2.3 直线的交点坐标与距离公式 同步培优训练-2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选修一（含解析）

2021-2022学年高二数学（人教A版2019选择性必修一）
2.3 直线的交点坐标与距离公式 同步培优训练
一、单选题。本大题共8小题，每小题只有一个选项符合题意。
1．若直线与直线的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．在平面直角坐标系xOy中，已知点，点，直线．如果对任意的，点A到直线l的距离均为定值，则点B关于直线l的对称点的坐标为（ ）．
A． B． C． D．
3．已知，，点P在x轴上，则使取得最小值的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．过点和点的直线与平行，则的值为（ ）
A．6 B．2 C． D．不能确定
5．两条直线：与：的交点坐标为（ ）．
A．
B．
C．
D．
6．对于平面直角坐标系内任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，定义它们之间的一种“新距离”:||AB||=|x2-x1|+|y2-y1|.给出下列三个命题:
①若点C在线段AB上，则||AC||+||CB||=||AB||；
②在△ABC中，若∠C=90°，则||AC||2+||CB||2=||AB||2；
③在△ABC上，||AC||+||CB||>||AB||.
其中的真命题为（ ）
A．①③ B．①② C．① D．③
7．已知三条直线，，不能构成三角形，则实数的取值集合为（ ）
A． B．
C． D．
8．设A，是轴上的两点，点的横坐标为2，且，若直线的方程为，则直线的方程是（ ）．
A． B．
C． D．
二、多选题。本大题共4小题，每小题有两项或以上符合题意。
9．已知直线与，则（ ）
A．与的交点坐标为
B．过与的交点且平行于直线的直线方程为
C．直线与坐标轴围成的三角形面积是直线与坐标轴围成的三角形面积的倍
D．过与的交点且垂直于直线的直线方程为
10．若P，Q分别为直线与上任意一点，则可能为（ ）
A． B． C． D．
11．已知直线和点，过点A作直线与直线l相交于点B，且，则直线l的方程是（ ）
A． B．
C． D．
12．已知直角坐标平面内的两点、，则（ ）
A．直线的一般式方程为
B．线段的中垂线所在直线的方程为
C．以向量为方向向量且过点的直线的方程为
D．一束光线从点射向轴，反射后的光线过点，则反射光线所在的直线方程为
三、填空题。本大题共4小题。
13．经过和的交点，且与垂直的直线方程为______.
14．已知实数x，y，则的最小值是______.
15．已知直线l过直线：与直线：的交点，且点到直线l的距离为2，则这样的直线l的条数为______．
16．曲线与直线相交于P，Q两点，当最小时，________．
四、解答题。本大题共6小题，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程。
17．已知的顶点，AB边上的高所在的直线的方程为，D为AC的中点，且BD所在的直线的方程为．
（1）求AB边所在的直线方程；
（2）求BC边所在的直线方程；
（3）求的面积．
18．已知直线，一束光线从点处射向x轴上一点B，又从点B反射到l上的一点C，最后从点C反射回点A．
（1）试判断由此得到的的个数；
（2）求直线BC的方程．
19．若点在直线上运动，求的最小值．
20．如图，点P为正方形内一点，且满足，用坐标法证明为等边三角形．
21．如图，△ABC中，BC边上的高所在直线的方程为x-2y+1=0，∠BAC的平分线所在直线的方程为y=0，若点B的坐标为(1，2)，求点A和点C的坐标.
22．（1）已知点A的坐标为，直线l的方程为，求点A关于直线l的对称点的坐标；
（2）求直线关于点对称的直线l的方程；
（3）求直线关于直线对称的直线l的方程.
参考答案
1．B
【解析】根据题意，联立，解得，
因直线与直线的交点位于第一象限，所以，解得，
又因且，所以.
故选：B.
2．B
【解析】由点到直线的距离公式可得点A到直线l的距离为．由于对任意的，点A到直线l的距离均为定值，所以，即，所以直线l的方程为．设点B关于直线l的对称点的坐标为，故解得所以点B关于直线l的对称点的坐标为．
故选:B．
3．B
【解析】因为关于x轴的对称点为，
所以所在的直线方程为，
即，
令得，所以.
故选：B
4．C
【解析】由题意知，即，则．
故.
故选：C
5．C
【解析】因为直线：，直线：，
由，解得：，
所以与两条直线的交点坐标为，
故选：C.
6．C
【解析】对于①，若点C在线段AB上，设点C的坐标为(x0，y0)，
则x0在x1、x2之间，y0在y1、y2之间，
则||AC||+||CB||=|x0-x1|+|y0-y1|+|x2-x0|+|y2-y0|=|x2-x1|+|y2-y1|=||AB||成立，故①正确；
对于②，在△ABC中，若∠C=90°，
则|AC|2+|CB|2=|AB|2是几何距离而非题目定义的“新距离”，所以②不正确；
对于③，在△ABC中，
||AC||+||CB||=|x0-x1|+|y0-y1|+|x2-x0|+|y2-y0|≥|(x0-x1)+(x2-x0)|+|(y0-y1)+(y2-y0)|=|x2-x1|+|y2-y1|=||AB||.
