2020-2021学年上海市浦东新区建平远翔学校九年级（上）月考数学试卷（10月份）（Word版 含解析）

2020-2021学年上海市浦东新区建平远翔学校九年级（上）月考数学试卷（10月份）
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）抛物线y＝ax2（a＜0）的图象一定经过（　　）
A．第一、二象限 B．第三、四象限
C．第一、三象限 D．第二、四象限
2．（4分）已知二次函数y＝﹣2x2+4x﹣3，如果y随x的增大而增大，那么x的取值范围是（　　）
A．x≤1 B．x≤0 C．x≤﹣1 D．x≤﹣2
3．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，则tanA的值为（　　）
A． B． C． D．
4．（4分）下列说法正确的是（　　）
A．半圆是弧
B．过圆心的线段是直径
C．弦是直径
D．长度相等的两条弧是等弧
5．（4分）如图，在△ABC中，AC和AB边上的高BD、CE相交于O，下列结论错误的是（　　）
A．CO CE＝CD CA B．OE OC＝OD OB
C．AD AC＝AE AB D．CO DO＝BO EO
6．（4分）下列关于圆的说法中，错误的是（　　）
A．半径、圆心角分别相等的两段弧一定是等弧
B．如果两条弦相等，那么这两条弦所对的圆心角相等
C．圆的对称轴是任意一条直径所在的直线
D．拱形不一定是弓形
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）计算：＝　 　．
8．（4分）抛物线y＝3x2﹣1的顶点坐标为　 　．
9．（4分）函数的定义域是 　 　．
10．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD边的中点，若，，则＝　 　．（结果用、表示）
11．（4分）已知斜坡坡度为3：4，如果斜坡长为100米，那么斜坡的高为 　 　米．
12．（4分）已知点G是△ABC的重心，若S△ABC＝k S△GBC，则k＝　 　．
13．（4分）抛物线y＝a（x﹣2）2+c的图象与x轴交于A、B两点，若A的坐标为（1，0），则点B的坐标为 　 　．
14．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，点E是边BC上的黄金分割点，且BE＞CE，AE与BD相交于点F．那么BF：FD的值为　 　．
15．（4分）如图，已知CD是圆O的直径，E是圆上一点且∠EOD＝45°，A是DC延长线上一点，AE与圆O交于点B，若AB＝OC，则∠EAD＝　 　．
16．（4分）如图，矩形ABCD与圆心在AB上的⊙O交于点G、B、F、E，GB＝8cm，AG＝1cm，DE＝2cm，则EF＝　 　cm．
17．（4分）如图，点A、B、C在半径为2的⊙O上，四边形OABC是菱形，那么由和弦BC所组成的弓形面积是　 　．
18．（4分）如图，在等边△ABC内有一点D，AD＝5，BD＝6，CD＝4，将△ABD绕A点逆时针旋转，使AB与AC重合，点D旋转至点E，则∠DCE的余弦值为 　 　．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算：|1﹣sin30°|+cot30° tan60°+．
20．（10分）如图，已知点E在平行四边形ABCD的边AD上，AE＝3ED，延长CE到点F，使得EF＝CE，设＝，＝，试用、分别表示向量和．
21．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥AB于点A，交BC边于点E，过点C作BC的垂线交AE的延长线于点D．
（1）求证：△ACE∽△ADC；
（2）当CE＝1，CD＝2，求AD的长．
22．（10分）在建筑楼梯时，设计者要考虑楼梯的安全程度，如图（1），虚线为楼梯的倾斜度，斜度线与地面的夹角为倾角θ，一般情况下，倾角越小，楼梯的安全程度越高；如图（2）设计者为了提高楼梯的安全程度，要把楼梯的倾角θ1减至θ2，这样楼梯所占用地板的长度由d1增加到d2，已知d1＝4米，∠θ1＝40°，∠θ2＝36°，楼梯占用地板的长度增加了多少米？（计算结果精确到0.01米，参考数据：tan40°＝0.839，tan36°＝0.727）
