2.1.1 倾斜角与斜率 同步培优训练 -2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选修一（含解析）
文档属性
| 名称 | 2.1.1 倾斜角与斜率 同步培优训练 -2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选修一（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 548.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-11-17 10:09:36 | ||
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文档简介
2021-2022学年高二数学（人教A版2019选择性必修一）
2.1.1 倾斜角与斜率 同步培优训练
一、单选题。本大题共8小题，每小题只有一个选项符合题意。
1．直线l经过，两点，则直线l的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．若图中的直线，，的斜率分别为，，，则有（ ）
A． B． C． D．
3．直线l过点，且与以，为端点的线段总有公共点，则直线斜率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．下列说法中正确的个数是（ ）
①若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等；
②一条直线的倾斜角为；
③倾斜角为0°的直线只有一条；
④直线的倾斜角的集合与直线集合建立了一一对应关系．
A．0 B．1 C．2 D．3
5．已知直线经过第二、四象限，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）.
A． B． C． D．
6．下列命题为真命题的是（ ）
A．若直线的倾斜角为，则直线的斜率为
B．若直线的倾斜角为，则
C．若两条直线的倾斜角不相等，则它们中倾斜角大的，斜率较小
D．倾斜角和斜率都是反映直线相对于轴正方向的倾斜程度
7．图中的直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则（ ）
A．k1＜k2＜k3 B．k3＜k1＜k2
C．k3＜k2＜k1 D．k1＜k3＜k2
8．如图，若直线的斜率分别为，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题。本大题共4小题，每小题有两项或以上符合题意。
9．下列各组点中，共线的是（ ）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
10．以下四个命题正确的是（ ）
A．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应
B．若直线的倾斜角存在，则必有斜率与之对应
C．坐标平面上所有的直线都有倾斜角
D．坐标平面上并不是所有直线都有斜率
11．（多选）若直线与轴交于点，其倾斜角为，直线绕点顺时针旋转后得到直线，则直线的倾斜角可能为（ ）．
A． B． C． D．
12．如图，在平面直角坐标系中有三条直线，，，其对应的斜率分别为，，，则下列选项中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题。本大题共4小题。
13．已知经过两点，的直线的斜率大于1，则实数m的取值范围为______.
14．已知过点，的直线l的倾斜角为，若，则实数m的取值范围为______.
15．过两点、的直线的倾斜角为，则实数的值为_______.
16．已知两点，B（3，2），直线l经过点．若直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率的取值范围是________．
四、解答题。本大题共6小题，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程。
17．设，，是函数的图象上任意三个不同的点．求证：若，，三点共线，则．
18．已知实数x，y满足方程，当时，求的取值范围．
19．平面上有相异两点，B（0，1），求直线AB的倾斜角的取值范围．
20．如图，在菱形中，，求对角线与所在直线的斜率．
21．已知坐标平面内三点，，.
（1）求直线，，的斜率和倾斜角；
（2）若为的边上一动点，求直线的斜率的取值范围.
22．已知四边形ABCD的四个顶点是，，，，求证：四边形ABCD为矩形．
参考答案
1．C
【解析】设直线的倾斜角为，
由直线l的斜率，所以，
根据正切函数的图象与性质，可知或.
故选：C.
2．C
【解析】设直线，，的倾斜角分别为，，，
由图可知，
根据直线的斜率和倾斜角的关系，可得．
故选：C.
3．B
【解析】根据题意作出图象，如图所示：
当直线过时，设直线的斜率为，则；
当直线过时，设直线的斜率为，则，
所以要使直线与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是.
故选：B．
4．A
【解析】对于①，若两直线的倾斜角都等于，则它们的斜率不存在，故不正确；
对于②，一条直线的倾斜角的范围是，因此不可能为，故不正确；
对于③，所有与轴垂直的直线的倾斜角都为0°，即倾斜角为的直线有无数条，故不正确；
对于④，不同的直线可以有相同的倾斜角，即直线的倾斜角的集合与直线集合不是一一对应关系，故不正确．
所以正确命题的个数是0个．
故选：A．
5．D
【解析】直线倾斜角的取值范围是，
又直线经过第二、四象限，
∴直线的倾斜角的取值范围是，
故选：D.
6．D
【解析】对于A：若直线的倾斜角，则直线的斜率不存在，故选项A不正确；
对于B：若直线的倾斜角为，则，故选项B不正确；
对于C：举反例，如取直线的倾斜角为为，，满足，但，故选项C不正确；
对于D：由倾斜角和斜率的定义可知倾斜角和斜率都是反映直线相对于轴正方向的倾斜程度，故选项D正确；
故选：D.
7．D
【解析】由题可得，直线l1的倾斜角为钝角，
∴直线l1的斜率k1＜0，
由于l2、l3的倾斜角为锐角，且l2的倾斜角大于直线l3的倾斜角，
∴k2＞k3＞0，
∴k1＜k3＜k2，
故选：D．
8．C
【解析】直线的倾斜角为钝角，斜率为负，直线的倾斜角为锐角，斜率为正，且直线的倾斜角大于直线的倾斜角，直线的倾斜角大于直线的倾斜角.
