3.3.1 抛物线及其标准方程 同步课时训练-2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选修一（含解析）
文档属性
| 名称 | 3.3.1 抛物线及其标准方程 同步课时训练-2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选修一（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 943.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-11-17 10:31:17 | ||
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文档简介
2021-2022学年高二数学（人教A版2019选择性必修一）
3.3.1 抛物线及其标准方程 同步课时训练
一、单选题。本大题共8小题，每小题只有一个选项符合题意。
1．已知A（3，2），点F为抛物线的焦点，点P在抛物线上移动，为使取得最小值，则点P的坐标为（ ）
A．（0，0） B．（2，2） C． D．
2．已知定点F和定直线l，点F不在直线l上，动圆M过点F且与直线l相切，则动圆圆心M的轨迹是（ ）
A．射线 B．直线 C．抛物线 D．椭圆
3．抛物线C：的焦点为F，P，R为C上位于F右侧的两点，若存在点Q使四边形PFRQ为正方形，则（ ）
A． B．
C． D．
4．已知抛物线：的焦点为，点是抛物线上一点，以点为圆心的圆与直线交于，两点．若，则抛物线的方程是（ ）
A． B． C． D．
5．抛物线上纵坐标为2的点到焦点的距离5，则该抛物线的方程为（ ）
A． B． C． D．
6．在抛物线上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p的值为（ ）
A． B．2 C．1 D．4
7．在抛物线上有一点P，P到椭圆左顶点的距离最小，这个最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．若抛物线：()的焦点为，准线为，点在抛物线上，、是准线上关于轴对称的两点.若，，且三角形的面积为，则的值是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题。本大题共4小题，每小题有两项或以上符合题意。
9．设抛物线C：的焦点为F，点M在C上，，若以MF为直径的圆过点，则抛物线C的方程为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，准线为，设与轴的交点为，点为上异于的任意一点，点在上的射影为点，的外角平分线交轴于点，过作于点，过作，交线段的延长线于点，则（ ）
A． B． C． D．
11．已知焦点在轴，顶点在原点的抛物线，经过点，以上一点为圆心的圆过定点，记，为圆与轴的两个交点（ ）
A．抛物线的方程为
B．当圆心在抛物线上运动时，随的变化而变化
C．当圆心在抛物线上运动时，记，，有最大值
D．当且仅当为坐标原点时，
12．已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于点，且，.下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．△的面积为
三、填空题。本大题共4小题。
13．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且，，则此抛物线的标准方程为______．
14．以下关于圆锥曲线的四个命题中是真命题的为______（填序号）.
①设A，B为两个定点，k为非零常数，若，则动点P的轨迹是双曲线；
②方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
③双曲线与椭圆有相同的焦点；
④以过抛物线的焦点的一条弦PQ为直径作圆，则该圆与抛物线的准线相切.
15．抛物线的焦点为F，过抛物线上一点P作x轴的平行线交y轴于M点，抛物线的准线交x轴于点N，四边形PMNF为平行四边形，则点P到x轴的距离为___________.（用含P的代数式表示）
16．直线和抛物线的一个交点是（1，2），则抛物线的焦点到此直线的距离等于________．
四、解答题。本大题共6小题，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程。
17．已知椭圆的左 右焦点分别为，，抛物线与椭圆在第一象限的交点为Q，若.
（1）求三角形的面积；（2）求此抛物线方程.
18．已知抛物线，拋物线C上横坐标为1的点到焦点F的距离为3．
（1）求抛物线C的方程及其准线方程；
（2）过的直线l交抛物线C于不同的两点A，B，交直线于点E，直线BF交直线于点D，是否存在这样的直线l，使得？若不存在，请说明理由；若存在，求出直线l的方程．
19．已知定长为的线段的两端点在抛物线上移动，试求线段的中点到轴的最短距离．
20．已知抛物线的焦点是，点是抛物线上的动点，点.
（1）求的最小值，并求出取最小值时点的坐标；
（2）求点到点的距离与到直线的距离之和的最小值.
21．已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在抛物线上，且（为坐标原点）的外接圆圆心到准线的距离为．
（1）求抛物线的方程；
（2）若直线与抛物线交于另一点，证明：为定值；
（3）过点作圆的两条切线，与轴分别交于，两点，求面积取得最小值时对应的的值．
22．已知点为抛物线的焦点.
（1）设，动点在上运动，证明：.
（2）如图，直线与交于，两点（在第一象限，在第二象限），分别过，作的垂线，交轴于，两点，求的取值范围.
