2021-2022学年北师大版七年级数学上册4.2比较线段的长短 解答题专题训练（Word版含答案）

2021-2022学年北师大版七年级数学上册《4.2比较线段的长短》解答题专题训练（附答案）
1．如图，在四边形ABCD内找一点O，使它到四边形四个顶点的距离的和（OA+OB+OC+OD）最小，并说出理由．
2．（1）如图1，从A到C有两条路，你会选择哪条？请说明理由．
（2）如图2，从A到C还是有两条路，这次你会选择哪条，请说明理由．
3．如图，A，B，C，D四个村庄准备合建一个自来水水池，要求由水池向四村铺设的水管最省，设计人员建议最好把水池建在AC，BD的交点P处，你能解释其中的道理吗？
4．如图，点C为线段AB的中点，点E为线段AB上的点，点D为线段AE的中点，若AB＝15，CE＝4.5，求出线段AD的长度．
5．如图，点C在线段AB上，AC＝6cm，CB＝4cm，点M、N分别是AC、BC的中点．
（1）求线段MN的长；
（2）若C为线段AB上任一点，满足AC＝acm，CB＝bcm，点M、N分别是AC、BC的中点，猜想：MN＝　 　cm．
（3）若C在线段AB的延长线上，且满足AC＝acm，CB＝bcm（a＞b），点M、N分别为AC、BC的中点，猜想：MN＝　 　cm．
6．已知：如图，点C为线段AB的中点，点E为线段AB上的点，点D为线段AE的中点，若线段AB＝15，CE＝4.5，求线段BE、DE的长．
7．如图，已知线段AB＝24cm，延长AB至C，使得BC＝AB，
（1）求AC的长；
（2）若D是AB的中点，E是AC的中点，求DE的长．
8．如图，AB＝10，点C是线段AB的中点，点D是线段CB的中点，求AD的长．
9．如图，已知线段AB，延长线段AB至点C，使BC＝3AB，延长线段BC至点D，使CD＝2AB，点M、N分别是线段AB、CD的中点．
（1）若AD＝12，求线段MN的长．
（2）若MN＝a，请直接写出线段AD的长．
10．如图，已知DB＝2，AC＝10，点D为线段AC的中点，求线段BC的长度．
11．如图，已知C，D是线段AB上的两点，AC：AB＝1：3，CD＝2DB．
（1）图中以点A，B，C，D中任意两点为端点的线段共有　 　条；
（2）设BD＝6cm，求AD的长．
12．如图，C是线段AB上的一点，N是线段BC的中点．若AB＝12，AC＝8，求AN的长．
13．如图，点C在线段AB上，D是线段AC的中点，E是线段BC的中点．
①若AC＝8，BC＝3，求DE；
②若DE＝5，求AB．
14．已知A，B，C三点在同一条直线上，AB＝80cm，BC＝AB，E是AC的中点，求BE的长．
15．如图，点M是AB的中点，点N是BD的中点，AB＝8cm，BC＝12cm，CD＝6cm．
（1）求BM的长；
（2）求AN的长．
16．如图，已知B、C在线段AD上．
（1）图中共有 　 　条线段；
（2）若AB＝CD．
①比较线段的大小：AC　 　BD（填：“＞”、“＝”或“＜”）；
②若BD＝4AB，BC＝12cm，求AD的长．
17．已知：如图1，M是定长线段AB上一定点，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、3cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上）
（1）若AB＝10cm，当点C、D运动了2s，求AC+MD的值．
（2）若点C、D运动时，总有MD＝3AC，直接填空：AM＝　 　AB．
（3）在（2）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN，求的值．
18．如图，C是线段AB上一点，M是AC的中点，N是BC的中点
（1）若AM＝1，BC＝4，求MN的长度．
（2）若AB＝6，求MN的长度．
19．如图已知点C为AB上一点，AC＝12cm，CB＝AC，D、E分别为AC、AB的中点，求DE的长．
20．根据下列语句画图并计算．
（1）作线段AB，在线段AB的延长线上取点C，使BC＝2AB，M是BC的中点，若AB＝20厘米，求BM的长．
（2）作线段AB，在线段AB的延长线上取点C，使BC＝2AB，M是AC的中点，若AB＝20厘米，求BM的长．
21．如图，AD＝DB，E是BC的中点，BE＝AC＝2cm，求线段DE的长．
22．如图，线段AB，C是线段AB上一点，M是AB的中点，N是AC的中点．
（1）若AB＝8cm，AC＝3.2cm，求线段MN的长；
