2021-2022学年山东省济南市莱芜实验中学片区教研共同体九年级（上）期中数学试卷（五四学制）（Word版 含解析）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年山东省济南市莱芜实验中学片区教研共同体九年级（上）期中数学试卷（五四学制）（Word版 含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 537.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版（五四学制） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-11-15 12:42:40 | ||
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文档简介
2021-2022学年山东省济南市莱芜实验中学片区教研共同体九年级（上）期中数学试卷（五四学制）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．（3分）若函数y＝（k≠0）的图象过点（1，），则此函数图象位于（ ）
A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第二、三象限 D．第二、四象限
2．（3分）已知反比例函数y＝﹣，下列结论不正确的是（ ）
A．图象必经过点（﹣1，2） B．若x＞1，则y＞﹣2
C．图象在第二、四象限内 D．y随x的增大而增大
3．（3分）对于二次函数y＝（x+1）2+2的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是直线x＝﹣1
C．顶点坐标是（1，2） D．与x轴有两个交点
4．（3分）如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）若抛物线是关于x的二次函数，那么m的值是（ ）
A．3 B．﹣2 C．2 D．2或3
6．（3分）在Rt△ACB中，∠C＝90°，，则sinB的值为（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣1 B．x≥﹣1且x≠3 C．x＞﹣1 D．x＞﹣1且x≠3
8．（3分）已知点A（﹣3，y1），B（2，y2），C（3，y3）在抛物线y＝2x2﹣4x+c上，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y2＞y3＞y1
9．（3分）如果二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y＝bx+c和反比例函数y＝在同一坐标系中的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
10．（3分）如图，O是坐标原点， OABC的顶点A的坐标为（﹣3，4），顶点C在x轴的负半轴上，函数（x＜0）的图象经过顶点B，则S OABC的值为（ ）
A．27 B．15 C．12 D．无法确定
11．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，直线x＝1是它的对称轴，有下列5个结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③b2﹣4ac＞0；④2a﹣b＝0；⑤方程ax2+bx+c﹣3＝0有两个相等的实数根．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．（3分）如图，点A、C在反比例函数y＝的图象上，点B、D在反比例函数y＝的图象上，a＞b＞0，AB∥CD∥x轴，AB、CD在x轴的两侧，AB＝，CD＝，AB、CD的距离为6，则a﹣b的值为（ ）
A．3 B． C．﹣3 D．无法确定
二、填空题
13．（3分）如图抛物线y＝ax2与反比例函数交于点C（1，2），则不等式的解集是 ．
14．（3分）△ABC中，∠A、∠B都是锐角，若sinA＝，cosB＝，则∠C＝ ．
15．（3分）若函数y＝（1﹣m）+2是关于x的二次函数，且抛物线的开口向上，则m的值为 ．
16．（3分）如图，正方形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴上，∠ADO＝30°，OA＝2，反比例函数y＝经过CD的中点M，那么k＝ ．
17．（3分）如图所示，点A是反比侧函数图象上一点．过点A作AB⊥x轴于点B．若OA＝5，则△AOB的周长为 ．
18．（3分）如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，∠OAB＝30°，若点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则经过点B的反比例函数解析式为 ．
三、解答题（本大题共7小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（8分）计算：
（1）；
（2）2﹣2﹣+6sin45°﹣．
20．（8分）如图，小亮在大楼AD的观光电梯中的E点测得大楼BC楼底C点的俯角为60°，此时他距地面的高度AE为21米，电梯再上升9米到达D点，此时测得大楼BC楼顶B点的仰角为45°，求大楼BC的高度．（结果保留根号）
21．（8分）如图，山区某教学楼后面紧邻着一个土坡，坡面BC平行于地面AD，斜坡AB的坡比为i＝1：，且AB＝26米，为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造，经地质人员勘测，当坡角不超过53°时，可确保山体不滑坡；
（1）求改造前坡顶与地面的距离BE的长；
（2）为了消除安全隐患，学校计划将斜坡AB改造成AF（如图所示），那么BF至少是多少米？（结果精确到1米）
【参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33，cot53°≈0.75】
22．（10分）在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为A（1，﹣4），且过点B（3，0）．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与x轴的另一个交点的坐标．
23．（10分）“佳佳商场”在销售某种进货价为20元/件的商品时，以30元/件售出，每天能售出100件．调查表明：这种商品的售价每上涨1元/件，其销售量就将减少2件．
（1）为了实现每天1600元的销售利润，“佳佳商场”应将这种商品的售价定为多少？
（2）物价局规定该商品的售价不能超过40元/件，“佳佳商场”为了获得最大的利润，应将该商品售价定为多少？最大利润是多少？
24．（10分）如图，一次函数y1＝ax+b与反比例函数y2＝的图象相交于A（2，8），B（8，2）两点，连接AO，BO，延长AO交反比例函数图象于点C．
（1）求一次函数y1的表达式与反比例函数y2的表达式；
（2）当y1＜y2，时，直接写出自变量x的取值范围为 ；
（3）点P是x轴上一点，当S△PAC＝S△AOB时，请直接写出点P的坐标为 ．
