第三章 圆锥曲线的方程 尖子生培优练 -2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选修一（含解析）
文档属性
| 名称 | 第三章 圆锥曲线的方程 尖子生培优练 -2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选修一（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 648.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-11-17 10:42:35 | ||
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文档简介
第三章圆锥曲线的方程尖子生培优练--2021---2022人教A（2019）选择性必修第一册
一、单选题
1．抛物线上纵坐标为1的点到焦点的距离5，则该抛物线的方程为（ ）
A． B． C． D．
2．已知点，，动点满足，则动点的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．直线 C．线段 D．圆
3．双曲线焦点到渐近线距离为，则此双曲线虚轴长为（ ）
A． B． C． D．
4．双曲线的离心率为，过双曲线右焦点作一条直线垂直于双曲线的一条渐近线，垂足为，设为坐标原点，则（ ）
A．1 B． C．2 D．4
5．如图，“天宫三号”的运行轨道是以地心（地球的中心）为其中一个焦点的椭圆．已知它的近地点（离地面最近的点）距地面千米，远地点（离地面最远的距离）距离地面千米，并且，，在同一条直线上，地球的半径为千米，则“天宫三号”运行的轨道的短轴长为（ ）千米
A． B．
C． D．
6．已知椭圆的左、右焦点分别是、，离心率为，点A是椭圆上位于x轴上方的一点，且，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．1
7．已知椭圆：，点，是长轴的两个端点，若椭圆上存在点，使得，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知A（3，2），点F为抛物线的焦点，点P在抛物线上移动，为使取得最小值，则点P的坐标为（ ）
A．（0，0） B．（2，2） C． D．
二、多选题
9．椭圆，下列结论正确的是（ ）
A．离心率 B．长轴长为4 C．短轴长为1 D．焦距为
10．设抛物线C：的焦点为F，点M在C上，，若以MF为直径的圆过点，则抛物线C的方程为（ ）
A． B． C． D．
11．已知分别是双曲线的左 右焦点，点是该双曲线的一条渐近线上的一点，并且以线段为直径的圆经过点，则（ ）
A．双曲线的渐近线方程为 B．以线段为直径的圆的方程为
C．点的横坐标为或 D．的面积为
12．设，分别是双曲线的左、右焦点，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B．的取值范围是
C．到渐近线的距离随着的增大而减小 D．当时，的实轴长是虚轴长的3倍
三、填空题
13．已知椭圆的焦点为，，且经过，则椭圆的方程为______．
14．已知双曲线的两个焦点分别为、，且两条渐近线互相垂直，若上一点满足，则的余弦值为_______________________．
15．已知椭圆C：，若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的离心率为________．
16．椭圆（为非零常数）的焦点分别为，点在椭圆上.如果线段的中点在轴上，那么等于_________．
四、解答题
17．椭圆的左右焦点分別为，其中，O为原点．椭圆上任意一点到距离之和为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点P（0，2）的斜率为2的直线l交椭圆于A、B两点，求△OAB的面积．
18．已知椭圆的焦距为，离心率为.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若点，点B在椭圆C上，求线段长度的最大值.
19．已知动点与平面上点，的距离之和等于．
（1）试求动点的轨迹方程；
（2）设直线与曲线交于、两点，当时，求直线的方程．
20．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点
，点在双曲线上.
（1）求双曲线的方程；
（2）求证：·＝0；
21．动圆与圆相内切，且恒过点.
（1）求动圆圆心的轨迹的方程；
（2）已知垂直于轴的直线交于、两点，垂直于轴的直线交于、两点，与的交点为，且，证明：存在两定点、，使得为定值，求出、的坐标.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案
1．A
【详解】
抛物线上纵坐标为1的点到焦点的距离5，
则根据抛物线定义可得，解得，
所以抛物线方程为.
故选：A.
2．C
【详解】
因为，故动点的轨迹是线段.
故选：C.
