3.2.2 双曲线的简单几何性质 同步课时训练-2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选修一（含解析）

2021-2022学年高二数学（人教A版2019选择性必修一）
3.2.2 双曲线的简单几何性质 同步课时训练
一、单选题。本大题共8小题，每小题只有一个选项符合题意。
1．已知双曲线的离心率，过焦点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，直线交另一条渐近线于，则等于（ ）．
A．2 B． C． D．
2．双曲线的离心率为，的离心率为，则的最小值是（ ）
A． B．2 C． D．4
3．已知点，分别是双曲线的左、右焦点，为坐标原点，点在双曲线的右支上，且满足，，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
4．已知等轴双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，与直线y＝x交于A，B两点，若|AB|＝2，则该双曲线的方程为（ ）
A．x2－y2＝6 B．x2－y2＝9
C．x2－y2＝16 D．x2－y2＝25
5．双曲线的离心率不大于的充要条件是（　　）
A．﹣1≤m＜0 B．0＜m≤1 C．m≤﹣1 D．m≥1
6．已知双曲线C：x2-y2=1的右焦点为F，直线l1、l2是双曲线的两渐近线，FH⊥l1，H是垂足．点M在双曲线上，经过M分别与l1、l2平行的直线与l2、l1相交于A、B两点，O是坐标原点，△OFH的面积为S1，四边形OAMB的面积为S2.则S1:S2＝（　　）
A．1:1 B．1:2 C．2:3 D．3:2
7．如图，设，是双曲线的左、右焦点，过点作渐近线的平行线交另外一条渐近线于点，若的面积为，离心率满足，则双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知为双曲线的左 右焦点，过作的垂线分别交双曲线的左 右两支于两点(如图).若，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题。本大题共4小题，每小题有两项或以上符合题意。
9．已知定点，定直线l：，动点P点F的距离是它到直线l的距离的2倍．设点P的轨迹为E．则下列说法正确的是（ ）
A．轨迹E的方程为
B．轨迹E上的点P到定点F距离的最小值为2
C．轨迹E上的点P到定直线l：距离的最小值为1
D．轨迹E上的点到直线l：距离的最小值为
10．设、为双曲线：（）同一条渐近线上的两个不同的点，若向量，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
11．设，分别为双曲线，的左、右焦点，为双曲线右支上任一点，若的最小值为，则该双曲线离心率的取值可以是（ ）
A．1 B． C．3 D．4
12．已知动点P在左、右焦点分别为、的双曲线C上，下列结论正确的是（ ）
A．双曲线C的离心率为2 B．当P在双曲线左支时，的最大值为
C．点P到两渐近线距离之积为定值 D．双曲线C的渐近线方程为
三、填空题。本大题共4小题。
13．双曲线的焦距为2c，直线l过点和，且点到直线l的距离与点到直线l的距离之和，则双曲线离心率e的取值范围为______．
14．在平面直角坐标系中，双曲线：的一条渐近线与圆相切，则______．
15．以双曲线的右焦点为圆心，且与双曲线的渐近线相切的圆的方程是________．
16．如图，以为直径的圆有一内接梯形，且．若双曲线以，为焦点，且过，两点，则当梯形的周长最大时，双曲线的离心率为______．
四、解答题。本大题共6小题，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程。
17．已知双曲线：和圆：（其中原点为圆心），过双曲线上一点引圆的两条切线，切点分别为，．
（1）若双曲线上存在点，使得，求双曲线离心率的取值范围；
（2）求直线的方程．
18．分别求满足下列条件的双曲线的标准方程：
（1）以圆：与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和一个顶点；
（2）焦点在轴上，渐近线方程为，且顶点到渐近线的距离为1；
（3）焦点为，且与双曲线有相同的渐近线．
19．设双曲线的左、右焦点分别为，，且，一条渐近线的倾斜角为60°．
（1）求双曲线C的标准方程和离心率；
（2）求分别以，为左、右顶点，短轴长等于双曲线虚轴长的椭圆的标准方程．
20．已知是以，为焦点的双曲线上的一点，且，．
（1）求双曲线的离心率；
（2）过点作直线分别与双曲线两渐近线相交于，两点，若（为坐标原点），，求双曲线的标准方程．
21．已知双曲线：的右焦点与抛物线的焦点重合，一条渐近线的倾斜角为．
（1）求双曲线的方程；
（2）经过点的直线与双曲线的右支交与两点，与轴交与点，点关于原点的对称点为点，求证：．
22．设点为双曲线上任意一点，双曲线的离心率为，右焦点与椭圆的右焦点重合．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）过点作双曲线两条渐近线的平行线，分别与两渐近线交于点，，求证：平行四边形的面积为定值，并求出此定值．
参考答案
1．B
【解析】解：由双曲线的离心率，得，即，所以，渐近线方程为，如图，，，
则，，所以，所以，
所以．
故选：B.
2．C
【解析】由题意可得双曲线的离心率，
的离心率为，
所以，
当且仅当时取等号，其最小值为.
