3.3.2 抛物线的简单几何性质 同步课时训练-2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选修一（含解析）
文档属性
| 名称 | 3.3.2 抛物线的简单几何性质 同步课时训练-2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选修一（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 887.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-11-17 10:34:18 | ||
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文档简介
2021-2022学年高二数学（人教A版2019选择性必修一）
3.3.2 抛物线的简单几何性质 同步课时训练
一、单选题。本大题共8小题，每小题只有一个选项符合题意。
1．如图，在抛物线的准线上任取一点（异于准线与x轴的交点），连接并延长交抛物线于点，过点作平行于轴的直线交抛物线于点，则直线与轴的交点坐标为（ ）
A．与点位置有关 B．
C． D．
2．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点（，的横坐标不相等），弦的垂直平分线交轴于点，若，则（ ）
A．14 B．16 C．18 D．20
3．已知动圆M经过点A(3，0)，且与直线l：x＝－3相切，则动圆圆心M的轨迹方程为（ ）
A．y2＝12x B．y2＝－12x
C．x2＝12y D．x2＝12y
4．如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，，交其准线于点，准线与对称轴交于点，若，且，则此抛物线的方程为（ ）
A． B． C． D．
5．在抛物线型内壁光滑的容器内放一个球，其通过中心轴的纵剖面图如图所示，圆心在轴上，抛物线顶点在坐标原点，已知抛物线方程是，圆的半径为，若圆的大小变化时，圆上的点无法触及抛物线的顶点，则圆的半径的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．已知抛物线的焦点为F，点是抛物线C上一点，以点M为圆心的圆与直线交于E，G两点，若，则抛物线C的方程是（ ）
A． B． C． D．
7．P为抛物线y2=2px的焦点弦AB的中点，A，B，P三点到抛物线准线的距离分别是|AA1|，|BB1|，|PP1|，则有（ ）
A．|PP1||AA1|+|BB1| B．|PP1||AB|
C．|PP1||AB| D．|PP1||AB|
8．已知抛物线的焦点为F，，点是抛物线上的动点，则当的值最小时，=（ ）
A．1 B．2 C． D．4
二、多选题。本大题共4小题，每小题有两项或以上符合题意。
9．对于抛物线上，下列描述正确的是（ ）
A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为
C．焦点到准线的距离为4 D．准线方程为
10．平面内到定点和到定直线的距离相等的动点的轨迹为曲线．则（ ）
A．曲线的方程为
B．曲线关于轴对称
C．当点在曲线上时，
D．当点在曲线上时，点到直线的距离
11．已知抛物线的焦点为，圆与抛物线交于，两点，点为劣弧上不同于，的一个动点，过点作平行于轴的直线交抛物线于点，则（ ）
A．点的纵坐标的取值范围是
B．等于点到抛物线的准线的距离
C．圆的圆心到抛物线的准线的距离为2
D．周长的取值范围是
12．已知抛物线：的焦点为、准线为，过点的直线与抛物线交于两点，，点在上的射影为，则（ ）
A．若，则 B．以为直径的圆与准线相切
C．设，则 D．过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线至多有2条
三、填空题。本大题共4小题。
13．抛物线型塔桥的顶点距水面2米时，水面宽8米，若水面上升1米，则此时水面宽为___________米.
14．已知抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为轴，且与圆相交的公共弦长为，则抛物线的方程为______．
15．如图所示，已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线l与x轴的交点为K，点A在抛物线C上，且在x轴的上方，过点A作AB⊥l于B，|AK|＝|AF|，则△AFK的面积为________．
16．已知为抛物线的焦点，过作斜率为的直线和抛物线交于，两点，延长，交抛物线于，两点，直线的斜率为.若，则______.
四、解答题。本大题共6小题，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程。
17．如图，过抛物线的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若，且，求此抛物线的方程.
18．已知抛物线的焦点为，点在上，且（为坐标原点）．
（1）求的方程；
（2）若是上的两个动点，且两点的横坐标之和为．
（ⅰ）设线段的中垂线为，证明：恒过定点．
（ⅱ）设（ⅰ）中定点为，当取最大值时，且，位于直线两侧时，求四边形的面积．
19． 已知抛物线C：y2＝4x，A，B，其中m>0，过B的直线l交抛物线C于M，N.
