2021-2022学年上海市浦东新区川沙南校八年级（上）期中数学试卷（ word版，解析版）

2021-2022学年上海市浦东新区川沙南校八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．（3分）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）下列方程一定是一元二次方程的是（　　）
A．xy+x＝y+1 B．x2＝﹣2
C．ax2+bx+c＝0 D．（x﹣3）x＝x2﹣2x﹣1
3．（3分）二次根式有意义时，x的取值范围在数轴上如（　　）表示．
A． B．
C． D．
4．（3分）下列关于x的二次三项式在实数范围内不能够因式分解的是（　　）
A．x2﹣4x+4 B．3x2﹣5xy﹣2y2
C．y2﹣2y+9 D．y2﹣y﹣1
5．（3分）若m是关于x的一元二次方程4x2+nx+m＝0的根，且m≠0，则4m+n的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C． D．
6．（3分）在下列各原命题中，逆命题是假命题的是（　　）
A．两直线平行，同旁内角互补
B．如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应边相等
C．如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应角相等
D．两个相等的角是对顶角
二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分）
7．（2分）使＝1﹣x成立的x的取值范围是　 　．
8．（2分）＝　 　．
9．（2分）如果最简根式与是同类二次根式，那么a＝　 　．
10．（2分）方程x2＝x的根是　 　．
11．（2分）不等式x﹣3＜3x的解集是 　 　．
12．（2分）已知关于x的方程kx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，那么k的最大整数值是　 　．
13．（2分）在实数范围内因式分解：2x2﹣2x﹣1＝　 　．
14．（2分）2021年4月，我校初二某班月用电量为32度，到2021年6月，月用电量为90度，设每月的用电平均增长率为x，则根据题意可列出方程 　 　．
15．（2分）把命题“全等三角形对应边的高相等”改写成“如果…那么…”的形式是　 　．
16．（2分）若y＝++2，则xy＝　 　．
17．（2分）如图所示，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF．给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE＝CF；③△ACN≌△ABM；④CD＝DN．其中正确的结论是　 　．（将你认为正确的结论的序号都填上）
18．（2分）如图，E、F分别为边长为1的正方形ABCD边BC、CD上的两个动点，若∠EAF的大小始终保持45°不变，则△CEF的周长为 　 　．
三、简答题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
19．（5分）计算：+6﹣（）．
20．（5分）计算：．
21．（5分）计算：．
22．（5分）解方程：（2x﹣3）2﹣4x（3﹣2x）＝0．
23．（5分）解方程：2x2﹣4x＝2（配方法）．
24．（5分）解方程：（2x﹣1）（x+3）＝1．
四、解答题（本大题共4题，第25、26、27每小题6分，第28题10分，共28分）
25．（6分）已知，，求的值．
26．（6分）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，∠A＝2∠C，求证：BC＝AB+AD．
27．（6分）如图，根据防疫的相关要求，学生入校需晨检，体温超标的同学须进入临时隔离区进行留观．我校要建一个面积为10平方米的长方形临时隔离区，隔离区的一面利用学校边墙（墙长4.5米），其它三面用防疫隔离材料搭建，与墙垂直的一边还要开一扇1米宽的进出口（不需材料），共用防疫隔离材料8米，求这个隔离区的长和宽分别是多少米？
28．（10分）%如图，在△ABC中，D是AB上一点，且BD＝AD＝CD，过B作BE⊥CD，分别交AC于点E、交CD于点F．
（1）求证：△ABC是直角三角形；
（2）求证：∠A＝∠EBC；
（3）如果：AC＝2BC，请猜想BE和CD的数量关系，并证明你的猜想．
2021-2022学年上海市浦东新区川沙南校八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．（3分）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．
【解答】解：A、，是最简二次根式，符合题意；
B、＝|a|，被开方数中含能开得尽方的因式，不是最简二次根式，不符合题意；
C、，不是最简二次根式，不符合题意；
