3.2.1 双曲线及其标准方程 同步课时训练-2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选修一（含解析）

2021-2022学年高二数学（人教A版2019选择性必修一）
3.2.1 双曲线及其标准方程 同步课时训练
一、单选题。本大题共8小题，每小题只有一个选项符合题意。
1．设，是双曲线：的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的面积为（ ）
A． B．3 C． D．2
2．若方程表示双曲线，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．已知双曲线的实轴的一个端点为，虚轴的一个端点为，且，则双曲线方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．已知是双曲线的左焦点，点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为（ ）
A．9 B．5 C．8 D．4
5．方程表示双曲线，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．过双曲线的右支上的一点分别向圆：和圆：()作切线，切点分别为、，若的最小值为，则（ ）
A． B． C． D．
7．若双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，则等于（ ）
A．11 B．9 C．5 D．3
8．动圆与圆x2+y2=1和x2+y2-8x+12=0都外切，则动圆圆心的轨迹是（ ）
A．双曲线的一支 B．圆 C．椭圆 D．双曲线
二、多选题。本大题共4小题，每小题有两项或以上符合题意。
9．已知方程表示的曲线为则以下四个判断正确的为（ ）
A．当时，曲线表示椭圆
B．当或时，曲线表示双曲线
C．若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则
D．若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则
10．（多选）已知方程表示曲线，则（ ）
A．当时，曲线一定是椭圆
B．当或时，曲线一定是双曲线
C．若曲线是焦点在轴上的椭圆，则
D．若曲线是焦点在轴上的双曲线，则
11．方程表示的曲线为，下列正确的命题是（ ）
A．曲线不可能是圆；
B．若，则曲线为椭圆；
C．若曲线为双曲线，则或；
D．若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则.
12．已知集合，、，则对于方程的说法正确的是（ ）
A．可表示个不同的圆 B．可表示个不同的椭圆
C．可表示个不同的双曲线 D．表示焦点位于轴上的椭圆的有个
三、填空题。本大题共4小题。
13．如图，已知双曲线中，半焦距，，分别为左 右焦点，P为双曲线上的点，，，则双曲线的标准方程为___________.
14．已知圆：和圆：，动圆同时与圆及圆外切，则动圆的圆心的轨迹方程为______．
15．已知双曲线(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，若|PF1|－|PF2|＝b，且双曲线的焦距为2，则该双曲线的方程为__________．
16．已知双曲线：，分别是双曲线的左、右焦点，为右支上一点，在线段上取“的周长中点”，满足，同理可在线段上也取“的周长中点”.若的面积最大值为1，则________．
四、解答题。本大题共6小题，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程。
17．如图已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，内切圆的圆心为．
（1）求点的横坐标；
（2）若，，的面积满足，求的值．
18．根据下列条件，求双曲线的标准方程：
（1）半焦距为，经过点，且焦点在轴上；
（2）两个焦点的坐标分别为，，双曲线上一点到，的距离之差的绝对值等于6；
（3）与双曲线有公共焦点，且过点．
19．已知的一边的两个顶点、，另两边的斜率之积等于．求顶点的轨迹方程，并且根据的取值情况讨论轨迹的图形．
20．已知，曲线由曲线和曲线组成，其中曲线的右焦点为，曲线的左焦点.
（1）求的值；
（2）若直线过点交曲线于点，求面积的最大值.
21．已知F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，且其上一点P到焦点F1的距离为10.求点P到F2的距离.
22．如图所示，已知定圆F1：x2＋y2＋10x＋24＝0，定圆F2：x2＋y2－10x＋9＝0，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程.
参考答案
1．B
【解析】由已知，不妨设，，因为，
所以点在以为直径的圆上，即是以为直角顶点的直角三角形，
故，即，又，
所以，
解得，所以，
故选：B．
2．A
【解析】解：因为方程表示双曲线，所以，所以，即.
故选：A
3．C
【解析】依题意，，
所以双曲线的方程为.
故选：C
4．A
【解析】设右焦点为，则，依题意，有，
，（当在线段上时，取等号）．
故的最小值为9.
故选：A.
5．A
【解析】因为方程表示双曲线，
所以，
即，
解得：.
故选：A.
6．A
【解析】设、是双曲线的左、右焦点，也是、的圆心，
∴
，
显然其最小值为，.
故选：A.