3．B
【详解】
设双曲线方程为，
一条渐近线方程为：，焦点，
所以焦点到该渐近线的距离为，
当双曲线焦点在y轴上时，依然成立，
所以，故虚轴长为4
故选：B
4．C
解：因为双曲线的离心率为，所以，解得，，所以双曲线方程为，所以渐近线方程为，右焦点，
不妨取，即，则到渐近线的距离，所以
故选：C
5．D
【详解】
由题设条件可得，，
设椭圆的半长轴长为，半焦距为，则，，
故短半轴长为，
所以短轴长为，
故选：D.
6．B
【详解】
解：依题意，即，又，，，所以，所以为等边三角形，即为椭圆的上顶点，所以，所以
故选：B
7．A
【详解】
如图：
当P在上顶点时，最大，此时，
则，
所以，
即，，
所以，
则，
所以椭圆的离心率的取值范围是，
故选：A
8．B
【详解】
如图所示：
设点P到准线的距离为，准线方程为，
所以，当且仅当点为与抛物线的交点时，取得最小值，此时点P的坐标为．
故选：B．
9．ABD
【详解】
因为椭圆，所以，因此离心率，故A正确；长轴长为，故B正确；短轴长为，故C错误；焦距为，故D正确；
故选：ABD.
10．AC
【详解】
因为抛物线C的方程为，所以焦点，
设，由抛物线的性质知，得．
因为圆心是MF的中点，所以根据中点坐标公式可得圆心的横坐标为，
由已知得圆的半径也为，故该圆与y轴相切于点，
故圆心的纵坐标为2，则点M的纵坐标为4，即，
代入抛物线方程，得，解得或．
所以抛物线C的方程为或．
故选：AC
11．CD
【详解】
由双曲线方程知：，，的渐近线方程为，A错误；
，以为直径的圆方程为，B错误；
由得：或，点的横坐标为或，C正确；
，，D正确.
故选：CD.
12．ABC
【详解】
因为，所以，故A正确；
因为双曲线焦点在轴上，由且，得的取值范围是，故B正确；
因为到渐近线的距离等于虚半轴长为，其在上单调递减，故C正确；
当时，的实轴长为，虚轴长4，的实轴长是虚轴长的倍，故D错误．
故选：ABC.
13．
【详解】
设椭圆F的标准方程为：，依题意得，
，
∴，则，故椭圆F的标准方程为；
故答案为：．
14．
【详解】
因为双曲线，所以渐近线方程为，又因为两条渐近线互相垂直，所以，所以，即，因此，
因此，又由双曲线的定义可知，则，
所以在中由余弦定理可得
，
故答案为：.
15．
【详解】
椭圆长轴的长为6，即，得，
∵两个焦点恰好将长轴三等分，∴，得，
因此椭圆的离心率为，
故答案为：.
16．
【详解】
由，可知，，所以，
∵线段PF1的中点M在y轴上，且原点为线段的中点，
所以，所以轴，
，由椭圆的定义知，则
∴.
故答案为：7
17．（1）由题意可得，，∴，，
所以椭圆的标准方程为.
（2）
直线l的方程为，
代入椭圆方程得，设，，
则，，，
∴，
又∵点O到直线AB的距离，
∴，
即△OAB的面积为.
18．（1）依题意，得，离心率，
所以，
所以椭圆C的标准方程为.
（2）
设，则，则有
所以，
由两点间的距离公式，得
，
因为，
所以当时，线段的长度最大，为.
19．（1）解：（1）设点的坐标为
由椭圆定义可知点轨迹是以，为焦点的椭圆．
，．，
动点的轨迹方程为：
（2）将直线代入椭圆方程得：，
，即，
设，．，．
．，．
直线的方程为：．
20．（1）∵，
∴双曲线的实轴、虚轴相等.
则可设双曲线方程为
∵双曲线过点，
∴，即.
∴双曲线方程为..
（2）证明：不妨设F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，
则，.
∴，
∵M点在双曲线上，
∴，即，
∴·.
21．【详解】
（1）解：设圆的半径为.
因为圆过点，且与圆相内切，所以，
所以，即：，
所以点的轨迹是以，为焦点的椭圆，
其中，，所以，，
所以曲线的方程为.
