2021-2022学年湖南省岳阳市汨罗市弼时片九年级（上）期中数学试卷（Word版 含解析）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年湖南省岳阳市汨罗市弼时片九年级（上）期中数学试卷（Word版 含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 348.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 湘教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-11-15 12:40:50 | ||
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文档简介
2021-2022学年湖南省岳阳市汨罗市弼时片九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）下面四个关系式中，y是x的反比例函数的是（ ）
A．y＝ B．y＝ C．y＝5x+6 D．y＝﹣
2．（3分）在同一平面直角坐标系中，函数y＝k（x﹣1）与y＝的大致图象（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）已知x2+y2﹣4x+6y+13＝0，则xy+（3﹣π）0的值为（ ）
A．10 B． C．﹣7 D．
4．（3分）把方程（2x﹣1）（3x+1）＝x化成一般形式后，一次项系数和常数项分别是（ ）
A．4，1 B．6，﹣1 C．﹣2，﹣1 D．﹣4，1
5．（3分）如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，AB⊥x轴于点B，C是OB的中点，连接AO，AC，若△AOC的面积为4，则k＝（ ）
A．16 B．12 C．8 D．4
6．（3分）如图，在△ABC中，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，不一定能使△ADE与△ABC相似的条件是（ ）
A．∠AED＝∠B B．∠ADE＝∠C C． D．
7．（3分）已知a，b，c为△ABC的三边，且，则k的值为（ ）
A．1 B．或﹣1 C．﹣2 D．1或﹣2
8．（3分）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则b2﹣4ac＝（2ax0+b）2．其中正确的（ ）
A．①② B．①②④ C．①②③④ D．①②③
二、填空题（共8小题，每小题4分，共32分）
9．（4分）已知，则＝ ．
10．（4分）如图，反比例函数y＝的图象上有一点A，过点A作AB⊥x轴于B，S△AOB＝2，则k＝ ．
11．（4分）已知函数y＝（m﹣2）x是反比例函数，图象在第一、三象限内，则m的值是 ．
12．（4分）如图，AB∥CD∥EF，若，BD＝3，则DF＝ ．
13．（4分）已知m是一元二次方程x2+x﹣6＝0的一个根，则代数式2021﹣m﹣m2的值等于 ．
14．（4分）一元二次方程2x2﹣bx+c＝0的两根为x1，x2，若x1+x2＝5，x1 x2＝﹣2，则b+c＝ ．
15．（4分）定义：如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们称这两个方程为“友好方程”，如果关于x的一元二次方程x2﹣2x＝0与x2+3x+m﹣1＝0为“友好方程”，则m的值 ．
16．（4分）如图，在正方形ABCD中，E、F分别在CD、AD边上，且CE＝DF，连接BE、CF相交于G点．则下列结论：①BE＝CF；②S△BCG＝S四边形DFGE；③CG2＝BG GE；④当E为CD中点时，连接DG，则∠FGD＝45°，正确的结论是 ．（填序号）
三、解答题（共8小题，共64分）
17．（6分）计算：|3﹣|+（π﹣2）0﹣（）﹣1．
18．（6分）解方程：
（1）（2x+3）2﹣25＝0
（2）3x2﹣5x+5＝7．
19．（8分）如图，AB AE＝AD AC，且∠1＝∠2，求证：△ABC∽△ADE．
20．（8分）如图，已知反比例函数y＝（k≠0）与正比例函数y＝2x的图象交于A（1，m），B两点．
（1）求该反比例函数的表达式；
（2）若点C在x轴上，且△BOC的面积为3，求点C的坐标．
21．（8分）已知关于x的一元二次方程（x﹣m）2+2（x﹣m）＝0（m为常数）．
（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根．
（2）若该方程有一个根为4，求m的值．
22．（8分）如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2？
23．（10分）直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件．
（1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？
（2）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元．为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（1）中的售价，则该商品至少需打几折销售？
24．（10分）已知在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4．点Q是线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交线段AB（如图1）或线段AB的延长线（如图2）于点P．
（1）当点P在线段AB上时，求证：△AQP∽△ABC；
（2）当△PQB为等腰三角形时，求AP的长．
2021-2022学年湖南省岳阳市汨罗市弼时片九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）下面四个关系式中，y是x的反比例函数的是（ ）
