2.5.1 直线与圆的位置关系 同步培优训练-2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选修一（含解析）
文档属性
| 名称 | 2.5.1 直线与圆的位置关系 同步培优训练-2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选修一（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 819.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-11-17 10:27:29 | ||
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文档简介
2021-2022学年高二数学（人教A版2019选择性必修一）
2.5.1 直线与圆的位置关系 同步培优训练
一、单选题。本大题共8小题，每小题只有一个选项符合题意。
1．若对圆上任意一点，的取值与x，y无关，则实数a的取值范围是( )．
A． B．
C．或 D．
2．由直线上的一点向圆C：引切线，则切线长的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
3．已知圆的方程为，设该圆过点的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（ ）
A． B．
C． D．
4．已知直线与圆相切，则三条边长分别为，，的三角形（ ）
A．是锐角三角形 B．是直角三角形
C．是钝角三角形 D．不存在
5．若圆上的所有点都在第二象限，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．已知圆的圆心与点关于直线对称，直线与圆相交于、两点，且，则圆的方程为（ ）．
A． B．
C． D．
7．太极图的形状如中心对称的阴阳两鱼互抱在一起，因而也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放置在平面直角坐标系中简略的“阴阳鱼太极图”，其外边界是一个半径为2的圆，其中黑色阴影区域在轴右侧部分的边界为一个半圆，已知直线．给出以下命题：
①当时，若直线截黑色阴影区域所得两部分的面积分别记为，，则；
②当时，直线与黑色阴影区域有1个公共点；
③当时，直线与黑色阴影区域有2个公共点．
其中所有正确命题的序号是（ ）．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
8．已知圆截x轴和y轴所得的弦长相等，则圆M截直线所得的弦长为（ ）
A．4 B． C． D．2
二、多选题。本大题共4小题，每小题有两项或以上符合题意。
9．若圆C的半径为1，且与直线和x轴都相切，则该圆的标准方程可能是（ ）
A． B．
C． D．
10．直线与圆的位置关系是（ ）
A．可能相切 B．可能相交 C．可能相离 D．时，相离
11．设圆上的点关于直线的对称点仍在圆上，且圆与直线相交的弦长为，则圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
12．已知圆的方程是．则下列结论正确的是（ ）
A．圆的圆心在同一条直线上
B．方程表示的是等圆
C．圆的半径与无关，是定值
D．“”是“圆与轴只有一个交点”的必要不充分条件
三、填空题。本大题共4小题。
13．半径为1的圆C的圆心在第四象限，且与直线和均相切，则该圆的标准方程为______．
14．直线与曲线有两个公共点，则的取值范围是_______________________.
15．已知圆：与圆：，过动点分别作圆、圆的切线、（、分别为切点），若，则的最小值是________．
16．过点的圆的切线方程是________.
四、解答题。本大题共6小题，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程。
17．已知点A，B关于原点O对称，点A在直线上，，圆C过点A，B且与直线相切，设圆心C的横坐标为a．
（1）求圆C的半径；
（2）已知点，当时，作直线l与圆C相交于不同的两点M，N，已知直线l不经过点P，且直线PM，PN斜率之和为，求证：直线l恒过定点．
18．已知圆，点，，，为圆上的动点．
（1）求线段中点的轨迹方程；
（2）若，求线段PQ中点的轨迹方程．
19．已知圆．
（1）若圆C上恰有三个点到直线l（斜率存在）的距离为1，且l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；
（2）点P为直线上的动点，点M为圆C上的动点．
①若直线PM与圆C相切，求的最小值；
②若O为坐标原点，求的最小值．
20．已知圆，直线．
（1）求证：不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点；
（2）求直线l被圆截得的最短弦长以及此时直线l的方程．
21．知圆，点是直线上的动点．
（1）若从点到圆的切线长为，求点的坐标以及两条切线所夹的劣弧长；
（2）若点，，直线，与圆的另一交点分别为，，求证：直线经过定点．
22．已知，k是常数，M，N是圆上两个不同的点，P是圆上的动点，如果M，N关于直线对称，求△面积的最大值．
参考答案
1．D
【解析】依题意表示到两条平行直线和的距离之和的5倍．因为这个距离之和与x，y无关，故两条平行直线和在圆的两侧，画出图像如图所示，故圆心到直线的距离，解得或（舍去）.
