(共40张PPT)
第七章 随机变量及其分布
+X
wuH
IV
1=0310
0:哪-D,90
Ta
g
+X)
1=10813
0-D900=m7
S03
读已知抽取的产品数量及各等级数量、利润,求分布列
均值、三等品率
想求x的分布列及均值
(1)由于1件产品的利润为X,
故X的所有可能取值为6,2,1,-2由题意,知
P(X=6)126
50
2000.63,P(X=2)
0.25,
200
20
P(X=1)
2000.1,P(X
2)
2000.02
算
故X的分布列为
6
2
P0.630.250.10.02
(2)由(1)可知,E(X)=6×0.63+2×0.25+1×0.1+(-2)
002=4.34故1件产品的平均利润为4.34万元
(3)设技术革新后,三等品率为x,即P(X=1)=x,则此
时1件产品的平均利润为E(X)=6×0.7+2×(1-0.7
x-0.01)+1×x+(-2)×0.01=4.76-x
由E(X)≥4.73,得4.76-x≥4.73,
解得x≤0.03,所以三等品率最多为3%
解决与生产实际相关的概率问题时,首先把实
际问题概率模型化,然后利用有关概率的知识去分
思一析相应各事件可能性的大小,并列出分布列,最后利
用公式求出相应的均值
离散型随机。求离散型随机变量
变量的均值X的均值的步骤
知识
方法
离散型随机‖求随机变量Y=ax+b
变量均值的的均值的方法
性质
数学抽象数学运算数学建模
素养或思想A级 基础巩固
1.今有两台独立工作的雷达,每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85,设发现目标的雷达台数为X,则E(X)为 ( )
A.0.765 B.1.75 C.1.765 D.0.22
解析:X的可能取值为0,1,2.
因为P(X=0)=0.1×0.15=0.015,
P(X=1)=0.9×0.15+0.1×0.85=0.22,
P(X=2)=0.9×0.85=0.765,
所以E(X)=0×0.015+1×0.22+2×0.765=1.75.
答案:B
2.口袋中有编号分别为1,2,3的三个完全相同的小球,从中任取2个,则取出球的最大编号X的均值为 ( )
A. B. C.2 D.
解析:X的可能取值为2,3.
因为P(X=2)=,P(X=3)=,
所以E(X)=2×+3×=.
答案:D
3.如果a1,a2,a3,a4,a5,a6的均值为3,那么2(a1-3),2(a2-3),2(a3-3),
2(a4-3),2(a5-3),2(a6-3)的均值是 ( )
A.0 B.3 C.6 D.12
解析:由E(aX+b)=aE(X)+b,可知所求均值是2×3-6=0.
答案:A
4.某射手射击所得环数X的分布列如下表.
X 7 8 9 10
P x 0.1 0.3 y
已知E(X)=8.9,则y的值为0.4.
解析:由题意,得
解得
5.厂家在产品出厂前,需对产品进行检验,厂家将一批产品发给商家时,商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品进行检验,以决定是否接收这批产品.若厂家发给商家20件产品,其中有3件不合格.按合同规定,该商家从中任取2件进行检验,只有2件都合格时才接收这批产品,否则拒收.求该商家可能检验出不合格产品数X的分布列及均值E(X).
解:X的可能取值为0,1,2.
因为P(X=0)==,
P(X=1)==,
P(X=2)==.
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
所以E(X)=0×+1×+2×=.
B级 拓展提高
6.设口袋中有质地均匀的黑球和白球共7个,从中任取2个球(白
球个数多于2个,黑球个数多于2个),若取到白球个数的均值为,则口袋中白球的个数为 ( )
A.3 B.4 C.5 D.2
解析:设白球有x个(2因为P(X=0)==,
P(X=1)==,
P(X=2)==,
所以0×+1×+2×=,解得x=3,即口袋中有3个白球.
答案:A
7.口袋中装有分别标记着1,2,3的3个小球,每次从袋中取出1个球(每只小球被取到的可能性相同).现连续取3次球,若每次取出1个球后放回袋中,记3次取出的球中标号最小的数字与最大的数字分别为a,b,设X=b-a,则E(X)=.
解析:由题意,知X的可能取值为0,1,2.
当X=0时,a=b;
当X=1时,a=2,b=3或a=1,b=2;
当X=2时,a=1,b=3.
所以P(X=0)==,
P(X=1)==,
P(X=2)=1--=,
所以E(X)=0×+1×+2×=.
8.(2021新高考全国Ⅰ卷)某学校组织“一带一路”知识竞赛,有A,B两类问题,每名参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答,若回答错误,则该同学比赛结束;若回答正确,则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答,无论回答正确与否,该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分,否则得0分;B类问题中的每个问题回答正确得80分,否则得0分.已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8,能正确回答B类问题的概率为0.6,且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
(1)若小明先回答A类问题,记X为小明的累计得分,求X的分布列.
(2)为使累计得分的期望最大,小明应选择先回答哪类问题 请说明理由.
解:(1)由题可知,X的所有可能取值为0,20,100.
P(X=0)=1-0.8=0.2,
P(X=20)=0.8×(1-0.6)=0.32,
P(X=100)=0.8×0.6=0.48.
所以X的分布列为
X 0 20 100
P 0.2 0.32 0.48
(2)由(1)知,E(X)=0×0.2+20×0.32+100×0.48=54.4.
若小明先回答B类问题,记Y为小明的累计得分,则Y的所有可能取值为0,80,100.
P(Y=0)=1-0.6=0.4,
P(Y=80)=0.6×(1-0.8)=0.12,
P(X=100)=0.8×0.6=0.48.
所以E(Y)=0×0.4+80×0.12+100×0.48=57.6.
因为54.4<57.6,所以小明应选择先回答B类问题.
C级 挑战创新
9.多空题盒中有4个球,其中1个红球, 1个绿球,2个黄球.从盒中随机取球,每次取1个,不放回,直到取出红球为止.设此过程中取到黄球的个数为X,则P(X=0)=,E(X)=1.
解析:由题意,知随机变量X的可能取值为0,1,2.
P(X=0)=+=;
P(X=1)=+=;
P(X=2)=+=.
所以E(X)=0×+1×+2×=1.
10.多空题已知甲盒中仅有1个球且为红球,乙盒中有3个红球和4个蓝球,从乙盒中随机抽取i(i=1,2)个球放在甲盒中,放入i个球后,甲盒中含有红球的个数为Xi(i=1,2),则E(X1)=,E(X2)=.
解析:甲盒中含有红球的个数X1的所有可能取值为1,2,
P(X1=1)==,
P(X1=2)==.
则E(X1)=1×+2×=.
甲盒中含有红球的个数X2的所有可能取值为1,2,3,
P(X2=1)==,P(X2=2)==,
P(X2=3)==.
则E(X2)=1×+2×+3×=.