D、＝＝，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：A．
2．（3分）下列方程一定是一元二次方程的是（　　）
A．xy+x＝y+1 B．x2＝﹣2
C．ax2+bx+c＝0 D．（x﹣3）x＝x2﹣2x﹣1
【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B．是一元二次方程，故本选项符合题意；
C．当a＝0时，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D．（x﹣3）x＝x2﹣2x﹣1，
整理得：﹣x+1＝0，是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：B．
3．（3分）二次根式有意义时，x的取值范围在数轴上如（　　）表示．
A． B．
C． D．
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式，把解集在数轴上表示即可．
【解答】解：由题意得，2x+6≥0，
解得x≥﹣3，
在数轴上表示如下：
．
故选：C．
4．（3分）下列关于x的二次三项式在实数范围内不能够因式分解的是（　　）
A．x2﹣4x+4 B．3x2﹣5xy﹣2y2
C．y2﹣2y+9 D．y2﹣y﹣1
【分析】将各选项整式分别分解即可判断．
【解答】解：A．x2﹣4x+4＝（x﹣2）2，此选项不符合题意；
B．3x2﹣5xy﹣2y2＝（3x+y）（x﹣2y），此选项不符合题意；
C．设y2﹣2y+9＝0，
∵Δ＝4﹣36＝﹣32＜0，
∴y2﹣2y+9＝0无实数根，
∴y2﹣2y+9不能在实数范围内因式分解，此选项符合题意；
D．y2﹣y﹣1＝（y+）（y﹣）此选项不符合题意；
故选：C．
5．（3分）若m是关于x的一元二次方程4x2+nx+m＝0的根，且m≠0，则4m+n的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C． D．
【分析】根据一元二次方程的解的定义，将m代入关于x的一元二次方程4x2+nx+m＝0，通过解该方程即可求得m+n的值．
【解答】解：∵m是关于x的一元二次方程4x2+nx+m＝0的根，
∴4m2+mn+m＝0，
∴m（4m+n+1）＝0；
又∵m≠0，
∴4m+n+1＝0，
解得，4m+n＝﹣1；
故选：A．
6．（3分）在下列各原命题中，逆命题是假命题的是（　　）
A．两直线平行，同旁内角互补
B．如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应边相等
C．如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应角相等
D．两个相等的角是对顶角
【分析】先写出各个命题的逆命题，再根据平行线的判定定理、全等三角形的判定定理、对顶角的性质判断即可．
【解答】解：A、两直线平行，同旁内角互补的逆命题是同旁内角互补，两直线平行，是真命题，不符合题意；
B、如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应边相等的逆命题是两个三角形的对应边相等，那么这两个三角形全等，是真命题，不符合题意；
C、如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应角相等的逆命题是两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形全等，是假命题，符合题意；
D、两个相等的角是对顶角的逆命题是对顶角相等，是真命题，不符合题意；
故选：C．
二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分）
7．（2分）使＝1﹣x成立的x的取值范围是　x≤1　．
【分析】根据＝|a|得到＝|x﹣1|，则有|x﹣1|＝1﹣x，根据绝对值的意义即可得到x的取值范围．
【解答】解：∵＝|x﹣1|，
∴|x﹣1|＝1﹣x，
∴x﹣1≤0，即x≤1．
故答案为x≤1．
8．（2分）＝　　．
【分析】根据二次根式的性质，将，分别化简，再合并同类二次根式即可．
【解答】解：＝2+＝，
故答案为：．
9．（2分）如果最简根式与是同类二次根式，那么a＝　2　．
【分析】根据最简二次根式及同类二次根式的定义，列方程解答即可．
【解答】解：∵最简根式与是同类二次根式，
∴，
解得：a＝2．
故答案为2．
10．（2分）方程x2＝x的根是　x1＝0，x2＝　．
【分析】方程整理后，利用因式分解法求出解即可．
【解答】解：方程整理得：x（x﹣）＝0，
可得x＝0或x﹣＝0，
解得：x1＝0，x2＝．
故答案为：x1＝0，x2＝
11．（2分）不等式x﹣3＜3x的解集是 　x＞﹣3﹣　．
【分析】根据解一元一次不等式的一般步骤解答即可．
【解答】解：移项得：x﹣3x＜3，
合并同类项得：（﹣3）x＜3，
系数化为1得：x＞，
即：x＞，
∴x＞，
∴x＞﹣3﹣，
故答案为：x＞﹣3﹣．
