2.4.2 圆的一般方程 同步培优训练-2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选修一（含解析）

2021-2022学年高二数学（人教A版2019选择性必修一）
2.4.2 圆的一般方程 同步培优训练
一、单选题。本大题共8小题，每小题只有一个选项符合题意。
1．已知，，，则的外接圆的一般方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．如果圆（）关于直线对称，则有（ ）．
A．
B．
C．
D．
3．若方程表示圆，则实数的取值范围是（ ）．
A． B．
C． D．
4．若圆过坐标原点，则实数的值为（ ）
A．2或1 B．或 C．2 D．
5．如图，是边长为1的正三角形，点P在所在的平面内，且（a为常数），下列结论中正确的是
A．当时，满足条件的点P有且只有一个
B．当时，满足条件的点P有三个
C．当时，满足条件的点P有无数个
D．当a为任意正实数时，满足条件的点总是有限个
6．若圆的圆心到直线的距离为，则a的值为
A．-2或2 B．2 C．2或0 D．-2或0
7．若实数x，y满足方程，则的最小值为．
A．1 B．2 C． D．
8．若方程a2x2+（a+2）y2+2ax+a=0表示圆，则a的值为
A．a=1或a=–2 B．a=2或a=–1
C．a=–1 D．a=2
二、多选题。本大题共4小题，每小题有两项或以上符合题意。
9．已知方程，下列叙述正确的是（ ）
A．方程表示的是圆
B．当时，方程表示过原点的圆
C．方程表示的圆关于直线对称
D．方程表示的圆的圆心在x轴上
10．已知直线l与圆相交于两点，弦的中点为，则实数的取值可为
A． B． C． D．
11．若圆与圆相切，则m的值可以是
A． B． C． D．
12．已知方程，则下列选项中a的值能满足方程表示圆的有（ ）
A． B．0 C． D．
三、填空题。本大题共4小题。
13．若圆的方程为，且圆的面积为，则圆心坐标为______．
14．已知圆C的圆心为，面积为，则圆C的一般方程为________．
15．由方程所确定的圆中，最大的面积是_________.
16．已知，方程表示圆，则圆心坐标是__．
四、解答题。本大题共5小题，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程。
17．已知直线l1经过点A(－3，0)，B(3，2)，直线l2经过点B，且l1⊥l2.
（1）分别求直线l1，l2的方程；
（2）设直线l2与直线y=8x的交点为C，求△ABC的外接圆的标准方程.
18．如图所示，在平面直角坐标系中，等腰梯形的底边长分别为6和4，高为3，为的中点，求这个等腰梯形的外接圆的一般方程，并求这个圆的圆心坐标和半径.
19．已知一曲线是与两个定点距离的比为k的点的轨迹，求此曲线的方程，并判断曲线的形状.
20．已知曲线.求证：当时，曲线C是一个圆，且圆心在一条直线上.
21．已知隧道的截面是半径为的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为，高为的货车能不能驶入这个隧道？假设货车的宽度为，那么要正常驶入该隧道，货车的最大高度为多少？
参考答案
1．C
【解析】设外接圆的方程为：，
由题意，得解得
即的外接圆的方程为．
故选：C
2．B
【解析】由可得圆心坐标为，
因为圆关于直线对称，所以圆心在直线上，
即，可得，
故选：B.
3．B
【解析】∵表示圆，则，
∴，
故选：B．
4．C
【解析】表示圆，
，
．又圆过原点，，或（舍去），．
故选：C．
5．C
【解析】以所在直线为轴，中点为原点，建立直角坐标系，如图所示
则，，，
设，可得，
，，
∵，
∴，
化简得：，即，
配方，得…（1）
当时，方程（1）的右边小于0，故不能表示任何图形；
当时，方程（1）的右边为0，表示点，恰好是正三角形的重心；
当时，方程（1）的右边大于0，表示以为圆心，半径为的圆，
由此对照各个选项，可得只有C项符合题意.