（1）当m＝5，且直线l垂直于x轴时，求证：△AMN为直角三角形；
（2）若＝＋，当点P在直线l上时，求实数m，使得AM⊥AN.
20．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点P（t，﹣2）在C上，且|PF|＝2|OF|（O为坐标原点）．
（1）求C的方程；
（2）若A，B是C上的两个动点，且A，B两点的横坐标之和为8，求当|AB|取最大值时，直线AB的方程．
21．已知抛物线C的顶点在坐标原点，准线方程为，F为抛物线C的焦点，点P为直线上任意一点，以P为圆心，PF为半径的圆与抛物线C的准线交于A、B两点，过A、B分别作准线的垂线交抛物线C于点D、E.
（1）求抛物线C的方程；
（2）证明：直线DE过定点，并求出定点的坐标.
22．如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点为坐标原点，点P(1，2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．
（1）求抛物线的方程及其准线方程；
（2）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，证明：直线AB的斜率为定值．
参考答案
1．D
【解析】抛物线的准线方程为，设，，则直线的方程为，
由 得，令，可得，
所以直线的斜率为．所以直线的方程为，
令，解得，所以直线与轴的交点坐标为．
故选：D
2．D
【解析】设，，弦的中点为，，
则，
所以，所以，
则，
所以弦的垂直平分线为．
令，则，所以．
又，
所以．
故选：D．
3．A
【解析】设动点M(x，y)，圆M与直线l：x＝－3的切点为N，则|MA|＝|MN|，即动点M到定点A和定直线l：x＝－3的距离相等.
∴点M的轨迹是抛物线，且以A(3，0)为焦点，以直线l：x＝－3为准线，
故动圆圆心M的轨迹方程是y2＝12x.
故选：A.
4．B
【解析】由抛物线定义，等于到准线的距离，
因为，
所以，又，
从而，
又因为在抛物线上，
代入抛物线方程，
解得．
故抛物线方程为．
故选：B
5．A
【解析】设圆心为，（），半径为，是抛物线上任一点，
，
若的最小值不在处取得，则圆不过原点，
所以，即，此时圆半径为．
因此当时，圆无法触及抛物线的顶点．
故选：A．
6．B
【解析】
如图示：作MD⊥EG，垂足为D，
在抛物线上，则 ①
由抛物线定义知：
∵，∴,即
解得： ②
①②联立解得：
故抛物线的方程为：
故选：B
7．B
【解析】根据题意，PP1是梯形AA1B1B的中位线，
故|PP1|=(|AA1|+|BB1|)=(|AF|+|BF|)=|AB|.
故选：B
8．B
【解析】由题知，抛物线的准线方程为，，过P作垂直于准线于，连接，由抛物线定义知.
由正弦函数知，要使最小值，即最小，即最大，即直线斜率最大，即直线与抛物线相切.
设所在的直线方程为：，联立抛物线方程：
，整理得：
则，解得
即，解得，代入得
或，再利用焦半径公式得
故选：B.
9．AC
【解析】由抛物线，即，可知抛物线的开口向上，焦点坐标为，焦点到准线的距离为4，准线方程为．
故选：AC
10．AB
【解析】由抛物线定义，知曲线是以为焦点，
直线为准线的抛物线，其方程为，故A正确；
若点在曲线上，则点也在曲线上，故曲线关于轴对称，故B正确；
由知，故C错误；
点到直线的距离，所以D错误
故选：AB
11．BCD
【解析】∵圆的圆心为，半径，
∴与轴正半轴的交点为，
∵抛物线的焦点为，准线方程为，
由，得，故点的纵坐标，故A错误；
由抛物线的定义可得等于点到抛物线的准线的距离，故B正确；
易知圆的圆心到抛物线的准线的距离为2，故C正确；
的周长为，故D正确.
故选：BCD.