A．y＝ B．y＝ C．y＝5x+6 D．y＝﹣
【分析】根据反比例函数的定义，反比例函数的一般式是 y＝（k≠0），即可判定各函数的类型是否符合题意．
【解答】解：A、y＝，不符合反比例函数的定义，故此选项不符合题意；
B、y＝，是正比例函数，故此选项不符合题意；
C、y＝5x+6是一次函数，故此选项不符合题意；
D、y＝﹣，符合反比例函数的形式，是反比例函数，故此选项符合题意．
故选：D．
2．（3分）在同一平面直角坐标系中，函数y＝k（x﹣1）与y＝的大致图象（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分别根据一次函数与反比例函数图象的特点解答即可．
【解答】解：分两种情况：
当k＞0时，函数y＝k（x﹣1）的图象经过一三四象限，y＝的图象分布在一三象限；
当k＜0时，函数y＝k（x﹣1）的图象经过一二四象限，y＝的图象分布在二四象限；
故选：B．
3．（3分）已知x2+y2﹣4x+6y+13＝0，则xy+（3﹣π）0的值为（ ）
A．10 B． C．﹣7 D．
【分析】先配方，再根据非负数的和为0，求x，y的值，最后求结果．
【解答】解：∵x2+y2﹣4x+6y+13＝0，
∴x2﹣4x+4+y2+6y+9＝0，
（x﹣2）2+（y+3）2＝0，
∴x﹣2＝0，y+3＝0，
解得，x＝2，y＝﹣3．
代入原式＝2﹣3+1，
＝+1
＝．
∴xy+（3﹣π）0＝．
故选：D．
4．（3分）把方程（2x﹣1）（3x+1）＝x化成一般形式后，一次项系数和常数项分别是（ ）
A．4，1 B．6，﹣1 C．﹣2，﹣1 D．﹣4，1
【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0），特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
【解答】解：因为（2x﹣1）（3x+1）＝x，
所以6x2+2x﹣3x﹣1＝x，
所以6x2﹣2x﹣1＝0，
这个方程的一次项系数为﹣2，常数项为﹣1．
故选：C．
5．（3分）如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，AB⊥x轴于点B，C是OB的中点，连接AO，AC，若△AOC的面积为4，则k＝（ ）
A．16 B．12 C．8 D．4
【分析】由C是OB的中点求△AOB的面积，设A（a，b）根据面积公式求ab，最后求k．
【解答】解：∵C是OB的中点，△AOC的面积为4，
∴△AOB的面积为8，
设A（a，b）
∵AB⊥x轴于点B，
∴ab＝16，
∵点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴k＝16．
故选：A．
6．（3分）如图，在△ABC中，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，不一定能使△ADE与△ABC相似的条件是（ ）
A．∠AED＝∠B B．∠ADE＝∠C C． D．
【分析】由已知及三角形相似的判定方法，对每个选项分别分析、判断解答出即可．
【解答】解：由题意得，∠A＝∠A，
A、当∠ADE＝∠B时，△ADE∽△ABC；故本选项不符合题意；
B、当∠ADE＝∠C时，△ADE∽△ACB；故本选项不符合题意；
C、当时，不能推断△ADE与△ABC相似；故选项符合题意；
D、当时，△ADE∽△ACB；故本选项不符合题意．
故选：C．
7．（3分）已知a，b，c为△ABC的三边，且，则k的值为（ ）
A．1 B．或﹣1 C．﹣2 D．1或﹣2
【分析】依据，即可得出2（a+b+c）＝2k（a+b+c），再根据a、b、c为△ABC的三边，可得a+b+c≠0，进而得到k＝1．
【解答】解：根据题意有：2a＝k（b+c），2b＝k（a+c），2c＝k（a+b），
∴2（a+b+c）＝2k（a+b+c），
∵a、b、c为△ABC的三边，
∴a+b+c≠0，
∴k＝1．
故选：A．
8．（3分）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则b2﹣4ac＝（2ax0+b）2．其中正确的（ ）
A．①② B．①②④ C．①②③④ D．①②③
【分析】根据一元二次方程根的判别式及根的定义逐个判断排除．
【解答】解：①若a+b+c＝0，则x＝1是方程ax2+bx+c＝0的解，
由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知：Δ＝b2﹣4a≥0，故①正确；
②方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，
∴Δ＝0﹣4ac＞0，
∴﹣4ac＞0
则方程ax2+bx+c＝0的判别式Δ＝b2﹣4a＞0，
∴方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根，
故②正确；
③∵c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，
则ac2+bc+c＝0，
∴c（ac+b+1）＝0，
若c＝0，等式仍然成立，
但ac+b+1＝0不一定成立，
故③不正确；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，
则由求根公式可得：x0＝，
∴2ax0+b＝±，
∴b2﹣4ac＝（2ax0+b）2，
故④正确．
故正确的有①②④，
故选：B．
二、填空题（共8小题，每小题4分，共32分）
9．（4分）已知，则＝ ．
【分析】利用比例性质得到x＝y，然后把它代入所求的分式进行分式的化简计算即可．
【解答】解：∵，
∴x＝y，
∴＝＝．
故答案为．
10．（4分）如图，反比例函数y＝的图象上有一点A，过点A作AB⊥x轴于B，S△AOB＝2，则k＝ ﹣4 ．
【分析】根据反比例函数y＝（k≠0）中比例系数k的几何意义得到S△AOB＝|k|＝2，然后根据反比例函数性质确定k得值．
【解答】解：∵AB⊥x轴，
∴S△AOB＝|k|＝2，
∵k＜0，
∴k＝﹣4．
