2021-2022学年山东省青岛市市北区广雅中学九年级（上）期中数学试卷（ word版，解析版）

2021-2022学年山东省青岛市市北区广雅中学九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每题3分）
1．（3分）下列方程中，是一元二次方程的是（　　）
A．x2+2x+y＝1 B．x2+﹣1＝0
C．x2＝0 D．（x+1）（x+3）＝x2﹣1
2．（3分）在数字1，2，3，4中任选两个组成一个两位数，这个两位数能被3整除的概率为（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）根据下面表格中的对应值判断关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解x的范围是（　　）
x 3.24 3.25 3.26
ax2+bx+c ﹣0.02 0.01 0.03
A．x＜3.24 B．3.24＜x＜3.25
C．3.25＜x＜3.26 D．x＞3.26
4．（3分）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+3x﹣2＝0有实数根，则a的取值范围是（　　）
A． B． C．且a≠1 D．且a≠1
5．（3分）在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为20cm，则它的宽约为（　　）
A．12.36cm B．13.6cm C．32.36cm D．7.64cm
6．（3分）如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，∠CAE＝15°，则∠AOE的度数为（　　）
A．120° B．135° C．145° D．150°
7．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，BD＝3AD，BC＝12，则DE的长是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．（3分）如图，正方形ABCD的边长是3，BP＝CQ，连接AQ，DP交于点O，并分别与边CD，BC交于点F，E，连接AE，下列结论：①AQ⊥DP；②OA2＝OE OP；③S△AOD＝S四边形OECF；④当BP＝1时，OE＝．其中正确结论的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每题3分）
9．（3分）已知，则＝　 　．
10．（3分）某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是　 　．
11．（3分）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20只，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，实验数据如表：
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000
摸到白球的次数m 58 96 116 295 484 601
摸到白球的频率 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601
根据数据，估计袋中黑球有 　 　个．
12．（3分）如图，在长为8cm，宽为4cm的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，则留下矩形的面积是 　 　cm2．
13．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在AB上，且BE＝1，F为对角线AC上一动点，则△BFE周长的最小值为 　 　．
14．（3分）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E在AD的延长线上，连接CE，点F是CE的中点，连接OF交CD于点G．若DE＝1，OF＝1.5，则点C到DF的距离为 　 　．
三、作图题（本题满分4分）
15．（4分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
如图，已知△ABC．
求作：菱形ADEF，使它的一个顶点为点A，其余三个顶点分别在△ABC的三边上．
四、解答题（本题满分74分，共有9道小题）
16．（8分）解方程：
（1）x2﹣6x＝3；
（2）（2x﹣1）（3x+1）＝1．
