2021-2022学年华东师大版数学九年级下册27.1.2 圆的对称性 - 垂径定理 课件（30张）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年华东师大版数学九年级下册27.1.2 圆的对称性 - 垂径定理 课件（30张） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 929.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-11-15 14:24:51 | ||
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文档简介
(共30张PPT)
——垂径定理及其推论
垂径定理及其推论
【教学目标】
1．知识目标：①通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性；
②掌握垂径定理，理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题；
③掌握辅助线的作法——过圆心作一条与弦垂直的线段。
2．能力目标：①通过定理探究，培养学生观察、分析、逻辑思维和归纳概括能力；
②向学生渗透“由特殊到一般，再由一般到特殊”的基本思想方法。
3．情感目标：①结合本课教学特点，向学生进行爱国主义教育和美育渗透；
②激发学生探究、发现数学问题的兴趣和欲望。
教学重点：
垂径定理及其应用
教学难点：
垂径定理的证明
知识回顾
圆是轴对称图形吗？它有多少条对称轴？
它有无数条对称轴
经过圆心的每一条直线都是它的对称轴
圆的轴对称性
我们用类似于研究圆心角定理的方法，利用圆的轴对称性来研究圆的另一个重要定理
·
O
A
B
D
C
E
CD是以点O为圆心的直径，过直径上任一点E作弦AB⊥CD，将圆0沿CD对折，观察弦和弧的变化
[观察篇]
[发现篇]
猜想 ：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
即：如果CD过圆心，且垂直于AB，则AE=BE，弧AD=弧BD，弧AC=弧BC
垂直于弦的直径
[验证篇]
⌒
证明：连结OA、OB，则OA＝OB。因为垂直于弦AB的直径CD所在的直线既是等腰三角形OAB的对称轴又是⊙O的对称轴。所以，当把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，A点和B点重合，
AE和BE重合，AC、AD分别和BC、BD重合。因此
AE＝BE，弧AC＝弧BC，弧AD＝弧BD，即直径CD平分弦AB，并且平分弧AB及弧ACB
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E。
求证：AE＝BE， AC ＝BC,AD ＝ BD。
⌒
⌒
⌒
⌒
叠合法
·
O
A
B
C
D
E
[结论篇]
垂径定理:垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
即：如果CD过圆心，且垂直于AB，则AE=BE，弧AD=弧BD，弧AC=弧BC
注意:过圆心和垂直于弦两个条件缺一不可。
O
E
D
C
B
A
画图叙述垂径定理，并说出定理的题设和结论。
题设
结论
①直线CD经过圆心O
②直线CD垂直弦AB
③直线CD平分弦AB
④直线CD平分弧ACB
⑤直线CD平分弧AB
想一想：如果将题设和结论中的5个条件适当互换，情况会怎样？
① ③
②④⑤
② ③
① ④⑤
① ④
②③ ⑤
②④
① ③ ⑤
①②⑤
①②④
④⑤
①②③
③④
③
⑤
知二推三
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧。
知二推三
注:①“平分弦的直径垂直于弦”这个推论中弦一定是非直径的弦(因为任何两条直径都互相平分);
②垂径定理反映出圆是轴对称图形这一特性，这是证明线段、角相等以及垂直关系的重要依据;
③垂径定理的结论有三个:直径平分弦，直径平分弦所对的优弧，直径平分弦所对的劣弧.连同两个题设共计五个结论，如果以其中任意两个作为已知，那么其余三个都是成立的;
