2021－2022学年北师大版七年级上册数学第五章 一元一次方程 期中复习培优综合试题（word版含答案）

一元一次方程培优综合试题
一、单选题
1.（2019七上·南开期中）阅读：关于x方程ax=b在不同的条件下解的情况如下：（1）当a≠0时，有唯一解x= ；（2）当a=0，b=0时有无数解；（3）当a=0，b≠0时无解．请你根据以上知识作答：已知关于x的方程 a= ﹣ （x﹣6）无解，则a的值是（ ）
A. 1 B. ﹣1 C. ±1 D. a≠1
2.若方程： 的解互为相反数，则a的值为（ ）
A. B. C. D. -1
3.超市推出如下优惠方案：（1）一次性购物不超过100元，不享受优惠；（2）一次性购物超过100元，但不超过300元一律9折；（3）一次性购物超过300元一律8折．王波两次购物分别付款80元、252元，如果他将这两次所购商品一次性购买，则应付款（　　）
A. 288元 B. 332元 C. 288元或316元 D. 332元或363元
4.小华在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数弄脏了而看不清楚，被弄脏的方程是 .( - ＋x)＝1－ ， 这该怎么办呢？他想了一想，然后看了一下书后面的答案，知道此方程的解是x＝5，于是，他很快便补好了这个常数，并迅速地做完了作业。同学们，你能补出这个常数吗？它应该是（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
二、填空题
5.（2021九上·温州开学考）若关于x的方程 的解为x=-2，那么关于x的方程 的解是
6.（2021·建湖模拟）已知x＝3是关于x的方程ax﹣5＝9x﹣a的解，那么关于x的方程a（x﹣1）﹣5＝9（x﹣1）﹣a的解是x＝ .
7.（2021七上·金牛期末）若关于 的方程 是一元一次方程，则 ．
8.（2021七上·萧山期末）已知关于x的方程x＋2－ x=m的解是x=21,那么关于y的一元一次方程y＋23－ （y＋21）=m的解是y=________.
9.（2021七上·镇海期末）已知以 为未知数的一元一次方程 的解为 ，那么以 为未知数的一元一次方程 的解为________.
10.（2020七上·盘龙期末）已知数轴上三点M，O，N对应的数分别是-1，0，3，点P为数轴上任意点，其对应的数为x.如果点P以每分钟1个单位长度的速度从点O向左运动，同时点M和点N分别以每分钟2个单位长度和每分钟3个单位长度的速度也向左运动．设t分钟时P点到点M、点N的距离相等，则t的值为 .
11.（2020七上·包河期末）某同学晚上6点多钟开始做作业，他家墙上时钟的时针和分针的夹角是120°，他做完作业后还是6点多钟，且时针与分针的夹角还是120°，此同学做作业用了 分针．
12.（2020七上·海淀期中）已知关于x的方程a（x-3）+b（3x+1）=5（x+1）有无穷多个解，则a+b=________．
13.（2020七上·内黄期末）方程 的解是 ________.
14.（2019七上·杭州月考）一桶汽油，第一次倒出全桶的 ，第二次倒出的比第一次多20千克，这时桶里的汽油已经倒出的与剩下的比是7：5．这桶汽油共重________千克.
15.关于x的方程 的解是自然数，则整数 的值为 、 、 .
三、解答题
16.（2019七上·禹州竞赛）解方程，
（1）
（2）
17.已知：不论k取什么实数，关于x的方程 （a、b是常数）的根总是x＝1，试求a、b的值。
18.（2021七下·长春期中）已知关于x的方程 的解比方程 的解大2．求m值．
19.（2021七上·郾城期末）已知关于 的方程 与 的解互为相反数，求 与 的值.
20.（2021七上·长沙期末）若关于x的方程 （ ）的解与关于y的方程 （ ）的解是满足 ，则称方程 （ ）与方程 （ ）是“友好方程”.例如：方程 的解是 ，方程 的解是 ，因为 ，方程 与方程 是“友好方程”.
（1）请通过计算判断方程 与方程 是不是“友好方程”；
（2）若关于x的方程 与关于y的方程 是“友好方程”，请你求出k的最大值和最小值；
（3）请判断关于x的方程 与关于y的方程 是不是“友好方程”，并说明理由.