参考答案
1．B
【解析】如图所示：
设点P到准线的距离为，准线方程为，
所以，当且仅当点为与抛物线的交点时，取得最小值，此时点P的坐标为．
故选：B．
2．C
【解析】因为动圆M过定点F，则动圆M的半径为，
又动圆M与直线l相切，则圆心M到直线l的距离等于圆的半径，
因此，动点M到定点F的距离等于它到定直线l的距离，又定点F不在定直线l上，由抛物线的定义得，圆心M的轨迹是抛物线，
所以动圆圆心M的轨迹是抛物线.
故选：C
3．A
【解析】如图所示，设，不妨设，则，由抛物线的对称性及正方形的性质可得，解得（正数舍去），所以．
故选：A．
4．C
【解析】过点作，垂足为．
在抛物线上，则，则…①，
由抛物线的性质可知：．
，，即，
解得：…②；
由①②得：（舍去）或，抛物线的方程是．
故选：C．
5．A
【解析】抛物线上纵坐标为2的点到焦点的距离5，可知此点到准线的距离为，
又抛物线的准线方程为，
所以可得，解得，
所以抛物线方程为.
故选：A.
6．B
【解析】解：由题意可得抛物线开口向右，
焦点坐标，，准线方程，
由抛物线的定义可得抛物线上横坐标为4的点到准线的距离等于5，
即，解之可得.
故选：B.
7．A
【解析】设，椭圆左顶点为，所以P到椭圆左顶点的距离为，而，
所以，当且仅当时取等号，即P到椭圆左顶点的距离最小值为．
故选：A．
8．B
【解析】由对称性知是等腰直角三角形，，点到准线的距离，
∵，∴，，∴，
故选：B.
9．AC
【解析】因为抛物线C的方程为，所以焦点，
设，由抛物线的性质知，得．
因为圆心是MF的中点，所以根据中点坐标公式可得圆心的横坐标为，
由已知得圆的半径也为，故该圆与y轴相切于点，
故圆心的纵坐标为2，则点M的纵坐标为4，即，
代入抛物线方程，得，解得或．
所以抛物线C的方程为或．
故选：AC
10．ABD
【解析】对A，由抛物线的定义知A正确；
对B，∵，∴，B正确；
对C，由题意知，又与不一定相等，∴与不一定相等，C错误；
对D，由题意知四边形为矩形，∴，D正确.
故选：ABD．
11．ACD
【解析】解：由已知，设抛物线方程为，，解得．
所求抛物线的方程为，故A正确；
设圆心，则圆的半径，
圆的方程为，
令，得，得，，
（定值），故B不正确；
设，，
，，
，
当时，，
当时，，
故当且仅当时，取得最大值为，故C正确；
由前分析，，即，
当且仅当时，，故D正确；
故选：ACD．
12．BCD
【解析】选项A. 由抛物线的定义可得，解得，所以A不正确.
选项B. 所以，，抛物线方程为
将点坐标代入抛物线方程，得，所以，所以B正确
选项C. 当时，则，则直线的方程为：
则 ，得，解得或
所以，则，
同理当时，可得，所以C正确.
选项D.由上可知当时，
同理当时，，所以D正确.
故选：BCD
13．或
【解析】设所求抛物线的标准方程为，，由题知．
因为，所以，
因为，所以，所以，
代入方程，得，解得或．
故所求抛物线的标准方程为或．
故答案为：或．
14．②③④
【解析】对于①，设A，B为两个定点，k为非零常数，若，则动点P的轨迹是双曲线，故①错误；
对于②，方程的两根分别为2和，可分别作为椭圆和双曲线的离心率，故②正确；
对于③，双曲线的焦点坐标为和，椭圆的焦点坐标为和，故有相同的焦点，故③正确；
对于④，如图，直线是过焦点的直线，直线是抛物线的准线，是梯形的中位线
由抛物线的定义可得
所以以为直径的圆与准线相切，故④正确.
故答案为：②③④
15．
【解析】由題意可知，，准线方程为，，不妨设，
四边形PMNF为平行四边形，
点P到x轴的距离为.
故答案为：
16．
【解析】由题意可知，，解得，，解得，所以抛物线的焦点到此直线的距离等于．
故答案为：．
17．（1）；（2）.
【解析】（1）椭圆即，
，设，
则，
即，
所以三角形的面积为.
（2）设，在第一象限，
，
，所以，
代入抛物线方程得，
所以抛物线方程为.