④解决圆有关弦的问题，经常过圆心作弦的垂线，以便应用垂径定理解题，一般利用圆心到弦的距离(弦心距)、过弦的端点的半径、弦长的一半构成直角三角形,将计算线段的问题转化为解直角三角形的问题。
注意：定理中的两个条件（直径（过圆心），垂直于弦）缺一不可！
例题讲解
例1.如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分．如果M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E，并且CD＝4，EM＝6，求⊙O的半径．
【分析】因为M是⊙O弦CD的中点，根据垂径定理，EM⊥CD，则CM＝DM＝2，在Rt△COM中，有OC2＝CM2+OM2，进而可求得半径OC．
．
【解答】解：连接OC
∵M是⊙O弦CD的中点，
根据垂径定理：EM⊥CD，
设圆的半径是x米，
在Rt△COM中，有OC2＝CM2+OM2，
即：x2＝22+(6﹣x)2，
例题讲解
例2．⊙O中，直径AB和弦CD相交于点E，已知AE＝1cm，EB＝5cm，且∠DEB＝60°，求CD的长．
【分析】作OP⊥CD于P，连接OD，根据正弦的定义求出OP，根据勾股定理求出PD，根据垂径定理计算．
【解答】解：作OP⊥CD于P，连接OD，
∴CP＝PD，
∵AE＝1，EB＝5，
∴AB＝6，∴OE＝2，
例题讲解
变式练习
在Rt△OPE中，OP＝OE sin∠DEB＝ ，
∴PD＝ ＝ ，
∴CD＝2PD＝2 （cm）．
【点评】本题考查的是垂径定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．
1．下列命题中正确的是（ ）
A．弦的垂线平分弦所对的弧 B．平分弦的直径垂直于这条弦
C．过弦中点的直线必过圆心 D．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦
D
变式练习
C
2．如图，△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝2，以A为圆心AB为半径作圆A，延长BC交圆A于点D，则CD长为（ ）
A．5 B．4 C． D．2
3．如图，在⊙O中，直径AB＝10，弦DE⊥AB于点C，若OC：OB＝3：5，连接DO，则DE的长为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
D
变式练习
20
12或4
5.如图是水平放置的水管截面示意图，已知水管的半径为50cm，水面宽AB＝80cm，则水深CD约为 cm．
4．AB是⊙O的弦，OM⊥AB，垂足为M，连接OA．若△AOM中有一个角是30°，OM＝2 ，则弦AB的长为 ．
例题讲解
例3.如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD．
（1）求证：E是OB的中点；
（2）若AB＝16，求CD的长．
【分析】（1）要证明：E是OB的中点，只要求证
即证明∠OCE＝30°即可．
（2）在直角△OCE中，根据勾股定理就可以解得CE
的长，进而求出CD的长．
【解答】（1）证明：连接AC，如图
∵直径AB垂直于弦CD于点E，
∴AC＝AD，
∵过圆心O的线CF⊥AD，
∴AF＝DF，即CF是AD的中垂线，
∴AC＝CD，
∴AC＝AD＝CD．即：△ACD是等边三角形，
∴∠FCD＝30°，
∴点E为OB的中点；
在Rt△COE中，
例题讲解
（2）解：在Rt△OCE中，AB＝16，
又∵BE＝OE，
∴OE＝4，
【点评】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的
关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
1、对垂径定理的理解 (1)证明定理的方法——“叠合法”
(2)定理是解决有关弦的问题的重要方法 (3)定理中反映的弦的中点，弦所对的两条弧的中点都集中在“垂直于弦的直径”上。圆、弦又关于直径所在的直线对称。
2、关于垂径定理的运用 (1)辅助线的常用作法 (2)注意把问题化为解直角三角形的问题
教学反思：