故答案是：﹣4．
11．（4分）已知函数y＝（m﹣2）x是反比例函数，图象在第一、三象限内，则m的值是 3 ．
【分析】根据反比例函数的定义建立关于m的一元二次方程，再根据反比例函数的性质解答．
【解答】解：∵函数y＝（m﹣2）xm2 10是反比例函数，
∴m2﹣10＝﹣1，
解得，m2＝9，
∴m＝±3，
当m＝3时，m﹣2＞0，图象位于一、三象限；
当m＝﹣3时，m﹣2＜0，图象位于二、四象限；
故答案为：3．
12．（4分）如图，AB∥CD∥EF，若，BD＝3，则DF＝ 6． ．
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算得到答案．
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴＝，即＝，
解得，DF＝6，
故答案为：6．
13．（4分）已知m是一元二次方程x2+x﹣6＝0的一个根，则代数式2021﹣m﹣m2的值等于 2015 ．
【分析】先求出一元二次方程的解，再代入2021﹣m﹣m2求值．
【解答】解：∵x2+x﹣6＝0，
∴（x+3）（x﹣2）＝0．
∴x1＝﹣3，x2＝2．
当m＝x1＝﹣3时，
2021﹣m﹣m2＝2021﹣（﹣3）﹣（﹣3）2
＝2021+3﹣9
＝2015；
当m＝x2＝2时，
2021﹣m﹣m2＝2021﹣2﹣22
＝2021﹣2﹣4
＝2015．
故答案为：2015．
14．（4分）一元二次方程2x2﹣bx+c＝0的两根为x1，x2，若x1+x2＝5，x1 x2＝﹣2，则b+c＝ 6 ．
【分析】根据根与系数的关系解答．
【解答】解：∵一元二次方程2x2﹣bx+c＝0的两根为x1，x2，x1+x2＝5，x1 x2＝﹣2，
∴x1+x2＝＝5，x1 x2＝＝﹣2，
∴b＝10，c＝﹣4，
∴b+c＝6，
故答案是：6．
15．（4分）定义：如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们称这两个方程为“友好方程”，如果关于x的一元二次方程x2﹣2x＝0与x2+3x+m﹣1＝0为“友好方程”，则m的值 1或﹣9． ．
【分析】通过解方程x2﹣2x＝0，可得出方程的根，分x＝0为两方程相同的实数根或x＝2为两方程相同的实数根两种情况考虑：①若x＝0是两个方程相同的实数根，将x＝0代入方程x2+3x+m﹣1＝0中求出m的值，将m的值代入原方程解之可得出方程的解，对照后可得出m＝1符合题意；②若x＝2是两个方程相同的实数根，将x＝2代入方程x2+3x+m﹣1＝0中求出m的值，将m的值代入原方程解之可得出方程的解，对照后可得出m＝2符合题意．综上此题得解．
【解答】解：解方程x2﹣2x＝0，得：x1＝0，x2＝2．
①若x＝0是两个方程相同的实数根．
将x＝0代入方程x2+3x+m﹣1＝0，得：m﹣1＝0，
∴m＝1，此时原方程为x2+3x＝0，
解得：x1＝0，x2＝﹣3，符合题意，
∴m＝1；
②若x＝2是两个方程相同的实数根．
将x＝2代入方程x2+3x+m﹣1＝0，得：4+6+m﹣1＝0，
∴m＝﹣9，此时原方程为x2+3x﹣10＝0，
解得：x1＝2，x2＝﹣5，符合题意，
∴m＝﹣9．
综上所述：m的值为1或﹣9．
故答案为：1或﹣9．
16．（4分）如图，在正方形ABCD中，E、F分别在CD、AD边上，且CE＝DF，连接BE、CF相交于G点．则下列结论：①BE＝CF；②S△BCG＝S四边形DFGE；③CG2＝BG GE；④当E为CD中点时，连接DG，则∠FGD＝45°，正确的结论是 ①②③④ ．（填序号）
【分析】①由“SAS”可证△BCE≌△CDF，可得BE＝CF；
②由全等三角形的性质可得S△BCG＝S△CDF，由面积和差关系可得S△BCG＝S四边形DFGE；
③通过证明△BCG∽△CEG，可得，可得结论；
④通过证明点D，点E，点G，点F四点共圆，可证∠DEF＝∠DGF＝45°．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD，∠BCD＝∠CDF＝90°，
在△BCE和△CDF中，
，
∴△BCE≌△CDF（SAS），
∴BE＝CF，故①正确，
∵△BCE≌△CDF，
∴S△BCE＝S△CDF，
∴S△BCG＝S四边形DFGE；故②正确，
∵△BCE≌△CDF，
∴∠DCF＝∠EBC，
∵∠DCF+∠BCG＝90°，
∴∠EBC+∠BCG＝90°，
∴∠BGC＝∠EGC＝90°，
∴△BCG∽△CEG，
∴，
∴CG2＝BG GE；故③正确；
如图，连接EF，
∵点E是CD中点，
∴DE＝CE，
∵△BCE≌△CDF，
∴DF＝CE＝DE，
∴∠DFE＝∠DEF＝45°，
∵∠ADC＝∠EGF＝90°，
∴点D，点E，点G，点F四点共圆，
∴∠DEF＝∠DGF＝45°，故④正确；
综上所述：正确的有①②③④．
故答案为：①②③④．
三、解答题（共8小题，共64分）
17．（6分）计算：|3﹣|+（π﹣2）0﹣（）﹣1．
【分析】先去绝对值，计算零指数幂及负整数指数幂，再根据有理数混合运算计算即可．
【解答】解：原式＝3﹣+1﹣2
＝2﹣．
18．（6分）解方程：
（1）（2x+3）2﹣25＝0
（2）3x2﹣5x+5＝7．
【分析】（1）把常数项25移到方程的右边，运用直接开平方法解方程，注意把2x+3看作一个整体；
（2）可以运用因式分解法解方程．
【解答】解：（1）（2x+3）2＝25，
2x+3＝±5，
2x＝±5﹣3，
x1＝1，x2＝﹣4．
（2）3x2﹣5x﹣2＝0
（x﹣2）（3x+1）＝0，
x1＝2，x2＝﹣．
19．（8分）如图，AB AE＝AD AC，且∠1＝∠2，求证：△ABC∽△ADE．
【分析】由已知条件得到：∠BAC＝∠DAE，＝．则由“两边及夹角法”证得结论．
【解答】证明：如图，∵AB AE＝AD AC，
∴＝．
又∵∠1＝∠2，
∴∠2+∠BAE＝∠1+∠BAE，即∠BAC＝∠DAE，
∴△ABC∽△ADE．
20．（8分）如图，已知反比例函数y＝（k≠0）与正比例函数y＝2x的图象交于A（1，m），B两点．
（1）求该反比例函数的表达式；