所以，所以．
故选：C
9．AC
【解析】A中，三点都在直线上，共线；
B中，，，不共线；
C中，，，共线；
D中，，，不共线．
故选：AC．
10．ACD
【解析】有意义，则倾斜角必存在，所以A正确，
若，则不存在，所以B错误，C，D正确．
故选：ACD.
11．BC
【解析】因为直线的倾斜角的取值范围为，
所以当时，直线的倾斜角为，
当时，直线的倾斜角为．
故选：BC．
12．ABC
【解析】由题图可知，，，，且，可知A，B，C错误.
故选：ABC．
13．
【解析】由题意得，化为，解得.
所以实数m的取值范围是．
故答案为：．
14．
【解析】设直线l的斜率为k，
则，因为，
所以．所以，
即解得或.
故答案为： .
15．
【解析】依题意可得，直线的斜率为，且
又直线过两点、，
即，整理得，
可求得或，
经检验不合题意，故.
故答案为：
16．
【解析】根据题意作出图形：
直线的斜率为，
直线的斜率为，
所以过点的直线与线段没有公共点时，直线的斜率的取值范围是，
故答案为：.
17．证明见解析
【解析】∵，，是函数的图象上任意三个不同的点，
∴，，互不相等，且，，，
∵，，三点共线，
∴，即，
∴，整理得，即，
∵，
∴．
18．
【解析】因为的几何意义是过，两点的直线的斜率，点在直线的图象上，且，
所以可设，为直线上的两点，且，，如图所示：
所以，，
所以根据图象可得的取值范围是．
19．
【解析】因为两点是相异点，
所以，且，
得，
设直线的倾斜角为，则，
所以，
即.
所以直线AB的倾斜角的取值范围为：
20．；.
【解析】在菱形中，∵，∴，，
∴，，
∴直线的斜率，
直线的斜率．
21．（1）答案见解析；（2）.
【解析】（1）由斜率公式，得，，，
所以直线的倾斜角为0°，直线的倾斜角为60°，直线的倾斜角为30°.
（2）如图，当直线由绕点逆时针转到时，直线与线段恒有交点，即在线段上，此时由增大到，所以的取值范围为.
22．证明见解析.
【解析】因为四个点的横坐标各不相等，所以四边形四条边所在直线的斜率都存在，
所以，，，，
所以，，，
所以四边形四条边两两垂直，所以四边形四个内角都为，
所以四边形是矩形.
2.1.1 倾斜角与斜率 同步培优训练
一、单选题。本大题共8小题，每小题只有一个选项符合题意。
1．直线l经过，两点，则直线l的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．若图中的直线，，的斜率分别为，，，则有（ ）
A． B． C． D．
3．直线l过点，且与以，为端点的线段总有公共点，则直线斜率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．下列说法中正确的个数是（ ）
①若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等；
②一条直线的倾斜角为；
③倾斜角为0°的直线只有一条；
④直线的倾斜角的集合与直线集合建立了一一对应关系．
A．0 B．1 C．2 D．3
5．已知直线经过第二、四象限，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）.
A． B． C． D．
6．下列命题为真命题的是（ ）
A．若直线的倾斜角为，则直线的斜率为
B．若直线的倾斜角为，则
C．若两条直线的倾斜角不相等，则它们中倾斜角大的，斜率较小
D．倾斜角和斜率都是反映直线相对于轴正方向的倾斜程度
7．图中的直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则（ ）
A．k1＜k2＜k3 B．k3＜k1＜k2
C．k3＜k2＜k1 D．k1＜k3＜k2
8．如图，若直线的斜率分别为，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题。本大题共4小题，每小题有两项或以上符合题意。
9．下列各组点中，共线的是（ ）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
10．以下四个命题正确的是（ ）
A．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应
B．若直线的倾斜角存在，则必有斜率与之对应
C．坐标平面上所有的直线都有倾斜角
D．坐标平面上并不是所有直线都有斜率
11．（多选）若直线与轴交于点，其倾斜角为，直线绕点顺时针旋转后得到直线，则直线的倾斜角可能为（ ）．
A． B． C． D．
12．如图，在平面直角坐标系中有三条直线，，，其对应的斜率分别为，，，则下列选项中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题。本大题共4小题。
13．已知经过两点，的直线的斜率大于1，则实数m的取值范围为______.
14．已知过点，的直线l的倾斜角为，若，则实数m的取值范围为______.
15．过两点、的直线的倾斜角为，则实数的值为_______.
16．已知两点，B（3，2），直线l经过点．若直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率的取值范围是________．
四、解答题。本大题共6小题，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程。
17．设，，是函数的图象上任意三个不同的点．求证：若，，三点共线，则．
18．已知实数x，y满足方程，当时，求的取值范围．
19．平面上有相异两点，B（0，1），求直线AB的倾斜角的取值范围．
20．如图，在菱形中，，求对角线与所在直线的斜率．
21．已知坐标平面内三点，，.