故选：D．
2．A
【解析】在直线上取一点P，过P向圆引切线，设切点为A．连接CA．
在中，．要使最小，则应最小．
又当PC与直线垂直时，最小，其最小值为．
故的最小值为．
故选：A
3．B
【解析】解：圆心坐标是，半径是5，圆心到点的距离为1．
所以点在圆内，最长弦为圆的直径
由垂径定理得：最短弦BD和最长弦（即圆的直径）AC垂直，
故最短弦的长为，最长弦即直径，即，
所以四边形的面积为．
故选：B.
4．B
【解析】解：因为直线与圆相切，则圆心到切线的距离，所以，故三角形为直角三角形．
故选：B
5．D
【解析】解：由得，
其圆心坐标为，半径为2，由题意知，解得．
故选：D.
6．C
【解析】点关于直线对称的点，
圆心到直线的距离为，
所以，
所以圆的方程为，
故：C．
7．A
【解析】
如图1所示，大圆的半径为2，小圆的半径为1，
所以大圆的面积为，小圆的面积为．
对于①，当时，直线的方程为．
此时直线将黑色阴影区域的面积分为两部分，
，，
所以，故①正确．
对于②，根据题意，黑色阴影区域在第一象限的边界方程为
当时，直线的方程为，
即，小圆圆心到直线的距离，
所以直线与该半圆弧相切，如图2所示，
所以直线与黑色阴影区域只有一个公共点，故②正确．
对于③，当时，如图3所示，
直线与黑色阴影区域的公共部分为一条线段，有无数个公共点，故③错误．
综上所述，①②正确．
故选：A．
8．C
【解析】由题意知，圆心坐标为，
∵圆截x轴和y轴所得的弦长相等，∴，
∴圆的圆心坐标为，半径为，
∵圆心在直线上，∴圆M截直线所得的弦长为，
故选：C．
9．AC
【解析】设圆心，半径，与x轴相切，则，解得 或
当时，则，圆心C到直线的距离，
解得或．则该圆的标准方程是或．
当时，则，圆心C到直线的距离
解得或．则该圆的标准方程是或．
故选：AC
10．ABC
【解析】将整理为：，
由得：，直线恒过定点，
又，定点在圆外，
直线与圆可能相交，可能相切，也可能相离，ABC正确；
当时，直线为，化为，
圆心到直线的距离为，此时直线与圆相交，D错误.
故选：ABC.
11．AC
【解析】设圆的方程为，
由已知可知，直线过圆心，故①．
因为点A在圆上，所以②．
因为直线与圆相交的弦长为，所以③．
解由①②③组成的方程组，
得或
故所求方程为或．
故选：AC.
12．ABC
【解析】可化为，
圆的圆心为，半径．圆的半径为定值，C正确；
圆心满足方程组，即，
不论为何实数，方程表示的圆的圆心都在直线上且为等圆， AB正确．
在中，设，
若圆与轴只有一个交点即该方程有两个相同的实数根，
，解得：，，
“”是“圆与轴只有一个交点”的充分不必要条件，D错误．
故选：ABC.
13．或
【解析】如图：
由题意可设圆心坐标为，其中，半径．
则，即，解得或．
故所求圆的方程为或．
故答案为：或．
14．
【解析】解：如图所示，是一个以原点为圆心，长度为半径的半圆，
是一个斜率为的直线，
要使两图有两个交点，连接和，直线必在以上的半圆内平移，直到直线与半圆相切，则可求出两个临界位置直线的值，
当直线与重合时，；
当直线与半圆相切时，
圆心到的距离，
即，解得：或（舍去）．
所以的取值范围是．
故答案为：
15．
【解析】由于与中，，，
∴与全等，∴有，
则在线段的垂直平分线上，
根据、，
直线的斜率为,∴线段的垂直平分线的斜率为,
的的中点坐标为,
∴其垂直平分线为,即，
∵表示、两点间的距离，
∴最小值就是到的距离，
利用点到直线的距离公式可求出最小值．
故答案为：.