故选：C．
6．C
【解析】将圆的一般方程化为圆的标准方程为，所以圆心到直线的距离，解得或，故选C
7．A
【解析】表示圆心在,半径的圆，如下图所示，是圆上的动点,表示动点到原点的距离,结合图形,可知:
在中，，即（当且仅当O在CM上时，取等号）
,即,
故的最小值为:1，
故选A.
8．C
【解析】若方程a2x2+（a+2）y2+2ax+a=0表示圆，
则，解得a=–1．
故答案为C
9．BCD
【解析】解：方程，配方得，
若方程表示一个圆，则，从而，故A错，B正确；
方程表示圆时，圆心为，在直线上，故C，D正确．
故选：BCD
10．AB
【解析】圆的标准方程为：，故.
又因为弦的中点为，
故点在圆内，所以即.
综上，.
故选：AB.
11．AC
【解析】由题意，圆可化简为，
所以，圆的圆心坐标，半径，
圆的圆心坐标，半径，
所以，，
所以，或，解得或.
故选：AC.
12．ABC
【解析】解：，即方程方程表示圆的条件是，即．所以选项A，B，C能表示圆，选项D表示一个点，不能表示圆．
故选：ABC.
13．
【解析】因为圆的面积为，所以圆的半径为1，即，所以，所以圆的方程为，得圆心坐标为．
故答案为：
14．
【解析】因为圆C的面积为，所以由，即，所以圆C的标准方程为
，即圆C的一般方程为．
故答案为：．
15．
【解析】圆的半径，
则，
所以当时，，所以.
故答案为：．
16．
【解析】若方程表示圆，则有，
即，解可得：或，
当时，方程为，变形可得，表示圆心为，半径为5的圆，
当时，方程为，即，变形可得，不能表示圆，
故圆心的坐标为；
故答案为：．
17．（1）x－3y+3=0，3x+y－11=0；（2）(x+1)2+(y－4)2=20.
【解析】（1）因为直线l1经过点A(－3，0)，B(3，2)，所以=，
所以l1的方程为x－3y+3=0.
因为l1⊥l2，
所以设直线l2的方程为3x+y+c=0，
因为点B(3，2)在直线l2上，
所以c=－11，
所以直线l2的方程为3x+y－11=0.
（3）由
得即C(1，8)，
所以|AC|=4，|BC|=2，又|AB|=2，
所以|AB|2+|BC|2=|AC|2，所以△ABC是以AC为斜边的直角三角形，
又AC的中点为(－1，4)，
所以Rt△ABC的外接圆的圆心为(－1，4)，半径为2，
所以△ABC的外接圆的标准方程为(x+1)2+(y－4)2=20.
18．圆的一般方程为，圆心坐标为，半径.
【解析】由等腰梯形的底边长分别为6和4，高为3，
知点，，的坐标分别为，，.
设所求圆的一般方程为，
将，，三点的坐标分别代入上述方程，
可得，解得，
故所求圆的一般方程为，
其圆心坐标为，半径.
19．当时，所求曲线的方程是，表示以为圆心，为半径的圆；当时，曲线方程为，表示线段的垂直平分线.
【解析】设是曲线上的任意一点，则，
由两点间的距离公式知点M满足的条件可以表示为，
化简得.
当，即或时，此时，
所以.
因为，
所以所求曲线的方程是，表示以为圆心，为半径的圆.
当时，即，方程变成，即曲线方程为，表示线段的垂直平分线.
20．证明见解析.
【解析】∵，
∴，
当时，，即，所以曲线C是一个圆，
设圆心坐标为，则，消去m得，即圆心在直线上.
21．货车能驶入这个隧道；最大高度为.
【解析】以隧道截面半圆的圆心为坐标原点，半圆直径所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则半圆的方程为.
将代入，得.
∵在离中心线处，隧道高度高于货车的高度，
∴货车能驶入这个隧道，将代入，得
∴货车要驶入该隧道，最大高度为.