3.1.1 椭圆及其标准方程 同步课时训练-2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选修一（含解析）
文档属性
| 名称 | 3.1.1 椭圆及其标准方程 同步课时训练-2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选修一（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 669.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-11-17 10:17:20 | ||
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文档简介
2021-2022学年高二数学（人教A版2019选择性必修一）
3.1.1 椭圆及其标准方程 同步课时训练
一、单选题。本大题共8小题，每小题只有一个选项符合题意。
1．已知点，在椭圆上，则椭圆的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
2．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，两个焦点恰好将长轴三等分，则该椭圆的标准方程是（ ）
A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1
3．设P是椭圆上的点，P到该椭圆左焦点的距离为2，则P到右焦点的距离为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
4．已知椭圆的右焦点为，为椭圆上一动点，定点，则的最小值为（ ）
A．1 B．－1 C． D．
5．已知椭圆的一个焦点坐标为，则的值为（ ）
A．1 B．3 C．9 D．81
6．如图，椭圆的长轴为，椭圆的短轴为，且与的离心率相同，直线与，相交于四点，这四点按纵坐标从大到小依次为，，，，若，为坐标原点，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一动点（异于左、右顶点），若△的周长为6，且面积的最大值为，则椭圆的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
8．已知，是圆上一动点，线段的垂直平分线交于点，则动点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题。本大题共4小题，每小题有两项或以上符合题意。
9．(多选)已知F1(－1，0)，F2(1，0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线与椭圆C交于A，B两点，且|AB|＝3，则（ ）
A．椭圆的焦点在y轴上
B．△ABF1的周长为6
C．△AF1F2的周长为6
D．椭圆C的方程为＝1
10．已知是椭圆上一点，椭圆的左 右焦点分别为，且，则（ ）
A．的周长为 B．
C．点到轴的距离为 D．
11．已知动圆Р与圆C1：外切，且与圆C2：内切，动圆圆心Р的轨迹方程为C，则下列说法正确的是（ ）
A．轨迹方程C为 B．轨迹方程C的焦距为3
C．轨迹方程C的长轴为10 D．轨迹方程C的离心率为
12．已知椭圆=1与椭圆=1有相同的长轴，椭圆=1的短轴长与椭圆=1的短轴长相等，则下列结论不正确的有（ ）
A．a2=25，b2=16 B．a2=9，b2=25
C．a2=25，b2=9或a2=9，b2=25 D．a2=25，b2=9
三、填空题。本大题共4小题。
13．若椭圆的两焦点分别为，，点P在椭圆上，且三角形的面积的最大值为12，则此椭圆方程是________．
14．已知三角形ABC的周长是8，顶点B，C的坐标分别为，（1，0），则顶点A的轨迹方程为________．
15．已知椭圆的两个焦点分别为，，过点作直线交椭圆于A，B两点，则三角形的周长为________．
16．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的焦距为4，直线l：y＝2x与椭圆C相交于点A、B，点P是椭圆C上异于点A、B的动点，直线PA、PB的斜率分别为k1、k2，且k1 k2＝，则椭圆C的标准方程是__．
四、解答题。本大题共6小题，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程。
17．求适合下列条件的椭圆的标准方程．
（1）焦点分别为，，经过点；
（2）经过两点，．
18．已知椭圆．设O为原点．若点A在椭圆C上，点B在直线上，且，试判断直线AB与圆的位置关系，并证明你的结论．综合性问题，对于平面内定点F（1，0）与定直线，设d为点P到直线l的距离．若，你知道此时动点P的轨迹是什么样的曲线吗？为什么？
19．如图，已知A，B是两定点，且．动点M到点A的距离是4，线段MB的垂直平分线l交MA于点P，求当M变化时，动点P的轨迹方程．
20．（1）已知，是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，求的最大值；
（2）已知，是椭圆的左焦点，点是椭圆上的动点，求的最大值和最小值．
21．已知点是圆上任意一点，点与点关于原点对称，线段的垂直平分线分别与，交于，两点.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）过点的动直线与点的轨迹交于，两点，在轴上是否存在定点，使以为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
22．设O是坐标原点，以为焦点的椭圆的长轴长为，以为直径的圆和C恰好有两个交点，
（1）求C的方程；
（2）P是C外的一点，设其坐标为，过P的直线均与C相切，且的斜率之积为，记u为的最小值，求u的取值范围．
参考答案
1．B
【解析】由题意得，解得，，所以椭圆的标准方程为．
故选：B
2．A
【解析】由题意，长轴，长轴三等分后，
故，
则该椭圆的标准方程是＋＝1
故选：.