25．（12分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点D，点B的坐标为（3，0），顶点C的坐标为（1，4）．
（1）求二次函数的解析式和直线BD的解析式；
（2）点P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限时，求线段PM长度的最大值；
（3）在抛物线上是否存在异于B、D的点Q，使△BDQ中BD边上的高为2？若存在求出点Q的坐标；若不存在请说明理由．
2021-2022学年山东省济南市莱芜实验中学片区教研共同体九年级（上）期中数学试卷（五四学制）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．（3分）若函数y＝（k≠0）的图象过点（1，），则此函数图象位于（ ）
A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第二、三象限 D．第二、四象限
【分析】先由已知点求出k的值，然后得到函数图象所在的象限．
【解答】解：∵函数y＝（k≠0）的图象过点（1，），
∴k＝1×＝＞0，
∴函数图象位于第一、三象限．
故选：B．
2．（3分）已知反比例函数y＝﹣，下列结论不正确的是（ ）
A．图象必经过点（﹣1，2） B．若x＞1，则y＞﹣2
C．图象在第二、四象限内 D．y随x的增大而增大
【分析】根据反比例函数的性质：当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大进行分析即可．
【解答】解：A、图象必经过点（﹣1，2），说法正确，不合题意；
B、若x＞1，则﹣2＜y＜0，说法错误，符合题意；
C、k＝﹣2＜0，图象在第二、四象限内，说法正确，不合题意；
D、k＝﹣2＜0，每个象限内，y随x的增大而增大，说法正确，不合题意；
故选：B．
3．（3分）对于二次函数y＝（x+1）2+2的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是直线x＝﹣1
C．顶点坐标是（1，2） D．与x轴有两个交点
【分析】根据a的正负判断开口方向，通过抛物线的y＝a（x﹣h）2+k解析式判定对称轴、顶点坐标，根据顶点坐标和开口方向即可判断抛物线与x轴交点个数．
【解答】解：∵抛物线a＞0，所以开口向上，A选项错误；顶点坐标为（﹣1，2），所以C选项错误；
根据顶点坐标以及开口向上可判定与x轴没有交点，
∴D选项错误；
对称轴为直线x＝﹣1，B选项正确．
故选：B．
4．（3分）如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】直接连接DC，得出CD⊥AB，再结合勾股定理以及锐角三角函数关系得出答案
【解答】解：连接DC，
由网格可得：CD⊥AB，
则DC＝，AC＝，
故sinA＝．
故选：D．
5．（3分）若抛物线是关于x的二次函数，那么m的值是（ ）
A．3 B．﹣2 C．2 D．2或3
【分析】根据二次函数的最高指数是2，二次项系数不等于0列出方程求解即可．
【解答】解：由题意得，m2﹣5m+8＝2且m﹣3≠0，
解得m1＝2，m2＝3，且m≠3，
所以，m＝2．
故选：C．
6．（3分）在Rt△ACB中，∠C＝90°，，则sinB的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据锐角三角函数的定义进行计算即可．
【解答】解：设Rt△ACB中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，
由于tanA＝＝2，
可设a＝2k，b＝k，由勾股定理得，
c＝＝5k，
∴sinB＝＝，
故选：A．
7．（3分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣1 B．x≥﹣1且x≠3 C．x＞﹣1 D．x＞﹣1且x≠3
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，x+1≥0且x﹣3≠0，
解得：x≥﹣1且x≠3．
故选：B．
8．（3分）已知点A（﹣3，y1），B（2，y2），C（3，y3）在抛物线y＝2x2﹣4x+c上，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y2＞y3＞y1
【分析】先配方得到抛物线的对称轴为直线x＝1，根据二次函数的性质，通过三点与对称轴距离的远近来比较函数值的大小．
【解答】解：y＝2x2﹣4x+c＝2（x﹣1）2+c﹣2，
则抛物线的对称轴为直线x＝1，
∵抛物线开口向上，点A（﹣3，y1）到对称轴的距离最远，点B（2，y2）到对称轴的距离最近，
∴y1＞y3＞y2．
故选：B．
9．（3分）如果二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y＝bx+c和反比例函数y＝在同一坐标系中的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据二次函数的图象的性质先确定出a、b、c的取值范围，然后根据一次函数和反比例函数的性质即可做出判断．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴由于y轴的左侧；
∴a与b同号，
∴b＜0，
∵抛物线经过原点，所以c＝0．
∵b＜0，c＝0，
∴直线y＝bx+c经过二、四象限和坐标原点．
∵b＜0，
∴反比例函数的图象，位于二、四象限．
故选：A．
10．（3分）如图，O是坐标原点， OABC的顶点A的坐标为（﹣3，4），顶点C在x轴的负半轴上，函数（x＜0）的图象经过顶点B，则S OABC的值为（ ）
A．27 B．15 C．12 D．无法确定
【分析】过点A作AD⊥y轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，根据反比例函数系数k的几何意义得S矩形BDOE＝27，进而求得BD，进一步得到AB，根据矩形面积公式即可求得答案．
【解答】解：过点A作AD⊥y轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，
∵函数（x＜0）的图象经过顶点B，
∴S矩形BDOE＝27，
∵ OABC的顶点A的坐标为（﹣3，4），
∴AD＝3，DO＝4，
∴BD OA＝27，即BD×4＝27，
∴BD＝，
∴OC＝AB＝﹣3＝，
∴S OABC＝OC OD＝15，
故选：B．
11．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，直线x＝1是它的对称轴，有下列5个结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③b2﹣4ac＞0；④2a﹣b＝0；⑤方程ax2+bx+c﹣3＝0有两个相等的实数根．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．
【解答】解：①由图象可知：a＜0，c＞0，
＞0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故①错误；
②抛物线的对称轴为x＝1，
∴（﹣1，y）关于直线x＝1的对称点为（3，y），