垂径定理是圆的重要性质之一，也是全章的基础之一，在整章中占有举足轻重的地位，是今后研究圆与其他图形位置关系和数量关系的基础，这些知识在日常生活和生产中有广泛的应用。由于垂径定理及其推论反映了圆的重要性质，是证明线段相等、角相等、垂直关系的重要依据，因此，它是整节书的重点及难点
课后作业
C
B
C
1.如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于E，则
①∠COE＝∠DOE，②CE＝DE，
其中正确的结论是（ ）
A．①②④ B．②③④ C．①②③④ D．①②
2.如图，在⊙O中，弦AB的长为16cm，圆心O到AB的距离为6cm，则⊙O的半径是（ ）
A．6cm B．10cm C．8cm D．20cm
3.如图，已知⊙O的直径AB⊥弦CD于点E，下列结论中一定正确的是（ ）
A．AE＝OE B．∠AOC＝60° C．CE＝DE D．OE＝ CE
课后作业
B
A
7.5
5.如图，坐标平面上，A、B两点分别为圆P与x轴y轴的交点，有一直线L通过P点且与AB垂直，C点为L与y轴的交点．若A、B、C的坐标分别为（a，0），（0，4），（0，﹣5），其中a＜0，则a的值为何？（ ）
4.点P是⊙O内一点，过点P的最长弦的长为10cm，最短弦的长为6cm，则OP的长为（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm、
6.把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝12cm，则球的半径为 cm．
课后作业
1或7
7.已知⊙O的直径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝8cm，CD＝6cm，则AB与CD之间的距离为 cm．
8．如图，AB为⊙O的直径，CD为弦，过A、B分别作
AE⊥CD、BF⊥CD，分别交直线CD于E、F．
（1）求证：CE＝DF；
（2）若AB＝20cm，CD＝10cm，求AE+BF的值．
【分析】（1）过点O作OG⊥CD于G，AE∥OG∥BF，
根据平行线分线段成比例定理与垂径定理即可证明；
（2）OG是直角梯形ABFE的中位线，则AE+BF=2OG，
连接OC，根据勾股定理和垂径定理即可求得OG的长，进而求解．
【解答】（1）证明：过点O作OG⊥CD于G，
∵AE⊥EF，OG⊥EF，BF⊥EF，
∴AE∥OG∥BF，
又∵OA＝OB，
课后作业
∴GE＝GF，
∵OG过圆心O，OG⊥CD，
∴CG＝GD，
∴EG﹣CG＝GF﹣GD，
即CE＝DF；
∵OG过圆心O，OG⊥CD，
【点评】本题主要考查了垂径定理的应用，利用垂径
定理可以把求弦长或圆心角的问题转化为解直角三角形的问题．
课后作业
9．一座桥，桥拱是圆弧形（水面以上部分），测量时只测
到桥下水面宽AB为16m（如图），桥拱最高处离水面4m．
（1）求桥拱半径；
（2）若大雨过后，桥下面河面宽度为12m，问水面涨高了多少？
【分析】已知到桥下水面宽AB为16m，即是已知圆的弦长，已知桥拱最高处离水面4m，就是已知弦心距，可以利用垂径定理转化为解直角三角形的问题
【解答】解：（1）如图所示，设点O为AB的圆心，
设⊙O半径为xm，则在Rt△AOD中，
OA2＝AD2+OD2，即x2＝82+(x-4)2，
解得x＝10，所以桥拱的半径为10m；
课后作业
【点评】上涨高度即是弦心距的差．是正确解本题的关键．
（2）设河水上涨到EF位置（如图所示），
这时EF＝12m，EF∥AB，有OC⊥EF（垂足为M），
连接OE，则有OE＝10m，
OD＝OC﹣CD＝10﹣4＝6（m），
DM＝OM﹣OD＝8﹣6＝2（m）．
课后作业
10.如图，∠C＝90°，以AC为半径的圆C与AB相交于
点D．若AC＝3，CB＝4，求BD长．
【分析】根据勾股定理求得AB的长，再点C作
CE⊥AB于点E，由垂径定理得出AE，即可得出BD长．
【解答】解：（1）∵在三角形ABC中，
∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
过点C作CE⊥AB于点E，则AD＝2AE，
∵∠CAE＝∠CAB，∠AEC＝∠ACB＝90°，
∴△ACE∽△ABC，
