2021-2022学年北师大版七年级数学上册4.4角的比较 同步练习题（Word版含答案）

2021-2022学年北师大版七年级数学上册《4.4角的比较》同步练习题（附答案）
1．如图，OC为∠AOB内的一条射线，下列条件中不能确定OC平分∠AOB的是（　　）
A．∠AOC＝∠BOC B．∠AOC+∠COB＝∠AOB
C．∠AOB＝2∠BOC D．
2．如图OC是∠AOB的平分线，OD是∠COB的平分线，则下列各式正确的是（　　）
A．∠COD＝∠AOC B．∠AOD＝∠AOB
C．∠BOD＝∠AOB D．∠BOC＝∠AOB
3．如图所示，OC是∠AOB的平分线，OD平分∠AOC，且∠COD＝18°，则∠AOB的度数是（　　）
A．18° B．36° C．54° D．72°
4．如图，点O是直线AB上的一点，若∠AOC＝50°，OD平分∠AOC，∠BOE＝90°，下列结果错误的是（　　）
A．∠BOD＝155° B．∠BOC＝130° C．∠COE＝45° D．∠AOD＝25°
5．下列四个说法：
①射线AB和射线BA是同一条射线；②两点之间，线段最短；③38°15'和38.15°相等；④已知三条射线OA，OB，OC，若∠AOC＝∠AOB，则射线OC是∠AOB的平分线．其中正确说法的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，直线MN与直线PQ互相垂直，垂足为O．点A，B分别在直线PQ与直线MN上，AI平分∠OAB，BI平分∠OBA，则∠BIA的大小为（　　）
A．100° B．105° C．120° D．135°
7．如图，射线OQ平分∠POR，OR平分∠QOS，以下结论中正确的是（　　）
①∠POQ＝∠QOR＝∠ROS；②∠POR＝∠QOS；③∠POR＝2∠ROS；④∠POS＝2∠POQ．
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
8．如图所示，∠AOB是平角，OC是射线，OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的角平分线，若∠COE＝28°，则∠AOD的度数为（　　）
A．56° B．62° C．72° D．124°
9．下列说法中，正确的个数有（　　）
①过两点有且只有一条直线；②连接两点的线段叫做两点间的距离；③两点之间，线段最短；④若∠AOC＝2∠BOC，则OB是∠AOC的平分线．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．射线OC在∠AOB内部，下列条件不能说明OC是∠AOB的平分线的是（　　）
A．∠AOC＝∠AOB B．∠BOC＝∠AOB
C．∠AOC+∠BOC＝∠AOB D．∠AOC＝∠BOC
11．如图∠AOB＝60°，射线OC平分∠AOB，以OC为一边作∠COP＝15°，则∠BOP＝（　　）
A．15° B．45° C．15°或30° D．15°或45°
12．如图，∠AOB是平角，∠AOC＝40°，∠BOD＝26°，OM、ON分别是∠AOC，∠BOD的平分线，则∠MON等于（　　）
A．66° B．114° C．147° D．170°
13．如图，把一长方形纸片ABCD的一角沿AE折叠，点D的对应点D'落在∠BAC内部．若∠CAE＝2∠BAD'，且∠CAD'＝15°，则∠DAE的度数为（　　）
A．12° B．24° C．39° D．45°
14．如图，长方形ABCD沿直线EF、EG折叠后，点A和点D分别落在直线l上的点A′和点D′处，若∠1＝30°，则∠2的度数为（　　）
A．30° B．60° C．50° D．55°
15．如图，只用一副三角板可以直接画出150°的角，则下列度数的角只用一副三角板不能直接画出的是（　　）
A．75° B．120° C．135° D．160°
16．用一副三角板不能画出的角是（　　）
A．75° B．105° C．110° D．135°
17．如图，已知∠AOB＝130°，∠COD＝30°，∠COD在∠AOB的内部绕点O任意旋转，若OE平分∠AOC，则∠BOE﹣∠BOD的值为 　 　°．
