2021-2022学年人教版数学 九年级上册22.1.3 二次函数y=a（x-h）2+ k的图象和性质课件(共44张PPT)

(共44张PPT)
人教版数学 九年级上册
第二十二章 二次函数
22.1.3 二次函数y=a（x-h） +k的图象和性质
第3课时 二次函数y＝a(x－h) ＋k的图象和性质
y=ax2
y=a(x-h)2
y=ax2+k
y=ax2
k>0
k<0
上移
下移
左加
右减
说出平移方式，并指出其顶点与对称轴.
顶点
在x轴上（h，0）
顶点
在y轴上(0,k)
对称轴
y轴
对称轴 x=h
【思考】 顶点不在坐标轴上的二次函数又如何呢？
导入新知
1. 能画出y=a(x-h)2+k (a ≠0)的图象.
2. 理解二次函数y=a(x-h)2+k (a ≠0)与y=ax2 (a ≠0)之间的联系.
3. 能说出抛物线y=a(x-h)2+k的开口方向、对称轴、顶点.
学习目标
画出函数 的图象，并指出它的开口方向、
对称轴和顶点.
解：
-4
-2
y
-6
O
-2
2
x
4
-4
开口方向：
对称轴：
顶点：
向下.
x=-1.
(-1,-1).
新知一 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
合作探究
-4
-2
y
-6
O
-2
2
x
4
-4
画一画，填写下表:
画出函数y=2(x+1)2-2图象，并说出抛物线的开口方向、对称轴、顶点.
开口方向向上；
对称轴是直线x=-1;
顶点坐标是(-1,-2)
-2
2
x
y
O
-2
4
6
8
-4
2
4
巩固练习
a>0 a<0
图象 h>0
h<0
开口方向
对称轴
顶点坐标
函数的增减性
最值
当xh时，y随x增大而减小.
当xh时，y随x增大而增大.
向上
向下
直线x=h
直线x=h
（h,k）
x=h时，y最小值=k
x=h时，y最大值=k
（h,k）
二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
合作探究
例 已知二次函数y＝a(x－1)2－c的图象如图所示，则一次函数y＝ax＋c的大致图象可能是(　　)
A
利用二次函数y= a(x-h)2+k的性质识别图象
B.
D.
A.
C.
典例精析
在同一坐标系内，一次函数y=ax+2与二次函数y=x +a的图象可能是（ ）
C
A.
B.
D.
C.
巩固练习
-4
-2
y
-6
O
-2
2
x
4
-4
向左平移一个单位
向下平移一个单位
向左平移一个单位，
再向下平移一个单位
新知二 二次函数y= a(x-h)2+k的图象与平移
怎样移动抛物线 就可以得到抛物线 ？
合作探究
向左平移
1个单位
1
2
3
4
5
x
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
1
y
O
-1
-2
-3
-4
-5
-10
【思考】还可以怎样移动抛物线 来得到抛物线 ？
平移方法：
向下平移
1个单位
y=a(x-h)2+k
y=ax2
平移关系
？
二次函数y=a(x-h)2+k的几种图象：
这些图象与抛物线y=ax2有什么关系？
一般地,抛物线y=a(x－h) ＋k与y=ax 形状相同,位置不同.把抛物线y=ax 向上(下)向右(左)平移,可以得到抛物线y=a(x－h) ＋k.平移的方向、距离要根据h、k的值来决定.
向左(右)平移|h|个单位
向上(下)平移|k|个单位
y=ax2
y=a(x－h)2
y=a(x－h) 2+k
y=ax2
y=a(x－h)2+k
向上(下)平移|k|个单位
y=ax +k
向左(右)平移|h|个单位
平移方法:
方法点拨
(1)当a>0时, 开口向上;
当a<0时，开口向下;
(2)对称轴是直线x=h;
(3)顶点是(h,k).
抛物线y=a(x－h)2+k的特点
可以看作互相平移得到的.
y = ax2
y = ax2 + k
y = a(x - h )2
y = a( x - h )2 + k
上下平移
左右平移
上下平移
左右平移
平移规律
简记为：
上下平移，
括号外上加下减；
左右平移，
括号内左加右减.
二次项系数a不变.
二次函数y=ax2 与y=a（x-h)2+k的关系
合作探究
如果一条抛物线的形状与 形状相同，且顶点坐标是（4，2），试求这个函数关系式.
巩固练习
例 要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管.在水管的顶端安装一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高,高度为3m,水柱落地处离池中心3m,水管应多长
二次函数的应用
典例精析
C(3,0)
B(1，3)
A
x
O
y
1
2
3
1
2
3
解:如图建立直角坐标系,
点(1,3)是图中这段抛物线的顶点.
因此可设这段抛物线对应的函数是
∵这段抛物线经过点(3,0)，
∴ 0=a(3－1)2＋3.
解得:
因此抛物线的解析式为:
y=a(x－1)2＋3 (0≤x≤3).
当x=0时,y=2.25.