（2）若点C在x轴上，且△BOC的面积为3，求点C的坐标．
【分析】（1）先把A（1，m）代入y＝2x中，即可算出点A的坐标，再把点A的坐标代入反比例函数解析式中即可得出答案；
（2）过点B作BD垂直与x轴，垂足为D，设点C的坐标为（a，0），根据反比例函数与正比例函数的性质可得点B的坐标，由题意可得BD＝|﹣2|＝2，OC＝|a|，再根据三角形面积计算方法即可算出a的值，即可得出答案．
【解答】解：（1）把A（1，m）代入y＝2x中，
得m＝2，
∴点A的坐标为（1，2），
把点A（1，2）代入y＝中，
得k＝2，
∴反比例函数的解析式为y＝；
（2）过点B作BD垂直与x轴，垂足为D，
设点C的坐标为（a，0），
∵点A与点B关于原点对称，
∴点B的坐标为（﹣1，﹣2），
∴BD＝|﹣2|＝2，OC＝|a|，
S△BOC＝＝，
解得：a＝3或a＝﹣3，
∴点C的坐标为（3，0）或（﹣3，0）．
21．（8分）已知关于x的一元二次方程（x﹣m）2+2（x﹣m）＝0（m为常数）．
（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根．
（2）若该方程有一个根为4，求m的值．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ＝4＞0，由此即可证出：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）将x＝4代入原方程，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】（1）证明：（x﹣m）2+2（x﹣m）＝0，
原方程可化为x2﹣（2m﹣2）x+m2﹣2m＝0，
∵a＝1，b＝﹣（2m﹣2），c＝m2﹣2m，
∴Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（2m﹣2）]2﹣4（m2﹣2m）＝4＞0，
∴不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：将x＝4代入原方程，得：（4﹣m）2+2（4﹣m）＝0，即m2﹣10m+24＝0，
解得：m1＝4，m2＝6．
故m的值为4或6．
22．（8分）如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2？
【分析】设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm可以得出平行于墙的一边的长为（25﹣2x+1）m．根据矩形的面积公式建立方程求出其解就可以了．
【解答】解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm可以得出平行于墙的一边的长为（25﹣2x+1）m，由题意得
x（25﹣2x+1）＝80，
化简，得x2﹣13x+40＝0，
解得：x1＝5，x2＝8，
当x＝5时，26﹣2x＝16＞12（舍去），当x＝8时，26﹣2x＝10＜12，
答：所围矩形猪舍的长为10m、宽为8m．
23．（10分）直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件．
（1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？
（2）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元．为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（1）中的售价，则该商品至少需打几折销售？
【分析】（1）根据日利润＝每件利润×日销售量，可求出售价为60元时的原利润，设售价应定为x元，则每件的利润为（x﹣40）元，日销售量为20+＝（140﹣2x）件，根据日利润＝每件利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；
（2）设该商品需要打a折销售，根据销售价格不超过50元，列出不等式求解即可．
【解答】解：（1）设售价应定为x元，则每件的利润为（x﹣40）元，日销售量为20+＝（140﹣2x）件，
依题意，得：（x﹣40）（140﹣2x）＝（60﹣40）×20，
整理，得：x2﹣110x+3000＝0，
解得：x1＝50，x2＝60（舍去）．
答：售价应定为50元；
（2）该商品需要打a折销售，
由题意，得，62.5×≤50，
解得：a≤8，
答：该商品至少需打8折销售．
24．（10分）已知在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4．点Q是线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交线段AB（如图1）或线段AB的延长线（如图2）于点P．
（1）当点P在线段AB上时，求证：△AQP∽△ABC；
（2）当△PQB为等腰三角形时，求AP的长．
【分析】（1）由两对角相等（∠APQ＝∠C，∠A＝∠A），证明△AQP∽△ABC；
（2）当△PQB为等腰三角形时，有两种情况，需要分类讨论．
（I）当点P在线段AB上时，如题图1所示．由三角形相似（△AQP∽△ABC）关系计算AP的长；
（II）当点P在线段AB的延长线上时，如题图2所示．利用角之间的关系，证明点B为线段AP的中点，从而可以求出AP．
【解答】（1）证明：∵PQ⊥AQ，
∴∠AQP＝90°＝∠ABC，
在△APQ与△ABC中，
∵∠AQP＝90°＝∠ABC，∠A＝∠A，
∴△AQP∽△ABC．
（2）解：在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，由勾股定理得：AC＝5．
∵∠QPB为钝角，
∴当△PQB为等腰三角形时，
（I）当点P在线段AB上时，如题图1所示．
∵∠QPB为钝角，
∴当△PQB为等腰三角形时，只可能是PB＝PQ，
由（1）可知，△AQP∽△ABC，
∴，即，解得：PB＝，
∴AP＝AB﹣PB＝3﹣＝；