23．（12分）在△ABC中，D是BC的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，与AB相交于点E，EC与AD相交于点F．
（1）求证：△ABC∽△FCD；
（2）若DE＝3，BC＝8，求△FCD的面积．
24．（12分）平面直角坐标系xOy（如图），抛物线y＝﹣x2+2mx+3m2（m＞0）与x轴交于点A、B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点为D，对称轴为直线l，过点C作直线l的垂线，垂足为点E，联结DC、BC．
（1）当点C（0，3）时，
①求这条抛物线的表达式和顶点坐标；
②求证：∠DCE＝∠BCE；
（2）当CB平分∠DCO时，求m的值．
25．（14分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝4，P是斜边AB上的一个动点，PD⊥AB，交边AC于点D（点D与点A、C都不重合），E是射线DC上一点，且∠EPD＝∠A．设A、P两点的距离为x，△BEP的面积为y．
（1）求证：AE＝2PE；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）当△BEP与△ABC相似时，求△BEP的面积．
2020-2021学年上海市浦东新区建平远翔学校九年级（上）月考数学试卷（10月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）抛物线y＝ax2（a＜0）的图象一定经过（　　）
A．第一、二象限 B．第三、四象限
C．第一、三象限 D．第二、四象限
【分析】根据二次项系数小于0，二次函数图象开口向下解答．
【解答】解：∵a＜0，
∴抛物线y＝ax2的图象经过坐标原点，且开口方向向下，
∴一定经过第三、四象限．
故选：B．
2．（4分）已知二次函数y＝﹣2x2+4x﹣3，如果y随x的增大而增大，那么x的取值范围是（　　）
A．x≤1 B．x≤0 C．x≤﹣1 D．x≤﹣2
【分析】先求出抛物线的对称轴，再根据二次函数的性质解答即可．
【解答】解：抛物线的对称轴为：x＝﹣＝﹣＝1，
∵a＝﹣2，
∴抛物线的开口向下，
∴当x≤1时，y随x的增大而增大，
故选：A．
3．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，则tanA的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据勾股定理求出AC，根据正切的定义解答即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，
由勾股定理得，AC＝＝＝3，
则tanA＝＝，
故选：D．
4．（4分）下列说法正确的是（　　）
A．半圆是弧
B．过圆心的线段是直径
C．弦是直径
D．长度相等的两条弧是等弧
【分析】利用圆的有关定义分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、半圆是弧，正确，符合题意；
B、过圆心的弦是直径，故原命题错误，不符合题意；
C、弦不一定是直径，故原命题错误，不符合题意；
D、长度相等的两条弧不一定是等弧，故原命题错误，不符合题意．
故选：A．
5．（4分）如图，在△ABC中，AC和AB边上的高BD、CE相交于O，下列结论错误的是（　　）
A．CO CE＝CD CA B．OE OC＝OD OB
C．AD AC＝AE AB D．CO DO＝BO EO
【分析】由BD、CE是△ABC的高，利用两组对应角相等，易证△AEC∽△ADB、△EOB∽△DOC、△ABD∽△ACE，根据相似三角形中对应边成比例易得出只有D是错误的．
【解答】解：∵CE⊥AB，BD⊥AC，
又∠BOE＝∠COD，
∴△BOE∽△COD，
∴OE OC＝OD OB，故选项B结论正确；
又∵∠A＝∠A，
∴△ABD∽△ACE，
∴AD AC＝AE AB，故选项C结论正确；
又∵∠DCO＝∠ECA，
∴△DCO∽△ECA，
∴CO CE＝CD AC，故选项A结论正确；
故D选项结论不正确．
故选：D．
6．（4分）下列关于圆的说法中，错误的是（　　）