故选：C
3．A
【解析】由得，，
根据三角形的性质可知，为直角三角形，且，．
由双曲线的定义可得，，又，可得．
所以可化为，
即，而，
，解得，又，
．
故选：A．
4．B
【解析】设等轴双曲线的方程为x2－y2＝a2(a＞0)，与y＝x联立，得x2＝a2，
∴|AB|＝×a＝2，∴a＝3，
故选B.
5．B
【解析】解：因为双曲线的离心率不大于，
所以
解得：0＜m≤1．
故选：B．
6．A
【解析】双曲线C：x2-y2=1渐近线方程为y=±x，不妨取l1：y=x，l2：y=-x，即l1⊥l2，
设M(x0，y0)，过M与l1平行的直线方程为：y=x-x0+y0，过M与l2平行的直线方程为：y=-x+x0+y0，如图，
与l2的交点A，由，解得点A横坐标，
与l1的交点为B，由，解得点B横坐标，
则，同理，
则，又，△OHF为等腰直角三角形，
即，则，
所以.
故选：A
7．B
【解析】设双曲线的渐近线的倾斜角为，则，在等腰三角形中，根据正弦定理可得：，得，所以，解得或，又，，所以，从而，所以双曲的方程为，
故选：B．
8．C
【解析】解：由，设，由得，，所以，
，又得，
，令，化简得：，得，所以渐近线方程为，
故选：C.
9．AD
【解析】设，则，化简得，
所以轨迹E的方程是，A正确．
轨迹E上的点到定点F的距离为
，
因为或，所以距离的最小值为1；
轨迹E上的点Р到定直线l：距离的最小值为，B，C不正确．
设直线m：与双曲线E相切，
联立，得，
由，解得，
易知切线m：到直线l：的距离最小，
当时，解方程得，
当时，，所以切点即为所求，
此时最小值，D正确．
故选：AD．
10．AD
【解析】设的夹角为，由题意得，
∴，
①当双曲线的焦点在轴上时，其渐近线方程为，即，
∴点到渐近线的距离为，整理得，
∴，
②当双曲线的焦点在轴上时，其渐近线方程为，即，
∴点到渐近线的距离为，整理得，
∴，
综上双曲线的离心率为或.
故选：AD.
11．BC
【解析】解：设，则，
由双曲线的定义知，，∴，
∴，
当且仅当，即时，等号成立，
∴当的最小值为时，，，
此时，解得，又，
∴，
∴双曲线离心率的取值可以是，3．
故选：BC．
12．AC
【解析】在双曲线C中，实半轴长，虚半轴长，半焦距.
对于AD，双曲线的离心率，渐近线方程为，故A正确，D错误；
对于B，当P在双曲线的左支上时，，
故，当且仅当时，即时等号成立，故的最大值为，故B错误；
对于C，设，则，即，而渐近线为和，故到渐近线的距离之积为为定值，故C正确.
故选：AC.
13．
【解析】设直线l的方程为，即．
由点到直线的距离公式，且，得点到直线l的距离，
点到直线l的距离．
所以．
由，得，即．
因为，所以，所以，
即，所以，所以，
即e的取值范围为．
故答案为：.
14．
【解析】解：由已知圆的方程可知圆心坐标为，半径为1．
双曲线的渐近线方程为，与已知圆相切的只可能是，
所以，得，故．
故答案为：.
15．
【解析】依题意，所以渐近线为，右焦点，
右焦点到渐近线的距离为.
所求圆的方程为.
故答案为：
16．
【解析】连接，设，，
作于点，则，，
所以，
梯形的周长．
当，即时，有最大值，
这时，，，
，．
故答案为：
17．
（1）
（2）
18．
（1）（2）（3）
19．（1），2 （2）
【解析】（1）由题意，
又
解得：
故双曲线C的标准方程为：，离心率为
（2）由题意椭圆的焦点在轴上，设椭圆方程为
故
即椭圆方程为：
20．（1）；（2）.
【解析】解：（1）不妨设点在第一象限
，，
，．
，，
．
（2）由（1），知双曲线的方程为，则渐近线的方程为．
不妨设，，，，．
，．
点在双曲线上，，化简，得，
，
，
双曲线的标准方程为．
21．（1）；（2）证明见解析．
【解析】解：（1）由题意得，，
解得所以双曲线的方程为：
（2）由题意知直线的斜率存在，设直线方程为：，得，，
设，，
联立，整理可得
，
所以
所以
直线与双曲线右支有两个交点，所以
所以，设，
所以
22．（1）；（2）证明见解析；定值为．
【解析】（1）
则，，．
所以双曲线的标准方程为：．
（2）设点坐标为，过与渐近线平行的直线分别为，，
方程分别为，，
联立方程：，得，
同理可得：，得，
又渐近线方程为，则，
，
又点在双曲线上，则，
所以，即平行四边形的面积为定值，且此定值为．