17．（7分）小明和小亮用下面两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏（红色和蓝色在一起能配成紫色），同时随机转动这两个转盘，若配成紫色，则小明胜，否则小亮胜，这个游戏对双方公平吗？请列表格画树状图说明理由．
18．（6分）如图，已知EG∥BC，GF∥CD，AE＝3，EB＝2，AF＝6，求AD的长．
19．（7分）如图，有长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料造了宽为1米的两个小门，此时花圃的面积刚好为45米2，求此时花圃的长和宽．
20．（7分）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE＝0.4m，EF＝0.2m，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，求树高．
21．（7分）如图，在△ABC中，AB＝AC，在BC上任取一点D，以AB、BD为邻边构造平行四边形ABDE，连接CE．
（1）求证：△ABD≌△CAE；
（2）当点D在边BC的什么位置时，四边形ADCE是矩形？证明你的结论．
22．（10分）某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克50元销售，一个月能售出500kg，销售单价每涨2元，月销售量就减少20kg，针对这种水产品情况，请解答以下问题：
（1）当销售单价定为每千克56元时，计算销售量和月销售利润；
（2）商品想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少？
23．（10分）五一假期，小明和小华共同设计了一款拼图，他们用乒乓球粘成了下面几种造型的拼板（每种一块，没有重复）：
A组
A1 A2 A3
B组
B1 B2 B3 B4 B5 B6
（1）你能用部分拼板拼成图1中的平行四边形吗？所使用的拼板形状不能重复，请在图1中用不同颜色或底纹画出来．
（2）如图2，小华想用拼板摆出一个三棱锥造型，三棱锥的每条棱上有三个乒乓球，他已经用A5和B完成了一部分（图2是从上往下看的样子），请从剩下的拼板中挑出一块完成拼图，你认为需要的拼板是　 　．
（3）小明试图用部分拼板拼出图3中的大三角形，请判断他能否成功？如果能，在图3中用不同颜色或底纹画出拼板的摆法；如果不能，请说明理由．
24．（12分）如图，已知：在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从点B出发，沿BC方向匀速运动，速度为2cm/s；与点P同时，点Q从D点出发，沿DA方向匀速运动，速度为1cm/s；过点Q作QE∥AC，交DC于点E．设运动时间为t（s），（0＜t＜4），解答下列问题：
（1）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使PQ平分∠APC？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（2）设五边形APCEQ的面积为y，求y与t的函数关系式；
（3）当0＜t＜时，是否存在某一时刻t，使△PQE是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
2021-2022学年山东省青岛市市北区广雅中学九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每题3分）
1．（3分）下列方程中，是一元二次方程的是（　　）
A．x2+2x+y＝1 B．x2+﹣1＝0
C．x2＝0 D．（x+1）（x+3）＝x2﹣1
【分析】根据一元二次方程的定义：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程，运用定义对每个方程进行分析，再作出准确的判断．
【解答】解：A：含有两个未知数，不是一元二次方程；
B：含有分母，是分式方程，不是整式方程，所以不是一元二次方程；
C：符合一元二次方程的定义，是一元二次方程；
D：化简后不含二次项，不是一元二次方程；
故选：C．
2．（3分）在数字1，2，3，4中任选两个组成一个两位数，这个两位数能被3整除的概率为（　　）
A． B． C． D．
【分析】先列举出所有满足条件的两位数，然后找出能被3整除的两位数，即可得到能被3整除的概率．
【解答】解：可以得到的所有两位数为：12，13，14，23，24，34，43，42，41，32，31，21，共有12个．
其中能被3整除的有4个，
所以两位数能被3整除的概率是＝，
故选：A．