A．半径、圆心角分别相等的两段弧一定是等弧
B．如果两条弦相等，那么这两条弦所对的圆心角相等
C．圆的对称轴是任意一条直径所在的直线
D．拱形不一定是弓形
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系对A、B进行判断；根据过圆心的直线都为圆的对称轴可对B进行判断；根据拱形与弓形的定义对D进行判断．
【解答】解：A．半径、圆心角分别相等的两段弧一定是等弧，所以A选项不符合题意；
B．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么这两条弦所对的圆心角相等，所以B选项符合题意；
C．圆的对称轴是任意一条直径所在的直线，所以C选项不符合题意；
D．拱形加上跨度为弓形，所以D选项不符合题意．
故选：B．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）计算：＝　　．
【分析】先去括号，然后合并同类项．
【解答】解：
＝﹣+
＝．
故答案是：．
8．（4分）抛物线y＝3x2﹣1的顶点坐标为　（0，﹣1）　．
【分析】根据形如y＝ax2+k的顶点坐标为（0，k），据此可以直接求顶点坐标．
【解答】解：∵抛物线的解析式为y＝3x2﹣1，
∴其顶点坐标为（0，﹣1）．
故答案为：（0，﹣1）．
9．（4分）函数的定义域是 　0≤x＜5　．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，就不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：x≥0且5﹣x＞0，
解得：0≤x＜5，
故答案为：0≤x＜5．
10．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD边的中点，若，，则＝　　．（结果用、表示）
【分析】根据平行四边形对边相等的性质可得出，，继而根据＝﹣可得出答案．
【解答】解：∵AB＝CD，AD＝BC，点E、F分别是边BC、CD边的中点，
∴＝﹣，＝﹣，
∴＝﹣＝﹣．
故答案为：﹣．
11．（4分）已知斜坡坡度为3：4，如果斜坡长为100米，那么斜坡的高为 　60　米．
【分析】设斜坡的高3x米，根据坡度的概念用x表示出水平宽度，根据勾股定理计算即可．
【解答】解：设斜坡的高3x米，
∵斜坡坡度为3：4，
∴水平宽度为4x米，
由勾股定理得，（3x）2+（4x）2＝1002，
解得，x＝20，
即斜坡的高为3×20＝60（米），
故答案为：60．
12．（4分）已知点G是△ABC的重心，若S△ABC＝k S△GBC，则k＝　3　．
【分析】根据题意，画出图形，三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍，再结合三角形的面积公式求解．
【解答】解：如图，三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍，
AG：GD＝2：1，
∴S△ABG＝2S△BGD，
S△CAG＝2S△CGD，
∴△BGC的面积为△ABC的面积的，
∴S△ABC＝3S△GBC．
故答案为：3．
13．（4分）抛物线y＝a（x﹣2）2+c的图象与x轴交于A、B两点，若A的坐标为（1，0），则点B的坐标为 　（3，0）　．
【分析】用二次函数的图象与x轴的交点关于对称轴对称解答即可．
【解答】解：∵抛物线的解析式y＝a（x﹣2）2+c，
∴抛物线的对称轴方程为直线x＝2，
∵抛物线y＝a（x﹣2）2+c与x轴交于A、B两点，
∴点A和点B关于直线x＝2对称，
∵点A的坐标为（1，0），
∴点B的坐标为（3，0），
故答案为（3，0）．
14．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，点E是边BC上的黄金分割点，且BE＞CE，AE与BD相交于点F．那么BF：FD的值为　　．
【分析】由平行四边形的性质可证△BEF∽△DAF，再根据相似三角形的性质得BE：DA＝BF：DF，再根据点E是边BC上的黄金分割点，得出BE：BC的值，即可求出结果．
【解答】解：ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，BC＝AD