18．（1）抛物线C的方程为，准线方程为；（2）存在直线或．
【解析】（1）因为横坐标为的点到焦点的距离为,所以,解得, 所以，
即准线方程为.
（2）显然直线的斜率存在,设直线的方程为,.
联立得，消去得.
由,解得. 所以且.
由韦达定理得,.
直线的方程为,
又,所以,所以,
因为,所以直线与直线的斜率相等
又,所以.
整理得,即,
化简得,,即.
所以,整理得,
解得. 经检验,符合题意.
所以存在这样的直线,直线的方程为或．
19．
【解析】如图，设为抛物线的焦点，分别过、、作抛物线准线的垂线，垂足分别为、、，
由抛物线的定义可知，，
在直角梯形中，因为，所以．
当且仅当过焦点时取等号，
所以当为焦点弦时，有最小值，此时点到轴的距离最短，且最短距离为.
20．（1），；（2）2.
【解析】（1）将代入得，而，即点A在抛物线内部，
过点作垂直于抛物线的准线于点，由抛物线的定义，知，
当，，三点共线时，取得最小值，即的最小值为，
此时点的纵坐标为2，代入，得，即点的坐标为，
所以的最小值为，点的坐标为；
（2）显然点在抛物线外部，设抛物线上点到准线的距离为，
由抛物线的定义，得，当，，三点共线(在线段上)时取等号，
又，，
所以所求最小值为2.
21．（1）；（2）证明见解析 ；（3） ．
【解析】（1）抛物线的焦点，
准线．
由的外接圆圆心在的垂直平分线上，得圆心的横坐标为．
由的外接圆圆心到准线的距离为，得，解得．
抛物线的方程为．
（2）由（1）得，，
设，直线，
联立，可得，
，．
又，则．
上式通分后得分子为，
故，为定值．
（3）如图，记两个切点分别为，．连接，，，．
由题意，得．
由切线长定理，知，，，
，
又，
，
，
，
解得，
，
当且仅当，即时，取等号．
此时．
故当面积取得最小值时，．
22．（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）由抛物线的方程可得焦点的坐标为，所以，可得，
故抛物线的方程为，点的坐标为，抛物线的准线方程为.
设到准线的距离为，由抛物线的性质可得.因为到准线的距离，所以.
（2）由，得.设，（，），
则，，所以，.
直线的方程为，令，得的纵坐标.
直线的方程为，令，得的纵坐标，
所以，
所以的取值范围为.
3.3.1 抛物线及其标准方程 同步课时训练
一、单选题。本大题共8小题，每小题只有一个选项符合题意。
1．已知A（3，2），点F为抛物线的焦点，点P在抛物线上移动，为使取得最小值，则点P的坐标为（ ）
A．（0，0） B．（2，2） C． D．
2．已知定点F和定直线l，点F不在直线l上，动圆M过点F且与直线l相切，则动圆圆心M的轨迹是（ ）
A．射线 B．直线 C．抛物线 D．椭圆
3．抛物线C：的焦点为F，P，R为C上位于F右侧的两点，若存在点Q使四边形PFRQ为正方形，则（ ）
A． B．
C． D．
4．已知抛物线：的焦点为，点是抛物线上一点，以点为圆心的圆与直线交于，两点．若，则抛物线的方程是（ ）
A． B． C． D．
5．抛物线上纵坐标为2的点到焦点的距离5，则该抛物线的方程为（ ）
A． B． C． D．
6．在抛物线上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p的值为（ ）
A． B．2 C．1 D．4
7．在抛物线上有一点P，P到椭圆左顶点的距离最小，这个最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．若抛物线：()的焦点为，准线为，点在抛物线上，、是准线上关于轴对称的两点.若，，且三角形的面积为，则的值是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题。本大题共4小题，每小题有两项或以上符合题意。
9．设抛物线C：的焦点为F，点M在C上，，若以MF为直径的圆过点，则抛物线C的方程为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，准线为，设与轴的交点为，点为上异于的任意一点，点在上的射影为点，的外角平分线交轴于点，过作于点，过作，交线段的延长线于点，则（ ）
A． B． C． D．
11．已知焦点在轴，顶点在原点的抛物线，经过点，以上一点为圆心的圆过定点，记，为圆与轴的两个交点（ ）
A．抛物线的方程为
B．当圆心在抛物线上运动时，随的变化而变化
C．当圆心在抛物线上运动时，记，，有最大值
D．当且仅当为坐标原点时，
12．已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于点，且，.下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．△的面积为
三、填空题。本大题共4小题。
13．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且，，则此抛物线的标准方程为______．
14．以下关于圆锥曲线的四个命题中是真命题的为______（填序号）.