3．（3分）根据下面表格中的对应值判断关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解x的范围是（　　）
x 3.24 3.25 3.26
ax2+bx+c ﹣0.02 0.01 0.03
A．x＜3.24 B．3.24＜x＜3.25
C．3.25＜x＜3.26 D．x＞3.26
【分析】根据表中数据得到x＝3.24时，ax2+bx+c＝﹣0.02；x＝3.25时，ax2+bx+c＝0.01，则x取2.24到2.25之间的某一个数时，使ax2+bx+c＝0，于是可判断关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解x的范围是3.24＜x＜3.25．
【解答】解：∵x＝3.24时，ax2+bx+c＝﹣0.02；x＝3.25时，ax2+bx+c＝0.01，
∴关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解x的范围是3.24＜x＜3.25．
故选：B．
4．（3分）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+3x﹣2＝0有实数根，则a的取值范围是（　　）
A． B． C．且a≠1 D．且a≠1
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到a≠1且Δ＝32﹣4（a﹣1） （﹣2）≥0，然后求出两个不等式解集的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得a≠1且Δ＝32﹣4（a﹣1） （﹣2）≥0，
解得a≥﹣且a≠1．
故选：D．
5．（3分）在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为20cm，则它的宽约为（　　）
A．12.36cm B．13.6cm C．32.36cm D．7.64cm
【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比．
【解答】解：方法1：设书的宽为x，则有（20+x）：20＝20：x，解得x＝12.36cm．
方法2：书的宽为20×0.618＝12.36cm．
故选：A．
6．（3分）如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，∠CAE＝15°，则∠AOE的度数为（　　）
A．120° B．135° C．145° D．150°
【分析】判断出△ABE是等腰直角三角形，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠ACB＝30°，再判断出△ABO是等边三角形，根据等边三角形的性质求出OB＝AB，再求出OB＝BE，然后根据等腰三角形两底角相等求出∠BOE＝75°，再根据∠AOE＝∠AOB+∠BOE计算即可得解．
【解答】解：∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE＝45°，
∴∠AEB＝45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AB＝BE，
∵∠CAE＝15°，
∴∠ACE＝∠AEB﹣∠CAE＝45°﹣15°＝30°，
∴∠BAO＝90°﹣30°＝60°，
∵矩形中OA＝OB，
∴△ABO是等边三角形，
∴OB＝AB，∠ABO＝∠AOB＝60°，
∴OB＝BE，
∵∠OBE＝∠ABC﹣∠ABO＝90°﹣60°＝30°，
∴∠BOE＝（180°﹣30°）＝75°，
∴∠AOE＝∠AOB+∠BOE，
＝60°+75°，
＝135°．
故选：B．
7．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，BD＝3AD，BC＝12，则DE的长是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】由DE∥BC，可以判断△ADE∽△ABC，根据AD：BD＝1：3即可得出结论．
【解答】解：∵BD＝3AD，
∴AD：BD＝1：3，
∴AD：AB＝1：4，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝＝，
∵BC＝12，
∴DE＝3，
故选：A．
8．（3分）如图，正方形ABCD的边长是3，BP＝CQ，连接AQ，DP交于点O，并分别与边CD，BC交于点F，E，连接AE，下列结论：①AQ⊥DP；②OA2＝OE OP；③S△AOD＝S四边形OECF；④当BP＝1时，OE＝．其中正确结论的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由四边形ABCD是正方形，得AD＝BC，∠DAB＝∠ABC＝90°，进而可得DAP≌△ABQ，则∠P＝∠Q，即可判断出①正确；