∴△BEF∽△DAF
∴BE：DA＝BF：DF
∵BC＝AD
∴BF：DF＝BE：BC，
∵点E是边BC上的黄金分割点，
∴BE：BC＝，
∴BF：FD＝．
故答案为：．
15．（4分）如图，已知CD是圆O的直径，E是圆上一点且∠EOD＝45°，A是DC延长线上一点，AE与圆O交于点B，若AB＝OC，则∠EAD＝　15°　．
【分析】由AB＝OC得到AB＝BO，则∠EAD＝∠2，而∠1＝∠E，因此∠EOD＝3∠A＝45°，即可求出∠EAD．
【解答】解：连OB，如图，
∵AB＝OC，OB＝OC，
∴AB＝BO，
∴∠EAD＝∠2，
∴∠1＝∠EAD+∠2＝2∠EAD，
又∵OE＝OB，
∴∠1＝∠E，
又∵∠1＝∠2+∠EAD＝2∠EAD，
∴∠E＝2∠EAD，
∴∠EOD＝3∠EAD＝45°，
∴∠EAD＝15°．
故答案为：15°．
16．（4分）如图，矩形ABCD与圆心在AB上的⊙O交于点G、B、F、E，GB＝8cm，AG＝1cm，DE＝2cm，则EF＝　6　cm．
【分析】过O作OW⊥CD，垂足为W，求出DW、EW，再根据垂径定理即可求出EF的长．
【解答】解：作OW⊥CD，交CD于点W，
则四边形OWDA，OWCB都是矩形，
∵GB＝8，
∴OG＝OB＝BG＝4cm，
∵AG＝1，
∴OA＝DW＝5，
∵DE＝2，
∴EW＝3，
∵OW⊥EF，
∴EW＝WF，
∴EF＝2EW＝6cm．
17．（4分）如图，点A、B、C在半径为2的⊙O上，四边形OABC是菱形，那么由和弦BC所组成的弓形面积是　　．
【分析】连接OB和AC交于点D，根据菱形及直角三角形的性质先求出AC的长及∠AOC的度数，然后求出菱形ABCO及扇形AOC的面积，则由和弦BC所组成的弓形面积＝（S扇形AOC﹣S菱形ABCO）．
【解答】解：连接OB和AC交于点D，如图所示：
∵圆的半径为2，
∴OB＝OA＝OC＝2，
又四边形OABC是菱形，
∴OB⊥AC，OD＝OB＝1，
在Rt△COD中利用勾股定理可知：CD＝＝，AC＝2CD＝2，
∵sin∠COD＝＝，
∴∠COD＝60°，∠AOC＝2∠COD＝120°，
∴S菱形ABCO＝OB×AC＝×2×2＝2，
S扇形AOC＝＝，
则由和弦BC所组成的弓形面积＝（S扇形AOC﹣S菱形ABCO）＝（﹣2）＝．
故答案为：．
18．（4分）如图，在等边△ABC内有一点D，AD＝5，BD＝6，CD＝4，将△ABD绕A点逆时针旋转，使AB与AC重合，点D旋转至点E，则∠DCE的余弦值为 　　．
【分析】由旋转的性质得：AE＝DE＝AE＝5，CE＝BD＝6，过点E作EH⊥CD，垂足为H．设DH＝x，则CH＝4﹣x．由勾股定理得出 62﹣（4﹣x）2＝52﹣x2，求出DH，CH的长，由锐角三角函数的定义可得出答案．
【解答】解：由旋转的性质得：AE＝DE＝AE＝5，CE＝BD＝6，
过点E作EH⊥CD，垂足为H．
设DH＝x，则CH＝4﹣x．
由勾股定理得：EH2＝CE2﹣CH2＝DE2﹣DH2，
即 62﹣（4﹣x）2＝52﹣x2，
解得：x＝，
∴DH＝，CH＝4﹣，
∴cos∠DCE＝．
故答案为：．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算：|1﹣sin30°|+cot30° tan60°+．
【分析】利用特殊角的三角函数值及二次根式的混合运算的顺序求解即可．
【解答】解：|1﹣sin30°|+cot30° tan60°+．
＝|1﹣|+××+，
＝++，
＝﹣2．
20．（10分）如图，已知点E在平行四边形ABCD的边AD上，AE＝3ED，延长CE到点F，使得EF＝CE，设＝，＝，试用、分别表示向量和．
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得＝＝，＝＝，又由AE＝3ED，即可求得与的长，然后由三角形法则，求得向量和．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴＝＝，＝＝，
∵AE＝3ED，
∴＝＝，＝＝，
∴＝﹣＝﹣；
∵EF＝CE，
∴＝＝﹣，
∴＝+＝+﹣＝+．