12．（2分）已知关于x的方程kx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，那么k的最大整数值是　﹣1　．
【分析】根据方程kx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根得到Δ＞0且k≠0，即Δ＝4﹣4k＞0且k≠0，求出k的取值范围即可求出k的最大整数值．
【解答】解：∵关于x的方程kx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0且k≠0，即Δ＝4﹣4k＞0且k≠0，
∴k＜1且k≠0，
∴k的最大整数值为：﹣1，
故答案为：﹣1．
13．（2分）在实数范围内因式分解：2x2﹣2x﹣1＝　　．
【分析】解2x2﹣2x﹣1＝0可得，x＝，根据求根公式的分解方法和特点可知：2x2﹣2x﹣1＝．
【解答】解：∵2x2﹣2x﹣1＝0时，x＝，
∴2x2﹣2x﹣1＝；
故答案为．
14．（2分）2021年4月，我校初二某班月用电量为32度，到2021年6月，月用电量为90度，设每月的用电平均增长率为x，则根据题意可列出方程 　32（1+x）2＝90　．
【分析】利用2021年6月的月用电量＝2021年4月的月用电量×（1+增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：依题意得：32（1+x）2＝90．
故答案为：32（1+x）2＝90．
15．（2分）把命题“全等三角形对应边的高相等”改写成“如果…那么…”的形式是　如果两个三角形全等，那么它们对应边的高相等　．
【分析】把命题的条件写在如果的后面，把命题的结论写在那么的后面即可．
【解答】解：命题“全等三角形对应边的高相等”改写成“如果…那么…”的形式为：如果两个三角形全等，那么它们对应边的高相等．
故答案为如果两个三角形全等，那么它们对应边的高相等．
16．（2分）若y＝++2，则xy＝　　．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数求得x、y的值；然后代入求值．
【解答】解：根据题意知：3x﹣2≥0且2﹣3x≥0．
所以2＝3x，
所以x＝．
所以y＝2．
则xy＝（）2＝．
故答案是：．
17．（2分）如图所示，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF．给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE＝CF；③△ACN≌△ABM；④CD＝DN．其中正确的结论是　①②③　．（将你认为正确的结论的序号都填上）
【分析】此题考查的是全等三角形的判定和性质的应用，只要先找出图中的全等三角形就可判断题中结论是否正确．
【解答】解：∵∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，
∴△ABE≌△ACF（AAS），
∴AC＝AB，BE＝CF，即结论②正确；
∵AC＝AB，∠B＝∠C，∠CAN＝∠BAM，
∴ACN≌△ABM（ASA），即结论③正确；
∵∠BAE＝∠CAF，
∵∠1＝∠BAE﹣∠BAC，∠2＝∠CAF﹣∠BAC，
∴∠1＝∠2，即结论①正确；
∴△AEM≌△AFN（ASA），
∴AM＝AN，∴CM＝BN，
∵∠CDM＝∠BDN，∠C＝∠B，
∴△CDM≌△BDN，∴CD＝BD，
无法判断CD＝DN，故④错误，
∴题中正确的结论应该是①②③．
故答案为：①②③．
18．（2分）如图，E、F分别为边长为1的正方形ABCD边BC、CD上的两个动点，若∠EAF的大小始终保持45°不变，则△CEF的周长为 　2　．
【分析】将△ABE绕点A顺时针旋转90°，得到△ADG，证明△EAF≌△GAF（SAS），推出EF＝GF可得结论．
【解答】解：如图中，将△ABE绕点A顺时针旋转90°，得到△ADG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝1，∠BAD＝90°，
由旋转得：△ABE≌ADG，
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠EAF＝45°，
∴∠DAF+∠BAE＝∠DAF+∠DAG＝45°，
∴∠EAF＝∠FAG＝45°，
∵AF＝AF，
∴△EAF≌△GAF（SAS），
∴EF＝GF，
∴EF＝GD+DF＝BE+DF，
∴△ECF的周长＝EF+EC+CF＝BE+DF+EC+CF＝BC+CD＝2，
故答案为2．
三、简答题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
19．（5分）计算：+6﹣（）．
【分析】先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．
【解答】解：原式＝+2﹣（2﹣）
＝+2﹣2+
＝．
20．（5分）计算：．
【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则化简，进而得出答案．