（1）求直线，，的斜率和倾斜角；
（2）若为的边上一动点，求直线的斜率的取值范围.
22．已知四边形ABCD的四个顶点是，，，，求证：四边形ABCD为矩形．
参考答案
1．C
【解析】设直线的倾斜角为，
由直线l的斜率，所以，
根据正切函数的图象与性质，可知或.
故选：C.
2．C
【解析】设直线，，的倾斜角分别为，，，
由图可知，
根据直线的斜率和倾斜角的关系，可得．
故选：C.
3．B
【解析】根据题意作出图象，如图所示：
当直线过时，设直线的斜率为，则；
当直线过时，设直线的斜率为，则，
所以要使直线与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是.
故选：B．
4．A
【解析】对于①，若两直线的倾斜角都等于，则它们的斜率不存在，故不正确；
对于②，一条直线的倾斜角的范围是，因此不可能为，故不正确；
对于③，所有与轴垂直的直线的倾斜角都为0°，即倾斜角为的直线有无数条，故不正确；
对于④，不同的直线可以有相同的倾斜角，即直线的倾斜角的集合与直线集合不是一一对应关系，故不正确．
所以正确命题的个数是0个．
故选：A．
5．D
【解析】直线倾斜角的取值范围是，
又直线经过第二、四象限，
∴直线的倾斜角的取值范围是，
故选：D.
6．D
【解析】对于A：若直线的倾斜角，则直线的斜率不存在，故选项A不正确；
对于B：若直线的倾斜角为，则，故选项B不正确；
对于C：举反例，如取直线的倾斜角为为，，满足，但，故选项C不正确；
对于D：由倾斜角和斜率的定义可知倾斜角和斜率都是反映直线相对于轴正方向的倾斜程度，故选项D正确；
故选：D.
7．D
【解析】由题可得，直线l1的倾斜角为钝角，
∴直线l1的斜率k1＜0，
由于l2、l3的倾斜角为锐角，且l2的倾斜角大于直线l3的倾斜角，
∴k2＞k3＞0，
∴k1＜k3＜k2，
故选：D．
8．C
【解析】直线的倾斜角为钝角，斜率为负，直线的倾斜角为锐角，斜率为正，且直线的倾斜角大于直线的倾斜角，直线的倾斜角大于直线的倾斜角.
所以，所以．
故选：C
9．AC
【解析】A中，三点都在直线上，共线；
B中，，，不共线；
C中，，，共线；
D中，，，不共线．
故选：AC．
10．ACD
【解析】有意义，则倾斜角必存在，所以A正确，
若，则不存在，所以B错误，C，D正确．
故选：ACD.
11．BC
【解析】因为直线的倾斜角的取值范围为，
所以当时，直线的倾斜角为，
当时，直线的倾斜角为．
故选：BC．
12．ABC
【解析】由题图可知，，，，且，可知A，B，C错误.
故选：ABC．
13．
【解析】由题意得，化为，解得.
所以实数m的取值范围是．
故答案为：．
14．
【解析】设直线l的斜率为k，
则，因为，
所以．所以，
即解得或.
故答案为： .
15．
【解析】依题意可得，直线的斜率为，且
又直线过两点、，
即，整理得，
可求得或，
经检验不合题意，故.
故答案为：
16．
【解析】根据题意作出图形：
直线的斜率为，
直线的斜率为，
所以过点的直线与线段没有公共点时，直线的斜率的取值范围是，
故答案为：.
17．证明见解析
【解析】∵，，是函数的图象上任意三个不同的点，
∴，，互不相等，且，，，
∵，，三点共线，
∴，即，
∴，整理得，即，
∵，
∴．
18．
【解析】因为的几何意义是过，两点的直线的斜率，点在直线的图象上，且，
所以可设，为直线上的两点，且，，如图所示：
所以，，
所以根据图象可得的取值范围是．
19．
【解析】因为两点是相异点，
所以，且，
得，
设直线的倾斜角为，则，
所以，
即.
所以直线AB的倾斜角的取值范围为：
20．；.
【解析】在菱形中，∵，∴，，
∴，，
∴直线的斜率，
直线的斜率．
21．（1）答案见解析；（2）.
【解析】（1）由斜率公式，得，，，
所以直线的倾斜角为0°，直线的倾斜角为60°，直线的倾斜角为30°.
（2）如图，当直线由绕点逆时针转到时，直线与线段恒有交点，即在线段上，此时由增大到，所以的取值范围为.
22．证明见解析.
【解析】因为四个点的横坐标各不相等，所以四边形四条边所在直线的斜率都存在，
所以，，，，
所以，，，
所以四边形四条边两两垂直，所以四边形四个内角都为，
所以四边形是矩形.