当x0-x1与x2-x0同号，且y0-y1与y2-y0同号时，等号成立，故③不一定成立.
因此只有命题①成立，
故选：C.
7．D
【解析】由题知：
①当直线与直线平行时，三条直线不能构成三角形.
即.
②当直线与直线平行时，三条直线不能构成三角形.
即.
③当直线过直线与直线交点时，
三条直线不能构成三角形.
所以，解得，
将代入，解得.
所以实数的取值集合为.
故选：D.
8．A
【解析】解：易知,,
∵，∴点在线段的垂直平分线，
即直线上，∴,,
∴直线的斜率，
∴直线的方程为，∴．
故选：A.
9．AB
【解析】对于A，由，解得，所以与的交点坐标是，A正确．
对于B，设过与的交点且平行于直线的直线的方程为，
把点代入得，得，故所求直线的方程为，B正确；
对于C，直线交轴于点，交轴于点，
故直线与坐标轴围成的三角形面积为，
直线交轴于点，交轴于点，
直线与坐标轴围成的三角形面积为，所以C不正确；
对于D，设过与的交点且垂直于直线的直线的方程为，
把点代入得，得，
故所求直线的方程为，D不正确．
故选：AB.
10．ACD
【解析】因为直线与平行，
所以的最小值即为两平行直线间的距离，
因为两平行直线间的距离，所以.
故选：ACD.
11．AB
【解析】由于点B在l上，可设点B的坐标为．
由，化简得，解得或．
当时，直线的方程为；当时，点B的坐标为，
直线的方程为：．
综上，直线的方程为或．
故选：AB
12．ACD
【解析】对于A，直线的斜率为，
所以直线的方程为，即，故选项A正确；
对于B，由中点坐标公式可得，线段的中点坐标为，
又直线的斜率为，所以线段的中垂线的斜率为，
则线段的中垂线所在直线的方程，即.
故选项B错误；
对于C，由直线的方向向量与其斜率间的关系可知直线的斜率为，
由直线的点斜式可知，直线的方程为，即，
故选项C正确；
对于D，关于轴的对称点为，
所以直线的斜率为，则直线的方程为，
即反射光线所在的直线方程为，故选项D正确.
故选：ACD.
13．
【解析】解法1：由得.
又的斜率为，故所求直线的斜率为2，
由点斜式得，即．
解法2 ：设所求的直线方程为，
即，由题意得，得，
所以所求直线方程为．
故答案为：.
14．
【解析】如图所示，设点，，，，，
则.
因为，，
所以（当且仅当A是OC与BD的交点时等号成立）．
所以的最小值是．
故答案为：
15．2
【解析】依题意，设经过直线，交点的直线l的方程为，即①．由题意得，化简得，解得或，代入①得直线l的方程为或，所以满足条件的直线l有2条．
故答案为：2.
16．
【解析】联立得或
设，则
当且仅当，即时，取最小值
故答案为：
17．
（1）
（2）
（3）18
18．
（1）1个
（2）
19．13
【解析】
表示轴上一点到两点的距离之和，
中，两边之和大于第三边，
当在一直线且P在AB之间时，PAB退化为线段，
此时，即有最小值AB；
AB在轴两侧，所以P就是直线AB和轴交点，
最小值存在，就是AB距离
故答案为：13.
20．证明见解析.
【解析】以点为坐标原点，、的方向分别为、轴的正方向建立如下图所示的平面直角坐标系，
设正方形的边长为，则，，，
因为，则、，
所以，，同理可得，
因此，为等边三角形.
21．A(-1，0)，C(5，-6).
【解析】由方程组得顶点A(-1，0)，
则边AB所在直线的斜率kAB==1.
∵∠BAC的平分线所在直线的方程为y=0，
∴直线AC的斜率为-1，AC所在直线的方程为y=-(x+1).
∵BC边上的高所在直线的方程为x-2y+1=0，∴kBC=-2.
又点B的坐标为(1，2)，
∴BC所在直线的方程为y=-2(x-1)+2.
由得C(5，-6).
综上，A(-1，0)，C(5，-6).
22．（1）；（2）；（3）.
【解析】（1）过点且与直线垂直的直线的方程为，
由得，
即直线与直线的交点坐标为，
∵点关于点的对称点的坐标为，
∴点A关于直线l的对称点的坐标为.
（2）取直线l上任一点，其关于点的对称点在直线上，
∴，整理得，
即所求直线l的方程为.
（3）由得
∴两直线的交点为，
在直线上取点，
设点B关于直线的对称点为，
则有
解得即点C的坐标为，
由于所求直线经过A C两点，则有，
即，
∴所求直线l的方程为.