（2）若BC＝a，试用含a的式子表示线段MN的长．
23．如图①，已知点M是线段AB上一点，点C在线段AM上，点D在线段BM上，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、3cm/s的速度沿直线BA运动，运动方向如箭头所示．
（1）若AB＝10cm，2＜AM＜4，当点C、D运动了2s，求AC+MD的值．
（2）若点C、D运动时，总有MD＝3AC，则：AM＝　 　AB．
（3）如图②，若AM＝AB，点N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN，求的值．
参考答案
1．解：要使OA+OB+OC+OD最小，则点O是线段AC、BD的交点．
理由如下：如果存在不同于点O的交点P，连接PA、PB、PC、PD，那么PA+PC＞AC，
即PA+PC＞OA+OC，
同理，PB+PD＞OB+OD，
∴PA+PB+PC+PD＞OA+OB+OC+OD，
即点O是线段AC、BD的交点时，OA+OB+OC+OD之和最小．
2．解：（1）选择线段AC这条路，理由：两点之间线段最短，即AB+BC＞AC；
（2）选择AD+DC这条路，理由：
如图2，延长AD交BC于点E，
由两点之间线段最短可得，AB+BE＞AE，DE+EC＞DC，
∴AB+BE+DE+EC＞AE+DC，
即AB+BE+EC+DE＞AD+DE+DC，
∴AB+BC＞AD+DC，
∴选择AD+DC这条路．
3．解：如图所示：水池应该建在点P处，
运用的数学道理是：两点之间线段最短．
4．解：∵点C为线段AB的中点，AB＝15，
∴，
∴BE＝BC﹣CE＝7.5﹣4.5＝3，
AE＝AB﹣BE＝15﹣3＝12，
∵点D为线段AE的中点，
∴．
5．解：（1）∵AC＝6cm，点M是AC的中点，
∴CM＝AC＝3cm，
∵CB＝4cm，点N是BC的中点，
∴CN＝BC＝2cm，
∴MN＝CM+CN＝5cm，
∴线段MN的长度为5cm；
（2）∵AC＝acm，点M是AC的中点，
∴CM＝AC＝acm，
∵CB＝bcm，点N是BC的中点，
∴CN＝BC＝bcm，
∴MN＝CM+CN＝a+b＝（a+b）cm，
∴线段MN的长度为（a+b）cm，
故答案为：（a+b）；
（3）当点C在线段AB的延长线时，如图：
则AC＞BC，
∵M是AC的中点，
∴CM＝AC＝acm，
∵点N是BC的中点，
∴CN＝BC＝bcm，
∴MN＝CM﹣CN＝（AC﹣BC）＝（a﹣b）cm，
故答案为：（a﹣b）．
6．解：∵C为AB中点，
∴BC＝AB＝＝7.5，
∵CE＝4.5，
∴BE＝3．
∴AE＝AB﹣BE＝15﹣3＝12，
∵D为AE中点，
∴DE＝AE＝×12＝6．
7．解：（1）∵BC＝AB，AB＝24cm，
∴BC＝×24cm＝12cm，
∴AC＝AB+BC＝36cm；
（2）∵D是AB的中点，E是AC的中点，
∴AD＝AB＝12cm，AE＝AC＝18cm，
∴DE＝18cm﹣12cm＝6cm．
8．解：∵AB＝10，点C是AB的中点，
∴AC＝CB＝AB＝×10＝5，
∵点D是线段CB的中点，
∴CD＝BC＝×5＝2.5，
∴AD＝AC+CD＝5+2.5＝7.5．
答：线段AD的长为7.5．
9．解：（1）如图所示：
∵BC＝3AB，CD＝2AB，
∴AD＝AB+BC+CD＝AB+3AB+2AB＝6AB＝12，
∴AB＝2，BC＝6，CD＝4，
∵M、N分别是线段AB、CD的中点，
∴MB＝AB＝1，CN＝CD＝×4＝2，
∴MN＝MB+BC+CN＝1+6+2＝9；
（2）∵MN＝MB+BC+CN＝AB+3AB+AB＝AB＝m，
∴AB＝m，
∴AD＝6AB＝6×m＝m．
10．解：∵AC＝10，点D为线段AC的中点，
∴DC＝AD＝AC＝×10＝5，
∴BC＝DC﹣DB＝5﹣2＝3，
故BC的长度为3．
11．（1）线段有：AC，AD，AB，CD，CB，DB共6条，
故答案为：6．
（2）∵BD＝6cm，
∴CD＝2DB＝12（cm），
∴CB＝CD+DB＝12+6＝18（cm），
∵AC：AB＝1：3，
∴AC＝，
∴CB＝，
∴AB＝27（cm），
∴AC＝AB＝×27＝9（cm），
AD＝AC+CD＝9+12＝21（cm）．
故答案为：21cm．
12．解：∵AB＝12，AC＝8，
∴BC＝AB﹣AC＝12﹣8＝4，
∵N是线段BC的中点，
∴CN＝BC＝×4＝2，
∴AN＝AC+CN＝8+2＝10．
13．解：（1）∵D是线段AC的中点，E是线段BC的中点，
