人教版2021-2022学年九年级上册数学第二十一章一元二次方程单元练习卷（word版、含解析）

2021-2022学年人教版九年级上册第二十一章考试卷
一、单选题(共24分)
1．(本题3分)一元二次方程的根为（ ）
A． B． C． D．
2．(本题3分)用配方法将方程变形为（ ）
A． B． C． D．
3．(本题3分)关于一元二次方程的一个根是0，则的值为（ ）
A．1或 B．1 C． D．0
4．(本题3分)用配方法解下列方程，其中应在方程左右两边同时加上4的是（ ）
A． B． C． D．
5．(本题3分)方程x2-9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（ ）
A．12 B．15 C．12或15 D．17或11
6．(本题3分)一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
7．(本题3分)已知，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是（ ）
A．﹣3或1 B．3或﹣1 C．3 D．1
8．(本题3分)某经济开发区今年一月份工业产值达50亿元，第一季度产值为175亿元，问二 三月平均每月的增长率是多少？设平均每月增长的百分率为x根据题意得方程（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题(共24分)
9．(本题3分)关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是_____．
10．(本题3分)在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b＝a2﹣b2，根据这个规则，方程（x+2）*5＝0的解为_____．
11．(本题3分)方程是关于x的一元二次方程，则_________．
12．(本题3分)已知a，b，c是△ABC的三边长，若方程有两个相等的实数根，则△ABC是 _______ 三角形．
13．(本题3分)关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________．
14．(本题3分)当m=______时，关于x的方程是一元二次方程．
15．(本题3分)对于实数a，b，我们定义一种运算“※”为：a※b＝a2－ab，例如1※3＝12－1×3．若x※4＝0，则x＝___．
16．(本题3分)国家实施“精准扶贫”政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路．某地区2017年底有贫困人口9万人，通过社会各界的努力，2019年底贫困人口减少至1万人．设2017年底至2019年底该地区贫困人口的年平均下降率为x，根据题意列方程得______．
三、解答题(共72分)
17．(本题8分)解方程：
（1）x2﹣4x+2＝0；
（2）
18．(本题8分)已知关于的方程
（1）当m取何值时，方程有两个实数根；
（2）为m选取一个合适的整数，使方程有两个不相等的实数根，并求出这两个实数根．
19．(本题8分)已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0．
（1）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根．
20．(本题8分)已知关于x的一元二次方程x2＋（m－1）x－2m2＋m=0（m为实数）有两个实数根、．
（1）当m为何值时，；
（2）若 ，求m的值．
21．(本题10分)为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度.2018年市政府共投资4亿元人民币建设了廉租房16万平方米，2020年计划投资9亿元人民币建设廉租房，若在近三年内每年投资的增长率相同．
（1）求每年市政府投资的增长率；
（2）若近三年内的建设成本不变，问2021年建设了多少万平方米廉租房？
22．(本题10分)如图是宽为20m，长为32m的矩形耕地，要修筑同样宽的三条道路(互相垂直)，把耕地分成六块大小相等的试验地，要使试验地的面积为570m2，问：道路宽为多少米？
23．(本题10分)关于x的方程有两个实数根x1,x2．
（1）求实数k的取值范围；
（2） 若x1,x2满足，求k的值．
24．(本题10分)如图，中，，，，一动点从点出发沿着方向以的速度运动，另一动点从出发沿着边以的速度运动，，两点同时出发，运动时间为．
（1）若的面积是面积的，求的值？
（2）的面积能否为面积的一半？若能，求出的值；若不能，说明理由．
参考答案
1．C
【分析】
根据开平方法，可得方程的解．
【详解】
解：移项，得
x2=4，
开方，得
x1=2，x2=-2．
故选：C．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程-直接开平方，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2=a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．
2．B
【分析】
把常数项-11移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数6的一半的平方．
【详解】
解：把方程x2+6x-11=0的常数项移到等号的右边，得到x2+6x=11，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2+6x+9=11+9，
配方得（x+3）2=20．
故选：B．
【点睛】
本题考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
3．C
【分析】
方程的根即方程的解，就是能使方程两边相等的未知数的值，利用方程解的定义就可以得到关于a的方程，从而求得a的值．
【详解】
把x=0代入方程得到：a2-1=0，
解得：a=±1．
∵
∴
∴
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了方程的根的定义，是一个基础的题目．
4．C
【分析】
配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
【详解】
解：A．方程两边同时加上1，故本选项错误；
B．将该方程的二次项系数化为1，，所以方程两边同时加上1，故本选项错误；
C．方程两边同时加上4，故本选项正确；
D．方程两边同时加上1，故本选项错误．
故选C．
【点睛】
此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
5．B
【分析】
先利用因式分解的方程求出一元二次方程的两个根，然后分别讨论两个根为底边时能否构成三角形，最后求解即可.