（0，c）关于直线x＝1的对称点为（2，c）
∴x＝2，y＝4a+2b+c＞0，故②正确；
③抛物线与x轴有两个交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，故③正确；
④由对称轴可知：＝1，
∴2a+b＝0，故④错误；
⑤由图象可知：y＝3时，
此时ax2+bx+c＝3只有一解x＝1，
∴方程ax2+bx+c﹣3＝0有两个相同的根，故⑤正确；
故选：C．
12．（3分）如图，点A、C在反比例函数y＝的图象上，点B、D在反比例函数y＝的图象上，a＞b＞0，AB∥CD∥x轴，AB、CD在x轴的两侧，AB＝，CD＝，AB、CD的距离为6，则a﹣b的值为（ ）
A．3 B． C．﹣3 D．无法确定
【分析】设点A、B的纵坐标为y1，点C、D的纵坐标为y2，分别表示出来A、B、C、D四点的坐标，根据线段AB、CD的长度结合AB与CD间的距离，即可得出y1、y2的值，再由点A、B的横坐标结合AB＝即可求出a﹣b的值．
【解答】解：设点A、B的纵坐标为y1（y1＞0），点C、D的纵坐标为y2（y2＜0），则点A（，y1），点B（，y1），
∵AB＝，CD＝，
∴2×||＝||，
∴|y1|＝2|y2|．
∵|y1|+|y2|＝6，
∴y1＝4，y2＝﹣2．
∴AB＝﹣＝＝，
∴a﹣b＝3．
故选：A．
二、填空题
13．（3分）如图抛物线y＝ax2与反比例函数交于点C（1，2），则不等式的解集是 x＜0或x＞1 ．
【分析】结合函数图象即可得出解集．
【解答】解：由图可知，当x＜0或x＞1时抛物线y＝ax2在反比例函数图象的上方，
当0＜x＜1时，抛物线y＝ax2在反比例函数图象的下方，
∴不等式的解集是x＜0或x＞1．
故答案为：x＜0或x＞1．
14．（3分）△ABC中，∠A、∠B都是锐角，若sinA＝，cosB＝，则∠C＝ 60° ．
【分析】先根据特殊角的三角函数值求出∠A、∠B的度数，再根据三角形内角和定理求出∠C即可作出判断．
【解答】解：∵△ABC中，∠A、∠B都是锐角sinA＝，cosB＝，
∴∠A＝∠B＝60°．
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣60°﹣60°＝60°．
故答案为：60°．
15．（3分）若函数y＝（1﹣m）+2是关于x的二次函数，且抛物线的开口向上，则m的值为 ﹣2 ．
【分析】先依据二次函数的定义知，系数1﹣m一定不为0，1﹣m＞0，再得出m2﹣2＝2，求出m的值即可．
【解答】解：由题意得：1﹣m≠0，
解得：m≠1，
∵抛物线的开口向上，
∴1﹣m＞0，
解得：m＜1，
∵m2﹣2＝2，
∴解得：m＝±2，
∴m＝﹣2．
故答案为：﹣2．
16．（3分）如图，正方形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴上，∠ADO＝30°，OA＝2，反比例函数y＝经过CD的中点M，那么k＝ +6 ．
【分析】作CE⊥y轴于点E，先证明△CDE≌△DAO，得到DE＝AO＝2，DO＝2＝CE，再根据M是CD的中点，即可得到M（，1+2），最后根据反比例函数y＝经过CD的中点M，即可得到k的值．
【解答】解：如图，作CE⊥y轴于点E．
∵正方形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴上，
∴∠CED＝∠DOA＝90°，∠DCE＝∠ADO，CD＝DA，
∴△CDE≌△DAO（AAS），
∴DE＝AO＝2，
又∵∠ODA＝30°，
∴Rt△AOD中，AD＝2AO＝4，DO＝2＝CE，
∴EO＝2+2，
∴C（2，2+2），D（0，2），
∵M是CD的中点，
∴M（，1+2），
∵反比例函数y＝经过CD的中点M，
∴k＝（1+2）＝+6，
故答案为：+6．
17．（3分）如图所示，点A是反比侧函数图象上一点．过点A作AB⊥x轴于点B．若OA＝5，则△AOB的周长为 12 ．
【分析】设A的坐标是（a，﹣b），则ab＝12，在直角△AOB中利用勾股定理即可求得a2+b2的值，利用完全平方式即可求得a+b的值，即直角三角形的两直角边的长，则周长即可求得．
【解答】解：设A的坐标是（a，﹣b），则ab＝12，
∵OA＝5，
∴a2+b2＝25，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝25+24＝49，
∵a+b＞0，
∴a+b＝7，
故△AOB的周长是：7+5＝12．
故答案是：12．
18．（3分）如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，∠OAB＝30°，若点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则经过点B的反比例函数解析式为 y＝﹣ ．
【分析】过点B作BC⊥x轴于点C，过点A作AD⊥x轴于点D，证明△BCO∽△ODA，利用相似三角形的判定与性质得出＝，根据反比例函数图象上点的坐标特征得出S△AOD＝3，那么S△BCO＝1，进而得出答案．
【解答】解：过点B作BC⊥x轴于点C，过点A作AD⊥x轴于点D，如图．
∵∠BOA＝90°，
∴∠BOC+∠AOD＝90°，
∵∠AOD+∠OAD＝90°，
∴∠BOC＝∠OAD，
又∵∠BCO＝∠ADO＝90°，
∴△BCO∽△ODA，
∴＝tan30°＝，
∴＝，
∵×AD×DO＝xy＝3，
∴S△BCO＝×BC×CO＝S△AOD＝1，
∵经过点B的反比例函数图象在第二象限，
故反比例函数解析式为：y＝﹣．
故答案为y＝﹣．
三、解答题（本大题共7小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（8分）计算：
（1）；
（2）2﹣2﹣+6sin45°﹣．
【分析】（1）先分母有理化、代入三角函数、计算二次根式的乘法，再计算加减即可；
（2）先计算负整数指数幂、代入三角函数值、利用二次根式的性质化简，再计算乘法，最后计算加减即可．
【解答】解：（1）原式＝﹣+
＝﹣+2
＝﹣+2
＝；
（2）原式＝﹣2+6×﹣3
＝﹣2+3﹣3
＝﹣．
20．（8分）如图，小亮在大楼AD的观光电梯中的E点测得大楼BC楼底C点的俯角为60°，此时他距地面的高度AE为21米，电梯再上升9米到达D点，此时测得大楼BC楼顶B点的仰角为45°，求大楼BC的高度．（结果保留根号）
【分析】过D作DH⊥BC于H，过E作EG⊥BC于G．求出EG和DH的长，在Rt△BDH中，求出BH，则可得出答案
【解答】解：过D作DH⊥BC于H，过E作EG⊥BC于G．
由已知得，∠BDH＝45°，∠CEG＝60°，AE＝21米，DE＝9米．
在Rt△CEG中，CG＝AE＝21米，tan∠CEG＝，
∴EG＝＝＝7（米）．
∴DH＝EG＝7米．
在Rt△BDH中，∵∠BDH＝45°，
∴BH＝DH＝7米．
∴BC＝CG+HG+BH＝CG+DE+BH＝21+9+7＝（30+7）米．
答：大楼BC的高度是（30+7）米．
21．（8分）如图，山区某教学楼后面紧邻着一个土坡，坡面BC平行于地面AD，斜坡AB的坡比为i＝1：，且AB＝26米，为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造，经地质人员勘测，当坡角不超过53°时，可确保山体不滑坡；