21．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥AB于点A，交BC边于点E，过点C作BC的垂线交AE的延长线于点D．
（1）求证：△ACE∽△ADC；
（2）当CE＝1，CD＝2，求AD的长．
【分析】（1）先根据等角的余角相等得到∠B＝∠D，再证明∠ACE＝∠D，加上公共角，则可判定△ACE∽△ADC；
（2）利用相似三角形的性质得到＝＝，则AD＝2AC，AC＝2AE，所以AD＝4AE，DE＝3AE，然后利用勾股定理计算出DE，从而得到AD的长．
【解答】（1）证明：∵AD⊥AB，DC⊥BC，
∴∠BAD＝90°，∠DCE＝90°，
∵∠AEB＝∠DEC，
∴∠B＝∠D，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACE，
∴∠ACE＝∠D，
又∠EAC＝∠CAD，
∴△ACE∽△ADC；
（2）解：∵△ACE∽△ADC，
∴＝＝＝，
∴AD＝2AC，AC＝2AE，
∴AD＝4AE，
∴DE＝3AE，
在Rt△CDE中，DE＝＝＝，
∴AE＝DE＝，
∴AD＝4AE＝．
22．（10分）在建筑楼梯时，设计者要考虑楼梯的安全程度，如图（1），虚线为楼梯的倾斜度，斜度线与地面的夹角为倾角θ，一般情况下，倾角越小，楼梯的安全程度越高；如图（2）设计者为了提高楼梯的安全程度，要把楼梯的倾角θ1减至θ2，这样楼梯所占用地板的长度由d1增加到d2，已知d1＝4米，∠θ1＝40°，∠θ2＝36°，楼梯占用地板的长度增加了多少米？（计算结果精确到0.01米，参考数据：tan40°＝0.839，tan36°＝0.727）
【分析】根据在Rt△ACB中，AB＝d1tanθ1＝4tan40°，在Rt△ADB中，AB＝d2tanθ2＝d2tan36°，即可得出d2的值，进而求出楼梯占用地板增加的长度．
【解答】解：由题意可知可得，∠ACB＝∠θ1，∠ADB＝∠θ2
在Rt△ACB中，AB＝d1tanθ1＝4tan40°，
在Rt△ADB中，AB＝d2tanθ2＝d2tan36°，
得4tan40°＝d2tan36°，
∴d2＝，
∴d2﹣d1＝4.616﹣4＝0.616≈0.62，
答：楼梯占用地板的长度约增加了0.62米．
23．（12分）在△ABC中，D是BC的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，与AB相交于点E，EC与AD相交于点F．
（1）求证：△ABC∽△FCD；
（2）若DE＝3，BC＝8，求△FCD的面积．
【分析】（1）由DE⊥BC，D是BC的中点，根据线段垂直平分线的性质，可得BE＝CE，又由AD＝AC，易得∠B＝∠DCF，∠FDC＝∠ACB，即可证得△ABC∽△FCD；
（2）首先过A作AG⊥CD，垂足为G，易得△BDE∽△BGA，可求得AG的长，继而求得△ABC的面积，然后由相似三角形面积比等于相似比的平方，求得△FCD的面积．
【解答】（1）证明：∵D是BC的中点，DE⊥BC，
∴BE＝CE，
∴∠B＝∠DCF，
∵AD＝AC，
∴∠FDC＝∠ACB，
∴△ABC∽△FCD；
（2）解：过A作AG⊥CD，垂足为G．
∵AD＝AC，
∴DG＝CG，
∴BD：BG＝2：3，
∵ED⊥BC，
∴ED∥AG，
∴△BDE∽△BGA，
∴ED：AG＝BD：BG＝2：3，
∵DE＝3，
∴AG＝，
∵△ABC∽△FCD，BC＝2CD，
∴＝（）2＝．
∵S△ABC＝×BC×AG＝×8×＝18，
∴S△FCD＝S△ABC＝．
24．（12分）平面直角坐标系xOy（如图），抛物线y＝﹣x2+2mx+3m2（m＞0）与x轴交于点A、B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点为D，对称轴为直线l，过点C作直线l的垂线，垂足为点E，联结DC、BC．
（1）当点C（0，3）时，
①求这条抛物线的表达式和顶点坐标；
②求证：∠DCE＝∠BCE；
（2）当CB平分∠DCO时，求m的值．
【分析】（1）①把C点坐标代入y＝﹣x2+2mx+3m2可求出m的值，从而得到抛物线解析式，然后把一般式配成顶点式得到D点坐标；
②如图1，先解方程﹣x2+2x+3＝0得B（3，0），则可判断△OCB为等腰直角三角形得到∠OBC＝45°，再证明△CDE为等腰直角三角形得到∠DCE＝45°，从而得到∠DCE＝∠BCE；