12．ABC
【解析】对于选项A：由可得，根据抛物线的定义可得，故选项A正确；
对于选项B：设为中点，设点在上的射影为，点在上的射影为，则由梯形性质可得，故选项B正确；
对于选项C：因为，所以，故选项C正确；
对于选项D：显然直线，与抛物线只有一个公共点，设过 的直线为，联立可得，令，解得：，所以直线与抛物线也只有一个公共点，此时有三条直线符合题意，
故选项D错误；
故选：ABC
13．
【解析】
根据题意，建立如图所示的坐标系，可设抛物线的标准方程为，
因为顶点距水面2米时，水面宽8米，所以，
代入方程得，所以，
当水面上升1米后，即，
代入方程得
所以水面的宽是米
故答案为:
14．或
【解析】设所求抛物线的方程为或，与圆的交点为，（，），由对称性，知，，则，即，所以，把代入，得，所以点在抛物线上，点在抛物线上，可得．
于是所求抛物线的方程为或．
故答案为：或.
15．8
【解析】由题意知，抛物线的焦点为F(2,0)，准线l为x＝－2，
∴K(－2,0)，设A(x0,y0)(y0＞0)，
∵过点A作AB⊥l于B，
∴B(－2,y0)，
∴|AF|＝|AB|＝x0－(－2)＝x0＋2，又|BK|2＝|AK|2－|AB|2，
∴x0＝2，y0＝4，即A(2,4)，
∴△AFK的面积为.
故答案为：8
16．4
【解析】设过点作斜率为的直线方程为：，
联立方程，消去可得：，
设，，∴，
设，，
则，同理，
设所在的直线方程为，
联立方程，消去得：，
∴，同理可得，
则.
故答案为：4.
17．
【解析】
如图，分别过点作抛物线准线的垂线，垂足分别为，设准线与轴的交点为，
由抛物线定义可知，，
在中，可知，
故在中可得，
故，则即为的中位线，
故
因此抛物线方程为.
18．（1）；（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）.
【解析】解：（1）由抛物线的性质得，
所以根据抛物线的定义得：，解得，
所以的标准方程为．
（2）设，且．
（ⅰ）证明：设中点为，则，，
当时，；
当时，，
则，，
令，得，故直线过定点
综上，恒过定点．
（ⅱ）由（ⅰ）知直线，即，
所以直线与抛物线联立方程消去，整理得，
由，得，，
，
当且仅当时等号成立，所以的最大值为10，
此时直线的方程为．
对于直线，，
所以点在同侧，不合题意，
对于直线，满足，位于直线两侧，
所以直线，
点到直线的距离，
点到直线的距离，
所以．
19．（1）证明见解析；（2）m＝6.
【解析】（1）证明：由题意，l：x＝5，代入y2＝4x中，解得，
不妨取M(5,)，N(5,－)，则，
∴，
∴AM⊥AN，即△AMN为直角三角形，得证．
（2）由题意，四边形OAPB为平行四边形，则kBP＝kOA＝2，
设直线l：y＝2(x－m)，，联立，得y2－2y－4m＝0，
由题意，判别式Δ＝4＋16m>0，y1＋y2＝2，y1y2＝－4m，
∵AM⊥AN，则，又，
∴，化简得(y1＋2)(y2＋2)＋16＝0，即y1y2＋2(y1＋y2)＋20＝0，
∴，解得m＝6，故m＝6时，有AM⊥AN.
20．（1）；（2）.
【解析】解：（1）由题意得，解得，
所以的标准方程为．
（2）设，，，，且．
设中点为，则，，
当时，，；
当时，，
则，即，
与联立方程消去，整理得，
由，得，
，，
，
当且仅当，即，即时，取“”，
所以的最大值为10，
此时的方程为．
21．（1）；（2）证明见解析，定点.
【解析】（1）设抛物线的标准方程为，
依题意，有，得，
∴抛物线的方程为；
（2），设，则，，于是圆的方程为，
令，得，①
设，由①式得，②
直线的斜率为，则直线的方程为，即，
代入②式，有，即，则恒过定点.