证明△DAO∽△APO，根据相似三角形的性质即可判断②错误；
根据全等三角形的性质可推出S△ADF﹣S△DFO＝S△DCE﹣S△DOF，即可判断③正确；
根据相似三角形的性质以及三角函数的定义即可得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BC，∠DAB＝∠ABC＝90°，
∵BP＝CQ，
∴AP＝BQ，
在△DAP与△ABQ中，
，
∴DAP≌△ABQ（SAS），
∴∠P＝∠Q，
∵∠Q+∠QAB＝90°，
∴∠P+∠QAB＝90°，
∴∠AOP＝90°，
∴AQ⊥DP，
故①正确；
∵∠DOA＝∠AOP＝90°，∠ADO+∠P＝∠ADO+∠DAO＝90°，
∴∠DAO＝∠P，
∴△DAO∽△APO，
∴，
∴AO2＝OD OP，
∵AE＞AB，
∴AE＞AD，
∴OD≠OE，
∴OA2≠OE OP，
故②错误；
在△CQF与△BPE中，
，
∴△CQF≌△BPE（ASA），
∴CF＝BE，
∴DF＝CE，
在△ADF与△DCE中，
，
∴△ADF≌△DCE（SAS），
∴S△ADF＝S△DCE，
∴S△ADF﹣S△DFO＝S△DCE﹣S△DOF，
即S△AOD＝S四边形OECF，
故③正确，
∵BP＝1，AB＝3，
∴AP＝4，
∵△PBE∽△PAD，
∴＝，
∴BE＝，
∴QE＝，
∵△QOE∽△PAD，
∴＝，
∴OE＝，
故④正确，
故选：C．
二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每题3分）
9．（3分）已知，则＝　　．
【分析】依据比例的性质，即可得到y＝x，再代入分式计算化简即可．
【解答】解：∵，
∴y＝x，
∴＝＝＝，
故答案为：．
10．（3分）某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是　50+50×（1+x）+50（1+x）2＝182　．
【分析】等量关系为：四月份生产的零件个数+五月份生产的零件个数+六月份生产的零件个数＝182．
【解答】解：易得五月份生产的零件个数是在四月份的基础上增加的，所以为50（1+x），同理可得6月份生产的零件个数是在五月份的基础上增加的，为50（1+x）（1+x），那么50+50×（1+x）+50（1+x）2＝182．
11．（3分）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20只，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，实验数据如表：
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000
摸到白球的次数m 58 96 116 295 484 601
摸到白球的频率 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601
根据数据，估计袋中黑球有 　8　个．
【分析】根据统计数据，当n很大时，摸到白球的频率接近0.6．然后列式计算即可．
【解答】解：当n很大时，摸到白球的概率约是0.6，
∴袋中黑球有20﹣20×0.6＝8（个）；
故答案为：8．
12．（3分）如图，在长为8cm，宽为4cm的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，则留下矩形的面积是 　8　cm2．
【分析】利用相似多边形的对应边的比相等，对应角相等分析．
【解答】解：长为8cm、宽为4cm的矩形的面积是32cm2，
留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，
相似比是4：8＝1：2，
因而面积的比是1：4，
因而留下矩形的面积是32×＝8cm2．
故答案为：8．
13．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在AB上，且BE＝1，F为对角线AC上一动点，则△BFE周长的最小值为 　6　．
【分析】连接ED交AC于一点F，连接BF，根据正方形的对称性得到此时△BFE的周长最小，利用勾股定理求出DE即可．
【解答】解：如图，连接ED交AC于一点F，连接BF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴点B与点D关于AC对称，
∴BF＝DF，
∴△BFE的周长＝BF+EF+BE＝DE+BE，此时△BEF的周长最小，