16．或.
【解析】由圆，可得圆心为，半径为，
①当过点的直线垂直轴时，此时直线的斜率不存在，直线的方程为，
因为圆心到直线的距离为，所以直线与圆相切，满足题意；
②当过点的直线不垂直轴时，设切线的斜率为，
可得切线方程为，即，
由圆心到直线的距离等于半径，可得，解得，
即，整理得，
综上可得，切线方程为或.
17．
（1）半径为或；
（2）证明过程见解析.
18．
（1）
（2）
19．
（1）或或
（2）①；②
20．（1）见解析；（2）最短弦长为，.
【解析】解：（1）直线化为，
则，解得，
所以直线l恒过定点，
圆心，半径，
又因，
所以点在圆C内，
所以不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点；
（2）当直线l所过的定点为弦的中点，即时，直线l被圆截得的弦长最短，
最短弦长为，
，所以直线l的斜率为2，
即，解得，
所以直线l的方程为.
21．（1）点的坐标为，；（2）证明见解析．
【解析】（1）依题意，设．
设两切点分别为，，则，．
由题意可知，
即，解得，
所以点的坐标为．
在中，可求得，所以，
所以所求两条切线所夹的劣弧长为．
（2）设，，．
依题意，可得直线的方程为，
由，得．
因为直线经过点，，
所以，是上述方程的两个根，
则，即，
代入直线方程，得'．
同理，可得直线的方程为．
由，得．
因为直线经过点，，
所以2，是上述方程的两个根，
则，即，
代入直线方程，得．
若，则，此时，
显然，在直线上，所以直线经过定点．
若，则，，
由，
，可知，
所以，，三点共线，即直线经过定点．
综上所述，直线经过定点．
22．．
【解析】依题意得，的圆心坐标为．又M，N是圆上两个不同的点且M，N关于直线对称，
∴直线过圆心，则有，即，
∴圆心坐标为且半径为1．
由题意，，直线的方程是，即，
圆心到直线的距离，
∴点P到直线的距离的最大值是，
∴△面积的最大值为．
2.5.1 直线与圆的位置关系 同步培优训练
一、单选题。本大题共8小题，每小题只有一个选项符合题意。
1．若对圆上任意一点，的取值与x，y无关，则实数a的取值范围是( )．
A． B．
C．或 D．
2．由直线上的一点向圆C：引切线，则切线长的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
3．已知圆的方程为，设该圆过点的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（ ）
A． B．
C． D．
4．已知直线与圆相切，则三条边长分别为，，的三角形（ ）
A．是锐角三角形 B．是直角三角形
C．是钝角三角形 D．不存在
5．若圆上的所有点都在第二象限，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．已知圆的圆心与点关于直线对称，直线与圆相交于、两点，且，则圆的方程为（ ）．
A． B．
C． D．
7．太极图的形状如中心对称的阴阳两鱼互抱在一起，因而也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放置在平面直角坐标系中简略的“阴阳鱼太极图”，其外边界是一个半径为2的圆，其中黑色阴影区域在轴右侧部分的边界为一个半圆，已知直线．给出以下命题：
①当时，若直线截黑色阴影区域所得两部分的面积分别记为，，则；
②当时，直线与黑色阴影区域有1个公共点；
③当时，直线与黑色阴影区域有2个公共点．
其中所有正确命题的序号是（ ）．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
8．已知圆截x轴和y轴所得的弦长相等，则圆M截直线所得的弦长为（ ）
A．4 B． C． D．2
二、多选题。本大题共4小题，每小题有两项或以上符合题意。
9．若圆C的半径为1，且与直线和x轴都相切，则该圆的标准方程可能是（ ）
A． B．
C． D．
10．直线与圆的位置关系是（ ）
A．可能相切 B．可能相交 C．可能相离 D．时，相离
11．设圆上的点关于直线的对称点仍在圆上，且圆与直线相交的弦长为，则圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
12．已知圆的方程是．则下列结论正确的是（ ）
A．圆的圆心在同一条直线上
B．方程表示的是等圆
C．圆的半径与无关，是定值
D．“”是“圆与轴只有一个交点”的必要不充分条件
三、填空题。本大题共4小题。
13．半径为1的圆C的圆心在第四象限，且与直线和均相切，则该圆的标准方程为______．
14．直线与曲线有两个公共点，则的取值范围是_______________________.