∴AC2＝AE AB，即32＝AE×5
∴AE＝1.8，
∴AD＝2AE＝2×1.8＝3.6
∴BD＝AB﹣AD＝5﹣3.6＝1.4．
【点评】本题考查了垂径定理以及勾股定理，熟练掌
握垂径定理、勾股定理的具体内容是解题的关键．
——垂径定理及其推论
垂径定理及其推论
【教学目标】
1．知识目标：①通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性；
②掌握垂径定理，理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题；
③掌握辅助线的作法——过圆心作一条与弦垂直的线段。
2．能力目标：①通过定理探究，培养学生观察、分析、逻辑思维和归纳概括能力；
②向学生渗透“由特殊到一般，再由一般到特殊”的基本思想方法。
3．情感目标：①结合本课教学特点，向学生进行爱国主义教育和美育渗透；
②激发学生探究、发现数学问题的兴趣和欲望。
教学重点：
垂径定理及其应用
教学难点：
垂径定理的证明
知识回顾
圆是轴对称图形吗？它有多少条对称轴？
它有无数条对称轴
经过圆心的每一条直线都是它的对称轴
圆的轴对称性
我们用类似于研究圆心角定理的方法，利用圆的轴对称性来研究圆的另一个重要定理
·
O
A
B
D
C
E
CD是以点O为圆心的直径，过直径上任一点E作弦AB⊥CD，将圆0沿CD对折，观察弦和弧的变化
[观察篇]
[发现篇]
猜想 ：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
即：如果CD过圆心，且垂直于AB，则AE=BE，弧AD=弧BD，弧AC=弧BC
垂直于弦的直径
[验证篇]
⌒
证明：连结OA、OB，则OA＝OB。因为垂直于弦AB的直径CD所在的直线既是等腰三角形OAB的对称轴又是⊙O的对称轴。所以，当把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，A点和B点重合，
AE和BE重合，AC、AD分别和BC、BD重合。因此
AE＝BE，弧AC＝弧BC，弧AD＝弧BD，即直径CD平分弦AB，并且平分弧AB及弧ACB
⌒
⌒
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已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E。
求证：AE＝BE， AC ＝BC,AD ＝ BD。
⌒
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⌒
⌒
叠合法
·
O
A
B
C
D
E
[结论篇]
垂径定理:垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
即：如果CD过圆心，且垂直于AB，则AE=BE，弧AD=弧BD，弧AC=弧BC
注意:过圆心和垂直于弦两个条件缺一不可。
O
E
D
C
B
A
画图叙述垂径定理，并说出定理的题设和结论。
题设
结论
①直线CD经过圆心O
②直线CD垂直弦AB
③直线CD平分弦AB
④直线CD平分弧ACB
⑤直线CD平分弧AB
想一想：如果将题设和结论中的5个条件适当互换，情况会怎样？
① ③
②④⑤
② ③
① ④⑤
① ④
②③ ⑤
②④
① ③ ⑤
①②⑤
①②④
④⑤
①②③
③④
③
⑤
知二推三
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧。
知二推三
注:①“平分弦的直径垂直于弦”这个推论中弦一定是非直径的弦(因为任何两条直径都互相平分);
②垂径定理反映出圆是轴对称图形这一特性，这是证明线段、角相等以及垂直关系的重要依据;
③垂径定理的结论有三个:直径平分弦，直径平分弦所对的优弧，直径平分弦所对的劣弧.连同两个题设共计五个结论，如果以其中任意两个作为已知，那么其余三个都是成立的;
④解决圆有关弦的问题，经常过圆心作弦的垂线，以便应用垂径定理解题，一般利用圆心到弦的距离(弦心距)、过弦的端点的半径、弦长的一半构成直角三角形,将计算线段的问题转化为解直角三角形的问题。
注意：定理中的两个条件（直径（过圆心），垂直于弦）缺一不可！
