第一章 3 不等式 课时练习 -2021-2022学年高一上学期数学北师大版（2019）必修（第一册）（Word版，含解析）

1.3不等式
一、单选题（共15题）
1．若x＞y，且x+y=2，则下列不等式成立的是（　　）
A．x2＜y2 B． C．x2＞1 D．y2＜1
2．已知，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．6
3．若,则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
4．若，．则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
5．若，，则，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
6．如果，那么下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．已知，，则下列结论一定成立的是　　
A． B． C． D．
8．建设“学习强国”学习平台是贯彻落实习近平总书记关于加强学习、建设学习大国重要指示精神、推动全党大学习的有力抓手．某人近来加强学习，9月份的得分为，10月份的得分增长率为，11月份的得分增长率为，这两个月的得分的平均增长率为，增长率均以相邻的前一个月为参照，则（ ）
A．
B．
C．
D．
9．若，则的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．
10．若圆与圆内切，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
11．实数在数轴上的位置如图，则下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
12．“且”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
13．若对任意满足的正数，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
14．小王从甲地到乙地和从乙地到甲地的时速分别为和，其全程的平均时速为，则（ ）
A． B． C． D．
15．已知，，且，则的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．
二、填空题（共4题）
16．为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度（单位：）随时间（单位：）的变化关系为，则经过_______后池水中药品的浓度达到最大.
17．设a>0，若对于任意正数m，n，都有m+n=7，则满足的a的取值范围是___________.
18．已知正数满足，则的最大值为____.
19．已知向量，且，若，其中、且，则的最小值为______.
三、解答题（共5题）
20．（1）已知，求证：；
（2）已知，求证：；
（3）已知，求证：.
21．证明：，．
22．（1）已知，求的最小值；
（2）已知，且，求的最小值.
23．运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x≤100(单位：千米/时).假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时14元.
(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；
(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值.
24．(1)已知x,,求的最大值;
(2)求满足对a,有解的实数k的最大值,并说明理由.
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参考答案
1．C
【解析】
因为，且，所以，即，则；故选C.
2．B
【详解】
由已知得：，且，
∴当且仅当时等号成立.
故选：B.
3．C
【详解】
A选项，因为，则，若，则，则，故A错；
B选项，因为，则，故B错；
C选项，因为，所以，故C正确；
D选项，因为，所以，故D错；
故选C
4．B
【详解】
解：，
，，
，，，
，即，
所以选项A不正确，选项B正确；而选项C、选项D，由不等式的性质易判断不正确．
故选：B．
5．B
【详解】
，
.
故选：B.
6．D
【详解】
对于A，由可得，故A错误；
对于B，由可得，故B错误；
对于C、D，由可得，，故C错误，D正确.
故选：D．
7．B
【详解】
当，时，， 不成立，选项错误；
当，时，不成立，选项错误；
因为，，
，，
则，即成立，故选B．
8．B
【详解】
∵这两个月的得分的平均增长率为，
，，，.
，
∴，等号在，即时成立.
故选：B.
9．D
【详解】
解：∵0＜2x＜3，∴3﹣2x＞0，x＞0，
∴（3﹣2x）x（3﹣2x） 2x，
当且仅当3﹣2x＝2x，即x时取等号，
∴的最大值为．
故选D．
10．B
【详解】
圆,
即.所以圆心坐标为,半径为
圆,
即,所以圆心坐标为,半径为
因为两个圆相内切
所以圆心距等于半径差,即
所以
由不等式性质可得
所以的最大值为
故选:B
11．C
【详解】
由数轴可知：，
所以，
所以，故B正确.
，故D正确.
因为，
所以，故A正确.
因为，
所以故C错误.
故选：C
12．A
【详解】
当且时，根据不等式的性质，可得；
当时，不能推出且，比如取，.
所以“且”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
13．C
【详解】
若对任意满足的正数，都有成立，
则，
当且仅当即时等号成立，所以，
所以，即，即，解得或，
所以实数的取值范围是，
故选：C
14．B
【详解】
由题,,
由于,所以,即,所以,故,即
因为,所以,,
故
故选B
15．C
【详解】
，，配凑得：，
两边同时除以4得：，即，
令，，则，，，
所以
（当且仅当即时，等号成立）.
故选：C.
16．2
【详解】
C＝＝5
当且仅当且t＞0，即t＝2时取等号
考点：基本不等式，实际应用
17．[1，+∞）
【详解】
解：∵m+n=7，∴（m+1）+（n+1）=9，则
，
当且仅当，即m=2，n=5时取等号，
∴，∵a>0，∴a≥1，
∴a的取值范围是[1，+∞），
故答案为：[1，+∞）.
18．
【详解】
因为，所以，即；
因为，所以，当且仅当时，等号成立，
解得；
所以，当且仅当时，即时，
取到最大值.
故答案为：.
19．
【详解】
解：因为，且，且，
又、且
，当且仅当时取等号，
的最小值为，
故答案为：
20．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【详解】
证明：（1）因为，所以.
则.
（2）因为，所以.
又因为，所以
，
即，因此.
（3）因为，根据（2）的结论，得
.
又因为，
则 ，
即.
21．证明见解析
【详解】
证明：因为，，所以，，所以，即，所以，得证；
22．（1）；（2）.
【详解】
（1），，（当且仅当，即时取等号），
的最小值为；
（2），（当且仅当，即时取等号），
的最小值为.
23．(1) y＝＋x，x∈[50，100] (或y＝＋x，x∈[50，100]).(2) 当x＝18千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为26元.
【详解】
(1)设所用时间为t＝ (h)，
y＝×2×＋14×，x∈[50，100].
所以，这次行车总费用y关于x的表达式是y＝＋x，x∈[50，100]
(或y＝＋x，x∈[50，100]).
(2)y＝＋x≥26，
当且仅当＝x，
即x＝18时等号成立.
故当x＝18千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为26元.
24．(1) (2) .见解析
【详解】
(1)∵x,,
∴,
当且仅当时,对等号,
∴当时,的最大值为.
(2)∵a,,
∴设,,,,
∴,
∵满足对a,有解的实数k的最大值,
∴,
∴,解得,
∴满足对a,有解的实数k的最大值为.
答案第1页，共2页
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