（II）当点P在线段AB的延长线上时，如题图2所示．
∵∠QBP为钝角，
∴当△PQB为等腰三角形时，只可能是PB＝BQ．
∵BP＝BQ，∴∠BQP＝∠P，
∵∠BQP+∠AQB＝90°，∠A+∠P＝90°，
∴∠AQB＝∠A，
∴BQ＝AB，
∴AB＝BP，点B为线段AP中点，
∴AP＝2AB＝2×3＝6．
综上所述，当△PQB为等腰三角形时，AP的长为或6．
一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）下面四个关系式中，y是x的反比例函数的是（ ）
A．y＝ B．y＝ C．y＝5x+6 D．y＝﹣
2．（3分）在同一平面直角坐标系中，函数y＝k（x﹣1）与y＝的大致图象（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）已知x2+y2﹣4x+6y+13＝0，则xy+（3﹣π）0的值为（ ）
A．10 B． C．﹣7 D．
4．（3分）把方程（2x﹣1）（3x+1）＝x化成一般形式后，一次项系数和常数项分别是（ ）
A．4，1 B．6，﹣1 C．﹣2，﹣1 D．﹣4，1
5．（3分）如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，AB⊥x轴于点B，C是OB的中点，连接AO，AC，若△AOC的面积为4，则k＝（ ）
A．16 B．12 C．8 D．4
6．（3分）如图，在△ABC中，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，不一定能使△ADE与△ABC相似的条件是（ ）
A．∠AED＝∠B B．∠ADE＝∠C C． D．
7．（3分）已知a，b，c为△ABC的三边，且，则k的值为（ ）
A．1 B．或﹣1 C．﹣2 D．1或﹣2
8．（3分）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则b2﹣4ac＝（2ax0+b）2．其中正确的（ ）
A．①② B．①②④ C．①②③④ D．①②③
二、填空题（共8小题，每小题4分，共32分）
9．（4分）已知，则＝ ．
10．（4分）如图，反比例函数y＝的图象上有一点A，过点A作AB⊥x轴于B，S△AOB＝2，则k＝ ．
11．（4分）已知函数y＝（m﹣2）x是反比例函数，图象在第一、三象限内，则m的值是 ．
12．（4分）如图，AB∥CD∥EF，若，BD＝3，则DF＝ ．
13．（4分）已知m是一元二次方程x2+x﹣6＝0的一个根，则代数式2021﹣m﹣m2的值等于 ．
14．（4分）一元二次方程2x2﹣bx+c＝0的两根为x1，x2，若x1+x2＝5，x1 x2＝﹣2，则b+c＝ ．
15．（4分）定义：如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们称这两个方程为“友好方程”，如果关于x的一元二次方程x2﹣2x＝0与x2+3x+m﹣1＝0为“友好方程”，则m的值 ．
16．（4分）如图，在正方形ABCD中，E、F分别在CD、AD边上，且CE＝DF，连接BE、CF相交于G点．则下列结论：①BE＝CF；②S△BCG＝S四边形DFGE；③CG2＝BG GE；④当E为CD中点时，连接DG，则∠FGD＝45°，正确的结论是 ．（填序号）
三、解答题（共8小题，共64分）
17．（6分）计算：|3﹣|+（π﹣2）0﹣（）﹣1．
18．（6分）解方程：
（1）（2x+3）2﹣25＝0
（2）3x2﹣5x+5＝7．
19．（8分）如图，AB AE＝AD AC，且∠1＝∠2，求证：△ABC∽△ADE．
20．（8分）如图，已知反比例函数y＝（k≠0）与正比例函数y＝2x的图象交于A（1，m），B两点．
（1）求该反比例函数的表达式；
（2）若点C在x轴上，且△BOC的面积为3，求点C的坐标．
21．（8分）已知关于x的一元二次方程（x﹣m）2+2（x﹣m）＝0（m为常数）．
（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根．
（2）若该方程有一个根为4，求m的值．
22．（8分）如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2？
23．（10分）直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件．
（1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？
（2）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元．为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（1）中的售价，则该商品至少需打几折销售？
24．（10分）已知在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4．点Q是线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交线段AB（如图1）或线段AB的延长线（如图2）于点P．
（1）当点P在线段AB上时，求证：△AQP∽△ABC；
（2）当△PQB为等腰三角形时，求AP的长．
2021-2022学年湖南省岳阳市汨罗市弼时片九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）下面四个关系式中，y是x的反比例函数的是（ ）
A．y＝ B．y＝ C．y＝5x+6 D．y＝﹣
【分析】根据反比例函数的定义，反比例函数的一般式是 y＝（k≠0），即可判定各函数的类型是否符合题意．
【解答】解：A、y＝，不符合反比例函数的定义，故此选项不符合题意；
B、y＝，是正比例函数，故此选项不符合题意；
C、y＝5x+6是一次函数，故此选项不符合题意；
D、y＝﹣，符合反比例函数的形式，是反比例函数，故此选项符合题意．
故选：D．
