2021~2022学年度第一学期期中学业水平诊断
三数学
注意事项
考试时间为120分钟
2.答卷前,务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上
用答题纸时,必须使用05毫米的摆色签字笔书
字迹工整,笔迹清晰:超出答
题区书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效
选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有
项符合题目要求〕
A∩CRB
b,c分别是△ABC的三条边,且a≤b≤c.则“a2+b2充分不必要条件
要不充分条件
充要条件
既不充分也不必要条件
b
我国古代数学名著《孙子算经》载有一道数学问题:“今有物不知其数
数
五五数
物几何 ”根据这一数学思想,所有被3除余2的自
然数从小到大组成数
所有被5除余2的白然数从小到大组成数列{bn},把{
和
共项从小到大得到数列
b
b
设D为△ABC所在平面内
D,E为BC的
知函数
e)的图象上存在点P,函数
的图象上存在
ρ,且P、Q关于x轴对称,则实数c的取值范围为
高三数学武越(第1页,共
曲线y=x--在x=1
的倾斜角为a
8.设∫(x)是定义域为R的奇函数,f(x+1)是偶函数,且当x∈(0,
(x-2)
若f(-1)+f(2)
选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符
要求。全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分
记S为数列{an}的前n项和若
下列命题正确的
若a若a>0,b>0,则
C.已知a>0
D.已知a>0,b>0,且
设函数∫(x)=sn
(a>0),若f(x)在[02有且仅有5个极值点
f(x)在(0,丌)有且仅有3个极大值
f(x)在(0,丌)有且仅有4个零
C.a的取值范围是
f(x)在(0,
单调递增
于函数∫(x)
g(x)=
下列说法正确的是
对x∈R,f(
高三数学试题(第2页,共4页
恒成立
C.函数y=xf(x)-x-g(x)的最小值为
不等式f(ax)≥(x)
对x>0恒成立,则正实数a的最小值为
填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
知向量a=(3
≤0
若函数g(x)=f(x)-k有两个零点,则实数此取值
围是
已知函数f(x)= e six-ax在(,0)上单调递增,则实数a的取值范围是
我国民间剪纸艺术在剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折现有一张半径为R的
园形纸,对折1次可以得到两个规格相同的图形,将其中之一进行第2次对折后,就会
得到三个图形,其中有两个规格相同,取规格相同的两个之…进行第3次对折后,就会
得到四个图形,其中依然有两个规格相
类推,每次对折后都会有两个图形规格
相词如果把k次对折后得到的不间规格的图形面积和用S表示,由题意知xP
如果对折
4
解答题(本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程成演算步骤
分)已知函数∫(
c0Sx十
求∫(x)的单调递增区
(2)求f(x)在[0,的最大值
已知公差不为0的等差数列{an},满
an],其中[x表示不超过x的最大整数,如
求{an}的通项公式
高三数学试题(第3页,共4页2021-2022 学年度第一学期期中学业水平诊断
高三数学参考答案及评分标准
一、选择题
A C D B A C B B
二、选择题
9.CD 10.BC 11.ACD 12.ABD
三、填空题
1 15 R2 1
13. 14. ( 2,0) {2} 15.a≤ e 2 16. , (n 1 ) R2
10 16 2n
四、解答题
17.解： f (x) 2 2 cos(x )cos(x )
2 4
2sin2 x 2sin xcos x
cos2x sin 2x 1
2 sin(2x ) 1 ...............................3分
4
3
（1）由2k 2x 2k ， k Z ，
2 4 2
5
可得 k x k ， k Z ， ...............................6分
8 8
5
所以 f (x) 的单调递增区间为[k ,k ]， k Z . ...................7 分
8 8
5
（2）因为0 x ，所以 2x ，
2 4 4 4
2
所以 sin(2x ) 1，故1 2 2 sin(2x ) 1 2， ...........9 分
2 4 4
所以 f (x) 在[0, ]的最大值为2 . ...............................10分
2
18.解：（1）设数列{a }的公差为d ，因为a 24 a2a9 ，所以 (a1 3d )
2 (a1 d )(an 1 8d ) ，
整理得d 2 3a1d
因为d 0，所以d 3a . ...............................2分 1
因为a3 a ，所以5 a7 39 a 13，即5 a1 4d 13，解得a1 1,d 3
...............................4分
所以an a1 (n 1)d 1 (n 1) 3 3n 2 ...............................5分
高三数学答案（第 1 页，共 7页）
（2）由题意可知：b [log1 ] 0，b [log4] 0， ................6 分 1 5 2 5
当3 n 9时，b 1； ..........................7 分 n
当9 n 43时，bn 2 ..........................8分