22．（1）抛物线的方程是y2＝4x，准线方程是x＝－1；（2）证明见解析．
【解析】（1）由题意可设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，
则由点P(1，2)在抛物线上，得22＝2p×1，解得p＝2，
故所求抛物线的方程是y2＝4x，准线方程是x＝－1．
（2）证明：因为PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，
所以kPA＝－kPB，即＝－．
又A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，
所以x1＝，x2＝，
从而有，即，得y1＋y2＝－4，
故直线AB的斜率kAB＝．
3.3.2 抛物线的简单几何性质 同步课时训练
一、单选题。本大题共8小题，每小题只有一个选项符合题意。
1．如图，在抛物线的准线上任取一点（异于准线与x轴的交点），连接并延长交抛物线于点，过点作平行于轴的直线交抛物线于点，则直线与轴的交点坐标为（ ）
A．与点位置有关 B．
C． D．
2．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点（，的横坐标不相等），弦的垂直平分线交轴于点，若，则（ ）
A．14 B．16 C．18 D．20
3．已知动圆M经过点A(3，0)，且与直线l：x＝－3相切，则动圆圆心M的轨迹方程为（ ）
A．y2＝12x B．y2＝－12x
C．x2＝12y D．x2＝12y
4．如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，，交其准线于点，准线与对称轴交于点，若，且，则此抛物线的方程为（ ）
A． B． C． D．
5．在抛物线型内壁光滑的容器内放一个球，其通过中心轴的纵剖面图如图所示，圆心在轴上，抛物线顶点在坐标原点，已知抛物线方程是，圆的半径为，若圆的大小变化时，圆上的点无法触及抛物线的顶点，则圆的半径的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．已知抛物线的焦点为F，点是抛物线C上一点，以点M为圆心的圆与直线交于E，G两点，若，则抛物线C的方程是（ ）
A． B． C． D．
7．P为抛物线y2=2px的焦点弦AB的中点，A，B，P三点到抛物线准线的距离分别是|AA1|，|BB1|，|PP1|，则有（ ）
A．|PP1||AA1|+|BB1| B．|PP1||AB|
C．|PP1||AB| D．|PP1||AB|
8．已知抛物线的焦点为F，，点是抛物线上的动点，则当的值最小时，=（ ）
A．1 B．2 C． D．4
二、多选题。本大题共4小题，每小题有两项或以上符合题意。
9．对于抛物线上，下列描述正确的是（ ）
A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为
C．焦点到准线的距离为4 D．准线方程为
10．平面内到定点和到定直线的距离相等的动点的轨迹为曲线．则（ ）
A．曲线的方程为
B．曲线关于轴对称
C．当点在曲线上时，
D．当点在曲线上时，点到直线的距离
11．已知抛物线的焦点为，圆与抛物线交于，两点，点为劣弧上不同于，的一个动点，过点作平行于轴的直线交抛物线于点，则（ ）
A．点的纵坐标的取值范围是
B．等于点到抛物线的准线的距离
C．圆的圆心到抛物线的准线的距离为2
D．周长的取值范围是
12．已知抛物线：的焦点为、准线为，过点的直线与抛物线交于两点，，点在上的射影为，则（ ）
A．若，则 B．以为直径的圆与准线相切
C．设，则 D．过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线至多有2条
三、填空题。本大题共4小题。
13．抛物线型塔桥的顶点距水面2米时，水面宽8米，若水面上升1米，则此时水面宽为___________米.
14．已知抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为轴，且与圆相交的公共弦长为，则抛物线的方程为______．
15．如图所示，已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线l与x轴的交点为K，点A在抛物线C上，且在x轴的上方，过点A作AB⊥l于B，|AK|＝|AF|，则△AFK的面积为________．
16．已知为抛物线的焦点，过作斜率为的直线和抛物线交于，两点，延长，交抛物线于，两点，直线的斜率为.若，则______.
四、解答题。本大题共6小题，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程。
17．如图，过抛物线的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若，且，求此抛物线的方程.
18．已知抛物线的焦点为，点在上，且（为坐标原点）．
（1）求的方程；
（2）若是上的两个动点，且两点的横坐标之和为．
（ⅰ）设线段的中垂线为，证明：恒过定点．
（ⅱ）设（ⅰ）中定点为，当取最大值时，且，位于直线两侧时，求四边形的面积．
19． 已知抛物线C：y2＝4x，A，B，其中m>0，过B的直线l交抛物线C于M，N.