（1）求改造前坡顶与地面的距离BE的长；
（2）为了消除安全隐患，学校计划将斜坡AB改造成AF（如图所示），那么BF至少是多少米？（结果精确到1米）
【参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33，cot53°≈0.75】
【分析】（1）根据i的值，设出BE与AE，由AB的长求出k的值，即可确定出AE与BE；
（2）过点F作FG⊥AD于点G，由题意，利用锐角三角函数定义求出AG的长，由AG﹣AE求出BF的长即可．
【解答】解：（1）在Rt△ABE中，AB＝26，i＝＝，
设BE＝12k，AE＝5k，则AB＝13k＝26，k＝2，
∴AE＝10（米），BE＝24（米）；
（2）过点F作FG⊥AD于点G，
由题意可知：FG＝BE＝24，∠FAD＝53°，
在Rt△AFG中，cot53°＝＝0.75，
∴AG＝18（米），
∴BF＝GE＝AG﹣AE＝8（米），
答：改造前坡顶与地面的距离BE为24米；BF至少是8米．
22．（10分）在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为A（1，﹣4），且过点B（3，0）．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与x轴的另一个交点的坐标．
【分析】（1）有顶点就用顶点式来求二次函数的解析式；
（2）由于是向右平移，可让二次函数的y的值为0，得到相应的两个x值，算出负值相对于原点的距离，而后让较大的值也加上距离即可．
【解答】解：（1）∵二次函数图象的顶点为A（1，﹣4），
∴设二次函数解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4，
把点B（3，0）代入二次函数解析式，得：
0＝4a﹣4，解得a＝1，
∴二次函数解析式为y＝（x﹣1）2﹣4，即y＝x2﹣2x﹣3；
（2）令y＝0，得x2﹣2x﹣3＝0，解方程，得x1＝3，x2＝﹣1．
∴二次函数图象与x轴的两个交点坐标分别为（3，0）和（﹣1，0），
∴二次函数图象上的点（﹣1，0）向右平移1个单位后经过坐标原点或向右平移﹣3个单位，
故平移后所得图象与x轴的另一个交点坐标为（4，0）或（﹣4，0）．
23．（10分）“佳佳商场”在销售某种进货价为20元/件的商品时，以30元/件售出，每天能售出100件．调查表明：这种商品的售价每上涨1元/件，其销售量就将减少2件．
（1）为了实现每天1600元的销售利润，“佳佳商场”应将这种商品的售价定为多少？
（2）物价局规定该商品的售价不能超过40元/件，“佳佳商场”为了获得最大的利润，应将该商品售价定为多少？最大利润是多少？
【分析】（1）设商品的定价为x元，由这种商品的售价每上涨1元，其销售量就减少2件，列出等式求得x的值即可；
（2）设利润为y元，列出二次函数关系式，在售价不超过40元/件的范围内求得利润的最大值．
【解答】解：（1）设商品的定价为x元，由题意，得
（x﹣20）[100﹣2（x﹣30）]＝1600，
解得：x＝40或x＝60；
答：售价应定为40元或60元．
（2）设利润为y元，得：
y＝（x﹣20）[100﹣2（x﹣30）]（x≤40），
即：y＝﹣2x2+200x﹣3200；
∵a＝﹣2＜0，
∴当x＝﹣＝﹣＝50时，y取得最大值；
又x≤40，则在x＝40时可取得最大值，
即y最大＝1600．
答：售价为40元/件时，此时利润最大，最大为1600元．
24．（10分）如图，一次函数y1＝ax+b与反比例函数y2＝的图象相交于A（2，8），B（8，2）两点，连接AO，BO，延长AO交反比例函数图象于点C．
（1）求一次函数y1的表达式与反比例函数y2的表达式；
（2）当y1＜y2，时，直接写出自变量x的取值范围为 x＞8或0＜x＜2 ；
（3）点P是x轴上一点，当S△PAC＝S△AOB时，请直接写出点P的坐标为 P（3，0）或P（﹣3，0） ．
【分析】（1）由待定系数法即可得到结论；
（2）根据图象中的信息即可得到结论；
（3）先求得D的坐标，然后根据S△AOB＝S△AOD﹣S△BOD求得△AOB的面积，即可求得S△PAC＝S△AOB＝24，根据中心对称的性质得出OA＝OC，即可得到S△APC＝2S△AOP，从而得到2×OP×8＝24，求得OP，即可求得P的坐标．
【解答】解：（1）将A（2，8），B（8，2）代入y＝ax+b得，
解得，
∴一次函数为y＝﹣x+10，
将A（2，8）代入y2＝得8＝，解得k＝16，
∴反比例函数的解析式为y＝；
（2）由图象可知，当y1＜y2时，自变量x的取值范围为：x＞8或0＜x＜2，
故答案为x＞8或0＜x＜2；
（3）由题意可知OA＝OC，
∴S△APC＝2S△AOP，
把y＝0代入y1＝﹣x+10得，0＝﹣x+10，解得x＝10，
∴D（10，0），
∴S△AOB＝S△AOD﹣S△BOD＝﹣＝30，
∵S△PAC＝S△AOB＝×30＝24，
∴2S△AOP＝24，
∴2××yA＝24，即2×OP×8＝24，
∴OP＝3，
∴P（3，0）或P（﹣3，0），
故答案为P（3，0）或P（﹣3，0）．
25．（12分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点D，点B的坐标为（3，0），顶点C的坐标为（1，4）．
（1）求二次函数的解析式和直线BD的解析式；
（2）点P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限时，求线段PM长度的最大值；
（3）在抛物线上是否存在异于B、D的点Q，使△BDQ中BD边上的高为2？若存在求出点Q的坐标；若不存在请说明理由．
【分析】（1）可设抛物线解析式为顶点式，由B点坐标可求得抛物线的解析式，则可求得D点坐标，利用待定系数法可求得直线BD解析式；
（2）设出P点坐标，从而可表示出PM的长度，利用二次函数的性质可求得其最大值；
（3）过Q作QG∥y轴，交BD于点G，过Q和QH⊥BD于H，可设出Q点坐标，表示出QG的长度，由条件可证得△DHG为等腰直角三角形，则可得到关于Q点坐标的方程，可求得Q点坐标．
【解答】解：
（1）∵抛物线的顶点C的坐标为（1，4），
∴可设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+4，
∵点B（3，0）在该抛物线的图象上，
∴0＝a（3﹣1）2+4，解得a＝﹣1，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4，即y＝﹣x2+2x+3，
∵点D在y轴上，令x＝0可得y＝3，
∴D点坐标为（0，3），
∴可设直线BD解析式为y＝kx+3，
把B点坐标代入可得3k+3＝0，解得k＝﹣1，
∴直线BD解析式为y＝﹣x+3；
（2）设P点横坐标为m（m＞0），则P（m，﹣m+3），M（m，﹣m2+2m+3），
∴PM＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m＝﹣（m﹣）2+，
∴当m＝时，PM有最大值；
（3）如图，过Q作QG∥y轴交BD于点G，交x轴于点E，作QH⊥BD于H，
设Q（x，﹣x2+2x+3），则G（x，﹣x+3），
∴QG＝|﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）|＝|﹣x2+3x|，