3．C
【解析】设该椭圆左焦点为，右焦点为，由题可知，所以，而，所以．
故选：C．
4．A
【解析】设椭圆的左焦点为，则，可得，
所以，
如图所示，当且仅当，，三点共线（点在线段上）时，
此时取得最小值，
又由椭圆，可得且，所以，所以的最小值为1．
故选：A．
5．A
【解析】由椭圆的一个焦点坐标为，则半焦距c=2，
于是得，解得，
所以的值为1.
故选：A
6．D
【解析】在椭圆中，，所以，得，则椭圆的标准方程为．
由题意知，将与和的方程分别联立，得，，
又，，所以和的斜率相同，
所以，解得．
故选：D.
7．A
【解析】由椭圆的定义可得，
∴①，
当点为上顶点或下顶点时，△的面积取得最大值为，
∴②．又③，
由①②③，得，，，
∴椭圆的标准方程为．
故选：A
8．A
【解析】解：由题意，可知圆的标准方程为，圆心为，半径为6．
∵线段的垂直平分线交于点，∴，∴，
∴点的轨迹是以，为焦点的椭圆，∴，，，∴其轨迹方程为．
故选：A．
9．CD
【解析】显然椭圆的焦点在x轴上，A错误．
设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，c＝1．
因为过F2且垂直于x轴的直线与椭圆交于A，B两点，设A(c，y1)，
代入方程可得＋＝1．求得．由于|AB|＝3，
所以＝，b2＝a2－c2，所以a2＝4，a＝2，b2＝a2－c2＝4－1＝3，
椭圆的方程为，△ABF1的周长为4a＝8，△AF1F2的周长为2a＋2c＝6．
故选：CD
10．BCD
【解析】A．因为，
所以，故错误；
B．因为，，
所以，
所以，所以，故正确；
C．设点到轴的距离为，
所以，所以，故正确；
D．因为，故正确；
故选：BCD.
11．ACD
【解析】圆C1：的圆心，半径，圆C2：的圆心，半径，
设点，动圆的半径为，则由题意得，
所以，即动点P到两个定点的距离之和为10.
又因为，所以点P在以两定点为焦点，10为长轴长的椭圆上.
所以设此椭圆的轨迹方程为C为，这里，，则，
因此，动圆圆心P所在的曲线方程为：.所以轨迹方程为C的焦距为6，轨迹方程为C的长轴长为10，轨迹方程为C的离心率为，
故选：ACD.
12．ABC
【解析】椭圆的长轴长为10，椭圆的短轴长为6，
由题意可知椭圆的焦点在x轴上，即有，.故只有D对
故选：ABC
13．##
【解析】依题意，椭圆焦点在轴上，
三角形的面积的最大值为，
所以，
所以椭圆方程为.
故答案为：
14．
【解析】设，，
所以，即点是以顶点为焦点的椭圆，，，
则，
所以椭圆方程，因为三点不能共线，所以，
则顶点A的轨迹方程为.
故答案为：
15．20
【解析】依题意椭圆方程为，所以，
所以三角形的周长为.
故答案为：
16．＝1
【解析】设P（x0，y0），A（x1，y1），B（﹣x1，﹣y1），则，，
两式作差得．
因为直线PA，PB的斜率都存在，所以≠0．
所以＝﹣＝﹣＝﹣k1 k2＝，则，
又因为焦距为4，则，联立两式可得
所以该椭圆的方程为：＝1
故答案为：＝1
17．
（1）
（2）
18．直线AB与圆相切，证明见解析；动点P的轨迹是椭圆，理由见解析.