7．B
【解析】由双曲线的定义得，即，
因为，所以.
故选：B.
8．A
【解析】设动圆的圆心为M，半径为r，圆x2+y2=1与x2+y2-8x+12=0的圆心分别为O1和O2，半径分别为1和2，由两圆外切的充要条件，得|MO1|=r+1，|MO2|=r+2.∴|MO2|-|MO1|=1<|O1O2|=4，∴动点M的轨迹是双曲线的一支(靠近O1).
故选：A.
9．BCD
【解析】若曲线：表示椭圆，则且，故A不正确；
若曲线：表示双曲线，则或，故B正确；
若曲线：表示焦点在轴上的椭圆，则，故C正确；
若曲线：表示焦点在轴上的双曲线，则，故D正确；
故选：BCD
10．BD
【解析】对于A，当时，曲线是圆，故A错误；
对于B，当时，曲线是焦点在轴上的双曲线，
当时，曲线是焦点在轴上的双曲线，故B正确；
对于C，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，故C错误；
对于D，若曲线是焦点在轴上的双曲线，则，解得，故D正确．
故选BD．
11．CD
【解析】①，当时为曲线C为圆,故A错误；
②若C为椭圆得：解得： 且，故B错误；
③若为双曲线，解得；或，故C正确；
④表示焦点在轴上的椭圆，得 解得，故D正确．
故选：.
12．ABD
【解析】对于A选项，若方程表示圆，则符合条件的有：、、，
A选项正确；
对于B选项，若方程表示椭圆，则符合条件的有：、、、、、，B选项正确；
对于C选项，若方程表示双曲线，则符合条件的有：、、、、、，C选项错误；
对于D选项，若方程表示焦点位于轴上的椭圆，
则符合条件的有：、、，故D选项正确.
故选：ABD.
13．
【解析】由双曲线的定义得，
在中，由余弦定理得：
，
整理得，
所以，
因为，可得，解得，
又由，且，可得，
所以双曲线的标准方程为.
故答案为：.
14．
【解析】如图所示，设动圆与圆及圆分别外切于点和点，
根据两圆外切的条件，得，．
因为，所以，
即，
所以点到两定点，的距离的差是常数且小于．
根据双曲线的定义，得动点的轨迹为双曲线的左支，其中，，则．
故点的轨迹方程为．
故答案为：.
15．x2－＝1
【解析】由题意得
解得
则该双曲线的方程为x2－＝1.
故答案为：x2－＝1
16．
【分析】
根据题目中对周长中点的定义，可以列出图像中各线段之间的关系，将两式相加，相减，得到与双曲线定义，焦距相关的式子，结合三角形的面积公式，即可求解
【解析】解：由题意作出图形，
设双曲线的焦距为,根据题意可得：
,①
,②
①②得：，即
所以，所以：
①②得：
所以,
所以, ,
所以当时, 的面积取最大值,
所以,
所以,
故答案为: .
17．
（1）1（2）
18．
（1）（2）（3）
19．答案见解析
【解析】设顶点的坐标为，则，，
因为，则有，即，
当时，轨迹是中心在原点，焦点在轴上的双曲线（除去与轴的两个交点）；
当时，轨迹是中心在原点，焦点在轴上的椭圆（除去与轴的两个交点）；
当时，轨迹是中心在原点，焦点在轴上的椭圆（除去与轴的两个交点）；
当时，轨迹是圆心在原点，半径为的圆（除去与轴的两个交点）.
20．（1）；（2）最大值为.
【解析】解：（1）由题意：，
，解得即
（2）由（1）知，曲线，点，
设直线的方程为：，
联立得：，
，又，，
设，
，，
，
面积，
令，，
，
当且仅当，即时等号成立，
所以面积的最大值为.
21．4或16.
【解析】由双曲线的标准方程，可得，
由双曲线定义得，即，解得或.
22．.
【解析】圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，圆心F1(－5,0)，半径r1＝1.
圆F2：(x－5)2＋y2＝42，圆心F2(5,0)，半径r2＝4.
设动圆M的半径为R，则有|MF1|＝R＋1，|MF2|＝R＋4，
∴|MF2|－|MF1|＝3＜10＝|F1F2|.
∴点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的左支，
且a＝，c＝5，于是b2＝c2－a2＝.
故动圆圆心M的轨迹方程为.