∵正方形ABCD的边长为4，
∴AD＝AB＝4，∠DAB＝90°，
∵点E在AB上且BE＝1，
∴AE＝3，
∴DE＝＝5，
∴△BFE的周长＝5+1＝6，
故答案为：6．
14．（3分）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E在AD的延长线上，连接CE，点F是CE的中点，连接OF交CD于点G．若DE＝1，OF＝1.5，则点C到DF的距离为 　　．
【分析】解法一：根据正方形的性质得到CO＝DO，∠ADC＝90°，求得∠CDE＝90°，根据直角三角形的性质得到DF＝CF＝EF＝CE，根据三角形中位线定理得到FG＝DE＝，求得CD＝BC＝2，连接DF，过点C作CM⊥DF交延长线于点M，根据相似三角形的性质和勾股定理即可得到结论．
解法二：同理得FG的长，利用勾股定理计算DF的长，最后根据△CDF的面积列等式可得CM的长．
【解答】解：解法一：∵在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，
∴CO＝DO，∠ADC＝90°，
∴∠CDE＝90°，
∵点F是AE的中点，
∴DF＝CF＝EF＝CE，
∴OF垂直平分AD，
∴CG＝DG，
∴FG＝DE＝，
∵OF＝1.5，
∴OG＝1，
∵BO＝DO，
∴BC＝2OG＝2，
∴CD＝BC＝2，
∴CE＝＝＝．
连接DF，过点C作CM⊥DF交延长线于点M，
∴∠M＝∠CDE＝90°，
∵CF＝DF，
∴∠CDF＝∠DCE，
∴△CDM∽△ECD，
∴＝，
∴＝，
∴CM＝，
即点C到DF的距离为，
故答案为：．
解法二：∵在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，
∴CO＝DO，∠ADC＝90°，
∴∠CDE＝90°，
∵点F是AE的中点，
∴DF＝CF＝EF＝CE，
∴OF垂直平分AD，
∴CG＝DG，
∴FG＝DE＝，
∵OF＝1.5，
∴OG＝1，
∵BO＝DO，
∴BC＝2OG＝2，
∴CD＝BC＝2，
∴DG＝1，
∴DF＝＝＝，
连接DF，过点C作CM⊥DF交延长线于点M，
∴∠M＝∠CDE＝90°，
∴S△CDF＝DF CM＝CD FG，
∴CM＝，
即点C到DF的距离为，
故答案为：．
三、作图题（本题满分4分）
15．（4分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
如图，已知△ABC．
求作：菱形ADEF，使它的一个顶点为点A，其余三个顶点分别在△ABC的三边上．
【分析】根据角平分线的作法、线段垂直平分线的作法、菱形的判定定理解答．
【解答】解：作∠BAC的平分线交BC于E，
作线段AE的垂直平分线，交AC于D，交AB于F，
则四边形ADEF即为所求的菱形．
四、解答题（本题满分74分，共有9道小题）
16．（8分）解方程：
（1）x2﹣6x＝3；
（2）（2x﹣1）（3x+1）＝1．
【分析】（1）利用配方法求解即可；
（2）整理成一般式后，利用因式分解法求解即可．
【解答】解：（1）∵x2﹣6x＝3，
∴x2﹣6x+9＝3+9，即（x﹣3）2＝12，
∴x﹣3＝±2，
∴x1＝3+2，x2＝3﹣2；
（2）整理成一般式，得：6x2﹣x﹣2＝0，
∴（2x+1）（3x﹣2）＝0，
则2x+1＝0或3x﹣2＝0，
解得x1＝﹣，x2＝．
17．（7分）小明和小亮用下面两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏（红色和蓝色在一起能配成紫色），同时随机转动这两个转盘，若配成紫色，则小明胜，否则小亮胜，这个游戏对双方公平吗？请列表格画树状图说明理由．
【分析】将A盘中蓝色划分为两部分，将B盘中红色也划分为两部分，画树状图列出所有等可能结果，根据概率公式求出两人获胜的概率即可判断．
【解答】解：不公平，
将A盘中蓝色部分记为蓝a、蓝b，B盘中红色部分记为红1、红2，
画树状图如下：
由树状图可知共有9种等可能结果，其中能配成紫色的有5种结果，
∴小明获胜的概率为，小亮获胜的概率为，
∵≠，
∴这个游戏对双方不公平．
18．（6分）如图，已知EG∥BC，GF∥CD，AE＝3，EB＝2，AF＝6，求AD的长．
【分析】根据平行线分线段成比例定理即可刚刚结论．
【解答】解：∵AE＝3，EB＝2，
∴AB＝5，
∵EG∥BC，GF∥DC，
∴，，
∴＝，
∴＝，
∴AD＝10．
19．（7分）如图，有长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料造了宽为1米的两个小门，此时花圃的面积刚好为45米2，求此时花圃的长和宽．