（1）当m＝5，且直线l垂直于x轴时，求证：△AMN为直角三角形；
（2）若＝＋，当点P在直线l上时，求实数m，使得AM⊥AN.
20．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点P（t，﹣2）在C上，且|PF|＝2|OF|（O为坐标原点）．
（1）求C的方程；
（2）若A，B是C上的两个动点，且A，B两点的横坐标之和为8，求当|AB|取最大值时，直线AB的方程．
21．已知抛物线C的顶点在坐标原点，准线方程为，F为抛物线C的焦点，点P为直线上任意一点，以P为圆心，PF为半径的圆与抛物线C的准线交于A、B两点，过A、B分别作准线的垂线交抛物线C于点D、E.
（1）求抛物线C的方程；
（2）证明：直线DE过定点，并求出定点的坐标.
22．如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点为坐标原点，点P(1，2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．
（1）求抛物线的方程及其准线方程；
（2）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，证明：直线AB的斜率为定值．
参考答案
1．D
【解析】抛物线的准线方程为，设，，则直线的方程为，
由 得，令，可得，
所以直线的斜率为．所以直线的方程为，
令，解得，所以直线与轴的交点坐标为．
故选：D
2．D
【解析】设，，弦的中点为，，
则，
所以，所以，
则，
所以弦的垂直平分线为．
令，则，所以．
又，
所以．
故选：D．
3．A
【解析】设动点M(x，y)，圆M与直线l：x＝－3的切点为N，则|MA|＝|MN|，即动点M到定点A和定直线l：x＝－3的距离相等.
∴点M的轨迹是抛物线，且以A(3，0)为焦点，以直线l：x＝－3为准线，
故动圆圆心M的轨迹方程是y2＝12x.
故选：A.
4．B
【解析】由抛物线定义，等于到准线的距离，
因为，
所以，又，
从而，
又因为在抛物线上，
代入抛物线方程，
解得．
故抛物线方程为．
故选：B
5．A
【解析】设圆心为，（），半径为，是抛物线上任一点，
，
若的最小值不在处取得，则圆不过原点，
所以，即，此时圆半径为．
因此当时，圆无法触及抛物线的顶点．
故选：A．
6．B
【解析】
如图示：作MD⊥EG，垂足为D，
在抛物线上，则 ①
由抛物线定义知：
∵，∴,即
解得： ②
①②联立解得：
故抛物线的方程为：
故选：B
7．B
【解析】根据题意，PP1是梯形AA1B1B的中位线，
故|PP1|=(|AA1|+|BB1|)=(|AF|+|BF|)=|AB|.
故选：B
8．B
【解析】由题知，抛物线的准线方程为，，过P作垂直于准线于，连接，由抛物线定义知.
由正弦函数知，要使最小值，即最小，即最大，即直线斜率最大，即直线与抛物线相切.
设所在的直线方程为：，联立抛物线方程：
，整理得：
则，解得
即，解得，代入得
或，再利用焦半径公式得
故选：B.
9．AC
【解析】由抛物线，即，可知抛物线的开口向上，焦点坐标为，焦点到准线的距离为4，准线方程为．
故选：AC
10．AB
【解析】由抛物线定义，知曲线是以为焦点，
直线为准线的抛物线，其方程为，故A正确；
若点在曲线上，则点也在曲线上，故曲线关于轴对称，故B正确；
由知，故C错误；
点到直线的距离，所以D错误
故选：AB
11．BCD
【解析】∵圆的圆心为，半径，
∴与轴正半轴的交点为，
∵抛物线的焦点为，准线方程为，
由，得，故点的纵坐标，故A错误；
由抛物线的定义可得等于点到抛物线的准线的距离，故B正确；
易知圆的圆心到抛物线的准线的距离为2，故C正确；
的周长为，故D正确.
故选：BCD.