【详解】
解：∵x2-9x+18=0，
∴（x-3）（x-6）=0
解得：x1=6，x2=3
∵当底为6，腰为3时，由于3+3=6，不符合三角形三边关系
∴等腰三角形的腰为6，底为3
∴周长为6+6+3=15
故选B．
【点睛】
本题主要考查了解一元二次方程和构成三角形的条件，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
6．B
【分析】
把a=1，b=-4，c=4代入判别式△=b2-4ac进行计算，然后根据计算结果判断方程根的情况．
【详解】
解：∵一元二次方程x2-4x+4=0，
∴△=（-4）2-4×1×4=0，
∴方程有两个相等的实数根．
故选：B．
【点睛】
本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0，方程有两个不相等的实数根；（2）△=0，方程有两个相等的实数根；（3）△＜0，方程没有实数根．
7．C
【分析】
根据一元二次方程根与系数的关系，计算出再代入分式计算，即可求得．
【详解】
解：由根与系数的关系得： ，
,
即,
解得：或,
而当时，原方程，无实数根，不符合题意，应舍去，
∴
故选C．
【点睛】
本题考查一元二次方程中根与系数的关系应用，求得结果后需进行检验是顺利解题的关键．
8．D
【分析】
增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），本题可先用x表示出二月份的产值，再根据题意表示出三月份的产值，然后将三个月的产值相加，即可列出方程．
【详解】
解：二月份的产值为：50（1+x），
三月份的产值为：50（1+x）（1+x）=50（1+x）2，
故第一季度总产值为：50+50（1+x）+50（1+x）2=175．
故选：D．
【点睛】
本题考查的是由实际问题抽象出一元二次方程，解此类题目时常常要按顺序列出接下来几年的产值，再根据题意列出方程即可．
9．m＞0且m≠1
【分析】
根据方程有两个不相等的实数根可得根的判别式大于0，由一元二次方程的定义可得m-1≠0，从而求解．
【详解】
解：根据题意得m﹣1≠0且△＝22﹣4（m﹣1）×（﹣1）＞0，
解得m＞0且m≠1．
故答案为：m＞0且m≠1．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的定义及根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．
10．x＝3或x＝﹣7
【分析】
由题意可得x+2=a，5=b，代入所给公式得：（x+2）*5=（x+2）2-52，则可得一元二次方程，解方程即可求得．
【详解】
解：据题意得，
∵（x+2）*5＝（x+2）2﹣52
∴x2+4x﹣21＝0，
∴（x﹣3）（x+7）＝0，
∴x＝3或x＝﹣7．
故答案为：x＝3或x＝﹣7
【点睛】
本题主要考查解一元二次方程，属于新定义题型，将所求方程转化为一元二次方程是解题的关键．
11．-3
【分析】
根据一元二次方程的定义进行分析即可.
【详解】
解：∵方程是关于x的一元二次方程
所以|n|-1=2，n-3≠0
解得n=-3
故答案为：-3.
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的定义，即只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
12．直角
【分析】
根据方程有两个相等实数根，即可得到Δ=b2－4ac=0即（2b）2－4（a－c）（a+c）=0，然后利用勾股定理的逆定理判定即可.
【详解】
解：∵方程有两个相等的实数根，
∴Δ=b2－4ac=0，
∴（2b）2－4（a－c）（a+c）=0，整理可得a2=b2+c2，
所以△ABC是直角三角形.
故答案为：直角
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程根的判别式和勾股定理的逆定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
13．且．
【分析】
根据根的判别式及一元二次方程的定义解题即可.
【详解】
∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得．
又∵该方程为一元二次方程，
，
且．
故答案为：且．
【点睛】
本题主要考查根的判别式及一元二次方程的定义，属于基础题，掌握根的判别式及一元二次方程的定义是解题的关键．
14．-3
【分析】
根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为零，最高次数为二次．
【详解】
解：二次项系数不为零，，，
最高次数为二次，，，
∴．
故答案是：-3．
【点睛】
本题考查一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程的定义．
15．0或4
【分析】
先认真阅读题目，根据题意得出方程，解方程即可．
【详解】
解：※，
，
，
，，
或4，
故答案为：0或4．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能得出一元二次方程，题目比较典型，难度适中．
16．9（1﹣x）2＝1．
【分析】
等量关系为：2017年贫困人口×（1﹣下降率）2＝2019年贫困人口，把相关数值代入计算即可．
【详解】
解：设这两年全省贫困人口的年平均下降率为x，根据题意得：
9（1﹣x）2＝1，
故答案是：9（1﹣x）2＝1．
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用，由实际问题得到2年内变化情况的等量关系，列出一元二次方程是关键．
17．（1）；（2）x1＝﹣3，x2＝2．
【分析】
（1）用配方法即可得出结论；
（2）整理后用因式分解法即可得到结论．
【详解】
（1）∵x2﹣4x+2=0，
∴x2﹣4x+4=2，
∴(x﹣2)2=2，
∴；
（2）∵(x﹣1)(x+2)=4，
∴x2+x﹣6=0，
∴(x+3)(x﹣2)=0，
∴x1=﹣3，x2=2．
【点睛】
本题考查了一元二次方程，解答本题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
18．（1）m≥—；（2）x1=0,x2=2.