【分析】由在BC上用其他材料造了宽为1米的两个小门，故长边为22﹣3x+2，令面积为45，解得x．
【解答】解：设宽AB为x，
则长BC为（22﹣3x+2）（2分）
由题意可得：（22﹣3x+2）x＝45（2分）
解得：x1＝3；x2＝5（2分）
∴当AB＝3时，BC＝15＞14，不符合题意舍去 （2分）
当AB＝5时，BC＝9，满足题意．
答：花圃的长为9米，宽为5米．
20．（7分）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE＝0.4m，EF＝0.2m，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，求树高．
【分析】利用Rt△DEF和Rt△BCD相似求得BC的长后加上边DF到地面的高度CA，即可求得树高AB．
【解答】解：∵∠DEF＝∠DCB＝90°，∠D＝∠D，
∴△DEF∽△DCB
∴＝，
∵DE＝0.4m，EF＝0.2m，CD＝8m，
∴＝，
∴CB＝4（m），
∴AB＝AC+BC＝1.5+4＝5.5（米）．
答：树高为5.5米．
21．（7分）如图，在△ABC中，AB＝AC，在BC上任取一点D，以AB、BD为邻边构造平行四边形ABDE，连接CE．
（1）求证：△ABD≌△CAE；
（2）当点D在边BC的什么位置时，四边形ADCE是矩形？证明你的结论．
【分析】（1）根据平行四边形的性质和等腰三角形的性质以及全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据平行四边形性质推出AE＝BD＝CD，AE∥CD，得出平行四边形，根据AC＝DE推出即可．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AE＝BD，AE∥BC，
∴∠EAC＝∠ACB，
∴∠B＝∠EAC，
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（SAS）．
（2）答：点D在BC的中点上时，四边形ADCE是矩形，
解：∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AE＝BD，AE∥BC，AB＝DE，
∵D为边长BC的中点，
∴BD＝CD，
∴AE＝CD，AE∥CD，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵AB＝AC，
∴AC＝DE，
∴四边形ADCE是矩形，
即点D在BC的中点上时，四边形ADCE是矩形．
22．（10分）某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克50元销售，一个月能售出500kg，销售单价每涨2元，月销售量就减少20kg，针对这种水产品情况，请解答以下问题：
（1）当销售单价定为每千克56元时，计算销售量和月销售利润；
（2）商品想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少？
【分析】（1）根据“销售单价每涨2元，月销售量就减少20千克”，可知：月销售量＝500﹣（销售单价﹣50）×．由此可得出售价为55元/千克时的月销售量，然后根据利润＝每千克的利润×销售的数量来求出月销售利润；
（2）销售成本不超过10000元，即进货不超过10000÷40＝250kg．根据利润表达式求出当利润是8000时的售价，从而计算销售量，与进货量比较得结论．
【解答】解：（1）当销售单价定为每千克56时，月销售量为：500﹣（56﹣50）×10＝440（千克），
所以月销售利润为：（56﹣40）×440＝7040元；
（2）由于水产品不超过10000÷40＝250kg，定价为x元，
则（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]＝8000，
解得：x1＝80，x2＝60．
当x1＝80时，进货500﹣10（80﹣50）＝200kg＜250kg，符合题意，
当x2＝60时，进货500﹣10（60﹣50）＝400kg＞250kg，舍去．
答：商品想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为80元．
23．（10分）五一假期，小明和小华共同设计了一款拼图，他们用乒乓球粘成了下面几种造型的拼板（每种一块，没有重复）：
A组
A1 A2 A3
B组
B1 B2 B3 B4 B5 B6
（1）你能用部分拼板拼成图1中的平行四边形吗？所使用的拼板形状不能重复，请在图1中用不同颜色或底纹画出来．