（2）抛物线的对称轴交x轴于F点，交直线BC于G点，如图2，把一般式配成顶点式得到抛物线的对称轴为直线x＝m，顶点D的坐标为（m，4m2），通过解方程﹣x2+2mx+3m2＝0得B（3m，0），同时确定C（0，3m2），再利用相似比表示出GF＝2m2，则DG＝2m2，接着证明∠DCG＝∠DGC得到DC＝DG，所以m2+（4m2﹣3m2）2＝4m4，然后解方程可求出m．
【解答】（1）解：①把C（0，3）代入y＝﹣x2+2mx+3m2得3m2＝3，解得m1＝1，m2＝﹣1（舍去），
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点D为（1，4）；
②证明：如图1，当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，则B（3，0），
∵OC＝OB，
∴△OCB为等腰直角三角形，
∴∠OBC＝45°，
∵CE⊥直线x＝1，
∴∠BCE＝45°，
∵DE＝1，CE＝1，
∴△CDE为等腰直角三角形，
∴∠DCE＝45°，
∴∠DCE＝∠BCE；
（2）解：抛物线的对称轴交x轴于F点，交直线BC于G点，如图2，
y＝﹣x2+2mx+3m2＝﹣（x﹣m）2+4m2，
∴抛物线的对称轴为直线x＝m，顶点D的坐标为（m，4m2），
当y＝0时，﹣x2+2mx+3m2＝0，解得x1＝﹣m，x2＝3m，则B（3m，0），
当x＝0时，y＝﹣x2+2mx+3m2＝3m2，则C（0，3m2），
∵GF∥OC，
∴＝，即＝，解得GF＝2m2，
∴DG＝4m2﹣2m2＝2m2，
∵CB平分∠DCO，
∴∠DCB＝∠OCB，
∵∠OCB＝∠DGC，
∴∠DCG＝∠DGC，
∴DC＝DG，
即m2+（4m2﹣3m2）2＝4m4，
∴m2＝，
而m＞0，
∴m＝．
25．（14分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝4，P是斜边AB上的一个动点，PD⊥AB，交边AC于点D（点D与点A、C都不重合），E是射线DC上一点，且∠EPD＝∠A．设A、P两点的距离为x，△BEP的面积为y．
（1）求证：AE＝2PE；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）当△BEP与△ABC相似时，求△BEP的面积．
【分析】（1）先由已知条件判断出△ADP∽△ABC，由相似三角形的对应边成比例即可得出＝＝，再由∠EPD＝∠A，∠PED＝∠AEP可知△EPD∽△EAP，再根据其对应边成比例即可求出答案；
（2）由△EPD∽△EAP，得＝＝，进而可得出AE与DE的关系，作EH⊥AB，垂足为点H，由PD∥HE可得出＝＝，进而可得出y与x的关系式；
（3）由△PEH∽△BAC，得＝，当△BEP与△ABC相似时，只有两种情形：∠BEP＝∠C＝90°或∠EBP＝∠C＝90°，由相似三角形的对应边成比例即可得出答案．
【解答】解：（1）∵∠APD＝∠C＝90°，∠A＝∠A，
∴△ADP∽△ABC，（1分）
∴＝＝，（1分）
∵∠EPD＝∠A，∠PED＝∠AEP，
∴△EPD∽△EAP．
∴＝＝．（1分）
∴AE＝2PE．（1分）
（2）由△EPD∽△EAP，得＝＝，
∴PE＝2DE，（1分）
∴AE＝2PE＝4DE，（1分）
作EH⊥AB，垂足为点H，
∵AP＝x，
∴PD＝x，
∵PD∥HE，
∴＝＝．
∴HE＝x．（1分）
又∵AB＝2，y＝（2﹣x） x，即y＝﹣x2+x．（1分）
∵点D是AC上一点，
∴AD＜4，AP＝2PD，
∴AP＜，
定义域是0＜x＜．（1分）
另解：由△EPD∽△EAP，得＝＝，
∴PE＝2DE．（1分）
∴AE＝2PE＝4DE．（1分）
∴AE＝×x＝x，（1分）
∴S△ABE＝×x×2＝x，
∴＝，即＝，
∴y＝﹣x2+x．（1分）
定义域是0＜x＜．（1分）
（3）由△PEH∽△BAC，得＝，
∴PE＝x ＝x．（1分）
当△BEP与△ABC相似时，只有两种情形：∠BEP＝∠C＝90°或∠EBP＝∠C＝90°．
（i）当∠BEP＝90°时，＝，
∴＝．
解得x＝．（1分）
∴y＝﹣x××5+×＝．（1分）
（ii）当∠EBP＝90°时，同理可得x＝，（1分）
y＝．（1分）