2．（3分）在同一平面直角坐标系中，函数y＝k（x﹣1）与y＝的大致图象（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分别根据一次函数与反比例函数图象的特点解答即可．
【解答】解：分两种情况：
当k＞0时，函数y＝k（x﹣1）的图象经过一三四象限，y＝的图象分布在一三象限；
当k＜0时，函数y＝k（x﹣1）的图象经过一二四象限，y＝的图象分布在二四象限；
故选：B．
3．（3分）已知x2+y2﹣4x+6y+13＝0，则xy+（3﹣π）0的值为（ ）
A．10 B． C．﹣7 D．
【分析】先配方，再根据非负数的和为0，求x，y的值，最后求结果．
【解答】解：∵x2+y2﹣4x+6y+13＝0，
∴x2﹣4x+4+y2+6y+9＝0，
（x﹣2）2+（y+3）2＝0，
∴x﹣2＝0，y+3＝0，
解得，x＝2，y＝﹣3．
代入原式＝2﹣3+1，
＝+1
＝．
∴xy+（3﹣π）0＝．
故选：D．
4．（3分）把方程（2x﹣1）（3x+1）＝x化成一般形式后，一次项系数和常数项分别是（ ）
A．4，1 B．6，﹣1 C．﹣2，﹣1 D．﹣4，1
【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0），特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
【解答】解：因为（2x﹣1）（3x+1）＝x，
所以6x2+2x﹣3x﹣1＝x，
所以6x2﹣2x﹣1＝0，
这个方程的一次项系数为﹣2，常数项为﹣1．
故选：C．
5．（3分）如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，AB⊥x轴于点B，C是OB的中点，连接AO，AC，若△AOC的面积为4，则k＝（ ）
A．16 B．12 C．8 D．4
【分析】由C是OB的中点求△AOB的面积，设A（a，b）根据面积公式求ab，最后求k．
【解答】解：∵C是OB的中点，△AOC的面积为4，
∴△AOB的面积为8，
设A（a，b）
∵AB⊥x轴于点B，
∴ab＝16，
∵点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴k＝16．
故选：A．
6．（3分）如图，在△ABC中，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，不一定能使△ADE与△ABC相似的条件是（ ）
A．∠AED＝∠B B．∠ADE＝∠C C． D．
【分析】由已知及三角形相似的判定方法，对每个选项分别分析、判断解答出即可．
【解答】解：由题意得，∠A＝∠A，
A、当∠ADE＝∠B时，△ADE∽△ABC；故本选项不符合题意；
B、当∠ADE＝∠C时，△ADE∽△ACB；故本选项不符合题意；
C、当时，不能推断△ADE与△ABC相似；故选项符合题意；
D、当时，△ADE∽△ACB；故本选项不符合题意．
故选：C．
7．（3分）已知a，b，c为△ABC的三边，且，则k的值为（ ）
A．1 B．或﹣1 C．﹣2 D．1或﹣2
【分析】依据，即可得出2（a+b+c）＝2k（a+b+c），再根据a、b、c为△ABC的三边，可得a+b+c≠0，进而得到k＝1．
【解答】解：根据题意有：2a＝k（b+c），2b＝k（a+c），2c＝k（a+b），
∴2（a+b+c）＝2k（a+b+c），
∵a、b、c为△ABC的三边，
∴a+b+c≠0，
∴k＝1．
故选：A．
8．（3分）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则b2﹣4ac＝（2ax0+b）2．其中正确的（ ）
A．①② B．①②④ C．①②③④ D．①②③
【分析】根据一元二次方程根的判别式及根的定义逐个判断排除．
【解答】解：①若a+b+c＝0，则x＝1是方程ax2+bx+c＝0的解，
由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知：Δ＝b2﹣4a≥0，故①正确；
②方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，
∴Δ＝0﹣4ac＞0，
∴﹣4ac＞0
则方程ax2+bx+c＝0的判别式Δ＝b2﹣4a＞0，
∴方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根，
故②正确；
③∵c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，
则ac2+bc+c＝0，
∴c（ac+b+1）＝0，
若c＝0，等式仍然成立，
但ac+b+1＝0不一定成立，
故③不正确；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，
则由求根公式可得：x0＝，
∴2ax0+b＝±，
∴b2﹣4ac＝（2ax0+b）2，
故④正确．
故正确的有①②④，
故选：B．
二、填空题（共8小题，每小题4分，共32分）
9．（4分）已知，则＝ ．
【分析】利用比例性质得到x＝y，然后把它代入所求的分式进行分式的化简计算即可．
【解答】解：∵，
∴x＝y，
∴＝＝．
故答案为．
10．（4分）如图，反比例函数y＝的图象上有一点A，过点A作AB⊥x轴于B，S△AOB＝2，则k＝ ﹣4 ．
【分析】根据反比例函数y＝（k≠0）中比例系数k的几何意义得到S△AOB＝|k|＝2，然后根据反比例函数性质确定k得值．
【解答】解：∵AB⊥x轴，
∴S△AOB＝|k|＝2，
∵k＜0，
∴k＝﹣4．
故答案是：﹣4．
11．（4分）已知函数y＝（m﹣2）x是反比例函数，图象在第一、三象限内，则m的值是 3 ．
【分析】根据反比例函数的定义建立关于m的一元二次方程，再根据反比例函数的性质解答．
【解答】解：∵函数y＝（m﹣2）xm2 10是反比例函数，
∴m2﹣10＝﹣1，
解得，m2＝9，
∴m＝±3，
当m＝3时，m﹣2＞0，图象位于一、三象限；
当m＝﹣3时，m﹣2＜0，图象位于二、四象限；
故答案为：3．