【解答】解：原式＝（1÷2×3）
＝
＝．
21．（5分）计算：．
【分析】利用分母有理化计算．
【解答】解：原式＝
＝
＝
＝3+．
22．（5分）解方程：（2x﹣3）2﹣4x（3﹣2x）＝0．
【分析】先变形为（2x﹣3）2+4x（2x﹣3）＝0，再将左边因式分解，继而得到两个关于x的一元一次方程，进一步求解即可．
【解答】解：∵（2x﹣3）2﹣4x（3﹣2x）＝0，
∴（2x﹣3）2+4x（2x﹣3）＝0，
∴（2x﹣3）（6x﹣3）＝0，
则2x﹣3＝0或6x﹣3＝0，
解得x1＝，x2＝．
23．（5分）解方程：2x2﹣4x＝2（配方法）．
【分析】在本题中，二次项系数化为1后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方．
【解答】解：2x2﹣4x＝2，
x2﹣2x＝1，
x2﹣2x+1＝1+1，
（x﹣1）2＝2．
x﹣1＝，x﹣1＝﹣，
解得x1＝1+，x2＝1﹣．
24．（5分）解方程：（2x﹣1）（x+3）＝1．
【分析】整理成一般式，再利用公式法求解即可．
【解答】解：整理成一般式，得：2x2+5x﹣4＝0，
∵a＝2，b＝5，c＝﹣4，
∴Δ＝52﹣4×2×（﹣4）＝57＞0，
则x＝＝，
即x1＝，x2＝．
四、解答题（本大题共4题，第25、26、27每小题6分，第28题10分，共28分）
25．（6分）已知，，求的值．
【分析】将原式中分子进行因式分解后再约分化简，然后将已知等式代入，再根据二次根式分母有理化的计算方法进行化简计算．
【解答】解：原式＝
＝
＝，
当，时，
原式＝
＝+
＝2++2﹣
＝4，
∴的值为4．
26．（6分）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，∠A＝2∠C，求证：BC＝AB+AD．
【分析】在BC上截取BE＝BA，由“SAS”可证△ABD≌△EBD，可得∠BED＝∠A，AB＝BE，AD＝DE，由外角的性质可得∠C＝∠EDC，可证EC＝ED，即可得结论．
【解答】证明：如图，在BC上截取BE＝BA，连接DE，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
在△ABD和△EBD中，
，
∴△ABD≌△EBD（SAS），
∴∠BED＝∠A，AB＝BE，AD＝DE，
∵∠A＝2∠C，
∴∠BED＝2∠C，
∵∠BED＝∠C+∠EDC，
∴∠C＝∠EDC，
∴EC＝ED，
∴BC＝BE+EC＝AB+AD．
27．（6分）如图，根据防疫的相关要求，学生入校需晨检，体温超标的同学须进入临时隔离区进行留观．我校要建一个面积为10平方米的长方形临时隔离区，隔离区的一面利用学校边墙（墙长4.5米），其它三面用防疫隔离材料搭建，与墙垂直的一边还要开一扇1米宽的进出口（不需材料），共用防疫隔离材料8米，求这个隔离区的长和宽分别是多少米？
【分析】设这个隔离区一边AB长为x米，则另一边BC长为（8﹣x+1）米，根据隔离区面积为10平方米，列出方程并解答．
【解答】解：设这个隔离区一边AB长为x米，则另一边BC长为（8﹣x+1）米．
依题意，得x （8﹣x+1）＝10，
解得x1＝5，x2＝4．
当x＝5时，5＞4.5（舍去），
当x＝4时，（8﹣x+1）＝2.5（米）＜4.5米．
答：隔离区的长为4米，宽为2.5米．
28．（10分）%如图，在△ABC中，D是AB上一点，且BD＝AD＝CD，过B作BE⊥CD，分别交AC于点E、交CD于点F．
（1）求证：△ABC是直角三角形；
（2）求证：∠A＝∠EBC；
（3）如果：AC＝2BC，请猜想BE和CD的数量关系，并证明你的猜想．
【分析】（1）利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理可证∠ACB＝90°；
（2）利用同角的余角相等可得∠EBC＝∠ACD，由（1）知∠A＝∠ACD，即可证明；
（3）过D作DG⊥AC于G，由等腰三角形的性质可得CG＝BC，利用ASA证明△DCG≌△EBC，从而得出结论．
【解答】（1）证明：∵BD＝AD＝CD，
∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCD，
∵∠A+∠B+∠BCA＝180°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，
即∠ACB＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
（2）证明：∵BE⊥CD，
∴∠BFC＝90°，
∴∠EBC+∠BCF＝180°﹣∠BFC＝90°，
∵∠ACB＝∠BCF+∠ACD＝90°，
∴∠EBC＝∠ACD，
∴AD＝CD，
∴∠A＝∠ACD，
∴∠A＝∠EBC；
（3）解：CD＝BE，理由如下：
过D作DG⊥AC于G，
∵DA＝DC，DG⊥AC，
∴AC＝2CG，
∵AC＝2BC，
∴CG＝BC，
∵∠DGC＝90°，∠ECB＝90°，
∴∠DGC＝∠ECB，
在△DGC与△ECB中，
，
∴△DCG≌△EBC（ASA），
∴CD＝BE．