2021--2022学年人教版九年级数学上册22.1二次函数的图像和性质同步习题

22.1二次函数的图像和性质---2021--2022学年人教版（2012）九年级上学期
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题
1．下列函数中不属于二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如果是关于x的二次函数，则m的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．全体实数
3．若二次函数y=ax2+1的图象经过点（-2，0），则关于x的方程a（x-2）2+1=0的实数根为（　　）
A．， B．，
C．， D．，
4．苹果熟了，从树上落下所经过的路线s与下落的时间t满足s=（g是不为0的常数），则s与t的函数图象大致是（ ）
A． B． C． D．
5．函数y=ax2(a≠0)的图象经过点(a，8)，则a的值为（）
A．±2 B．－2 C．2 D．3
6．抛物线y=2x2﹣4的顶点坐标是（ ）
A．（1，﹣2） B．（0，﹣2） C．（1，﹣3） D．（0，﹣4）
7．某车的刹车距离y（m）与开始刹车时的速度x（m/s）之间满足二次函数（x＞0），若该车某次的刹车距离为5 m，则开始刹车时的速度为（ ）
A．40 m/s B．20 m/s
C．10 m/s D．5 m/s
8．抛物线的顶点坐标是（ ）
A．（3，-5） B．（-3,5） C．（3,5） D．（-3，-5）
9．对于二次函数y=(x-1)2+2的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是x=-1 C．顶点坐标是(1，2) D．与x轴有两个交点
10．要得到抛物线，可以将抛物线 （ ）．
A．向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度
B．向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度
C．向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度
D．向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度
11．若二次函数y＝－x2＋bx＋c中函数v与自变量x之间的部分对应值如下表
点A（x1，y1）、点B（x2，y2）在该函数图象上，当0＜x1＜1，2＜x2＜3，y1与y2的大小关系是（ ）
A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1≤y2 D．y1≥y2
12．将二次函数化成的形式为（ ）
A． B．
C． D．
13．二次函数,当时，则( )
A． B． C． D．
14．抛物线的图像如图所示，则下列说法中：①；②；③方程没有实数根；④（为任意实数），正确的有（ ）个
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
评卷人得分
二、填空题
15．将的图像先向左平移2个单位，再向下平移5个单位，则最终所得的函数图像表达式为________．
16．如果点与点在抛物线（，，是常数，）上，那么该抛物线的对称轴为直线__________．
17．已知二次函数的图象经过（0,0），（1,2），（－1，－4）三点，那么这个二次函数的解析式是__________．
18．某商店从厂家以每件元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价，若每件商品的售价为元，则可卖出件，那么卖出商品所赚钱元与售价元之间的函数关系为________．
评卷人得分
三、解答题
19．如图，二次函数的图象经过、、三点．
（1）观察图象写出、、三点的坐标，并求出此二次函数的解析式；
（2）求出此抛物线的顶点坐标和对称轴．
20．如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于，两点．
（1）求，的值；
（2）求点的坐标；
（3）求．
21．如图，抛物线经过A(－2，0)，B(－，0)，C(0，2)三点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)在直线AC下方的抛物线上有一点D，使得△DCA的面积最大，求点D的坐标．
22．已知二次函数中，函数与自变量的部分对应值如下表：
（1）求该二次函数的关系式；
（2）若，两点都在该函数的图象上，试比较与的大小．
23．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，连接BC交抛物线的对称轴于点E、D是抛物线的顶点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求点C和点D的坐标．
24．如图，已知二次函数的图象经过，两点．
（1）求该抛物线的解析式及对称轴；
（2）当为何值时，？
（3）在轴上方作平行于轴的直线，与抛物线交于，两点（点在对称轴的左侧），过点，作轴的垂线，垂足分别为，．当矩形为正方形时，求点的坐标．
25．已知m,n是方程x2－6x+5=0的两个实数根，且my=－x2+bx+c的图象经过点A(m,0)、B(0,n)．
(1)求这个抛物线的解析式；
(2)设（1）中抛物线与x轴的另一交点为C,抛物线的顶点为D，试求出点C、D的坐标和△BCD的面积；
(3)P是线段OC上的一点，过点P作PH⊥x轴，与抛物线交于H点，若直线BC把△PCH分成面积之比为2：3的两部分，请求出P点的坐标．
试卷第1页，共3页
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参考答案
1．C
解：A、y＝（x+1）（x﹣2）是二次函数，故此选项不合题意；
B、是二次函数，故此选项不合题意；
C、y＝2（x+2）2﹣2x2＝8x+8不是二次函数，故此选项符合题意；
D、y＝1﹣x2是二次函数，故此选项不合题意；
故选：C．
2．A
解：∵是关于x的二次函数，
∴m-2≠0，即m≠2，
故选A．
3．A
解：∵二次函数y=ax2+1的图象经过点（-2，0），
∴4a+1=0，
∴a=-，
∴方程a（x-2）2+1=0为：方程-（x-2）2+1=0，
解得：x1=0，x2=4，
故选：A．
4．B
解：由
可得：是的二次函数，且函数图像经过原点，图像的开口向上，
所以：错误，正确，错误，
故选：
5．C
【解析】
把点(a，8)代入：y=ax2得：a3=8，解得：a=2.
故选C.