15．已知圆：与圆：，过动点分别作圆、圆的切线、（、分别为切点），若，则的最小值是________．
16．过点的圆的切线方程是________.
四、解答题。本大题共6小题，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程。
17．已知点A，B关于原点O对称，点A在直线上，，圆C过点A，B且与直线相切，设圆心C的横坐标为a．
（1）求圆C的半径；
（2）已知点，当时，作直线l与圆C相交于不同的两点M，N，已知直线l不经过点P，且直线PM，PN斜率之和为，求证：直线l恒过定点．
18．已知圆，点，，，为圆上的动点．
（1）求线段中点的轨迹方程；
（2）若，求线段PQ中点的轨迹方程．
19．已知圆．
（1）若圆C上恰有三个点到直线l（斜率存在）的距离为1，且l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；
（2）点P为直线上的动点，点M为圆C上的动点．
①若直线PM与圆C相切，求的最小值；
②若O为坐标原点，求的最小值．
20．已知圆，直线．
（1）求证：不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点；
（2）求直线l被圆截得的最短弦长以及此时直线l的方程．
21．知圆，点是直线上的动点．
（1）若从点到圆的切线长为，求点的坐标以及两条切线所夹的劣弧长；
（2）若点，，直线，与圆的另一交点分别为，，求证：直线经过定点．
22．已知，k是常数，M，N是圆上两个不同的点，P是圆上的动点，如果M，N关于直线对称，求△面积的最大值．
参考答案
1．D
【解析】依题意表示到两条平行直线和的距离之和的5倍．因为这个距离之和与x，y无关，故两条平行直线和在圆的两侧，画出图像如图所示，故圆心到直线的距离，解得或（舍去）.
故选：D．
2．A
【解析】在直线上取一点P，过P向圆引切线，设切点为A．连接CA．
在中，．要使最小，则应最小．
又当PC与直线垂直时，最小，其最小值为．
故的最小值为．
故选：A
3．B
【解析】解：圆心坐标是，半径是5，圆心到点的距离为1．
所以点在圆内，最长弦为圆的直径
由垂径定理得：最短弦BD和最长弦（即圆的直径）AC垂直，
故最短弦的长为，最长弦即直径，即，
所以四边形的面积为．
故选：B.
4．B
【解析】解：因为直线与圆相切，则圆心到切线的距离，所以，故三角形为直角三角形．
故选：B
5．D
【解析】解：由得，
其圆心坐标为，半径为2，由题意知，解得．
故选：D.
6．C
【解析】点关于直线对称的点，
圆心到直线的距离为，
所以，
所以圆的方程为，
故：C．
7．A
【解析】
如图1所示，大圆的半径为2，小圆的半径为1，
所以大圆的面积为，小圆的面积为．
对于①，当时，直线的方程为．
此时直线将黑色阴影区域的面积分为两部分，
，，
所以，故①正确．
对于②，根据题意，黑色阴影区域在第一象限的边界方程为
当时，直线的方程为，
即，小圆圆心到直线的距离，
所以直线与该半圆弧相切，如图2所示，
所以直线与黑色阴影区域只有一个公共点，故②正确．
对于③，当时，如图3所示，
直线与黑色阴影区域的公共部分为一条线段，有无数个公共点，故③错误．
综上所述，①②正确．
故选：A．
8．C
【解析】由题意知，圆心坐标为，
∵圆截x轴和y轴所得的弦长相等，∴，
∴圆的圆心坐标为，半径为，
∵圆心在直线上，∴圆M截直线所得的弦长为，
故选：C．
9．AC
【解析】设圆心，半径，与x轴相切，则，解得 或
当时，则，圆心C到直线的距离，
解得或．则该圆的标准方程是或．
当时，则，圆心C到直线的距离
解得或．则该圆的标准方程是或．
故选：AC
10．ABC
【解析】将整理为：，
由得：，直线恒过定点，
又，定点在圆外，
直线与圆可能相交，可能相切，也可能相离，ABC正确；
当时，直线为，化为，
圆心到直线的距离为，此时直线与圆相交，D错误.