例题讲解
例1.如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分．如果M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E，并且CD＝4，EM＝6，求⊙O的半径．
【分析】因为M是⊙O弦CD的中点，根据垂径定理，EM⊥CD，则CM＝DM＝2，在Rt△COM中，有OC2＝CM2+OM2，进而可求得半径OC．
．
【解答】解：连接OC
∵M是⊙O弦CD的中点，
根据垂径定理：EM⊥CD，
设圆的半径是x米，
在Rt△COM中，有OC2＝CM2+OM2，
即：x2＝22+(6﹣x)2，
例题讲解
例2．⊙O中，直径AB和弦CD相交于点E，已知AE＝1cm，EB＝5cm，且∠DEB＝60°，求CD的长．
【分析】作OP⊥CD于P，连接OD，根据正弦的定义求出OP，根据勾股定理求出PD，根据垂径定理计算．
【解答】解：作OP⊥CD于P，连接OD，
∴CP＝PD，
∵AE＝1，EB＝5，
∴AB＝6，∴OE＝2，
例题讲解
变式练习
在Rt△OPE中，OP＝OE sin∠DEB＝ ，
∴PD＝ ＝ ，
∴CD＝2PD＝2 （cm）．
【点评】本题考查的是垂径定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．
1．下列命题中正确的是（ ）
A．弦的垂线平分弦所对的弧 B．平分弦的直径垂直于这条弦
C．过弦中点的直线必过圆心 D．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦
D
变式练习
C
2．如图，△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝2，以A为圆心AB为半径作圆A，延长BC交圆A于点D，则CD长为（ ）
A．5 B．4 C． D．2
3．如图，在⊙O中，直径AB＝10，弦DE⊥AB于点C，若OC：OB＝3：5，连接DO，则DE的长为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
D
变式练习
20
12或4
5.如图是水平放置的水管截面示意图，已知水管的半径为50cm，水面宽AB＝80cm，则水深CD约为 cm．
4．AB是⊙O的弦，OM⊥AB，垂足为M，连接OA．若△AOM中有一个角是30°，OM＝2 ，则弦AB的长为 ．
例题讲解
例3.如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD．
（1）求证：E是OB的中点；
（2）若AB＝16，求CD的长．
【分析】（1）要证明：E是OB的中点，只要求证
即证明∠OCE＝30°即可．
（2）在直角△OCE中，根据勾股定理就可以解得CE
的长，进而求出CD的长．
【解答】（1）证明：连接AC，如图
∵直径AB垂直于弦CD于点E，
∴AC＝AD，
∵过圆心O的线CF⊥AD，
∴AF＝DF，即CF是AD的中垂线，
∴AC＝CD，
∴AC＝AD＝CD．即：△ACD是等边三角形，
∴∠FCD＝30°，
∴点E为OB的中点；
在Rt△COE中，
例题讲解
（2）解：在Rt△OCE中，AB＝16，
又∵BE＝OE，
∴OE＝4，
【点评】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的
关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
1、对垂径定理的理解 (1)证明定理的方法——“叠合法”
(2)定理是解决有关弦的问题的重要方法 (3)定理中反映的弦的中点，弦所对的两条弧的中点都集中在“垂直于弦的直径”上。圆、弦又关于直径所在的直线对称。
2、关于垂径定理的运用 (1)辅助线的常用作法 (2)注意把问题化为解直角三角形的问题
教学反思：
垂径定理是圆的重要性质之一，也是全章的基础之一，在整章中占有举足轻重的地位，是今后研究圆与其他图形位置关系和数量关系的基础，这些知识在日常生活和生产中有广泛的应用。由于垂径定理及其推论反映了圆的重要性质，是证明线段相等、角相等、垂直关系的重要依据，因此，它是整节书的重点及难点