21.（2020七上·钟楼月考）某公司以每吨500元的价格收购了100吨某种药材，若直接在市场上销售，每吨的售价为1000元，该公司决定加工后再出售，相关信息如下表所示：
工艺 每天可加工药材的吨数 出品率 售价（元/吨）
粗加工 14 80% 5000
精加工 6 60% 11000
注：①出品率本指加工后所得产品的质量与原料的重量的比值，②加工后的废品不产生效益，
受市场影响，请公司必须在10天内将这批药材加工完毕，现有3种方案：
A.全部粗加工，则获利多少元？
B尽可能多的精加工，剩余的直接在市场上销售，则可获利多少元；
C部分粗加工，部分精加工，恰好10天完成，可获利多少元？
问：哪个方案获得的利润最大？是多少？
22.（2020七上·镇原期末）某儿童游乐园门票价格规定如下表：
购票张数 1~50张 51~100张 100张以上
每张票的价格 13元 11元 9元
某校七年级（1）、（2）两个班共102人今年6.1儿童节去游该游乐园，其中（1）班人数较少，不足50人.经估算，如果两个班都以班为单位购票，则一共应付1218元.问：
（1）两个班各有多少学生？
（2）如果两班联合起来，作为一个团体购票，可以节省多少钱？
（3）如果七年级（1）班有10名学生因学校有任务不能参加这次旅游，请你为两个班设计出购买门票的方案，并指出最省钱的方案.
23.（2021七下·定州期末）家乐福超市出售甲、乙两种商品，甲种商品每件进价20元，售价35元；乙种商品每件进价30元，售价50元．
（1）若该超市同时购进甲、乙两种商品共100件，且使这100件商品的总利润（利润＝售价﹣进价）为1800元，需购进甲、乙两种商品各多少件？
（2）在“元旦”期间，该超市对甲、乙两种商品进行如下优惠促销活动：
打折前一次性购物总金额 优惠措施
不超过300元 不优惠
超过300元且不超过500元 售价一律打九折
超过500元 售价一律打八折
按上述优惠条件，若小张第一天只购买甲种商品一次性付款210元，第二天只购买乙种商品打折后一次性付款440元，那么这两天他在该超市购买甲、乙两种商品一共多少件？
24.（2021七上·来宾期末）某市 ， 两仓库分别有水泥15吨和35吨， ， 两工地分别需要水泥20吨和30吨.已知从 ， 仓库到 ， 工地的运价如下表：
工地仓库 工地 工地
仓库 每吨15元 每吨12元
仓库 每吨10元 每吨9元
若从 仓库运到 工地的水泥为 吨.
（1）用含 的式子表示从 仓库运到 工地的水泥的数量，从 仓库运到 工地的运输费用；
（2）求把全部水泥从 ， 两仓库运到 ， 两工地的总运输费（用含 的式子表示）：
（3）当总运输费为535元时，水泥该如何运输调配？
25.（2021七上·昆山期末）己知数轴上有 两点，点 表示的数为-8，且 ，
（1）点 表示的数为________；
（2）如图1，若点 在点 的右侧，点 以每秒4个单位的速度从点 出发向右匀速运动．
①若点 同时以每秒2个单位的速度从点 出发向左匀速运动，经过多少秒后，点 与点 相距 个单位．
②若点 同时以每秒2个单位的速度从点 出发向右匀速运动，经过多少秒后，在点 三点中，其中有一点是另外两个点连接所成线段的中点．
26.（2020七上·怀柔期末）对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点到另外两个点的距离恰好满足n（n是大于1的整数）倍的数量关系，则称该点是另外两个点的“n倍和谐点” ．
例如：数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，2，4，此时点B是点A，C的“2倍和谐点”；
（1）若点A表示数是-1，点C表示的数是5，点B1 ， B2 ，B3 ，依次表示-4， ，7各数，其中是点A，C的“3倍和谐点”的是________；
（2）点A表示的数是-20，点C表示的数是40，点Q是数轴上一个动点．
①若点Q是点A，C的“4倍和谐点”，求此时点Q表示的数；
②若点Q在点A的右侧，且点Q是点A，C的“n倍和谐点”，用含有n的式子直接写出此时点Q所表示的数．
27.（2019七上·渝中月考）如图，已知数轴上有三点A、B、C，若用AB表示A、B两点的距离，AC表示A、C两点的距离，且AB＝ AC，点A、点C对应的数是分别是a、c，且|a+40|+|c﹣20|＝0.