12．ABC
【解析】对于选项A：由可得，根据抛物线的定义可得，故选项A正确；
对于选项B：设为中点，设点在上的射影为，点在上的射影为，则由梯形性质可得，故选项B正确；
对于选项C：因为，所以，故选项C正确；
对于选项D：显然直线，与抛物线只有一个公共点，设过 的直线为，联立可得，令，解得：，所以直线与抛物线也只有一个公共点，此时有三条直线符合题意，
故选项D错误；
故选：ABC
13．
【解析】
根据题意，建立如图所示的坐标系，可设抛物线的标准方程为，
因为顶点距水面2米时，水面宽8米，所以，
代入方程得，所以，
当水面上升1米后，即，
代入方程得
所以水面的宽是米
故答案为:
14．或
【解析】设所求抛物线的方程为或，与圆的交点为，（，），由对称性，知，，则，即，所以，把代入，得，所以点在抛物线上，点在抛物线上，可得．
于是所求抛物线的方程为或．
故答案为：或.
15．8
【解析】由题意知，抛物线的焦点为F(2,0)，准线l为x＝－2，
∴K(－2,0)，设A(x0,y0)(y0＞0)，
∵过点A作AB⊥l于B，
∴B(－2,y0)，
∴|AF|＝|AB|＝x0－(－2)＝x0＋2，又|BK|2＝|AK|2－|AB|2，
∴x0＝2，y0＝4，即A(2,4)，
∴△AFK的面积为.
故答案为：8
16．4
【解析】设过点作斜率为的直线方程为：，
联立方程，消去可得：，
设，，∴，
设，，
则，同理，
设所在的直线方程为，
联立方程，消去得：，
∴，同理可得，
则.
故答案为：4.
17．
【解析】
如图，分别过点作抛物线准线的垂线，垂足分别为，设准线与轴的交点为，
由抛物线定义可知，，
在中，可知，
故在中可得，
故，则即为的中位线，
故
因此抛物线方程为.
18．（1）；（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）.
【解析】解：（1）由抛物线的性质得，
所以根据抛物线的定义得：，解得，
所以的标准方程为．
（2）设，且．
（ⅰ）证明：设中点为，则，，
当时，；
当时，，
则，，
令，得，故直线过定点
综上，恒过定点．
（ⅱ）由（ⅰ）知直线，即，
所以直线与抛物线联立方程消去，整理得，
由，得，，
，
当且仅当时等号成立，所以的最大值为10，
此时直线的方程为．
对于直线，，
所以点在同侧，不合题意，
对于直线，满足，位于直线两侧，
所以直线，
点到直线的距离，
点到直线的距离，
所以．
19．（1）证明见解析；（2）m＝6.
【解析】（1）证明：由题意，l：x＝5，代入y2＝4x中，解得，
不妨取M(5,)，N(5,－)，则，
∴，
∴AM⊥AN，即△AMN为直角三角形，得证．
（2）由题意，四边形OAPB为平行四边形，则kBP＝kOA＝2，
设直线l：y＝2(x－m)，，联立，得y2－2y－4m＝0，
由题意，判别式Δ＝4＋16m>0，y1＋y2＝2，y1y2＝－4m，
∵AM⊥AN，则，又，
∴，化简得(y1＋2)(y2＋2)＋16＝0，即y1y2＋2(y1＋y2)＋20＝0，
∴，解得m＝6，故m＝6时，有AM⊥AN.
20．（1）；（2）.
【解析】解：（1）由题意得，解得，
所以的标准方程为．
（2）设，，，，且．
设中点为，则，，
当时，，；
当时，，
则，即，
与联立方程消去，整理得，
由，得，
，，
，
当且仅当，即，即时，取“”，
所以的最大值为10，
此时的方程为．
21．（1）；（2）证明见解析，定点.
【解析】（1）设抛物线的标准方程为，
依题意，有，得，
∴抛物线的方程为；
（2），设，则，，于是圆的方程为，
令，得，①
设，由①式得，②
直线的斜率为，则直线的方程为，即，
代入②式，有，即，则恒过定点.
22．（1）抛物线的方程是y2＝4x，准线方程是x＝－1；（2）证明见解析．
【解析】（1）由题意可设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，
则由点P(1，2)在抛物线上，得22＝2p×1，解得p＝2，
故所求抛物线的方程是y2＝4x，准线方程是x＝－1．
（2）证明：因为PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，
所以kPA＝－kPB，即＝－．
又A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，
所以x1＝，x2＝，
从而有，即，得y1＋y2＝－4，
故直线AB的斜率kAB＝．