（2）如图2，小华想用拼板摆出一个三棱锥造型，三棱锥的每条棱上有三个乒乓球，他已经用A5和B完成了一部分（图2是从上往下看的样子），请从剩下的拼板中挑出一块完成拼图，你认为需要的拼板是　A1　．
（3）小明试图用部分拼板拼出图3中的大三角形，请判断他能否成功？如果能，在图3中用不同颜色或底纹画出拼板的摆法；如果不能，请说明理由．
【分析】（1）可以通过方程组求整数解，然后画出图象即可．
（2）三棱锥的底面是6个球，中层3个球，底层1个球，故需要A1．
（3）把问题转化为求方程组的整数解即可．
【解答】解：（1）答案见图1．
（2）需要的拼板是A1（理由：三棱锥的底面是6个球，中层3个球，底层1个球）．
（3）不能成功，设需要x个A组材料，y个B组材料，
由题意3x+4y＝28，
方程的整数解为或或，
由此可见必须有重复，所以不可能拼出图3中的大三角形．
24．（12分）如图，已知：在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从点B出发，沿BC方向匀速运动，速度为2cm/s；与点P同时，点Q从D点出发，沿DA方向匀速运动，速度为1cm/s；过点Q作QE∥AC，交DC于点E．设运动时间为t（s），（0＜t＜4），解答下列问题：
（1）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使PQ平分∠APC？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（2）设五边形APCEQ的面积为y，求y与t的函数关系式；
（3）当0＜t＜时，是否存在某一时刻t，使△PQE是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据角平分线性质，得出AP＝AQ，运用勾股定理建立方程求解即可；
（2）由QE∥AC，可得△DQE∽△DAC，分别用含t的代数式表示出S△ABP，S△QDE，S矩形ABCD，再利用y＝S五边形APCEQ＝S矩形ABCD﹣S△ABP﹣S△QDE，即可求出答案；
（3）分三种情况讨论：①当∠QEP＝90°时，先证明△QDE∽△ECP，根据相似三角形性质建立方程求解即可；②当∠PQE＝90°时，如图4，过点P作线段PI⊥AD于点I，根据△QDE∽△PIQ，建立方程求解即可；③当∠QPE＝90°，不满足题意．
【解答】解：（1）如图1，当PQ平分∠APC，则有∠APQ＝∠CPQ，
∵矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，
∴AD∥BC，AD＝BC＝8cm，AB＝CD＝6cm，∠B＝90°，
∴∠CPQ＝∠AQP，
∴∠APQ＝∠AQP＝∠CPQ，
∴AP＝AQ，
∴AP2＝AQ2，
由题意知：vP＝2cm/s，vQ＝1cm/s且P、Q运动时间均为ts，
∴BP＝2tcm，DQ＝tcm，
∴AQ＝AD﹣DQ＝8﹣t，
∵∠B＝90°，
∴AP2＝AB2+BP2＝62+（2t）2，
∴62+（2t）2＝（8﹣t）2，
解得：t1＝，t2＝，
∵0＜t＜4，
∴t＝，
即：当t＝秒时，PQ平分∠APC．
（2）如图2，当P、Q运动时间为ts时，BP＝2tcm，DQ＝tcm，
又∵QE∥AC，
∴△DQE∽△DAC，
∴＝，
∴DE＝ DC＝×6＝tcm，
∴S△ABP＝AB BP＝＝6tcm2，
S△QDE＝t×＝t2（cm2），
S矩形ABCD＝AB BC＝6×8＝48（cm2），
y＝S五边形APCEQ＝S矩形ABCD﹣S△ABP﹣S△QDE＝48﹣6t﹣t2（0＜t＜4），
∴y与t的函数关系式为：y＝﹣t2﹣6t+48（0＜t＜4）；
（3）①当∠QEP＝90°，如图3，
∵∠QED+∠EQD＝90°，∠QED+∠EQD＝90°，
∴∠CEP＝∠DQE，
又∵∠QDE＝∠ECP＝90°，
∴△QDE∽△ECP，
当运动时间为ts时，
QD＝tcm，
由（2）可知，DE＝tcm，
EC＝DC﹣DE＝（6﹣t）cm，
AP＝2tcm，CP＝（8﹣2t）cm，
∴＝，即＝，
解得：t＝或t＝0（∵0＜t＜，故t＝0舍去），
②当∠PQE＝90°时，如图4，过点P作线段PI⊥AD于点I，
∵∠EQD+∠PQI＝90°，∠QED+∠EQD＝90°，
∴∠PQI＝∠QED，
又∵∠QDE＝∠PIQ＝90°，
∴△QDE∽△PIQ，
当运动时间为ts时，
QD＝tcm，
由（2）可知，DE＝tcm，
BP＝AI＝2tcm，
∴QI＝AD﹣QD﹣AI＝8﹣t﹣2t＝（8﹣3t）cm，
PI＝AB＝6cm，
∴＝，即＝，
解得：t＝或t＝0，
∵0＜t＜，故t＝0舍去，
∴t＝；
③当∠QPE＝90°，不满足题意，
综上所述，t＝或t＝时，△PQE是直角三角形．