答:水管长应为2.25m.
3
4
a=－ .
y= (x－1)2＋3 (0≤x≤3).
3
4
－
如图所示，已知一个大门呈抛物线型，其地面宽度AB=18m，一个同学站在门内，在离门脚B点1m远的D处，垂直地面立起一根1.7m长的木杆，其顶端恰好定在抛物线形门上C处，请你求出大门的高h的值.
巩固练习
解:如图,建立平面直角坐标系,
设抛物线解析式为y=ax2+k.由题意得B（9, 0），C（8, 1.7）.
把B、C两点的坐标代入y=ax2+k，得
解得
∴y=-0.1x2+8.1,∴h=k=8.1,即大门高8.1m.
二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标
y=2(x+3)2+5
向上
( 1, －2 )
向下
向下
( 3 , 7)
( 2 , －6 )
向上
直线x=－3
直线x=1
直线x=3
直线x=2
(－3, 5 )
y=－3(x－1)2－2
y = 4(x－3)2＋7
y=－5(2－x)2－6
1.完成下表:
课堂练习
2.把抛物线y=-3x2先向上平移2个单位，再向右平移1个单位，那么所得抛物线是___________________.
4.抛物线y=-3(x-1)2+2的图象如何得到 y=-3x2 .
3.抛物线y=-3x2+2的图象向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线的解析式为 _____________ .
答：先向左平移一个单位，再向下平移两个单位.
5.已知一个二次函数图象的顶点为A(-1,3),且它是由二次函数y=5x2平移得到，请直接写出该二次函数的解析式.
设该二次函数的解析式为y=a(x-h)2+k，
由题意得y=5(x+1)2+3.
向右(h>0)[或向左(h<0)]平移|h|个单位
y=ax2
y=a(x-h)2
y=a(x-h)2+k
y=ax2+k
向上(k>0)[或向下(k<0)]平移|k|个单位
向右(h>0)[或向左(h<0)]平移|h|个单位
向上(k>0)[或向下(k<0)]平移|k|个单位
向右(h>0)[或向左(h<0)]平移|h|个单位
向上(k>0)[或向下(k<0)]平移|k|个单位
y
O
x
y=ax2
y=a(x-h)2+k
h
k
归纳新知
1．抛物线y＝3(x－1)2＋1的顶点是(　　)
A．(1，1)
B．(－1，1)
C．(－1，－1)
D．(1，－1)
A
课后练习
C
3．在函数y＝(x＋1)2＋3中，若y随x的增大而减小，则x的取值范围为( )
A．x＞－1 B．x＞3
C．x＜－1 D．x＜3
C
C
5．二次函数y＝2(x－3)2－4的最小值为____．
－4
(1)解：开口向上，对称轴是x＝1, 顶点(1，2)
(2)解：开口向下，对称轴是x＝－1，顶点(－1，－5)
8．已知抛物线y＝a(x－3)2＋2经过点(1，－2).
(1)求a的值；
(2)若点A(m，y1)，B(n，y2)(m＜n＜3)都在该抛物线上，试比较y1与y2的大小．
　解：(1)a＝－1　
(2)由题意得抛物线的对称轴是直线x＝3，∵抛物线开口向下，∴当x＜3时，y随x的增大而增大，而m＜n＜3，∴y1＜y2
9．抛物线y＝(x＋2)2－1可以由抛物线y＝x2平移得到，下列平移方法中正确的是(　　)
A．先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度
B．先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度
C．先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度
D．先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度
B
10．将如图所示的抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到的抛物线解析式是(　　)
A.y＝(x－1)2＋1
B．y＝(x＋1)2＋1
C．y＝2(x－1)2＋1
D．y＝2(x＋1)2＋1
C
11．如图，动点A在抛物线y＝－(x－1)2＋4(0≤x≤3)上运动，直线l经过点(0，6)，且与y轴垂直，过点A作AC⊥l于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，则另一对角线BD的取值范围正确的是( )
A．2≤BD≤3 B．3≤BD≤6
C．1≤BD≤6 D．2≤BD≤6
D
12．(2020·南京)下列关于二次函数y＝－(x－m)2＋m2＋1(m为常数)的结论：①该函数的图象与函数y＝－x2的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点(0，1)；③当x＞0时，y随x的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数y＝x2＋1的图象上．其中所有正确结论的序号是________．
①②④
16．已知抛物线y＝－(x－m)2＋1与x轴的交点为A，B(点B在点A的右边)，与y轴的交点为C.
(1)写出m＝1时与抛物线有关的三个正确结论．
(2)当点B在原点的右边，点C在原点的下方时，是否存在△BOC为等腰三角形的情形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
　解：(1)正确的结论有：①顶点坐标为(1，1)；②图象开口向下；③图象的对称轴为直线x＝1；④函数有最大值1；⑤当x＜1时，y随x的增大而增大；⑥当x＞1时，y随x的增大而减小等(选答3个即可)
再 见