故选：ABC.
11．AC
【解析】设圆的方程为，
由已知可知，直线过圆心，故①．
因为点A在圆上，所以②．
因为直线与圆相交的弦长为，所以③．
解由①②③组成的方程组，
得或
故所求方程为或．
故选：AC.
12．ABC
【解析】可化为，
圆的圆心为，半径．圆的半径为定值，C正确；
圆心满足方程组，即，
不论为何实数，方程表示的圆的圆心都在直线上且为等圆， AB正确．
在中，设，
若圆与轴只有一个交点即该方程有两个相同的实数根，
，解得：，，
“”是“圆与轴只有一个交点”的充分不必要条件，D错误．
故选：ABC.
13．或
【解析】如图：
由题意可设圆心坐标为，其中，半径．
则，即，解得或．
故所求圆的方程为或．
故答案为：或．
14．
【解析】解：如图所示，是一个以原点为圆心，长度为半径的半圆，
是一个斜率为的直线，
要使两图有两个交点，连接和，直线必在以上的半圆内平移，直到直线与半圆相切，则可求出两个临界位置直线的值，
当直线与重合时，；
当直线与半圆相切时，
圆心到的距离，
即，解得：或（舍去）．
所以的取值范围是．
故答案为：
15．
【解析】由于与中，，，
∴与全等，∴有，
则在线段的垂直平分线上，
根据、，
直线的斜率为,∴线段的垂直平分线的斜率为,
的的中点坐标为,
∴其垂直平分线为,即，
∵表示、两点间的距离，
∴最小值就是到的距离，
利用点到直线的距离公式可求出最小值．
故答案为：.
16．或.
【解析】由圆，可得圆心为，半径为，
①当过点的直线垂直轴时，此时直线的斜率不存在，直线的方程为，
因为圆心到直线的距离为，所以直线与圆相切，满足题意；
②当过点的直线不垂直轴时，设切线的斜率为，
可得切线方程为，即，
由圆心到直线的距离等于半径，可得，解得，
即，整理得，
综上可得，切线方程为或.
17．
（1）半径为或；
（2）证明过程见解析.
18．
（1）
（2）
19．
（1）或或
（2）①；②
20．（1）见解析；（2）最短弦长为，.
【解析】解：（1）直线化为，
则，解得，
所以直线l恒过定点，
圆心，半径，
又因，
所以点在圆C内，
所以不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点；
（2）当直线l所过的定点为弦的中点，即时，直线l被圆截得的弦长最短，
最短弦长为，
，所以直线l的斜率为2，
即，解得，
所以直线l的方程为.
21．（1）点的坐标为，；（2）证明见解析．
【解析】（1）依题意，设．
设两切点分别为，，则，．
由题意可知，
即，解得，
所以点的坐标为．
在中，可求得，所以，
所以所求两条切线所夹的劣弧长为．
（2）设，，．
依题意，可得直线的方程为，
由，得．
因为直线经过点，，
所以，是上述方程的两个根，
则，即，
代入直线方程，得'．
同理，可得直线的方程为．
由，得．
因为直线经过点，，
所以2，是上述方程的两个根，
则，即，
代入直线方程，得．
若，则，此时，
显然，在直线上，所以直线经过定点．
若，则，，
由，
，可知，
所以，，三点共线，即直线经过定点．
综上所述，直线经过定点．
22．．
【解析】依题意得，的圆心坐标为．又M，N是圆上两个不同的点且M，N关于直线对称，
∴直线过圆心，则有，即，
∴圆心坐标为且半径为1．
由题意，，直线的方程是，即，
圆心到直线的距离，
∴点P到直线的距离的最大值是，
∴△面积的最大值为．