∴CD＝AC＝＝4，CE＝＝＝，
∴DE＝CD+CE＝4＝；
（2）∵DE＝CD+CE，D是线段AC的中点，E是线段BC的中点，
∴AC＝2CD，BC＝2CE，
∴AB＝AC+BC＝2CD+2CE＝2（CD+CE）＝2DE＝2×5＝10．
14．解：根据题意可知AB＝80cm，BC＝AB，
∴BC＝×80＝60（cm），
当点C在点B的左侧时，
AC＝AB﹣BC＝80﹣60＝20（cm），
∵E是AC的中点，
∴EC＝AE＝AC＝×20＝10（cm），
BE＝BC+EC＝60+10＝70（cm）；
当点C在点B的右侧时，
AC＝AB+BC＝80+60＝140（cm），
∵E是AC的中点，
∴EC＝AE＝AC＝×140＝70（cm），
BE＝EC﹣BC＝70﹣60＝10（cm）；
综上所述，BE的长为70cm或10cm．
15．解：（1）∵点M是AB的中点，
∴BM＝AM＝AB＝×8＝4（cm），
（2）∵点N是BD的中点，
∴BN＝DN＝BD＝×（12+6）＝9（cm），
∴AN＝AB+BN＝8+9＝17（cm）．
16．解：（1）图中有线段：AB、BC、CD、AC、BD、AD，共6条，
故答案为：6．
（2）①∵AB＝CD，
∴AB+BC＝CD+BC，
即AC＝BD，
故答案为：＝．
②∵BD＝4AB，AB＝CD，
∴BC＝3AB，
∵BC＝12，
∴AB＝4，
∴AD＝AB+BD
＝4+4×4
＝20（cm），
17．解：（1）当点C、D运动了2s时，CM＝2cm，BD＝6cm
∵AB＝10cm，CM＝2cm，BD＝6cm
∴AC+MD＝AB﹣CM﹣BD＝10﹣2﹣6＝2cm．
（2）设运动时间为t，
则CM＝t，BD＝3t，
∵AC＝AM﹣t，MD＝BM﹣3t，
又MD＝3AC，
∴BM﹣3t＝3AM﹣3t，
即BM＝3AM，
∵BM＝AB﹣AM
∴AB﹣AM＝3AM，
∴AM＝AB，
故答案为：．
（3）当点N在线段AB上时，如图
∵AN﹣BN＝MN，又∵AN﹣AM＝MN
∴BN＝AM＝AB，∴MN＝AB，即．
当点N在线段AB的延长线上时，如图
∵AN﹣BN＝MN，又∵AN﹣BN＝AB
∴MN＝AB，即．综上所述＝
18．解：（1）∵N是BC的中点，M是AC的中点，AM＝1，BC＝4
∴CN＝2，AM＝CM＝1
∴MN＝MC+CN＝3；
（2）∵M是AC的中点，N是BC的中点，AB＝6
∴NM＝MC+CN＝AB＝3．
19．解：根据题意，AC＝12cm，CB＝AC，
所以CB＝8cm，
所以AB＝AC+CB＝20cm，
又D、E分别为AC、AB的中点，
所以DE＝AE﹣AD＝（AB﹣AC）＝4cm．
即DE＝4cm．
故答案为4cm．
20．解：（1）如图所示：
因为BC＝2AB，且AB＝20厘米，所以BC＝40厘米，
又因为M是BC的中点，所以BM＝BC＝20厘米．
（2）如图所示：
BC＝2AB且AB＝20厘米，所以BC＝40厘米，AC＝AB+BC＝60厘米，
又因为M为AC中点，所以AM＝AC＝30厘米，所以BM＝AM﹣AB＝30﹣20＝10厘米．
21．解：由于BE＝AC＝2cm，则AC＝10cm，
∵E是BC的中点，∴BE＝EC＝2cm，BC＝2BE＝2×2＝4cm，
则AB＝AC﹣BC＝10﹣4＝6cm，
又∵AD＝DB，则AB＝AD+DB＝AD+2AD＝3AD＝6cm，AD＝2cm，DB＝4cm，
所以，DE＝AC﹣AD﹣EC＝10﹣2﹣2＝6cm，或DE＝DB+BE＝4+2＝6cm．
故答案为6cm．
22．解：（1）因为AB＝8cm，M是AB的中点，
所以AM＝＝4cm，
又因为AC＝3.2cm，N是AC的中点，
所以AN＝＝1.6cm，
所以MN＝AM﹣AN＝4﹣1.6＝2.4cm；
（2）因为M是AB的中点，
所以AM＝，
因为N是AC的中点，
所以AN＝，
∴MN＝AM﹣AN＝＝＝＝．
23．解：（1）当点C、D运动了2s时，CM＝2cm，BD＝6cm
∵AB＝10cm，CM＝2cm，BD＝6cm
∴AC+MD＝AB﹣CM﹣BD＝10﹣2﹣6＝2cm
（2）∵C，D两点的速度分别为1cm/s，3 cm/s，
∴BD＝3CM．
又∵MD＝3AC，
∴BD+MD＝3CM+3AC，即BM＝3AM，
∴AM＝AB；
（3）当点N在线段AB上时，如图
∵AN﹣BN＝MN，又∵AN﹣AM＝MN
∴BN＝AM＝AB，∴MN＝AB，即．
当点N在线段AB的延长线上时，如图
∵AN﹣BN＝MN，又∵AN﹣BN＝AB
∴MN＝AB，即＝1．综上所述＝或1．