（1）求BC的长.
（2）若点P、Q分别从A、C两点同时出发向左运动，速度分别为2个单位长度每秒、5个单位长度每秒，则运动了多少秒时，Q到B的距离与P到B的距离相等？
（3）若点P、Q仍然以（2）中的速度分别从A、C两点同时出发向左运动，2秒后，动点R从A点出发向右运动，点R的速度为1个单位长度每秒，点M为线段PR的中点，点N为线段RQ的中点，点R运动了多少秒时恰好满足MN+AQ＝31；并求出此时R点所对应的数.
28.已知数轴上有A、B、C三个点对应的数分别是a、b、c，且满足|a+24|+|b+10|+（c-10）2=0；动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，设移动时间为t秒．
（1）求a、b、c的值；
（2）若点P到A点的距离是点P到B点的距离的2倍，求点P的对应的数；
（3）当点P运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒3个单位的速度向C点运动，Q点到达C点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点A．在点Q开始运动后第几秒时，P、Q两点之间的距离为4？请说明理由．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 A
2.【答案】 A
3.【答案】 C
4.【答案】 D
二、填空题
5.【答案】 x=1
6.【答案】 4
7.【答案】 2
8.【答案】 0
9.【答案】 2022
10.【答案】 或4
11.【答案】
12.【答案】 1
13.【答案】 1
14.【答案】 240
15.【答案】 0；6；8
三、解答题
16.【答案】 （1）解：方程 变形为 ，
去分母得 ，
去括号合并同类项得-10x+60=0,
移项得-10x=-60,
系数化为1得x=6.
（2）解：方程 变形为 ，
∴
∴
∴ ，
∴ .
17.【答案】 解：把x＝1代入原方程并整理得（b＋4）k＝7－2a
要使等式（b＋4）k＝7－2a不论k取什么实数均成立，只有
解之得 ，
18.【答案】 解：方程 得 ,
解方程 3,
由题可知 ,解得m=22.
19.【答案】 解：方程 解得 ，
方程 解得 ，
∵两个方程的解互为相反数，
∴ ，解得 ，
则 .
20.【答案】 （1）解方程 得， ，
解方程 得， ，
∵ ＞1，
∴方程 与方程 不是“友好方程”；
（2）关于x的方程 的解为 ，
关于y的方程 的解为 ，
∵关于x的方程 与关于y的方程 是“友好方程”，
∴|1 （3k＋2）|≤1，
∴当 1≤1 （3k＋2）≤0时，解得 ≤k≤0，
当0＜1 （3k＋2）≤1时，解得 ≤k＜ ，
∴ ≤k≤0，
∴k的最大值是0，最小值 ；
（3）解方程 得， ，
解方程 得， ，
∵ ，
∴ ，
∴关于x的方程 与关于y的方程 是 “友好方程”.
21.【答案】 解：∵每吨药材的收购价是500元，
∴100吨药材的收购费用是500×100＝50000（元）
A方案：∵100吨药材全部被粗加工，
∴所需加工的时间是100÷14≈8（天），在规定的时间内完成，
∴可获得的利润是5000×100×80%－50000＝350000（元），
B方案：∵尽可能多地精加工，剩余的直接在市场上销售，
∴10天可精加工的药材量是6×10＝60（吨）
∴精加工部分可获得11000×60×60%＝396000（元）
∵剩余100－60＝40（吨）的药材直接在市场上销售，每吨的售价为1000元，
∴1000×40＝40000（元）
两项合计可得利润为：396000＋40000－50000＝386000（元）
C方案：设粗加工x天，
∵部分精加工，部分粗加工，且恰好10天完成，
∴精加工（10-x）天，
∴14x＋6×（10－x）＝100
解得：x＝5
∴这种方案共可获得利润14×5×80%×5000＋6×5×60%×11000－50000＝428000（元）
综上，第三个方案获得的利润最大，最大利润是428000元.