【解析】解：直线AB与圆相切，证明如下：
设，其中，
因为，所以，
即，解得，
当时，，代入椭圆，得，
故直线的方程为，圆心到直线的距离，
此时直线AB与圆相切；
当时，直线的方程为，
即，
圆心到直线的距离，
又，，
故，
所以此时直线AB与圆相切，
综上所述，直线AB与圆相切.
动点P的轨迹是椭圆，证明如下：
设，
则，，
则，即，
整理得，
所以动点P的轨迹是一个中心不在原点的椭圆.
19．
【解析】设，因为线段MB的垂直平分线l交MA于点P，所以，
即有，所以点P的轨迹是以为焦点，焦距为，长轴长为的椭圆，若以所在直线为轴，的垂直平分线为轴，则，，，故动点P的轨迹方程为．
20．（1）100；（2）的最大值为，最小值为．
【解析】（1）∵，，当且仅当时取等号，
∴，当且仅当时取等号，
∴的最大值为100．
（2）设为椭圆的右焦点，可化为，
由已知，得，∴，
∴．
①当时，有，等号成立时，最大，此时点是射线与椭圆的交点，的最大值是．
②当时，有，等号成立时，最小，此时点是射线与椭圆的交点，的最小值是．
综上，可知的最大值为，最小值为．
21．（1）（2）在轴上存在定点满足题意.
【解析】（1）由题意得，
∴点的轨迹为以为焦点的椭圆
∵，
∴
∴点的轨迹的方程为.
（2）当直线的斜率存在时，可设其方程为，设
联立可得，
由求根公式可得
假设在轴上存在定点，使以为直径的圆恒过这个点，
则即
∵
，
，
由解得
∴在轴上存在定点，使以为直径的圆恒过这个点.
当直线的斜率不存在时，经检验可知也满足以为直径的圆恒过点.
因此在轴上存在定点，使以为直径的圆恒过这个点.
22．（1）；（2）.
【解析】（1）由题意知：，
∴，又以为直径的圆和C恰好有两个交点，则，
∵，可得，
∴椭圆C的方程为；
（2）由题意知，直线、的斜率存在且不为零，
设过的切线，
联立椭圆方程，消去y可得，
由直线l与椭圆C相切，则，
整理可得（易知），
设直线、的斜率分别为、，它们是上述方程的两根，
∴，整理得，则，
∴，易知：当时，有，
∵，
∴，即u的取值范围是．
3.1.1 椭圆及其标准方程 同步课时训练
一、单选题。本大题共8小题，每小题只有一个选项符合题意。
1．已知点，在椭圆上，则椭圆的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
2．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，两个焦点恰好将长轴三等分，则该椭圆的标准方程是（ ）
A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1
3．设P是椭圆上的点，P到该椭圆左焦点的距离为2，则P到右焦点的距离为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
4．已知椭圆的右焦点为，为椭圆上一动点，定点，则的最小值为（ ）
A．1 B．－1 C． D．
5．已知椭圆的一个焦点坐标为，则的值为（ ）
A．1 B．3 C．9 D．81
6．如图，椭圆的长轴为，椭圆的短轴为，且与的离心率相同，直线与，相交于四点，这四点按纵坐标从大到小依次为，，，，若，为坐标原点，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一动点（异于左、右顶点），若△的周长为6，且面积的最大值为，则椭圆的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
8．已知，是圆上一动点，线段的垂直平分线交于点，则动点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题。本大题共4小题，每小题有两项或以上符合题意。
9．(多选)已知F1(－1，0)，F2(1，0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线与椭圆C交于A，B两点，且|AB|＝3，则（ ）
A．椭圆的焦点在y轴上
B．△ABF1的周长为6
C．△AF1F2的周长为6
D．椭圆C的方程为＝1
10．已知是椭圆上一点，椭圆的左 右焦点分别为，且，则（ ）
A．的周长为 B．
C．点到轴的距离为 D．
11．已知动圆Р与圆C1：外切，且与圆C2：内切，动圆圆心Р的轨迹方程为C，则下列说法正确的是（ ）
A．轨迹方程C为 B．轨迹方程C的焦距为3
C．轨迹方程C的长轴为10 D．轨迹方程C的离心率为