∵△BOD是等腰直角三角形，
∴∠DBO＝45°，
∴∠HGQ＝∠BGE＝45°，
当△BDQ中BD边上的高为2时，即QH＝HG＝2，
∴QG＝×2＝4，
∴|﹣x2+3x|＝4，
当﹣x2+3x＝4时，△＝9﹣16＜0，方程无实数根，
当﹣x2+3x＝﹣4时，解得x＝﹣1或x＝4，
∴Q（﹣1，0）或（4，﹣5），
综上可知存在满足条件的点Q，其坐标为（﹣1，0）或（4，﹣5）．
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．（3分）若函数y＝（k≠0）的图象过点（1，），则此函数图象位于（ ）
A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第二、三象限 D．第二、四象限
2．（3分）已知反比例函数y＝﹣，下列结论不正确的是（ ）
A．图象必经过点（﹣1，2） B．若x＞1，则y＞﹣2
C．图象在第二、四象限内 D．y随x的增大而增大
3．（3分）对于二次函数y＝（x+1）2+2的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是直线x＝﹣1
C．顶点坐标是（1，2） D．与x轴有两个交点
4．（3分）如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）若抛物线是关于x的二次函数，那么m的值是（ ）
A．3 B．﹣2 C．2 D．2或3
6．（3分）在Rt△ACB中，∠C＝90°，，则sinB的值为（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣1 B．x≥﹣1且x≠3 C．x＞﹣1 D．x＞﹣1且x≠3
8．（3分）已知点A（﹣3，y1），B（2，y2），C（3，y3）在抛物线y＝2x2﹣4x+c上，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y2＞y3＞y1
9．（3分）如果二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y＝bx+c和反比例函数y＝在同一坐标系中的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
10．（3分）如图，O是坐标原点， OABC的顶点A的坐标为（﹣3，4），顶点C在x轴的负半轴上，函数（x＜0）的图象经过顶点B，则S OABC的值为（ ）
A．27 B．15 C．12 D．无法确定
11．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，直线x＝1是它的对称轴，有下列5个结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③b2﹣4ac＞0；④2a﹣b＝0；⑤方程ax2+bx+c﹣3＝0有两个相等的实数根．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．（3分）如图，点A、C在反比例函数y＝的图象上，点B、D在反比例函数y＝的图象上，a＞b＞0，AB∥CD∥x轴，AB、CD在x轴的两侧，AB＝，CD＝，AB、CD的距离为6，则a﹣b的值为（ ）
A．3 B． C．﹣3 D．无法确定
二、填空题
13．（3分）如图抛物线y＝ax2与反比例函数交于点C（1，2），则不等式的解集是 ．
14．（3分）△ABC中，∠A、∠B都是锐角，若sinA＝，cosB＝，则∠C＝ ．
15．（3分）若函数y＝（1﹣m）+2是关于x的二次函数，且抛物线的开口向上，则m的值为 ．
16．（3分）如图，正方形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴上，∠ADO＝30°，OA＝2，反比例函数y＝经过CD的中点M，那么k＝ ．
17．（3分）如图所示，点A是反比侧函数图象上一点．过点A作AB⊥x轴于点B．若OA＝5，则△AOB的周长为 ．
18．（3分）如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，∠OAB＝30°，若点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则经过点B的反比例函数解析式为 ．
三、解答题（本大题共7小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（8分）计算：
（1）；
（2）2﹣2﹣+6sin45°﹣．
20．（8分）如图，小亮在大楼AD的观光电梯中的E点测得大楼BC楼底C点的俯角为60°，此时他距地面的高度AE为21米，电梯再上升9米到达D点，此时测得大楼BC楼顶B点的仰角为45°，求大楼BC的高度．（结果保留根号）
21．（8分）如图，山区某教学楼后面紧邻着一个土坡，坡面BC平行于地面AD，斜坡AB的坡比为i＝1：，且AB＝26米，为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造，经地质人员勘测，当坡角不超过53°时，可确保山体不滑坡；
（1）求改造前坡顶与地面的距离BE的长；
（2）为了消除安全隐患，学校计划将斜坡AB改造成AF（如图所示），那么BF至少是多少米？（结果精确到1米）
【参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33，cot53°≈0.75】
22．（10分）在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为A（1，﹣4），且过点B（3，0）．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与x轴的另一个交点的坐标．
23．（10分）“佳佳商场”在销售某种进货价为20元/件的商品时，以30元/件售出，每天能售出100件．调查表明：这种商品的售价每上涨1元/件，其销售量就将减少2件．
（1）为了实现每天1600元的销售利润，“佳佳商场”应将这种商品的售价定为多少？
（2）物价局规定该商品的售价不能超过40元/件，“佳佳商场”为了获得最大的利润，应将该商品售价定为多少？最大利润是多少？
24．（10分）如图，一次函数y1＝ax+b与反比例函数y2＝的图象相交于A（2，8），B（8，2）两点，连接AO，BO，延长AO交反比例函数图象于点C．
（1）求一次函数y1的表达式与反比例函数y2的表达式；
（2）当y1＜y2，时，直接写出自变量x的取值范围为 ；
（3）点P是x轴上一点，当S△PAC＝S△AOB时，请直接写出点P的坐标为 ．
25．（12分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点D，点B的坐标为（3，0），顶点C的坐标为（1，4）．
（1）求二次函数的解析式和直线BD的解析式；
（2）点P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限时，求线段PM长度的最大值；
（3）在抛物线上是否存在异于B、D的点Q，使△BDQ中BD边上的高为2？若存在求出点Q的坐标；若不存在请说明理由．
