2021-2022学年人教版数学八年级上册12.3.1 角的平分线的性质 教学课件（25张）

(共25张PPT)
八年级数学上册·人教版
第十二章 全等三角形
12.3.1 角的平分线的性质（一）
E
如图，洛阳市正在创建全国文明城市，涧西区政府打算修建一个立体停车场，要到两条公路AB、CD的距离相等，有人提议要把停车场建在∠AOC的角平分线OE上，他的建议合理吗？
动动脑
A
D
C
B
O
E
A
D
C
B
O
12.3.1角的平分线的性质(一)
1、角的平分线的概念
从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。
o
B
C
A
1
2
复习巩固
2、点到直线的距离的概念:
直线外一点
到这条直线的垂线段
的长度，
叫做点到直线的距离。
O
P
A
B
线段的长度
复习巩固
问题1：在练习本上画一个角，你能得到这个
角的平分线吗？
A
O
B
C
量角器度量，折纸
问题2：如果把前面的纸片换成木板、钢板等，还能用对折的方法得到木板、钢板的角平分线吗？
探究一
如图，是一个平分角的仪器，其中AB =AD，BC =DC.
A
B
D
C
E
证明：在△ACD和△ACB中，
AD = AB（已知），
DC = BC（已知），
AC = AC（公共边）
∴ △ACD≌ △ACB（SSS）．
∴∠CAD=∠CAB
（全等三角形的对应角相等）.
∴AC平分∠DAB（角平分线的定义）.
情景引入
将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两边放下，
沿AC 画一条射线AE，AE 就是∠DAB 的平分线．
你能说明它的道理吗？
从利用平分角的仪器画角的平分线的过程中，你受到哪些启发？如何利用直尺和圆规作一个角的平分线？
一、尺规作角的平分线
探索新知
A
B
D
C
E
A
B
O
M
N
C
作法： 1．以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N．
3．画射线OC．
射线OC即为所求．
　 2．分别以点M，N为圆心，大于　 MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点C．
已知：∠AOB
求作：∠AOB的平分线
知识要点
如图，OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的任意一点，
1. 操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作PD⊥OA，PE ⊥OB,点D、E为垂足，测量PD、PE的长.将三次数据填入下表：
2. 观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系，
写出结论：____________
PD PE
第一次
第二次
第三次
PD=PE
探究二
猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
验证猜想
题设：
一个点在一个角的平分线上．
结论：它到角的两边的距离相等．
已知：如图，OC是∠AOB的平分线,点P 在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB， 垂足分别为D，E．
求证：PD =PE．
1
2
证明: ∵OC是∠AOB的平分线
∴ ∠1= ∠2.
∵PD ⊥ OA，PE ⊥ OB，
∴ ∠PDO= ∠PEO=90°.
在△PDO和△PEO中，
∠PDO = ∠PEO ，
∠1 = ∠2，
OP = OP .
∴ △PDO ≌ △PEO（AAS）.
∴PD = PE .
1
2
已知：OC是∠AB的平分线，点P在OC上,
PD ⊥OA ， PE ⊥OB，垂足分别是D、E.
求证：PD =PE．
∵点P在∠AOB的平分线上，
PD⊥OA，PE⊥OB ，
∴PD=PE．
几何语言：
性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
知识要点
定理的作用：
证明线段相等.
二、角的平分线的性质
　　由角的平分线的性质的证明过程，你能概
括出证明几何命题的一般步骤吗？
（1）明确命题中的已知和求证；
（2）根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证；
（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程．
方法归纳
1.判一判：（1）∵ 如下左图，AD平分∠BAC（已知），
∴ = .
（在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）.
BD CD
×
B
A
D
C
(2)∵ 如上右图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）,
∴ = .
(在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等).
BD CD
×
B
A
D
C
学以致用
2.如图，AM是∠BAC的平分线，点P在AM上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是D、E，PD=4cm，则PE=______cm.
4
学以致用
B
A
C
P
M
D
E
3.如图，OC 平分∠AOB，点P 在OC 上，PD⊥OA，垂足为D．若PD =3cm，则点P 到OB 的距离为_______．
A
B
O
P
C
D
3cm
E
学以致用
E
如图，洛阳市正在创建全国文明城市，涧西区政府打算修建一个立体停车场，要到两条公路AB、CD的距离相等，有人提议要把停车场建在∠AOC的角平分线OE上，他的建议合理吗？
集思广益
A
D
C
B
O
E
A
D
C
B
O
F
N
M
例题: 如图，△ABC中，BD = CD，AD 是∠BAC 的平分线， DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．求证：EB =FC．
A
B
C
D
E
F
学以致用
证明：∵AD是∠BAC 的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE = DF ∠DEB = ∠DFC=90° .
在Rt△DEB和Rt△DFC中，
BD = CD ,
DE=DF.
∴Rt△DEB ≌Rt△DFC（HL）.
∴EB = FC.
随堂练习
1.用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图
如图所示，则能说明∠AOC＝∠BOC的依据是( ) A．SSS
B．ASA
C．AAS
D．角的平分线上的点到角的两边的距离相等
A
随堂练习
2.如图，在△ABC中,∠C=90°,DE⊥AB,∠1=∠2,
且AC=6cm,那么线段BE是△ABC的　　 　,
AE+DE=　　　。
角平分线
6cm
1
2
A
B
E
D
C
随堂练习
3.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
垂足为E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，
则AC的长是(　　)
A．6 B．5 C．4 D．3
B
C
E
A
D
F
D
解析：过点D作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC的角平分线，
DE⊥AB，
∴DF＝DE＝2，
解得AC＝3.
角平分线
尺规
作图
属于基本作图，必须熟练掌握
性质定理
角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
辅助线
添加
过角平分线上一点向两边
作垂线段
归纳小结
作业：
课下练习
　1. 如图，△ABC 的角平分线BM，CN 相交于点
P．求证：点P到三边AB，BC，CA 的距离相等．
A
B
C
P
M
N
2. 习题12.3 第4、5、7题
本节课结束
同学们，再见！