22.【答案】 （1）解：设七年级（1）班有学生x人，则七年级（2）班有学生(102-x)，
当1＜x＜50时，
根据题意得：13x+11×(102-x)=1218，
解得：x=48，102-x=54（元）；
当x=1时，
根据题意得：13+101×9=922（元），不合题意舍去；
答：七年级（1）班有学生48人，七年级（2）班有学生54人；
（2）解：1218-102×9=300（元）.
（3）解：方案一：两个班都以班为单位单独购票：
（元）；
方案二：两班联合起来，作为一个团体购票：
元，
方案三：购买101张门票：
101×9=909元，
909＜1012＜1088，
所以方案三最省钱.
23.【答案】 （1）解：设家乐福超市购进甲种商品a件，则购进乙种商品（100﹣a）件．根据题意得
（35﹣20）a+（50﹣3 0）（100﹣a）＝1800， 解得，a＝40，100﹣a＝60，
答：需购进甲、乙两种商品各40，60件；
（2）解：根据题意得，第一天只购买甲种商品不享受优惠条件，
∴210÷35＝6（件），
第二天只购买乙种商品有以下两种可能：
①：若购买乙商品打九折，440÷90%÷50＝ （件），不符合实际，舍去；
②：购买乙商品打八折，440÷80%÷50＝11（件），
∴一共可购买甲、乙两种商品6+11＝17（件），
答：这两天小张在家乐福超市购买甲、乙两种商品一共17件.
24.【答案】 （1）解：∵15+35=20+30=50吨，
∴A、B两仓库的水泥都需要全部运送到C、D两工地，
∵从 仓库运到 工地的水泥为 吨，
∴从 仓库运到 工地的水泥为： 吨；
∴从 仓库运到 工地的水泥为： 吨，
∴从 仓库运到 工地的运输费用为： 元.
（2）解：∵从 仓库运到 工地的水泥为 吨，
∴从B仓库运到 工地的水泥为（20-x）吨，
总运输费为： 元
（3）解：∵总运输费为535元，
∴由（2）得 ，
解得：
∴当总运输费为535元时，应该从 仓库运到 工地10吨，从 仓库运到 工地5吨，从 仓库运到 工地10吨，从 仓库运到 工地25吨.
【分析】
25.【答案】 （1）12或-28
（2）解：∵点 在点 的右侧，
∴点B所表示的数为12
①设经过t秒后，点 与点 相距 个单位
∵点 以每秒 个单位的速度从点 出发向右匀速运动，点 同时以每秒2个单位的速度从点 出发向左匀速运动
∴t秒后，点P在数轴上所对应的数为-8+4t，点Q在数轴上所表示的数为12-2t
∴ ，解得 或
∴经过 秒或 秒后，点 与点 相距1个单位；
②∵点 同时以每秒2个单位的速度从点 出发向右匀速运动
∴点Q在数轴上所表示的数为12+2t
当点P是线段BQ的中点时， ，解得：t=
当点B是线段PQ的中点时， ，解得：t=
当点Q是线段BP的中点时， ，方程无解
综上，经过 秒或 秒后，点 三点中，其中有一点是另外两个点连接所成线段的中点．
26.【答案】 （1）B1 ， B2
（2）解：①设点Q表示的数为x，
Ⅰ. 如图，当点Q1在点A，C之间，且靠近点A时，4AQ1=Q1C.
则 4[ x－（-20）]＝40－x，
解得 x＝－8.
所以点Q1表示的数为－8.
Ⅱ.如图，当点Q2在点A，C之间，且靠近点C时，4Q2C=AQ2.
则 4（40-x）＝x-（-20），
解得 x＝28.
所以点Q2表示的数为28.
Ⅲ. 如图，当点Q3在点A左侧时，4Q3A=CQ3.
则 4（-20-x）＝40-x，
解得 x＝－40.
所以点Q3表示的数为－40.
