2.2.3 直线的一般式方程 同步培优训练 -2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选修一（含解析）

2021-2022学年高二数学（人教A版2019选择性必修一）
2.2.3 直线的一般式方程 同步培优训练
一、单选题。本大题共8小题，每小题只有一个选项符合题意。
1．已知直线，当变化时，所有直线都恒过点（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知直线与直线互相垂直，垂足为.则等于（ ）
A． B． C． D．
3．若表示的直线是y轴，则系数a，b，c满足条件（ ）
A． B．
C．且 D．且
4．直线经过第二、三、四象限，则A，B，C需满足条件（ ）．
A．， B．，
C．A，B，C同号 D．，
5．若直线过点，则该直线在x轴与y轴上的截距之和的最小值为（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
6．若原点在直线l上的射影是P(-2，1)，则直线l的方程为（ ）
A．x+2y=0 B．y-1=-2(x+2)
C．y=2x+5 D．y=2x+3
7．下列有关直线的说法中正确的是（ ）．
A．直线的斜率为 B．直线的斜率为
C．直线过定点 D．直线过定点
8．已知直线及两点，．若直线与线段的延长线相交（不含点），则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题。本大题共4小题，每小题有两项或以上符合题意。
9．，是直线（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况说法错误的是（ ）
A．无论k，，如何，总是无解
B．无论k，，如何，总有唯一解
C．存在k，，使，是方程组的一组解
D．存在k，，使之有无穷多解
10．设直线l的方程为．下列说法正确的是（ ）
A．当时，l不经过第二象限
B．直线恒过定点
C．不论a为何值，直线恒过第四象限
D．直线的倾斜角不可能是90°
11．（多选）若直线过点（－3，4），且在两坐标轴上的截距相等，则该直线的一般式方程可能为（ ）
A． B．
C． D．
12．三条直线，，构成三角形，则的值不能为（ ）
A． B．
C． D．－2
三、填空题。本大题共4小题。
13．下列说法正确的是______（填序号）．
①直线必过定点；
②直线在y轴上的截距为-2；
③直线的倾斜角为120°；
④若直线l沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线l的斜率为
14．已知，若直线不过第四象限，则实数a的取值范围是______.
15．若方程表示一条直线，则实数m的取值范围是________．
16．已知直线的斜率为，且与坐标轴所围成的三角形的周长是30，则直线的方程为______．
四、解答题。本大题共6小题，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程。
17．已知的三个顶点分别为，，，BC中点为D点，求：
（1）边所在直线的方程
（2）边上中线AD所在直线的方程
（3）边的垂直平分线的方程.
18．根据下列条件，求直线的一般方程：
（1）过点，斜率是直线的斜率的；
（2）经过点，且在轴上的截距等于在轴上截距的倍；
（3）过，两点.
19．已知直线：.
（1）求证：无论为何值，直线必经过第一象限.
（2）若直线不经过第二象限，求实数的取值范围.
20．设直线l的方程为，根据下列条件分别确定m的值：
（1）直线l在x轴上的截距为；
（2）直线l的倾斜角为．
21．写出下列直线的方程.
（1）经过点，斜率是；
（2）经过点，倾斜角是；
（3）求过点，斜率是直线的斜率的的直线方程.
（4）求经过点，且在轴上的截距等于在轴上截距的倍的直线方程.
（5）求过，两点的直线的方程.
22．已知直线，，，且在第一象限内与两坐标轴围成的三角形的面积为2，求实数，的值．
参考答案
1．D
【解析】可化为，∴直线过定点，
故选：D.
2．D
【解析】由两直线垂直得，解得，
所以原直线直线可写为，
又因为垂足为同时满足两直线方程，
所以代入得，
解得，
所以，
故选:D
3．D
【解析】因为y轴方程表示为，所以a，b，c满足条件为且．
故选：D
4．C
【解析】由题意可知，由，得．
∵直线经过第二、三、四象限，∴，∴A，B，C同号．
故选：C.
5．D
【解析】因为直线，当时，，当时，，所以该直线在x轴与y轴上的截距分别为b，a，又直线过点，所以，即，所以，当且仅当时等号成立．所以直线在x轴与y轴上的截距之和的最小值为4.
故选：D．
6．C
【解析】∵直线的斜率为，又，
∴直线的斜率为2，
∴直线的点斜式方程为，
化简，得，
故选：C.