18．如图，将三个边长相同的正方形的一个顶点重合放置，已知∠1＝38°，∠2＝32°，则∠3＝　 　度．
19．如图，把一副三角板相等的两边重合摆放在一起，∠A＝90°，∠B＝60°，则∠AOB＝　 　度．
20．如图，小明同学在参加“几何小能手”社团活动时，制作了一副与众不同的三角板，用它们可以画出一些特殊的角度．在①9°；②18°；③55°；④117°中，能用这副三角板画出的角度是　 　．（填写序号）
21．如图，OC是∠AOB的平分线，若∠AOB＝140°，∠BOD＝25°，则∠COD＝　 　．
22．如图所示的网格是正方形网格，则∠AOB　 　∠MPN．（填“＞”，“＝”或“＜”）
23．比较大小：52°52′　 　52.52°．（填“＞”、“＜”或“＝”）
24．比较两个角的大小关系：小明用度量法测得∠AOB＝45°，∠COD＝50°；小丽用叠合法比较，将两个角的顶点重合，边OB与OD重合，边OA和OC置于重合边的同侧，则边OA　 　．（填序号：①“在∠COD的内部”；②“在∠COD的外部”；③“与边OC重合”）
25．比较：28°15′　 　28.15°（填“＞”、“＜”或“＝”）．
26．如图，∠AOB＝90°，OD平分∠BOC，∠DOE＝45°，则∠AOE　 　∠COE（填“＜”“＞”或“＝”号）
27．如图所示，图中有　 　个小于平角的角．
28．∠AOB与∠COD有共同的顶点O，其中∠AOB＝∠COD＝60°．
（1）如图①，试判断∠AOC与∠BOD的大小关系，并说明理由；
（2）如图①，若∠BOC＝10°，求∠AOD的度数；
（3）如图①，猜想∠AOD与∠BOC的数量关系，并说明理由；
（4）若改变∠AOB，∠COD的位置，如图②，则（3）的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请直接写出你的猜想．
29．如图，数一数以O为顶点且小于180°的角一共有多少个？你能得到解这类问题的一般方法吗？
30．新定义问题
如图①，已知∠AOB，在∠AOB内部画射线OC，得到三个角，分别为∠AOC、∠BOC、∠AOB．若这三个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线OC为∠AOB的“幸运线”．（本题中所研究的角都是大于0°而小于180°的角．）
【阅读理解】
（1）角的平分线 　 　这个角的“幸运线”；（填“是”或“不是”）
【初步应用】
（2）如图①，∠AOB＝45°，射线OC为∠AOB的“幸运线”，则∠AOC的度数为 　 　；
【解决问题】
（3）如图②，已知∠AOB＝60°，射线OM从OA出发，以每秒20°的速度绕O点逆时针旋转，同时，射线ON从OB出发，以每秒15°的速度绕O点逆时针旋转，设运动的时间为t秒（0＜t＜9）．若OM、ON、OA三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“幸运线”，求出所有可能的t值．
31．如图，O为直线AB上一点，OC为射线，OD，OE分别为∠AOC，∠BOC的平分线．
（1）判断射线OD，OE的位置关系，并说明理由；
（2）若∠AOD＝30°，试说明OC为∠AOE的平分线．
32．如图，射线OB、OC在∠AOD内部，其中OB为∠AOC的三等分线，OE、OF分别平分∠BOD和∠COD，若∠EOF＝14°，请直接写出∠AOC的大小．
33．如图①，已知OE平分∠AOC，OF平分∠BOC．
（1）如果∠AOB＝70°，∠BOC＝30°，则∠EOF＝　 　．
（2）如果∠AOB＝α，∠BOC＝β，那么∠EOF是多少度？
（3）拓展：如图②，已知点E是AC的中点，点D是BC的中点，试判断线段DE与线段AB的数量关系，并说明理由．
34．如图①，已知线段AB＝18cm，CD＝2cm，线段CD在线段AB上运动，E，F分别是AC，BD的中点．
（1）若AC＝4cm，则EF＝　 　cm；
（2）当线段CD在线段AB上运动时，试判断EF的长度是否发生变化？如果不变，请求出EF的长度，如果变化，请说明理由．