当43 n 209 时，b 3； ..........................9 分 n
当209 n 1043时，b 4； ..........................10分 n
当1043 n 2022 时，b 5 ..........................11分 n
数列{b 的前n} 2022项和为1 6 2 34 3 166 4 834 5 980 8808
..........................12分
19.解：（1）当0 x 20时，M (x) xH(x) 100x 40 x(280 3x) 100x 40
= 3x2 180x 40 ..........................2 分
3000(x 1)
当 x 20时， M (x) xH (x) 100x 40 90x 100x 40
x 2
3000(x 1)
10x 40 ..........................4分
x 2
所以 2 ..........................5 分 3x 180x 40,0 x 20
M (x) 3000(x 1)
10x 40, x 20
(x 2)
（2）当0 x 20 时，M (x) 3x2 180x 40 3(x 30)2 2660，M (x)在 (0,20]
上单调递增，所以当 x 20时，M (x)max M (20) 2360
..........................7分
3000(x 1) 3000(x 2) 9000
当 x 20时，M (x) 10x 40 10x 40
x 2 x 2
9000 900
10x 2960 10[(x 2) ] 2980
x 2 x 2
..........................10分
900
20 (x 2) 2980 2380
x 2
高三数学答案（第 2 页，共 7页）
900
当且仅当 x 2 ，即 x 28时， M (x) 的最大值为2380万元..............11 分
x 2
因为2380 2360，所以当 x 28时， M (x) 的最大值为2380万元.
答：当年产量为28万箱时利润最大，最大利润为2380万元. .............12分
20. 解：若选择条件①：
A B C
（1）由bsin csin B 可得，bcos c sin B ，
2 2
C
由正弦定理得sin Bcos sin C sin B， ......... .............2分
2
C
因为B (0, )，所以sin B 0 ，则有cos sin C ，
2
C C C
即 cos 2sin cos ， . ......................4 分
2 2 2
C C
又C (0, ) ，所以 (0, )，所以cos 0，
2 2 2
C 1 C
则有sin ，所以 ，所以C ........................6分
2 2 2 6 3
1 1 3
（2）由题意知 S absin C ab 8 3 ，得ab 32，.................8 分
2 2 2
b22 2 2 b
2 1 b 1 1
由余弦定理得BD a abcosC a ab 2a ab ab 16，
4 4 2 2 2 2
.....................................10分
1
当且仅当a b且ab 32，即a 4,b 8时取等号，所以BD 的最小值为16.
2
.....................................12分
若选择条件②：（1） 3(ccos A b) asinC ，
由正弦定理得 3(sinC cos A sin B) sin AsinC ， ........ .............2 分
于是 3(sinC cos A sin(A C)) sin AsinC ，
即 3sin AcosC sin AsinC , ........ .............4分
因为 A (0, )，所以sin A 0
所以 3cosC sinC ，所以 tanC 3，
高三数学答案（第 3 页，共 7页）
又C (0, ) ，所以C ......... .............6分
3
1 1 3
（2）由题意知 S absin C ab 8 3 ，得ab 32，.................8 分
2 2 2
b2 b2 1 b 1 1
由余弦定理得BD2 a2 abcosC a2 ab 2a ab ab 16，
4 4 2 2 2 2
........ .............10 分
1
当且仅当a b且ab 32，即a 4,b 8时取等号，所以BD 的最小值为16.
2
........ .............12 分
c a b
若选择条件③：（1） ，
cosC cos A cos B
sinC sin A sin B
由正弦定理得 ， ........ .............2 分
cosC cos A cos B
所以sinCcos A sinCcos B cosCsin A cosCsin B ，
即sinC cos A cosCsin A cosCsin B sinCcos B，
于是有sin(C A) sin(B C)， ........ .............4 分
因为 A,B,C (0, )，所以C A B C ，即2C A B
所以C . ........ ... ........ .............6分
3
1 1 3
（2）由题意知 S absin C ab 8 3 ，得ab 32， .. .............8 分
2 2 2
b2 b2 1 b 1 1
由余弦定理得BD2 a2 abcosC a2 ab 2a ab ab 16，
4 4 2 2 2 2
................... .............10分
1
当且仅当a b且ab 32，即a 4,b 8时取等号，所以BD 的最小值为16.