12．已知椭圆=1与椭圆=1有相同的长轴，椭圆=1的短轴长与椭圆=1的短轴长相等，则下列结论不正确的有（ ）
A．a2=25，b2=16 B．a2=9，b2=25
C．a2=25，b2=9或a2=9，b2=25 D．a2=25，b2=9
三、填空题。本大题共4小题。
13．若椭圆的两焦点分别为，，点P在椭圆上，且三角形的面积的最大值为12，则此椭圆方程是________．
14．已知三角形ABC的周长是8，顶点B，C的坐标分别为，（1，0），则顶点A的轨迹方程为________．
15．已知椭圆的两个焦点分别为，，过点作直线交椭圆于A，B两点，则三角形的周长为________．
16．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的焦距为4，直线l：y＝2x与椭圆C相交于点A、B，点P是椭圆C上异于点A、B的动点，直线PA、PB的斜率分别为k1、k2，且k1 k2＝，则椭圆C的标准方程是__．
四、解答题。本大题共6小题，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程。
17．求适合下列条件的椭圆的标准方程．
（1）焦点分别为，，经过点；
（2）经过两点，．
18．已知椭圆．设O为原点．若点A在椭圆C上，点B在直线上，且，试判断直线AB与圆的位置关系，并证明你的结论．综合性问题，对于平面内定点F（1，0）与定直线，设d为点P到直线l的距离．若，你知道此时动点P的轨迹是什么样的曲线吗？为什么？
19．如图，已知A，B是两定点，且．动点M到点A的距离是4，线段MB的垂直平分线l交MA于点P，求当M变化时，动点P的轨迹方程．
20．（1）已知，是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，求的最大值；
（2）已知，是椭圆的左焦点，点是椭圆上的动点，求的最大值和最小值．
21．已知点是圆上任意一点，点与点关于原点对称，线段的垂直平分线分别与，交于，两点.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）过点的动直线与点的轨迹交于，两点，在轴上是否存在定点，使以为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
22．设O是坐标原点，以为焦点的椭圆的长轴长为，以为直径的圆和C恰好有两个交点，
（1）求C的方程；
（2）P是C外的一点，设其坐标为，过P的直线均与C相切，且的斜率之积为，记u为的最小值，求u的取值范围．
参考答案
1．B
【解析】由题意得，解得，，所以椭圆的标准方程为．
故选：B
2．A
【解析】由题意，长轴，长轴三等分后，
故，
则该椭圆的标准方程是＋＝1
故选：.
3．C
【解析】设该椭圆左焦点为，右焦点为，由题可知，所以，而，所以．
故选：C．
4．A
【解析】设椭圆的左焦点为，则，可得，
所以，
如图所示，当且仅当，，三点共线（点在线段上）时，
此时取得最小值，
又由椭圆，可得且，所以，所以的最小值为1．
故选：A．
5．A
【解析】由椭圆的一个焦点坐标为，则半焦距c=2，
于是得，解得，
所以的值为1.
故选：A
6．D
【解析】在椭圆中，，所以，得，则椭圆的标准方程为．
由题意知，将与和的方程分别联立，得，，
又，，所以和的斜率相同，
所以，解得．
故选：D.
7．A
【解析】由椭圆的定义可得，
∴①，
当点为上顶点或下顶点时，△的面积取得最大值为，
∴②．又③，
由①②③，得，，，
∴椭圆的标准方程为．
故选：A
8．A
【解析】解：由题意，可知圆的标准方程为，圆心为，半径为6．
∵线段的垂直平分线交于点，∴，∴，
∴点的轨迹是以，为焦点的椭圆，∴，，，∴其轨迹方程为．
故选：A．
9．CD
【解析】显然椭圆的焦点在x轴上，A错误．
设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，c＝1．
因为过F2且垂直于x轴的直线与椭圆交于A，B两点，设A(c，y1)，
代入方程可得＋＝1．求得．由于|AB|＝3，
所以＝，b2＝a2－c2，所以a2＝4，a＝2，b2＝a2－c2＝4－1＝3，
椭圆的方程为，△ABF1的周长为4a＝8，△AF1F2的周长为2a＋2c＝6．
故选：CD
10．BCD
【解析】A．因为，
所以，故错误；
B．因为，，
所以，
所以，所以，故正确；
C．设点到轴的距离为，
所以，所以，故正确；
D．因为，故正确；
故选：BCD.