6．D
解：抛物线y=x2﹣4的顶点坐标为（0，﹣4）．
故选D．
7．C
【解】
当y=5时，则，解之得（负值舍去），故选C
8．C
解：已知抛物，
则抛物线的顶点坐标是 （3，5）；
故选：C．
9．C
解：二次函数y=（x-1）2+2的图象开口向上，顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x=1，抛物线与x轴没有公共点．
故选：C．
10．B
解：∵y=2（x-4）2-1的顶点坐标为（4，-1），y=2x2的顶点坐标为（0，0），
∴将抛物线y=2x2向右平移4个单位，再向下平移1个单位，可得到抛物线y=2（x-4）2-1．
故选：B．
11．A
解：根据图表知，当x=1和x=3时，所对应的y值都是2，
∴抛物线的对称轴是直线x=2，
∵a=-1，
∴该二次函数的图象的开口方向是向下；
∵0＜x1＜1，2＜x2＜3，
∴A点离对称轴的距离大于B点离对称轴的距离，
∴y1＜y2．
故选：A．
12．C
【解】
故选：C．
13．D
【解】
∵=，
∴当x=1时，y有最大值5；
当x=-1时，y==1；
当x=2时，y==4；
∴当时，；
故选D.
14．B
解：∵=-1,
∴b=2a,∴2a-b=0.故①错误；
∵x=1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，
∴a+2a+c＜0，即3a+c＜0，
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∴b＜0，
∴3a+2b+c＜0，所以②正确；
∵
∴
∴
∵<2
∴无解.
即方程没有实数根；
故③正确；
∵当x=-1时，,
∴,
∴,
∴,
故④错误.
故选B.
15．y=-2（x+1）2+1y=2x2+4x+3
解：y=-2（x-1）2+6的图象先向左平移2个单位，再向下平移5个单位，则最终所得图象的函数表达式为y=-2（x-1+2）2+6-5，即y=-2（x+1）2+1．
故答案是：y=-2（x+1）2+1．
16．x=4
解：∵点A（2，-4）与点B（6，-4）的纵坐标相等，
∴点A、B关于抛物线对称轴对称，
∴抛物线的对称轴为直线x==4．
故答案为：x=4．
17．y=" -" x2+3x
【解】
：设y＝ax2＋bx＋c，把点（0,0），（1,2），（－1，－4）代入可得：，解得，所以y= -x2+3x．
18．
解：由题意得：每件商品的盈利为：元，
所以：
故答案为：
19．解：（1）根据二次函数的图象可知：，，，
把，，代入可得，
解得，
即二次函数的解析式为．
（2）化为顶点式为；
抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线．
20．【解】
（1）二次函数与一次函数的图象相交于，
则，解得
，解得
二次函数解析式为：
一次函数解析式为：
（2）由题意可知，已知二次函数与一次函数的图象相交于，两点
联立
解得
（3）设直线与轴的交点为,如图，
由，令，解得
，
21．【解】
(1) ∵该抛物线过点C(0，2)，
∴设抛物线解析式为y＝ax2＋bx＋2.
将A(－2，0)，B(－，0)代入，得
解得
∴设该抛物线的解析式为y＝2x2＋5x＋2.
(2) 设直线AC的解析式为y＝kx＋b
将A(－2，0)，B(0，2)代入得
∴直线AC的解析式为y＝x＋2.
设D点的横坐标为t(－2＜t＜0)，则D点的纵坐标为2t2＋5t＋2.
过D作y轴的平行线交AC于E，则E点的坐标为(t，t＋2)．
∴DE＝(t＋2)－(2t2＋5t＋2)＝－2t2－4t，
用h表示点C到线段DE所在直线的距离，
∴S△DCA＝S△CDE＋S△ADE
＝DE·h＋DE·(2－h)
＝DE·2
＝－2t2－4t
＝－2(t＋1)2＋2.
∵－2＜t＜0，
∴当t＝－1时，△DCA面积最大，此时点D的坐标为(－1，－1)．
22．【解】根据题意，当时，；当时，；
解得：，该二次函数关系式为；
（2），两点都在函数的图象上，
，
，
①当，即时，；
②当，即时，；
③当，即时，．
23．【解】（1）由点A（﹣1，0）和点B（3，0）得
，
解得：，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3；
（2）对于抛物线y=﹣x2+2x+3，令x=0，得到y=3，
∴C（0，3），
∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点D（1，4）．
24．解：（1）二次函数的图象经过，两点．
，
解得：，
，
，
，
，
对称轴为：直线．
（2）当，
，
，
，，
抛物线与轴交点坐标为：，，，，
当时，；
（3）当矩形为正方形时，
假设点坐标为，
点坐标为，，
即：，，
对称轴为：直线，到对称轴距离等于到对称轴距离相等，
，
解得：，（不合题意舍去），
时，，
点坐标为：．
25．解析：(1)、解方程x2－6x+5=0，得x1=5,x2=1.由m所以点A、B的坐标分别为A（1，0）,B（0，5）．将A（1，0）,B（0，5）的坐标分别代入y=－x2+bx+c,
得解这个方程组得
所以，抛物线的解析式为y=－x2－4x+5.
(2)、由y=－x2－4x+5，令y=0，得－x2－4x+5=0，解这个方程得x1=－5,x2=1,
所以C点的坐标为（－5，0）．由顶点坐标公式计算得点D（－2，9）．
过D作x轴的垂线交x轴于M．则S△DMC=×9×(5－2)=，
S梯形MDBO=×2×(9+5)=14，S△BOC=×5×5=，
所以，S△BCD=S梯形MDBO+S△DMC－S△BOC=14+－=15．
(3)、设P点的坐标为（a,0），
因为线段BC过B、C两点，所以BC所在的直线方程为y=x+5．
那么，PH与直线BC的交点坐标为E(a,a+5)，
PH与抛物线y=－x2－4x+5的交点坐标为H(a,－a2－4a+5)．
由题意，得①EH=EP，即(－a2－4a+5)－(a+5)=(a+5).
解这个方程，得a=－或a=－5（舍去）.
②EH=EP，即(－a2－4a+5)－(a+5)=(a+5)，
解这个方程,得a=－或a=－5（舍去），
∴P点的坐标为(－,0)或(－,0)．