12．（4分）如图，AB∥CD∥EF，若，BD＝3，则DF＝ 6． ．
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算得到答案．
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴＝，即＝，
解得，DF＝6，
故答案为：6．
13．（4分）已知m是一元二次方程x2+x﹣6＝0的一个根，则代数式2021﹣m﹣m2的值等于 2015 ．
【分析】先求出一元二次方程的解，再代入2021﹣m﹣m2求值．
【解答】解：∵x2+x﹣6＝0，
∴（x+3）（x﹣2）＝0．
∴x1＝﹣3，x2＝2．
当m＝x1＝﹣3时，
2021﹣m﹣m2＝2021﹣（﹣3）﹣（﹣3）2
＝2021+3﹣9
＝2015；
当m＝x2＝2时，
2021﹣m﹣m2＝2021﹣2﹣22
＝2021﹣2﹣4
＝2015．
故答案为：2015．
14．（4分）一元二次方程2x2﹣bx+c＝0的两根为x1，x2，若x1+x2＝5，x1 x2＝﹣2，则b+c＝ 6 ．
【分析】根据根与系数的关系解答．
【解答】解：∵一元二次方程2x2﹣bx+c＝0的两根为x1，x2，x1+x2＝5，x1 x2＝﹣2，
∴x1+x2＝＝5，x1 x2＝＝﹣2，
∴b＝10，c＝﹣4，
∴b+c＝6，
故答案是：6．
15．（4分）定义：如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们称这两个方程为“友好方程”，如果关于x的一元二次方程x2﹣2x＝0与x2+3x+m﹣1＝0为“友好方程”，则m的值 1或﹣9． ．
【分析】通过解方程x2﹣2x＝0，可得出方程的根，分x＝0为两方程相同的实数根或x＝2为两方程相同的实数根两种情况考虑：①若x＝0是两个方程相同的实数根，将x＝0代入方程x2+3x+m﹣1＝0中求出m的值，将m的值代入原方程解之可得出方程的解，对照后可得出m＝1符合题意；②若x＝2是两个方程相同的实数根，将x＝2代入方程x2+3x+m﹣1＝0中求出m的值，将m的值代入原方程解之可得出方程的解，对照后可得出m＝2符合题意．综上此题得解．
【解答】解：解方程x2﹣2x＝0，得：x1＝0，x2＝2．
①若x＝0是两个方程相同的实数根．
将x＝0代入方程x2+3x+m﹣1＝0，得：m﹣1＝0，
∴m＝1，此时原方程为x2+3x＝0，
解得：x1＝0，x2＝﹣3，符合题意，
∴m＝1；
②若x＝2是两个方程相同的实数根．
将x＝2代入方程x2+3x+m﹣1＝0，得：4+6+m﹣1＝0，
∴m＝﹣9，此时原方程为x2+3x﹣10＝0，
解得：x1＝2，x2＝﹣5，符合题意，
∴m＝﹣9．
综上所述：m的值为1或﹣9．
故答案为：1或﹣9．
16．（4分）如图，在正方形ABCD中，E、F分别在CD、AD边上，且CE＝DF，连接BE、CF相交于G点．则下列结论：①BE＝CF；②S△BCG＝S四边形DFGE；③CG2＝BG GE；④当E为CD中点时，连接DG，则∠FGD＝45°，正确的结论是 ①②③④ ．（填序号）
【分析】①由“SAS”可证△BCE≌△CDF，可得BE＝CF；
②由全等三角形的性质可得S△BCG＝S△CDF，由面积和差关系可得S△BCG＝S四边形DFGE；
③通过证明△BCG∽△CEG，可得，可得结论；
④通过证明点D，点E，点G，点F四点共圆，可证∠DEF＝∠DGF＝45°．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD，∠BCD＝∠CDF＝90°，
在△BCE和△CDF中，
，
∴△BCE≌△CDF（SAS），
∴BE＝CF，故①正确，
∵△BCE≌△CDF，
∴S△BCE＝S△CDF，
∴S△BCG＝S四边形DFGE；故②正确，
∵△BCE≌△CDF，
∴∠DCF＝∠EBC，
∵∠DCF+∠BCG＝90°，
∴∠EBC+∠BCG＝90°，
∴∠BGC＝∠EGC＝90°，
∴△BCG∽△CEG，
∴，
∴CG2＝BG GE；故③正确；
如图，连接EF，
∵点E是CD中点，
∴DE＝CE，
∵△BCE≌△CDF，
∴DF＝CE＝DE，
∴∠DFE＝∠DEF＝45°，
∵∠ADC＝∠EGF＝90°，
∴点D，点E，点G，点F四点共圆，
∴∠DEF＝∠DGF＝45°，故④正确；
综上所述：正确的有①②③④．
故答案为：①②③④．
三、解答题（共8小题，共64分）
17．（6分）计算：|3﹣|+（π﹣2）0﹣（）﹣1．
【分析】先去绝对值，计算零指数幂及负整数指数幂，再根据有理数混合运算计算即可．
【解答】解：原式＝3﹣+1﹣2
＝2﹣．
18．（6分）解方程：
（1）（2x+3）2﹣25＝0
（2）3x2﹣5x+5＝7．
【分析】（1）把常数项25移到方程的右边，运用直接开平方法解方程，注意把2x+3看作一个整体；
（2）可以运用因式分解法解方程．
【解答】解：（1）（2x+3）2＝25，
2x+3＝±5，
2x＝±5﹣3，
x1＝1，x2＝﹣4．
（2）3x2﹣5x﹣2＝0
（x﹣2）（3x+1）＝0，
x1＝2，x2＝﹣．
19．（8分）如图，AB AE＝AD AC，且∠1＝∠2，求证：△ABC∽△ADE．
【分析】由已知条件得到：∠BAC＝∠DAE，＝．则由“两边及夹角法”证得结论．
【解答】证明：如图，∵AB AE＝AD AC，
∴＝．
又∵∠1＝∠2，
∴∠2+∠BAE＝∠1+∠BAE，即∠BAC＝∠DAE，
∴△ABC∽△ADE．
20．（8分）如图，已知反比例函数y＝（k≠0）与正比例函数y＝2x的图象交于A（1，m），B两点．
（1）求该反比例函数的表达式；
（2）若点C在x轴上，且△BOC的面积为3，求点C的坐标．
【分析】（1）先把A（1，m）代入y＝2x中，即可算出点A的坐标，再把点A的坐标代入反比例函数解析式中即可得出答案；
（2）过点B作BD垂直与x轴，垂足为D，设点C的坐标为（a，0），根据反比例函数与正比例函数的性质可得点B的坐标，由题意可得BD＝|﹣2|＝2，OC＝|a|，再根据三角形面积计算方法即可算出a的值，即可得出答案．
【解答】解：（1）把A（1，m）代入y＝2x中，
得m＝2，
∴点A的坐标为（1，2），