【分析】
（1）方程有两个实数根，必须满足△＝b2 4ac≥0，从而建立关于m的不等式，求出实数m的取值范围．
（2）答案不唯一，方程有两个不相等的实数根，即△＞0，可以解得m＞ ，在m＞ 的范围内选取一个合适的整数求解就可以．
【详解】
解:(1)△=[-2（m+1)] -4×1×m
=8m+4
∵方程有两个实数根
∴△≥0，即8m+4≥0
解得，m≥-
（2）选取一个整数0，则原方程为，
x -2x=0 解得x1=0,x2=2.
【点睛】
此题主要考查了根的判别式，以及解一元二次方程，关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0 方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0 方程有两个相等的实数根；（3）△＜0 方程没有实数根．
19．（1）见解析；（2）a=，x1=﹣
【分析】
（1）根据根的判别式即可求解；
（2）将x=1代入方程x2+ax+a﹣2=0，求出a，再利用根与系数的关系求出方程的另一根．
【详解】
解：（1）∵△=a2﹣4（a﹣2）=a2﹣4a+8=a2﹣4a+4+4=（a﹣2）2+4≥0，
∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
（2）将x=1代入方程x2+ax+a﹣2=0
得1+a+a﹣2=0，
解得a=；
∴方程为x2+x﹣=0，
即2x2+x﹣3=0，
设另一根为x1，则1×x1==﹣，
∴另一根x1=﹣．
【点睛】
此题主要考查一元二次方程根的求解，解题的关键是熟知根的判别式与根与系数的关系．
20．（1）m≠；（2）m1= ，m2=1
【分析】
（1）当m为何值时x1≠x2，即方程有两个不同的根，则根的判别式△＞0．
（2）依据根与系数关系，可以设方程的两根是x1、x2，则可以表示出两根的和与两根的积，
依据x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2，即可得到关于m的方程，即可求得m的值．
【详解】
解：（1）x2+（m-1）x-2m2+m=0（m为实数）有两个实数根x1、x2．
∵a=1，b=m-1，c=-2m2+m，
∴△=b2-4ac=（m-1）2-4（-2m2+m）=m2-2m+1+8m2-4m=9m2-6m+1=（3m-1）2，
要使x1≠x2，则应有△＞0，即△=（3m-1）2＞0，
∴m≠；
（2）根据题意得：x1+x2=- =1-m，x1 x2= =-2m2+m，
∵x12+x22=2，即x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2，即（1-m）2-2（-2m2+m）=2，
解得m1= ，m2=1．
【点睛】
本题是常见的根的判别式与根与系数关系的结合试题．把求未知系数m的问题转化为解方程问题是解决本题的关键．
21．（1）50%；（2）54万平方米．
【分析】
（1）设每年市政府投资的增长率为x，根据该市政府2018年及2020年的投资额，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）利用2021年建设的廉租房的面积＝2021年市政府的投资额÷每万平方米廉租房的价格，即可求出结论．
【详解】
解：（1）设每年市政府投资的增长率为x，
依题意，得：4（1+x）2＝9，
解得：x1＝0.5＝50%，x2＝﹣2.5（不合题意，舍去）．
答：每年市政府投资的增长率为50%．
（2）9×（1+50%）×（16÷4）＝54（万平方米）．
答：2021年建设了54万平方米廉租房．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
22．1米
【分析】
设道路宽为x米，根据题意列出一元二次方程即可求出结论．
【详解】
解：设道路宽为x米，依题意得：
解得（不合题意，舍去）
答：道路宽为1米．
【点睛】
此题考查的是一元二次方程的应用，掌握实际问题中的等量关系是解题关键．
23．（1）k≥;（2）k=2
【分析】
（1）根据判别式的意义得到△＝（2k＋1）2 4（k2＋2）≥0，然后解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到x1＋x2＝ （2k＋1）＜0，x1x2＝k2＋2＞0，则利用有理数的乘法性质可判断x1＜0，x2＜0，然后去绝对值得到 （x1＋x2）＝x1x2 1，则2k＋1＝k2＋2 1，整理得到k2 2k＝0，再解关于k的方程即可得到满足条件的k的值．
【详解】
（1）根据题意得△＝（2k＋1）2 4（k2＋2）≥0，
解得k≥；
（2）根据题意得x1＋x2＝ （2k＋1）＜0，x1x2＝k2＋2＞0，
∴x1＜0，x2＜0，
∵|x1|＋|x2|＝|x1x2| 1，
∴ （x1＋x2）＝x1x2 1，
∴2k＋1＝k2＋2 1，
整理得k2 2k＝0，解得k1＝0，k2＝2，
∵k≥，
∴k＝2．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根时，x1＋x2＝ ，x1x2＝．也考查了根的判别式．
24．（1）；（2）不可能；理由见解析．
【分析】
（1）根据三角形的面积公式可以得出面积为，的面积为，由题意列出方程解答即可；
（2）由等量关系列方程求出的值，再根据根的判别式判断方程有没有解即可．
【详解】
解：（1），，
，
，
解得：．
答：当时，的面积为面积的．
（2）的面积不可能是面积的一半．理由如下：
当时，
，
整理得：，
，
此方程没有实数根，
的面积不可能是面积的一半．
【点评】
本题考查了一元二次方程的应用，一元二次方程根的判别式，三角形的面积，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页