（3）a．我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，已知∠COD在∠AOB内部转动，OE，OF分别平分∠AOC和∠BOD，若∠AOB＝140°，∠COD＝40°，求∠EOF．
b．由此，你猜想∠EOF，∠AOB和∠COD会有怎样的数量关系　 　．（直接写出猜想即可）
35．已知∠AOB＝60°，求：
（1）如图1，OC为∠AOB内部任意一条射线，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求∠MON＝　 　；
（2）如图2，当OC旋转到∠AOB的外部时，∠MON的度数会发生变化吗？请说明原因；
（3）如图3，当OC旋转到∠AOB（∠BOC＜120°）的外部且射线OC在OB的下方时，OM平分∠AOC，射线ON在∠BOC内部，∠NOC＝∠BOC，求∠COM﹣∠BON的值？
36．如图，点O在直线AB上，∠COD＝60°，∠AOE＝2∠DOE．
（1）若∠BOD＝60°，求∠COE的度数；
（2）试猜想∠BOD和∠COE的数量关系，并说明理由．
37．如图，已知∠AOB＝120°，OC是∠AOB内的一条射线，且∠AOC：∠BOC＝1：2．
（1）求∠AOC，∠BOC的度数；
（2）作射线OM平分∠AOC，在∠BOC内作射线ON，使得∠CON：∠BON＝1：3，求∠MON的度数；
（3）过点O作射线OD，若2∠AOD＝3∠BOD，求∠COD的度数．
38．已知如图1，线段∠AOB＝40°．
（1）若∠AOC＝∠BOC，则∠BOC＝　 　；
（2）如图2，∠AOC＝20°，OM为∠AOB内部的一条直线，ON是∠MOC四等分线，且3∠CON＝∠NOM，求4∠AON+∠COM的值；
（3）如图3，∠AOC＝20°，射线OM绕着O点从OB开始以5度/秒的速度逆时针旋转一周至OB结束，在旋转过程中，设运动的时间为t，ON是∠MOC四等分线，且3∠CON＝∠NOM，当t在某个范围内4∠AON+∠BOM会为定值，请直接写出定值，并指出对应t的范围（本题中的角均为大于0°且小于180°的角）．
39．阅读下面材料：
数学课上，老师给出了如下问题：
如图1，∠AOB＝80°，OC平分∠AOB，若∠BOD＝20°，请你补全图形，并求∠COD的度数．
以下是小明的解答过程：
解：如图2，因为OC平分∠AOB，∠AOB＝80°，
所以∠BOC＝　 　∠AOB＝　 　°．
因为∠BOD＝20°，
所以∠COD＝　 　＝　 　°．
小静说：“我觉得这个题有两种情况，小明考虑的是OD在∠AOB外部的情况，事实上，OD还可能在∠AOB的内部”．
完成以下问题：
（1）请你将小明的解答过程补充完整；
（2）根据小静的想法，请你在图3中画出另一种情况对应的图形，并求出此时∠COD的度数．
40．如图1，∠AOB＝40°，∠COD＝60°，OM、ON分别为∠AOB和∠BOD的角平分线．
（1）若∠MON＝70°，则∠BOC＝　 　°；
（2）如图2，∠COD从第（1）问中的位置出发，绕点O逆时针以每秒4°的速度旋转；当OC与OA重合时，∠COD立即反向绕点O顺时针以每秒6°的速度旋转，直到OC与OA互为反向延长线时停止运动．整个运动过程中，∠COD的大小不变，OC旋转后的对应射线记为OC′，OD旋转后的对应射线记为OD′，∠BOD′的角平分线记为ON′，∠AOD′的角平分线记为OP．设运动时间为t秒．
①当OC′平分∠BON′时，求出对应的t的值；
②请问在整个运动过程中，是否存在某个时间段使得|∠BOP﹣∠MON′|的值不变？若存在，请直接写出这个定值及其对应的t的取值范围（包含运动的起止时间）；若不存在，请说明理由．
41．如图，点O是直线AB上一点，OE平分∠DOB，OF平分∠DOA．
（1）若∠DOB＝48°，则∠EOF的度数是　 　；
（2）若∠DOB＝α，那么∠EOF的度数是否发生改变，请说明理由．
42．如图，点O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．