把点A（1，2）代入y＝中，
得k＝2，
∴反比例函数的解析式为y＝；
（2）过点B作BD垂直与x轴，垂足为D，
设点C的坐标为（a，0），
∵点A与点B关于原点对称，
∴点B的坐标为（﹣1，﹣2），
∴BD＝|﹣2|＝2，OC＝|a|，
S△BOC＝＝，
解得：a＝3或a＝﹣3，
∴点C的坐标为（3，0）或（﹣3，0）．
21．（8分）已知关于x的一元二次方程（x﹣m）2+2（x﹣m）＝0（m为常数）．
（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根．
（2）若该方程有一个根为4，求m的值．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ＝4＞0，由此即可证出：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）将x＝4代入原方程，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】（1）证明：（x﹣m）2+2（x﹣m）＝0，
原方程可化为x2﹣（2m﹣2）x+m2﹣2m＝0，
∵a＝1，b＝﹣（2m﹣2），c＝m2﹣2m，
∴Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（2m﹣2）]2﹣4（m2﹣2m）＝4＞0，
∴不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：将x＝4代入原方程，得：（4﹣m）2+2（4﹣m）＝0，即m2﹣10m+24＝0，
解得：m1＝4，m2＝6．
故m的值为4或6．
22．（8分）如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2？
【分析】设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm可以得出平行于墙的一边的长为（25﹣2x+1）m．根据矩形的面积公式建立方程求出其解就可以了．
【解答】解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm可以得出平行于墙的一边的长为（25﹣2x+1）m，由题意得
x（25﹣2x+1）＝80，
化简，得x2﹣13x+40＝0，
解得：x1＝5，x2＝8，
当x＝5时，26﹣2x＝16＞12（舍去），当x＝8时，26﹣2x＝10＜12，
答：所围矩形猪舍的长为10m、宽为8m．
23．（10分）直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件．
（1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？
（2）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元．为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（1）中的售价，则该商品至少需打几折销售？
【分析】（1）根据日利润＝每件利润×日销售量，可求出售价为60元时的原利润，设售价应定为x元，则每件的利润为（x﹣40）元，日销售量为20+＝（140﹣2x）件，根据日利润＝每件利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；
（2）设该商品需要打a折销售，根据销售价格不超过50元，列出不等式求解即可．
【解答】解：（1）设售价应定为x元，则每件的利润为（x﹣40）元，日销售量为20+＝（140﹣2x）件，
依题意，得：（x﹣40）（140﹣2x）＝（60﹣40）×20，
整理，得：x2﹣110x+3000＝0，
解得：x1＝50，x2＝60（舍去）．
答：售价应定为50元；
（2）该商品需要打a折销售，
由题意，得，62.5×≤50，
解得：a≤8，
答：该商品至少需打8折销售．
24．（10分）已知在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4．点Q是线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交线段AB（如图1）或线段AB的延长线（如图2）于点P．
（1）当点P在线段AB上时，求证：△AQP∽△ABC；
（2）当△PQB为等腰三角形时，求AP的长．
【分析】（1）由两对角相等（∠APQ＝∠C，∠A＝∠A），证明△AQP∽△ABC；
（2）当△PQB为等腰三角形时，有两种情况，需要分类讨论．
（I）当点P在线段AB上时，如题图1所示．由三角形相似（△AQP∽△ABC）关系计算AP的长；
（II）当点P在线段AB的延长线上时，如题图2所示．利用角之间的关系，证明点B为线段AP的中点，从而可以求出AP．
【解答】（1）证明：∵PQ⊥AQ，
∴∠AQP＝90°＝∠ABC，
在△APQ与△ABC中，
∵∠AQP＝90°＝∠ABC，∠A＝∠A，
∴△AQP∽△ABC．
（2）解：在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，由勾股定理得：AC＝5．
∵∠QPB为钝角，
∴当△PQB为等腰三角形时，
（I）当点P在线段AB上时，如题图1所示．
∵∠QPB为钝角，
∴当△PQB为等腰三角形时，只可能是PB＝PQ，
由（1）可知，△AQP∽△ABC，
∴，即，解得：PB＝，
∴AP＝AB﹣PB＝3﹣＝；
（II）当点P在线段AB的延长线上时，如题图2所示．
∵∠QBP为钝角，
∴当△PQB为等腰三角形时，只可能是PB＝BQ．
∵BP＝BQ，∴∠BQP＝∠P，
∵∠BQP+∠AQB＝90°，∠A+∠P＝90°，
∴∠AQB＝∠A，
∴BQ＝AB，
∴AB＝BP，点B为线段AP中点，
∴AP＝2AB＝2×3＝6．
综上所述，当△PQB为等腰三角形时，AP的长为或6．
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