11．ACD
【解析】圆C1：的圆心，半径，圆C2：的圆心，半径，
设点，动圆的半径为，则由题意得，
所以，即动点P到两个定点的距离之和为10.
又因为，所以点P在以两定点为焦点，10为长轴长的椭圆上.
所以设此椭圆的轨迹方程为C为，这里，，则，
因此，动圆圆心P所在的曲线方程为：.所以轨迹方程为C的焦距为6，轨迹方程为C的长轴长为10，轨迹方程为C的离心率为，
故选：ACD.
12．ABC
【解析】椭圆的长轴长为10，椭圆的短轴长为6，
由题意可知椭圆的焦点在x轴上，即有，.故只有D对
故选：ABC
13．##
【解析】依题意，椭圆焦点在轴上，
三角形的面积的最大值为，
所以，
所以椭圆方程为.
故答案为：
14．
【解析】设，，
所以，即点是以顶点为焦点的椭圆，，，
则，
所以椭圆方程，因为三点不能共线，所以，
则顶点A的轨迹方程为.
故答案为：
15．20
【解析】依题意椭圆方程为，所以，
所以三角形的周长为.
故答案为：
16．＝1
【解析】设P（x0，y0），A（x1，y1），B（﹣x1，﹣y1），则，，
两式作差得．
因为直线PA，PB的斜率都存在，所以≠0．
所以＝﹣＝﹣＝﹣k1 k2＝，则，
又因为焦距为4，则，联立两式可得
所以该椭圆的方程为：＝1
故答案为：＝1
17．
（1）
（2）
18．直线AB与圆相切，证明见解析；动点P的轨迹是椭圆，理由见解析.
【解析】解：直线AB与圆相切，证明如下：
设，其中，
因为，所以，
即，解得，
当时，，代入椭圆，得，
故直线的方程为，圆心到直线的距离，
此时直线AB与圆相切；
当时，直线的方程为，
即，
圆心到直线的距离，
又，，
故，
所以此时直线AB与圆相切，
综上所述，直线AB与圆相切.
动点P的轨迹是椭圆，证明如下：
设，
则，，
则，即，
整理得，
所以动点P的轨迹是一个中心不在原点的椭圆.
19．
【解析】设，因为线段MB的垂直平分线l交MA于点P，所以，
即有，所以点P的轨迹是以为焦点，焦距为，长轴长为的椭圆，若以所在直线为轴，的垂直平分线为轴，则，，，故动点P的轨迹方程为．
20．（1）100；（2）的最大值为，最小值为．
【解析】（1）∵，，当且仅当时取等号，
∴，当且仅当时取等号，
∴的最大值为100．
（2）设为椭圆的右焦点，可化为，
由已知，得，∴，
∴．
①当时，有，等号成立时，最大，此时点是射线与椭圆的交点，的最大值是．
②当时，有，等号成立时，最小，此时点是射线与椭圆的交点，的最小值是．
综上，可知的最大值为，最小值为．
21．（1）（2）在轴上存在定点满足题意.
【解析】（1）由题意得，
∴点的轨迹为以为焦点的椭圆
∵，
∴
∴点的轨迹的方程为.
（2）当直线的斜率存在时，可设其方程为，设
联立可得，
由求根公式可得
假设在轴上存在定点，使以为直径的圆恒过这个点，
则即
∵
，
，
由解得
∴在轴上存在定点，使以为直径的圆恒过这个点.
当直线的斜率不存在时，经检验可知也满足以为直径的圆恒过点.
因此在轴上存在定点，使以为直径的圆恒过这个点.
22．（1）；（2）.
【解析】（1）由题意知：，
∴，又以为直径的圆和C恰好有两个交点，则，
∵，可得，
∴椭圆C的方程为；
（2）由题意知，直线、的斜率存在且不为零，
设过的切线，
联立椭圆方程，消去y可得，
由直线l与椭圆C相切，则，
整理可得（易知），
设直线、的斜率分别为、，它们是上述方程的两根，
∴，整理得，则，
∴，易知：当时，有，
∵，
∴，即u的取值范围是．