则a=0,D(X)=.
解析:由随机变量X的分布列及E(X)=2,得
解得
故D(X)=(0-2)2×+(2-2)2×+(3-2)2×+(4-2)2×=.