①设A，B为两个定点，k为非零常数，若，则动点P的轨迹是双曲线；
②方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
③双曲线与椭圆有相同的焦点；
④以过抛物线的焦点的一条弦PQ为直径作圆，则该圆与抛物线的准线相切.
15．抛物线的焦点为F，过抛物线上一点P作x轴的平行线交y轴于M点，抛物线的准线交x轴于点N，四边形PMNF为平行四边形，则点P到x轴的距离为___________.（用含P的代数式表示）
16．直线和抛物线的一个交点是（1，2），则抛物线的焦点到此直线的距离等于________．
四、解答题。本大题共6小题，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程。
17．已知椭圆的左 右焦点分别为，，抛物线与椭圆在第一象限的交点为Q，若.
（1）求三角形的面积；（2）求此抛物线方程.
18．已知抛物线，拋物线C上横坐标为1的点到焦点F的距离为3．
（1）求抛物线C的方程及其准线方程；
（2）过的直线l交抛物线C于不同的两点A，B，交直线于点E，直线BF交直线于点D，是否存在这样的直线l，使得？若不存在，请说明理由；若存在，求出直线l的方程．
19．已知定长为的线段的两端点在抛物线上移动，试求线段的中点到轴的最短距离．
20．已知抛物线的焦点是，点是抛物线上的动点，点.
（1）求的最小值，并求出取最小值时点的坐标；
（2）求点到点的距离与到直线的距离之和的最小值.
21．已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在抛物线上，且（为坐标原点）的外接圆圆心到准线的距离为．
（1）求抛物线的方程；
（2）若直线与抛物线交于另一点，证明：为定值；
（3）过点作圆的两条切线，与轴分别交于，两点，求面积取得最小值时对应的的值．
22．已知点为抛物线的焦点.
（1）设，动点在上运动，证明：.
（2）如图，直线与交于，两点（在第一象限，在第二象限），分别过，作的垂线，交轴于，两点，求的取值范围.
参考答案
1．B
【解析】如图所示：
设点P到准线的距离为，准线方程为，
所以，当且仅当点为与抛物线的交点时，取得最小值，此时点P的坐标为．
故选：B．
2．C
【解析】因为动圆M过定点F，则动圆M的半径为，
又动圆M与直线l相切，则圆心M到直线l的距离等于圆的半径，
因此，动点M到定点F的距离等于它到定直线l的距离，又定点F不在定直线l上，由抛物线的定义得，圆心M的轨迹是抛物线，
所以动圆圆心M的轨迹是抛物线.
故选：C
3．A
【解析】如图所示，设，不妨设，则，由抛物线的对称性及正方形的性质可得，解得（正数舍去），所以．
故选：A．
4．C
【解析】过点作，垂足为．
在抛物线上，则，则…①，
由抛物线的性质可知：．
，，即，
解得：…②；
由①②得：（舍去）或，抛物线的方程是．
故选：C．
5．A
【解析】抛物线上纵坐标为2的点到焦点的距离5，可知此点到准线的距离为，
又抛物线的准线方程为，
所以可得，解得，
所以抛物线方程为.
故选：A.
6．B
【解析】解：由题意可得抛物线开口向右，
焦点坐标，，准线方程，
由抛物线的定义可得抛物线上横坐标为4的点到准线的距离等于5，
即，解之可得.
故选：B.
7．A
【解析】设，椭圆左顶点为，所以P到椭圆左顶点的距离为，而，
所以，当且仅当时取等号，即P到椭圆左顶点的距离最小值为．
故选：A．
8．B
【解析】由对称性知是等腰直角三角形，，点到准线的距离，
∵，∴，，∴，
故选：B.
9．AC
【解析】因为抛物线C的方程为，所以焦点，
设，由抛物线的性质知，得．
因为圆心是MF的中点，所以根据中点坐标公式可得圆心的横坐标为，
由已知得圆的半径也为，故该圆与y轴相切于点，
故圆心的纵坐标为2，则点M的纵坐标为4，即，
代入抛物线方程，得，解得或．
所以抛物线C的方程为或．
故选：AC
10．ABD
【解析】对A，由抛物线的定义知A正确；
对B，∵，∴，B正确；
对C，由题意知，又与不一定相等，∴与不一定相等，C错误；
对D，由题意知四边形为矩形，∴，D正确.