2021-2022学年山东省济南市莱芜实验中学片区教研共同体九年级（上）期中数学试卷（五四学制）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．（3分）若函数y＝（k≠0）的图象过点（1，），则此函数图象位于（ ）
A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第二、三象限 D．第二、四象限
【分析】先由已知点求出k的值，然后得到函数图象所在的象限．
【解答】解：∵函数y＝（k≠0）的图象过点（1，），
∴k＝1×＝＞0，
∴函数图象位于第一、三象限．
故选：B．
2．（3分）已知反比例函数y＝﹣，下列结论不正确的是（ ）
A．图象必经过点（﹣1，2） B．若x＞1，则y＞﹣2
C．图象在第二、四象限内 D．y随x的增大而增大
【分析】根据反比例函数的性质：当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大进行分析即可．
【解答】解：A、图象必经过点（﹣1，2），说法正确，不合题意；
B、若x＞1，则﹣2＜y＜0，说法错误，符合题意；
C、k＝﹣2＜0，图象在第二、四象限内，说法正确，不合题意；
D、k＝﹣2＜0，每个象限内，y随x的增大而增大，说法正确，不合题意；
故选：B．
3．（3分）对于二次函数y＝（x+1）2+2的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是直线x＝﹣1
C．顶点坐标是（1，2） D．与x轴有两个交点
【分析】根据a的正负判断开口方向，通过抛物线的y＝a（x﹣h）2+k解析式判定对称轴、顶点坐标，根据顶点坐标和开口方向即可判断抛物线与x轴交点个数．
【解答】解：∵抛物线a＞0，所以开口向上，A选项错误；顶点坐标为（﹣1，2），所以C选项错误；
根据顶点坐标以及开口向上可判定与x轴没有交点，
∴D选项错误；
对称轴为直线x＝﹣1，B选项正确．
故选：B．
4．（3分）如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】直接连接DC，得出CD⊥AB，再结合勾股定理以及锐角三角函数关系得出答案
【解答】解：连接DC，
由网格可得：CD⊥AB，
则DC＝，AC＝，
故sinA＝．
故选：D．
5．（3分）若抛物线是关于x的二次函数，那么m的值是（ ）
A．3 B．﹣2 C．2 D．2或3
【分析】根据二次函数的最高指数是2，二次项系数不等于0列出方程求解即可．
【解答】解：由题意得，m2﹣5m+8＝2且m﹣3≠0，
解得m1＝2，m2＝3，且m≠3，
所以，m＝2．
故选：C．
6．（3分）在Rt△ACB中，∠C＝90°，，则sinB的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据锐角三角函数的定义进行计算即可．
【解答】解：设Rt△ACB中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，
由于tanA＝＝2，
可设a＝2k，b＝k，由勾股定理得，
c＝＝5k，
∴sinB＝＝，
故选：A．
7．（3分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣1 B．x≥﹣1且x≠3 C．x＞﹣1 D．x＞﹣1且x≠3
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，x+1≥0且x﹣3≠0，
解得：x≥﹣1且x≠3．
故选：B．
8．（3分）已知点A（﹣3，y1），B（2，y2），C（3，y3）在抛物线y＝2x2﹣4x+c上，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y2＞y3＞y1
【分析】先配方得到抛物线的对称轴为直线x＝1，根据二次函数的性质，通过三点与对称轴距离的远近来比较函数值的大小．
【解答】解：y＝2x2﹣4x+c＝2（x﹣1）2+c﹣2，
则抛物线的对称轴为直线x＝1，
∵抛物线开口向上，点A（﹣3，y1）到对称轴的距离最远，点B（2，y2）到对称轴的距离最近，
∴y1＞y3＞y2．
故选：B．
9．（3分）如果二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y＝bx+c和反比例函数y＝在同一坐标系中的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据二次函数的图象的性质先确定出a、b、c的取值范围，然后根据一次函数和反比例函数的性质即可做出判断．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴由于y轴的左侧；
∴a与b同号，
∴b＜0，
∵抛物线经过原点，所以c＝0．
∵b＜0，c＝0，
∴直线y＝bx+c经过二、四象限和坐标原点．
∵b＜0，
∴反比例函数的图象，位于二、四象限．
故选：A．
10．（3分）如图，O是坐标原点， OABC的顶点A的坐标为（﹣3，4），顶点C在x轴的负半轴上，函数（x＜0）的图象经过顶点B，则S OABC的值为（ ）
A．27 B．15 C．12 D．无法确定
【分析】过点A作AD⊥y轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，根据反比例函数系数k的几何意义得S矩形BDOE＝27，进而求得BD，进一步得到AB，根据矩形面积公式即可求得答案．
【解答】解：过点A作AD⊥y轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，
∵函数（x＜0）的图象经过顶点B，
∴S矩形BDOE＝27，
∵ OABC的顶点A的坐标为（﹣3，4），
∴AD＝3，DO＝4，
∴BD OA＝27，即BD×4＝27，
∴BD＝，
∴OC＝AB＝﹣3＝，
∴S OABC＝OC OD＝15，
故选：B．
11．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，直线x＝1是它的对称轴，有下列5个结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③b2﹣4ac＞0；④2a﹣b＝0；⑤方程ax2+bx+c﹣3＝0有两个相等的实数根．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．
【解答】解：①由图象可知：a＜0，c＞0，
＞0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故①错误；
②抛物线的对称轴为x＝1，
∴（﹣1，y）关于直线x＝1的对称点为（3，y），
（0，c）关于直线x＝1的对称点为（2，c）
∴x＝2，y＝4a+2b+c＞0，故②正确；
③抛物线与x轴有两个交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，故③正确；
④由对称轴可知：＝1，
∴2a+b＝0，故④错误；
⑤由图象可知：y＝3时，
此时ax2+bx+c＝3只有一解x＝1，
∴方程ax2+bx+c﹣3＝0有两个相同的根，故⑤正确；
故选：C．