2
........ .......... .............12 分
21. 解：（1）当m 1时， f (x) x
2 2x ln x， f (1) 1
1
于是 f (x) 2x 2 ， f (1) 1， ........ .............2 分
x
则曲线 y f (x) 在点 (1, f (1))处的切线方程为 x y 2 0 ........ .............3分
高三数学答案（第 4 页，共 7页）
1
所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 S 2 2 2 . .... .............4 分
2
1
（2）由已知得，mx2 (m 2)x ln x 2 0在[ ,1]上恒成立，
2
1
令 g(x) mx2 (m 2)x ln x 2， x [ ,1]
2
1 2mx2 (m 2)x 1
则 g (x) 2mx (m 2)
x x
1 1
2m(x )(x )
2 m ........ .............6 分
x
1 1
当0 m 1时，即 1，此时 g (x) 0，函数 g(x)在[ ,1]上单调递减，所以
m 2
g(x)min g(1) 0，符合题意. ........ .............7分
1 1 1 1 1
当1 m 2时，即 1，当 x ( , ) 时，g (x) 0，函数 g(x)在[ ,1]上单调递
2 m 2 m 2
1 1
减，当 x ( ,1) 时， g (x) 0，函数 g(x)在[ ,1]上单调递增，
m 2
1 1
所以 g(x)min g( ) 1 ln m ........ .............8 分
m m
1 1 1 1 m
令 h(m) 1 ln m，则h (m) 0，
m m2 m m2
h(m)在区间 (1,2)上单调递减，且h(1) 0，故h(m) 0恒成立，无解.
........ .............9分
1 1 1
当m 2时，即0 ，此时 g (x) 0，函数 g(x)在[ ,1]上单调递增，所以
m 2 2
1 m
g(x) g( ) 1 ln 2 0 ，所以m 4(1 ln 2)，而4(1 ln 2) 2min ，故无解.
2 4
........ .............11 分
综上所述，m的取值范围为0 m 1. ........ .............12 分
22. 解：（1）当a 0时， f x ln x
要证 f (x) ex 2，即证ex ln x 2 0 ........ .............1 分
x 1
令 g(x) ex ln x 2 ，则 g (x) e
x
x 10
设 g (x0) 0，则e (0 x0 1) x0
高三数学答案（第 5 页，共 7页）
两边取对数得， x0 ln x0 ........ .............3 分
当 x (0, x )时， g (x) 0， g(x)0 单调递减，
当 x (x , ) 时， g (x) 0， g(x)0 单调递增，
所以当 x x 时， g(x)0 取得最小值，
x 1
即 g(x)min g(x0 ) e
0 ln x0 2 x0 2 0
x0
故 f (x) ex 2成立. ........ .............5 分
（2） x ( a, )
ln(x1 a) ax
ax1
1 e x a
不妨设 a x1 x
1
2，由题意得： ，即
ln(x2 a) ax
ax2
2 e x2 a
令h(x) eax x ，则函数 y h(x)与 y a 的图象两交点的横坐标为 x1, x2
........ .............7分
ln a
h (x) aeax 1，令h (x) 0可得， x 0
a
ln a ln a a2 ln a
( a) a
a a a2
ln a ln a
因为a 1时，a2 ln a ，所以 ( a) 0，即 ( a, )
a a
ln a ln a
所以函数 h(x) eax x 在区间 ( a, )上单调递减，在区间 ( , ) 上单调递增，
a a
........ .............9 分
ln a
于是可知 a x1 x2 ，
a
2ln a
要证 x1 x2 0，只需证 x1 x2 ，
a
2ln a ln a
即证 x2 x1 ( , )，
a a
ln a
又因为函数h(x) eax x 在区间 ( , ) 上单调递增，
a
2ln a
只需证h(x2 ) h( x1)，
a
2ln a
由h(x1) h(x2) ，只需证h(x 1) h( x1) ， ........ .............10 分
a
高三数学答案（第 6 页，共 7页）
2ln a
令 p(x) h(x) h( x)
a
ax 2ln a ln a e 2x e 2ln a ax ， x ( a, )
a a
e 2ln a
则 p (x) aeax 2 ae 2ln a ax a(eax ) 2
eax
2a e 2lna 2 2a elna
2
2 2a a 2 2 0，
ln a
所以 p(x)单调递增，且 p( ) 0，
a
ln a
由于 a x ，故 p(x1) 01 ，
a
2ln a
即 h(x1) h( x1) 成立，即 x1 x2 0成立. ........ .............12 分
a
高三数学答案（第 7 页，共 7页）