课后作业
C
B
C
1.如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于E，则
①∠COE＝∠DOE，②CE＝DE，
其中正确的结论是（ ）
A．①②④ B．②③④ C．①②③④ D．①②
2.如图，在⊙O中，弦AB的长为16cm，圆心O到AB的距离为6cm，则⊙O的半径是（ ）
A．6cm B．10cm C．8cm D．20cm
3.如图，已知⊙O的直径AB⊥弦CD于点E，下列结论中一定正确的是（ ）
A．AE＝OE B．∠AOC＝60° C．CE＝DE D．OE＝ CE
课后作业
B
A
7.5
5.如图，坐标平面上，A、B两点分别为圆P与x轴y轴的交点，有一直线L通过P点且与AB垂直，C点为L与y轴的交点．若A、B、C的坐标分别为（a，0），（0，4），（0，﹣5），其中a＜0，则a的值为何？（ ）
4.点P是⊙O内一点，过点P的最长弦的长为10cm，最短弦的长为6cm，则OP的长为（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm、
6.把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝12cm，则球的半径为 cm．
课后作业
1或7
7.已知⊙O的直径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝8cm，CD＝6cm，则AB与CD之间的距离为 cm．
8．如图，AB为⊙O的直径，CD为弦，过A、B分别作
AE⊥CD、BF⊥CD，分别交直线CD于E、F．
（1）求证：CE＝DF；
（2）若AB＝20cm，CD＝10cm，求AE+BF的值．
【分析】（1）过点O作OG⊥CD于G，AE∥OG∥BF，
根据平行线分线段成比例定理与垂径定理即可证明；
（2）OG是直角梯形ABFE的中位线，则AE+BF=2OG，
连接OC，根据勾股定理和垂径定理即可求得OG的长，进而求解．
【解答】（1）证明：过点O作OG⊥CD于G，
∵AE⊥EF，OG⊥EF，BF⊥EF，
∴AE∥OG∥BF，
又∵OA＝OB，
课后作业
∴GE＝GF，
∵OG过圆心O，OG⊥CD，
∴CG＝GD，
∴EG﹣CG＝GF﹣GD，
即CE＝DF；
∵OG过圆心O，OG⊥CD，
【点评】本题主要考查了垂径定理的应用，利用垂径
定理可以把求弦长或圆心角的问题转化为解直角三角形的问题．
课后作业
9．一座桥，桥拱是圆弧形（水面以上部分），测量时只测
到桥下水面宽AB为16m（如图），桥拱最高处离水面4m．
（1）求桥拱半径；
（2）若大雨过后，桥下面河面宽度为12m，问水面涨高了多少？
【分析】已知到桥下水面宽AB为16m，即是已知圆的弦长，已知桥拱最高处离水面4m，就是已知弦心距，可以利用垂径定理转化为解直角三角形的问题
【解答】解：（1）如图所示，设点O为AB的圆心，
设⊙O半径为xm，则在Rt△AOD中，
OA2＝AD2+OD2，即x2＝82+(x-4)2，
解得x＝10，所以桥拱的半径为10m；
课后作业
【点评】上涨高度即是弦心距的差．是正确解本题的关键．
（2）设河水上涨到EF位置（如图所示），
这时EF＝12m，EF∥AB，有OC⊥EF（垂足为M），
连接OE，则有OE＝10m，
OD＝OC﹣CD＝10﹣4＝6（m），
DM＝OM﹣OD＝8﹣6＝2（m）．
课后作业
10.如图，∠C＝90°，以AC为半径的圆C与AB相交于
点D．若AC＝3，CB＝4，求BD长．
【分析】根据勾股定理求得AB的长，再点C作
CE⊥AB于点E，由垂径定理得出AE，即可得出BD长．
【解答】解：（1）∵在三角形ABC中，
∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
过点C作CE⊥AB于点E，则AD＝2AE，
∵∠CAE＝∠CAB，∠AEC＝∠ACB＝90°，
∴△ACE∽△ABC，
∴AC2＝AE AB，即32＝AE×5
∴AE＝1.8，
∴AD＝2AE＝2×1.8＝3.6
∴BD＝AB﹣AD＝5﹣3.6＝1.4．
【点评】本题考查了垂径定理以及勾股定理，熟练掌
握垂径定理、勾股定理的具体内容是解题的关键．