（1）如图1，若∠AOC＝40°，求∠DOE的度数；
（2）如图2，若∠COE＝∠DOB，求∠AOC的度数．
43．【问题回顾】
我们曾解决过这样的问题：
如图1，点O在直线AB上，OC，OD分别平分∠AOE，∠BOE，可求得∠COD＝90°．（不用求解）
【问题改编】
点O在直线AB上，∠COD＝90°，OE平分∠BOC．
（1）如图2，若∠AOC＝50°，求∠DOE的度数；
（2）将图2中的∠COD按图3所示的位置进行放置，写出∠AOC与∠DOE度数间的等量关系，并写明理由．
44．如图，∠BOD＝115°，∠COD＝90°，OC平分∠AOB，求∠AOD的度数．
45．已知∠AOB，过顶点O作射线OP，若∠BOP＝∠AOP，则称射线OP为∠AOB的“好线”，因此∠AOB的“好线”有两条，如图1，射线OP1，OP2都是∠AOB的“好线”．
（1）已知射线OP是∠AOB的“好线”，且∠BOP＝30°，求∠AOB的度数．
（2）如图2，O是直线MN上的一点，OB，OA分别是∠MOP和∠PON的平分线，已知∠MOB＝30°，请通过计算说明射线OP是∠AOB的一条“好线”．
（3）如图3，已知∠MON＝120°，∠NOB＝40°．射线OP和OA分别从OM和OB同时出发，绕点O按顺时针方向旋转，OP的速度为每秒12°，OA的速度为每秒4°，当射线OP旋转到ON上时，两条射线同时停止．在旋转过程中，射线OP能否成为∠AOB的“好线”．若不能，请说明理由；若能，请求出符合条件的所有的旋转时间．
46．已知∠AOB和∠COD是直角．
（1）如图1，当射线OB在∠COD的内部时，请探究∠AOD和∠BOC之间的关系，并说明理由．
（2）如图2，当射线OA，OB都在∠COD的外部时，过点O作射线OE，OF，满足∠BOE＝∠BOC，∠DOF＝∠AOD，求∠EOF的度数．
（3）在（2）的条件下，在平面内是否存在射线OG，使得∠GOF：∠GOE＝3：7？若存在，求出∠GOF的度数；若不存在，请说明理由．
47．如图，已知∠AOD＝156°，∠DON＝48°，射线OB，OM，ON在∠AOD内部，OM平分∠AOB，ON平分∠BOD．
（1）求∠MON的度数；
（2）若射线OC在∠AOD内部，∠NOC＝23°，求∠COM的度数．
48．如图，已知∠AOB＝90°，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC．
（1）若∠DOB＝20°，求∠DOE的度数；
（2）若∠DOB＝x，则∠AOD＝　 　，∠EOC＝　 　.（用含有x的式子表示），此时∠DOE＝　 　．
参考答案
1．解：∵OC为∠AOB内的一条射线，
∴当∠AOC＝∠BOC＝∠AOB，或∠AOB＝2∠BOC＝2∠AOC时OC平分∠AOB，
∴A，C，D不符合题意，B选项符合题意，
故选：B．
2．解：∵OC是∠AOB的平分线，
∴∠AOC＝∠BOC＝∠AOB，选项D不正确；
∵OD是∠COB的平分线，
∴∠COD＝∠COB＝∠AOC，
∴∠COD＝∠AOC，选项A正确；
∴∠BOD＝∠COD＝∠AOB，选项C不正确；∠AOD＝∠AOB，选项B不正确；
故选：A．
3．解：∵OC是∠AOB的平分线，
∴∠AOC＝∠COB；
∵OD是∠AOC的平分线，
∴∠AOD＝∠COD；
∵∠COD＝18°，
∴∠AOC＝36°，
∴∠AOB＝2∠AOC＝72°．
故选：D．
4．解：∵∠AOC＝50°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝130°，故B选项正确；
∵OD平分∠AOC，
∴∠AOD＝∠AOC＝×50°＝25°，故D选项正确；
∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝155°，故A选项正确；
∵∠BOE＝90°，∠AOC＝50°，
∴∠COE＝180°﹣∠AOC﹣∠BOE＝40°，故C选项错误；
故选：C．
5．解：①射线AB和射线BA表示不是同一条直线，故此选项错误；
②两点之间，线段最短，故此选项正确；
③38°15'＝38.25°，故此选项正确；