12．（3分）如图，点A、C在反比例函数y＝的图象上，点B、D在反比例函数y＝的图象上，a＞b＞0，AB∥CD∥x轴，AB、CD在x轴的两侧，AB＝，CD＝，AB、CD的距离为6，则a﹣b的值为（ ）
A．3 B． C．﹣3 D．无法确定
【分析】设点A、B的纵坐标为y1，点C、D的纵坐标为y2，分别表示出来A、B、C、D四点的坐标，根据线段AB、CD的长度结合AB与CD间的距离，即可得出y1、y2的值，再由点A、B的横坐标结合AB＝即可求出a﹣b的值．
【解答】解：设点A、B的纵坐标为y1（y1＞0），点C、D的纵坐标为y2（y2＜0），则点A（，y1），点B（，y1），
∵AB＝，CD＝，
∴2×||＝||，
∴|y1|＝2|y2|．
∵|y1|+|y2|＝6，
∴y1＝4，y2＝﹣2．
∴AB＝﹣＝＝，
∴a﹣b＝3．
故选：A．
二、填空题
13．（3分）如图抛物线y＝ax2与反比例函数交于点C（1，2），则不等式的解集是 x＜0或x＞1 ．
【分析】结合函数图象即可得出解集．
【解答】解：由图可知，当x＜0或x＞1时抛物线y＝ax2在反比例函数图象的上方，
当0＜x＜1时，抛物线y＝ax2在反比例函数图象的下方，
∴不等式的解集是x＜0或x＞1．
故答案为：x＜0或x＞1．
14．（3分）△ABC中，∠A、∠B都是锐角，若sinA＝，cosB＝，则∠C＝ 60° ．
【分析】先根据特殊角的三角函数值求出∠A、∠B的度数，再根据三角形内角和定理求出∠C即可作出判断．
【解答】解：∵△ABC中，∠A、∠B都是锐角sinA＝，cosB＝，
∴∠A＝∠B＝60°．
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣60°﹣60°＝60°．
故答案为：60°．
15．（3分）若函数y＝（1﹣m）+2是关于x的二次函数，且抛物线的开口向上，则m的值为 ﹣2 ．
【分析】先依据二次函数的定义知，系数1﹣m一定不为0，1﹣m＞0，再得出m2﹣2＝2，求出m的值即可．
【解答】解：由题意得：1﹣m≠0，
解得：m≠1，
∵抛物线的开口向上，
∴1﹣m＞0，
解得：m＜1，
∵m2﹣2＝2，
∴解得：m＝±2，
∴m＝﹣2．
故答案为：﹣2．
16．（3分）如图，正方形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴上，∠ADO＝30°，OA＝2，反比例函数y＝经过CD的中点M，那么k＝ +6 ．
【分析】作CE⊥y轴于点E，先证明△CDE≌△DAO，得到DE＝AO＝2，DO＝2＝CE，再根据M是CD的中点，即可得到M（，1+2），最后根据反比例函数y＝经过CD的中点M，即可得到k的值．
【解答】解：如图，作CE⊥y轴于点E．
∵正方形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴上，
∴∠CED＝∠DOA＝90°，∠DCE＝∠ADO，CD＝DA，
∴△CDE≌△DAO（AAS），
∴DE＝AO＝2，
又∵∠ODA＝30°，
∴Rt△AOD中，AD＝2AO＝4，DO＝2＝CE，
∴EO＝2+2，
∴C（2，2+2），D（0，2），
∵M是CD的中点，
∴M（，1+2），
∵反比例函数y＝经过CD的中点M，
∴k＝（1+2）＝+6，
故答案为：+6．
17．（3分）如图所示，点A是反比侧函数图象上一点．过点A作AB⊥x轴于点B．若OA＝5，则△AOB的周长为 12 ．
【分析】设A的坐标是（a，﹣b），则ab＝12，在直角△AOB中利用勾股定理即可求得a2+b2的值，利用完全平方式即可求得a+b的值，即直角三角形的两直角边的长，则周长即可求得．
【解答】解：设A的坐标是（a，﹣b），则ab＝12，
∵OA＝5，
∴a2+b2＝25，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝25+24＝49，
∵a+b＞0，
∴a+b＝7，
故△AOB的周长是：7+5＝12．
故答案是：12．
18．（3分）如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，∠OAB＝30°，若点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则经过点B的反比例函数解析式为 y＝﹣ ．
【分析】过点B作BC⊥x轴于点C，过点A作AD⊥x轴于点D，证明△BCO∽△ODA，利用相似三角形的判定与性质得出＝，根据反比例函数图象上点的坐标特征得出S△AOD＝3，那么S△BCO＝1，进而得出答案．
【解答】解：过点B作BC⊥x轴于点C，过点A作AD⊥x轴于点D，如图．
∵∠BOA＝90°，
∴∠BOC+∠AOD＝90°，
∵∠AOD+∠OAD＝90°，
∴∠BOC＝∠OAD，
又∵∠BCO＝∠ADO＝90°，
∴△BCO∽△ODA，
∴＝tan30°＝，
∴＝，
∵×AD×DO＝xy＝3，
∴S△BCO＝×BC×CO＝S△AOD＝1，
∵经过点B的反比例函数图象在第二象限，
故反比例函数解析式为：y＝﹣．
故答案为y＝﹣．
三、解答题（本大题共7小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（8分）计算：
（1）；
（2）2﹣2﹣+6sin45°﹣．
【分析】（1）先分母有理化、代入三角函数、计算二次根式的乘法，再计算加减即可；
（2）先计算负整数指数幂、代入三角函数值、利用二次根式的性质化简，再计算乘法，最后计算加减即可．
【解答】解：（1）原式＝﹣+
＝﹣+2
＝﹣+2
＝；
（2）原式＝﹣2+6×﹣3
＝﹣2+3﹣3
＝﹣．
20．（8分）如图，小亮在大楼AD的观光电梯中的E点测得大楼BC楼底C点的俯角为60°，此时他距地面的高度AE为21米，电梯再上升9米到达D点，此时测得大楼BC楼顶B点的仰角为45°，求大楼BC的高度．（结果保留根号）
【分析】过D作DH⊥BC于H，过E作EG⊥BC于G．求出EG和DH的长，在Rt△BDH中，求出BH，则可得出答案
【解答】解：过D作DH⊥BC于H，过E作EG⊥BC于G．
由已知得，∠BDH＝45°，∠CEG＝60°，AE＝21米，DE＝9米．
在Rt△CEG中，CG＝AE＝21米，tan∠CEG＝，
∴EG＝＝＝7（米）．
∴DH＝EG＝7米．
在Rt△BDH中，∵∠BDH＝45°，
∴BH＝DH＝7米．
∴BC＝CG+HG+BH＝CG+DE+BH＝21+9+7＝（30+7）米．
答：大楼BC的高度是（30+7）米．
21．（8分）如图，山区某教学楼后面紧邻着一个土坡，坡面BC平行于地面AD，斜坡AB的坡比为i＝1：，且AB＝26米，为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造，经地质人员勘测，当坡角不超过53°时，可确保山体不滑坡；
（1）求改造前坡顶与地面的距离BE的长；
（2）为了消除安全隐患，学校计划将斜坡AB改造成AF（如图所示），那么BF至少是多少米？（结果精确到1米）
【参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33，cot53°≈0.75】
【分析】（1）根据i的值，设出BE与AE，由AB的长求出k的值，即可确定出AE与BE；
（2）过点F作FG⊥AD于点G，由题意，利用锐角三角函数定义求出AG的长，由AG﹣AE求出BF的长即可．
【解答】解：（1）在Rt△ABE中，AB＝26，i＝＝，