7．D
【解析】直线可化为．
当时，直线的方程可化为，其斜率为，过定点；
当时，直线的方程为，其斜率不存在，过点(，
所以A，B，C不正确，D正确．
故选：D.
8．B
【解析】直线过定点，作出图像如下图所示：
，，直线的斜率为，
若直线与线段的延长线相交（不含Q点），则，即.
故选：B
9．ACD
【解析】由题意则，
因为直线的斜率存在，所以，，
因此直线不平行，
所以方程组总有唯一解．故A，D错误，B正确．
若是方程组的一组解，则
则点，在直线，即上，
但已知这两个点在直线上，这两条直线不是同一条直线，
所以不可能是方程组的一组解，C错误．
故选：ACD
10．ACD
【解析】对于A，将l的方程化为，欲使l不经过第二象限，
当且仅当或成立，所以，故A正确；
对于B，点代入直线方程不成立，B不正确；
对于C，因为直线恒过第四象限内的点，所以不论a为何值，直线恒过第四象限，C正确；
对于D，直线的斜率始终存在，为，所以倾斜角不可能等于90°，D正确．
故选：ACD
11．BD
【解析】解：①当直线过原点时：直线方程为，化为一般式为，
②当直线不过原点时：设直线在两坐标轴上的截距都为，则直线方程为，
又直线过点，代入得，即，
直线方程为：，化为一般式为，
综上所求，直线的方程为或.
故选：BD.
12．AC
【解析】直线与都经过原点，而无论为何值，直线总不经过原点，
因此，要满足三条直线构成三角形，只需直线与另两条直线不平行，
所以．
故选：AC.
13．①③④
【解析】因为，所以点在直线上，①正确；
对，即，所以直线在y轴上的截距为2，②错误；
直线，即，其斜率为，倾斜角为120°，③正确；
设直线l方程为，沿x轴向左平移3个单位长度，
再沿y轴向上平移2个单位长度后得到，
即，由题意得，所以，④正确．
故答案为：①③④.
14．
【解析】由，得，
所以直线可化为，即，
令解得所以直线l过定点．
由，
由直线l不过第四象限知，，令，解得，
则实数a的取值范围是.
故答案为：
15．
【解析】由得，故要使方程表示一条直线，需与不同时为0，即
故答案为：.
16．或
【解析】由直线的斜率为，可设直线的方程为．
令，得；令，得．
由题意得，
∴，∴．
∴所求直线的方程为，
即或．
故答案为：或
17．
（1）
（2）
（3）
18．（1）；（2）或；（3）答案见解析.
【解析】（1）设所求直线的斜率为，依题意，
又直线经过点，∴所求直线方程为，即；
（2）当直线不过原点时，设所求直线方程为，
将代入所设方程，解得，∴直线方程为，
当直线过原点时，设直线方程为，则，解得，
∴直线方程为，即，
故所求直线方程为或；
（3）①当时，直线的方程为，
②当时，直线的方程为，即，
∵时，代入方程，即为，
∴直线的方程为.
19．（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）由，故直线过定点，且该点在第一象限，
∴无论为何值，直线必经过第一象限.
（2）由（1）知：要使直线不经过第二象限，则，而，
∴，即的取值范围.
20．（1）；（2）．
【解析】（1）由题意得，解得且
解得，所以．
故当时，直线在轴上的截距为．
（2）由题意得，解得且，
解得，所以．
故当时，直线的倾斜角为．
21．（1）；（2）；（3）；（4）或；（5）.
【解析】（1）因为直线经过点，斜率是，所以直线的点斜式方程为，即.
（2）因为直线经过点，倾斜角是，所以斜率为，
所以直线的点斜式方程为，即.
（3）设所求直线的斜率为，依题意，
又直线经过点，∴所求直线方程为，即；
（4）当直线不过原点时，设所求直线方程为，
将代入可得，解得，∴直线方程为；
当直线过原点时，设直线方程为，则，解得，
∴直线方程为，即；故所求直线方程为或；
（5）①当时，直线的方程为；
②当时，直线的方程为，即.
∵时，代入方程，即为，
∴直线的方程为.
22．，
【解析】∵，∴.①
由题意知，，
直线与轴、轴的交点坐标分别为，，
则，得.②
由①②，得，．