（2）证明：设，，，，，，，，
则，，，，，
消去，，得，
所以点在双曲线上，
因为的两个焦点为，，实轴长为，
所以存在两定点，，使得为定值.
一、单选题
1．抛物线上纵坐标为1的点到焦点的距离5，则该抛物线的方程为（ ）
A． B． C． D．
2．已知点，，动点满足，则动点的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．直线 C．线段 D．圆
3．双曲线焦点到渐近线距离为，则此双曲线虚轴长为（ ）
A． B． C． D．
4．双曲线的离心率为，过双曲线右焦点作一条直线垂直于双曲线的一条渐近线，垂足为，设为坐标原点，则（ ）
A．1 B． C．2 D．4
5．如图，“天宫三号”的运行轨道是以地心（地球的中心）为其中一个焦点的椭圆．已知它的近地点（离地面最近的点）距地面千米，远地点（离地面最远的距离）距离地面千米，并且，，在同一条直线上，地球的半径为千米，则“天宫三号”运行的轨道的短轴长为（ ）千米
A． B．
C． D．
6．已知椭圆的左、右焦点分别是、，离心率为，点A是椭圆上位于x轴上方的一点，且，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．1
7．已知椭圆：，点，是长轴的两个端点，若椭圆上存在点，使得，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知A（3，2），点F为抛物线的焦点，点P在抛物线上移动，为使取得最小值，则点P的坐标为（ ）
A．（0，0） B．（2，2） C． D．
二、多选题
9．椭圆，下列结论正确的是（ ）
A．离心率 B．长轴长为4 C．短轴长为1 D．焦距为
10．设抛物线C：的焦点为F，点M在C上，，若以MF为直径的圆过点，则抛物线C的方程为（ ）
A． B． C． D．
11．已知分别是双曲线的左 右焦点，点是该双曲线的一条渐近线上的一点，并且以线段为直径的圆经过点，则（ ）
A．双曲线的渐近线方程为 B．以线段为直径的圆的方程为
C．点的横坐标为或 D．的面积为
12．设，分别是双曲线的左、右焦点，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B．的取值范围是
C．到渐近线的距离随着的增大而减小 D．当时，的实轴长是虚轴长的3倍
三、填空题
13．已知椭圆的焦点为，，且经过，则椭圆的方程为______．
14．已知双曲线的两个焦点分别为、，且两条渐近线互相垂直，若上一点满足，则的余弦值为_______________________．
15．已知椭圆C：，若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的离心率为________．
16．椭圆（为非零常数）的焦点分别为，点在椭圆上.如果线段的中点在轴上，那么等于_________．
四、解答题
17．椭圆的左右焦点分別为，其中，O为原点．椭圆上任意一点到距离之和为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点P（0，2）的斜率为2的直线l交椭圆于A、B两点，求△OAB的面积．
18．已知椭圆的焦距为，离心率为.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若点，点B在椭圆C上，求线段长度的最大值.
19．已知动点与平面上点，的距离之和等于．
（1）试求动点的轨迹方程；
（2）设直线与曲线交于、两点，当时，求直线的方程．
20．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点
，点在双曲线上.
（1）求双曲线的方程；
（2）求证：·＝0；
21．动圆与圆相内切，且恒过点.
（1）求动圆圆心的轨迹的方程；
（2）已知垂直于轴的直线交于、两点，垂直于轴的直线交于、两点，与的交点为，且，证明：存在两定点、，使得为定值，求出、的坐标.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案
1．A
【详解】
抛物线上纵坐标为1的点到焦点的距离5，
则根据抛物线定义可得，解得，
所以抛物线方程为.
故选：A.
2．C
【详解】
因为，故动点的轨迹是线段.
故选：C.
3．B
【详解】
设双曲线方程为，
一条渐近线方程为：，焦点，
所以焦点到该渐近线的距离为，
当双曲线焦点在y轴上时，依然成立，
所以，故虚轴长为4
故选：B
4．C
解：因为双曲线的离心率为，所以，解得，，所以双曲线方程为，所以渐近线方程为，右焦点，
不妨取，即，则到渐近线的距离，所以
故选：C
5．D
【详解】
由题设条件可得，，
设椭圆的半长轴长为，半焦距为，则，，
故短半轴长为，
所以短轴长为，
故选：D.