故选：ABD．
11．ACD
【解析】解：由已知，设抛物线方程为，，解得．
所求抛物线的方程为，故A正确；
设圆心，则圆的半径，
圆的方程为，
令，得，得，，
（定值），故B不正确；
设，，
，，
，
当时，，
当时，，
故当且仅当时，取得最大值为，故C正确；
由前分析，，即，
当且仅当时，，故D正确；
故选：ACD．
12．BCD
【解析】选项A. 由抛物线的定义可得，解得，所以A不正确.
选项B. 所以，，抛物线方程为
将点坐标代入抛物线方程，得，所以，所以B正确
选项C. 当时，则，则直线的方程为：
则 ，得，解得或
所以，则，
同理当时，可得，所以C正确.
选项D.由上可知当时，
同理当时，，所以D正确.
故选：BCD
13．或
【解析】设所求抛物线的标准方程为，，由题知．
因为，所以，
因为，所以，所以，
代入方程，得，解得或．
故所求抛物线的标准方程为或．
故答案为：或．
14．②③④
【解析】对于①，设A，B为两个定点，k为非零常数，若，则动点P的轨迹是双曲线，故①错误；
对于②，方程的两根分别为2和，可分别作为椭圆和双曲线的离心率，故②正确；
对于③，双曲线的焦点坐标为和，椭圆的焦点坐标为和，故有相同的焦点，故③正确；
对于④，如图，直线是过焦点的直线，直线是抛物线的准线，是梯形的中位线
由抛物线的定义可得
所以以为直径的圆与准线相切，故④正确.
故答案为：②③④
15．
【解析】由題意可知，，准线方程为，，不妨设，
四边形PMNF为平行四边形，
点P到x轴的距离为.
故答案为：
16．
【解析】由题意可知，，解得，，解得，所以抛物线的焦点到此直线的距离等于．
故答案为：．
17．（1）；（2）.
【解析】（1）椭圆即，
，设，
则，
即，
所以三角形的面积为.
（2）设，在第一象限，
，
，所以，
代入抛物线方程得，
所以抛物线方程为.
18．（1）抛物线C的方程为，准线方程为；（2）存在直线或．
【解析】（1）因为横坐标为的点到焦点的距离为,所以,解得, 所以，
即准线方程为.
（2）显然直线的斜率存在,设直线的方程为,.
联立得，消去得.
由,解得. 所以且.
由韦达定理得,.
直线的方程为,
又,所以,所以,
因为,所以直线与直线的斜率相等
又,所以.
整理得,即,
化简得,,即.
所以,整理得,
解得. 经检验,符合题意.
所以存在这样的直线,直线的方程为或．
19．
【解析】如图，设为抛物线的焦点，分别过、、作抛物线准线的垂线，垂足分别为、、，
由抛物线的定义可知，，
在直角梯形中，因为，所以．
当且仅当过焦点时取等号，
所以当为焦点弦时，有最小值，此时点到轴的距离最短，且最短距离为.
20．（1），；（2）2.
【解析】（1）将代入得，而，即点A在抛物线内部，
过点作垂直于抛物线的准线于点，由抛物线的定义，知，
当，，三点共线时，取得最小值，即的最小值为，
此时点的纵坐标为2，代入，得，即点的坐标为，
所以的最小值为，点的坐标为；
（2）显然点在抛物线外部，设抛物线上点到准线的距离为，
由抛物线的定义，得，当，，三点共线(在线段上)时取等号，
又，，
所以所求最小值为2.
21．（1）；（2）证明见解析 ；（3） ．
【解析】（1）抛物线的焦点，
准线．
由的外接圆圆心在的垂直平分线上，得圆心的横坐标为．
由的外接圆圆心到准线的距离为，得，解得．
抛物线的方程为．
（2）由（1）得，，
设，直线，
联立，可得，
，．
又，则．
上式通分后得分子为，
故，为定值．
（3）如图，记两个切点分别为，．连接，，，．
由题意，得．
由切线长定理，知，，，
，
又，
，
，
，
解得，
，
当且仅当，即时，取等号．
此时．
故当面积取得最小值时，．
22．（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）由抛物线的方程可得焦点的坐标为，所以，可得，
故抛物线的方程为，点的坐标为，抛物线的准线方程为.
设到准线的距离为，由抛物线的性质可得.因为到准线的距离，所以.
（2）由，得.设，（，），
则，，所以，.
直线的方程为，令，得的纵坐标.
直线的方程为，令，得的纵坐标，
所以，
所以的取值范围为.