设BE＝12k，AE＝5k，则AB＝13k＝26，k＝2，
∴AE＝10（米），BE＝24（米）；
（2）过点F作FG⊥AD于点G，
由题意可知：FG＝BE＝24，∠FAD＝53°，
在Rt△AFG中，cot53°＝＝0.75，
∴AG＝18（米），
∴BF＝GE＝AG﹣AE＝8（米），
答：改造前坡顶与地面的距离BE为24米；BF至少是8米．
22．（10分）在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为A（1，﹣4），且过点B（3，0）．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与x轴的另一个交点的坐标．
【分析】（1）有顶点就用顶点式来求二次函数的解析式；
（2）由于是向右平移，可让二次函数的y的值为0，得到相应的两个x值，算出负值相对于原点的距离，而后让较大的值也加上距离即可．
【解答】解：（1）∵二次函数图象的顶点为A（1，﹣4），
∴设二次函数解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4，
把点B（3，0）代入二次函数解析式，得：
0＝4a﹣4，解得a＝1，
∴二次函数解析式为y＝（x﹣1）2﹣4，即y＝x2﹣2x﹣3；
（2）令y＝0，得x2﹣2x﹣3＝0，解方程，得x1＝3，x2＝﹣1．
∴二次函数图象与x轴的两个交点坐标分别为（3，0）和（﹣1，0），
∴二次函数图象上的点（﹣1，0）向右平移1个单位后经过坐标原点或向右平移﹣3个单位，
故平移后所得图象与x轴的另一个交点坐标为（4，0）或（﹣4，0）．
23．（10分）“佳佳商场”在销售某种进货价为20元/件的商品时，以30元/件售出，每天能售出100件．调查表明：这种商品的售价每上涨1元/件，其销售量就将减少2件．
（1）为了实现每天1600元的销售利润，“佳佳商场”应将这种商品的售价定为多少？
（2）物价局规定该商品的售价不能超过40元/件，“佳佳商场”为了获得最大的利润，应将该商品售价定为多少？最大利润是多少？
【分析】（1）设商品的定价为x元，由这种商品的售价每上涨1元，其销售量就减少2件，列出等式求得x的值即可；
（2）设利润为y元，列出二次函数关系式，在售价不超过40元/件的范围内求得利润的最大值．
【解答】解：（1）设商品的定价为x元，由题意，得
（x﹣20）[100﹣2（x﹣30）]＝1600，
解得：x＝40或x＝60；
答：售价应定为40元或60元．
（2）设利润为y元，得：
y＝（x﹣20）[100﹣2（x﹣30）]（x≤40），
即：y＝﹣2x2+200x﹣3200；
∵a＝﹣2＜0，
∴当x＝﹣＝﹣＝50时，y取得最大值；
又x≤40，则在x＝40时可取得最大值，
即y最大＝1600．
答：售价为40元/件时，此时利润最大，最大为1600元．
24．（10分）如图，一次函数y1＝ax+b与反比例函数y2＝的图象相交于A（2，8），B（8，2）两点，连接AO，BO，延长AO交反比例函数图象于点C．
（1）求一次函数y1的表达式与反比例函数y2的表达式；
（2）当y1＜y2，时，直接写出自变量x的取值范围为 x＞8或0＜x＜2 ；
（3）点P是x轴上一点，当S△PAC＝S△AOB时，请直接写出点P的坐标为 P（3，0）或P（﹣3，0） ．
【分析】（1）由待定系数法即可得到结论；
（2）根据图象中的信息即可得到结论；
（3）先求得D的坐标，然后根据S△AOB＝S△AOD﹣S△BOD求得△AOB的面积，即可求得S△PAC＝S△AOB＝24，根据中心对称的性质得出OA＝OC，即可得到S△APC＝2S△AOP，从而得到2×OP×8＝24，求得OP，即可求得P的坐标．
【解答】解：（1）将A（2，8），B（8，2）代入y＝ax+b得，
解得，
∴一次函数为y＝﹣x+10，
将A（2，8）代入y2＝得8＝，解得k＝16，
∴反比例函数的解析式为y＝；
（2）由图象可知，当y1＜y2时，自变量x的取值范围为：x＞8或0＜x＜2，
故答案为x＞8或0＜x＜2；
（3）由题意可知OA＝OC，
∴S△APC＝2S△AOP，
把y＝0代入y1＝﹣x+10得，0＝﹣x+10，解得x＝10，
∴D（10，0），
∴S△AOB＝S△AOD﹣S△BOD＝﹣＝30，
∵S△PAC＝S△AOB＝×30＝24，
∴2S△AOP＝24，
∴2××yA＝24，即2×OP×8＝24，
∴OP＝3，
∴P（3，0）或P（﹣3，0），
故答案为P（3，0）或P（﹣3，0）．
25．（12分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点D，点B的坐标为（3，0），顶点C的坐标为（1，4）．
（1）求二次函数的解析式和直线BD的解析式；
（2）点P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限时，求线段PM长度的最大值；
（3）在抛物线上是否存在异于B、D的点Q，使△BDQ中BD边上的高为2？若存在求出点Q的坐标；若不存在请说明理由．
【分析】（1）可设抛物线解析式为顶点式，由B点坐标可求得抛物线的解析式，则可求得D点坐标，利用待定系数法可求得直线BD解析式；
（2）设出P点坐标，从而可表示出PM的长度，利用二次函数的性质可求得其最大值；
（3）过Q作QG∥y轴，交BD于点G，过Q和QH⊥BD于H，可设出Q点坐标，表示出QG的长度，由条件可证得△DHG为等腰直角三角形，则可得到关于Q点坐标的方程，可求得Q点坐标．
【解答】解：
（1）∵抛物线的顶点C的坐标为（1，4），
∴可设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+4，
∵点B（3，0）在该抛物线的图象上，
∴0＝a（3﹣1）2+4，解得a＝﹣1，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4，即y＝﹣x2+2x+3，
∵点D在y轴上，令x＝0可得y＝3，
∴D点坐标为（0，3），
∴可设直线BD解析式为y＝kx+3，
把B点坐标代入可得3k+3＝0，解得k＝﹣1，
∴直线BD解析式为y＝﹣x+3；
（2）设P点横坐标为m（m＞0），则P（m，﹣m+3），M（m，﹣m2+2m+3），
∴PM＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m＝﹣（m﹣）2+，
∴当m＝时，PM有最大值；
（3）如图，过Q作QG∥y轴交BD于点G，交x轴于点E，作QH⊥BD于H，
设Q（x，﹣x2+2x+3），则G（x，﹣x+3），
∴QG＝|﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）|＝|﹣x2+3x|，
∵△BOD是等腰直角三角形，
∴∠DBO＝45°，
∴∠HGQ＝∠BGE＝45°，
当△BDQ中BD边上的高为2时，即QH＝HG＝2，
∴QG＝×2＝4，
∴|﹣x2+3x|＝4，
当﹣x2+3x＝4时，△＝9﹣16＜0，方程无实数根，
当﹣x2+3x＝﹣4时，解得x＝﹣1或x＝4，
∴Q（﹣1，0）或（4，﹣5），
综上可知存在满足条件的点Q，其坐标为（﹣1，0）或（4，﹣5）．
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