6．B
【详解】
解：依题意，即，又，，，所以，所以为等边三角形，即为椭圆的上顶点，所以，所以
故选：B
7．A
【详解】
如图：
当P在上顶点时，最大，此时，
则，
所以，
即，，
所以，
则，
所以椭圆的离心率的取值范围是，
故选：A
8．B
【详解】
如图所示：
设点P到准线的距离为，准线方程为，
所以，当且仅当点为与抛物线的交点时，取得最小值，此时点P的坐标为．
故选：B．
9．ABD
【详解】
因为椭圆，所以，因此离心率，故A正确；长轴长为，故B正确；短轴长为，故C错误；焦距为，故D正确；
故选：ABD.
10．AC
【详解】
因为抛物线C的方程为，所以焦点，
设，由抛物线的性质知，得．
因为圆心是MF的中点，所以根据中点坐标公式可得圆心的横坐标为，
由已知得圆的半径也为，故该圆与y轴相切于点，
故圆心的纵坐标为2，则点M的纵坐标为4，即，
代入抛物线方程，得，解得或．
所以抛物线C的方程为或．
故选：AC
11．CD
【详解】
由双曲线方程知：，，的渐近线方程为，A错误；
，以为直径的圆方程为，B错误；
由得：或，点的横坐标为或，C正确；
，，D正确.
故选：CD.
12．ABC
【详解】
因为，所以，故A正确；
因为双曲线焦点在轴上，由且，得的取值范围是，故B正确；
因为到渐近线的距离等于虚半轴长为，其在上单调递减，故C正确；
当时，的实轴长为，虚轴长4，的实轴长是虚轴长的倍，故D错误．
故选：ABC.
13．
【详解】
设椭圆F的标准方程为：，依题意得，
，
∴，则，故椭圆F的标准方程为；
故答案为：．
14．
【详解】
因为双曲线，所以渐近线方程为，又因为两条渐近线互相垂直，所以，所以，即，因此，
因此，又由双曲线的定义可知，则，
所以在中由余弦定理可得
，
故答案为：.
15．
【详解】
椭圆长轴的长为6，即，得，
∵两个焦点恰好将长轴三等分，∴，得，
因此椭圆的离心率为，
故答案为：.
16．
【详解】
由，可知，，所以，
∵线段PF1的中点M在y轴上，且原点为线段的中点，
所以，所以轴，
，由椭圆的定义知，则
∴.
故答案为：7
17．（1）由题意可得，，∴，，
所以椭圆的标准方程为.
（2）
直线l的方程为，
代入椭圆方程得，设，，
则，，，
∴，
又∵点O到直线AB的距离，
∴，
即△OAB的面积为.
18．（1）依题意，得，离心率，
所以，
所以椭圆C的标准方程为.
（2）
设，则，则有
所以，
由两点间的距离公式，得
，
因为，
所以当时，线段的长度最大，为.
19．（1）解：（1）设点的坐标为
由椭圆定义可知点轨迹是以，为焦点的椭圆．
，．，
动点的轨迹方程为：
（2）将直线代入椭圆方程得：，
，即，
设，．，．
．，．
直线的方程为：．
20．（1）∵，
∴双曲线的实轴、虚轴相等.
则可设双曲线方程为
∵双曲线过点，
∴，即.
∴双曲线方程为..
（2）证明：不妨设F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，
则，.
∴，
∵M点在双曲线上，
∴，即，
∴·.
21．【详解】
（1）解：设圆的半径为.
因为圆过点，且与圆相内切，所以，
所以，即：，
所以点的轨迹是以，为焦点的椭圆，
其中，，所以，，
所以曲线的方程为.
（2）证明：设，，，，，，，，
则，，，，，
消去，，得，
所以点在双曲线上，
因为的两个焦点为，，实轴长为，
所以存在两定点，，使得为定值.