Ⅳ. 如图，当点Q3在点C右侧时，4CQ4=AQ4.
则 4（x-40）＝x-（-20），
解得 x＝60.
所以点Q4表示的数为60.
综上所述，若点Q是点A，C的“4倍和谐点”，此时点Q表示的数-40，-8，28，60.
②设点Q表示的数为x，
Ⅰ. 如图，当点Q1在点A，C之间，且靠近点A时，nAQ1=Q1C.
则 n[ x－（-20）]＝40－x，
解得 x＝-20+ （或 ）
所以点Q1表示的数为-20+ （或 ）；
Ⅱ.如图，当点Q2在点A，C之间，且靠近点C时，nQ2C=AQ2.
则n（40-x）＝x-（-20），
解得 x＝40- （或 ）
所以点Q2表示的数为40- （或 ）；
Ⅲ. 如图，当点Q3在点C右侧时，nCQ3=AQ3.
则 n（x-40）＝x-（-20），
解得 x＝40+ （或 ）
所以点Q3表示的数为40+ （或 ）．
综上所述，若点Q是点A，C的“n倍和谐点”，此时点Q表示的数为：-20+ （或 ），40- （或 ），40+ （或 ）．
27.【答案】 （1）解：∵|a+40|+|c﹣20|＝0，
∴a+40＝0，c﹣20＝0，
∴a＝﹣40，c＝20，
∴AC＝|﹣40﹣20|＝60.
∵AB＝ AC＝20，
∴BC＝AC﹣AB＝40.
（2）解：∵AB＝20，点A对应的数为﹣40，且点B在点A的右边，
∴点B对应的数为﹣20.
当运动时间为t秒时，点P对应的数为﹣2t﹣40，点Q对应的数为﹣5t+20，
∵Q到B的距离与P到B的距离相等，
∴|﹣2t﹣40﹣（﹣20）|＝|﹣5t+20﹣（﹣20）|，即2t+20＝40﹣5t或2t+20＝5t﹣40，
解得：t＝ 或t＝20.
答：运动了 秒或20秒时，Q到B的距离与P到B的距离相等.
（3）解：当运动时间为t（t＞2）秒时，点P对应的数为﹣2t﹣40，点Q对应的数为﹣5t+20，点R对应的数为t﹣2﹣40，
∵点M为线段PR的中点，点N为线段RQ的中点，AQ＝|﹣40﹣（﹣5t+20）|＝|5t﹣60|，
∴点M对应的数为 ＝﹣ ﹣41，点N对应的数为 ＝﹣2t﹣11，
∴MN＝|﹣ ﹣41﹣（﹣2t﹣11）|＝| t﹣30|.
∵MN+AQ＝31，
∴| t﹣30|+|5t﹣60|＝31.
当2＜t＜12时，30﹣ t+60﹣5t＝31，
解得：t＝ ；
当12≤t≤20时，30﹣ t+5t﹣60＝31，
解得：t＝ ；
当t＞20时， t﹣30+5t﹣60＝31，
解得：t＝ （不合题意，舍去）.
∴t﹣2＝﹣ 或﹣ .
当t＝ 时，点R对应的数为﹣ ；当t＝ 时，点R对应的数为﹣ .
∴点R运动了 秒或 秒时恰好满足MN+AQ＝31，此时点R所对应的数为﹣ 或﹣ .
28.【答案】 （1）解：∵|a+24|+|b+10|+（c-10）2=10，
∴|a+24|=0，|b+10|=0，（c-10）2=0，
∴a=-24，b=-10，c=10．
（2）解：设P点对应的数为x，
|x-（-24）|=2|x-（-10）|，
解得：x=4或x= .
∴P点对应的数为4或 ．
（3）解：设Q点运动时间t，①0≤t≤ 时 ∴ P：-10+t Q：-24+3t，|-24+3t-（-10+t）|=4，解得：t=9或t=5；② ＜t≤20时，P：-10+t Q：
，解得：t= 或 ；
③t＞20 舍去；综上所述：t的值为5，9， ， 秒时，P、Q两点之间的距离为4.
答：当点Q开始运动5，9， ， 秒时，P、Q两点之间的距离为4