④已知三条射线OA，OB，OC，若∠AOC＝∠AOB，则OC不一定在∠AOB的内部，故此选项错误；
综上所述，正确的是②③，
故选：B．
6．解：∵MN⊥PQ，
∴∠BOA＝90°．
∴∠OBA+∠OAB＝180°﹣∠BOA＝90°．
又∵AI平分∠OAB，BI平分∠OBA，
∴∠IBA＝，∠IAB＝．
∴∠IBA+∠IAB＝＝＝45°．
∴∠BIA＝180°﹣（∠IBA+∠IAB）＝180°﹣45°＝135°．
故选：D．
7．解：∵OQ平分∠POR，OR平分∠QOS，
∴∠POQ＝∠QOR，∠QOR＝∠ROS，
∴∠POQ＝∠QOR＝∠ROS，故①正确；
∴∠POQ+∠QOR＝∠QOR+∠ROS，
即∠POR＝∠QOS，故②正确；
∵∠POQ＝∠QOR＝∠ROS，
∴∠POQ+∠QOR＝2∠ROS，
即∠POR＝2∠ROS，故③正确；
∵∠POQ＝∠QOR＝∠ROS，
∴∠POQ+∠QOR+∠ROS＝3∠POQ，
即∠POS＝3∠POQ，故④错误．
综上所述，正确的有①②③，
故选：A．
8．解：∵OE平分∠BOC，
∴∠BOC＝2∠COE＝56°．
∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝124°．
∵OD平分∠AOC，
∴∠AOD＝∠COD＝∠AOC＝62°．
故选：B．
9．解：①过两点有且只有一条直线，是直线的公理，故正确；
②连接两点间的线段的长度叫两点间的距离，故错误；
③两点之间，线段最短，是线段的性质，故正确；
④若OB在∠AOC内部，∠AOC＝2∠BOC，OB是∠AOC的平分线，若OB在∠AOC外部则不是，故错误．
故选：B．
10．解：A、射线OC在∠AOB内部，当∠AOC＝∠AOB时，OC是∠AOB的平分线，故本选项不符合题意；
B、射线OC在∠AOB内部，当∠BOC＝∠AOB时，OC是∠AOB的平分线，故本选项不符合题意；
C、如图所示，
射线OC在∠AOB内部，∠AOC+∠BOC＝∠AOB，OC不一定是∠AOB的平分线，故本选项符合题意；
D、射线OC在∠AOB内部，当∠AOC＝∠BOC时，OC是∠AOB的平分线，故本选项不符合题意．
故选：C．
11．解：∵∠AOB＝60°，射线OC平分∠AOB，
∴∠AOC＝∠BOC＝AOB＝30°，
又∠COP＝15°
①当OP在∠BOC内，
∠BOP＝∠BOC﹣∠COP＝30°﹣15°＝15°，
②当OP在∠AOC内，
∠BOP＝∠BOC+∠COP＝30°+15°＝45°，
综上所述：∠BOP＝15°或45°．
故选：D．
12．解：∵∠AOC＝40°，OM是∠AOC的平分线，
∴∠AOM＝40°÷2＝20°，
∵∠BOD＝26°，
ON是∠BOD的平分线，
∴∠BON＝26°÷2＝13°，
∴∠MON＝180°﹣20°﹣13°＝147°，
故选：C．
13．解：∵长方形纸片ABCD的一角沿AE折叠，
∴∠DAE＝∠EAD′，
∵ABCD是长方形，
∴DA⊥AB，
∴∠DAE+∠EAD′+∠BAD′＝90°，即2∠EAD′+∠BAD′＝90°，
∴2（∠CAE+∠CAD′）+∠BAD′＝90°，
∵∠CAE＝2∠BAD′，∠CAD′＝15°，
∴2（2∠BAD′+15°）+∠BAD′＝90°，
∴30°+5∠BAD′＝90°，
∴∠BAD′＝12°，
∴∠DAE＝∠EAD′＝∠CAE+∠CAD′
＝2∠BAD′+∠CAD′
＝2×12°+15°
＝39°，
∴∠DAE＝39°．
故选：C．
14．解：由折叠的性质知：∠1＝∠3＝∠AED′，∠2＝∠4＝∠DED′，
∵∠AED′+∠DED′＝180°，
∴∠1+∠4＝90°．
即∠1+∠2＝90°．
当∠1＝30°时，
∠2＝60°．
故选：B．
15．解：一副三角板中角的度数有30°，60°，90°，45°，
A、30°+45°＝75°，故本选项不合题意；
B、30°+90°＝120°，故本选项不合题意；
C、45°+90°＝135°，故本选项不合题意；
D、根据30°，60°，90°，45°不能组合成160°，即不能画出160°的角，故本选项符合题意．
故选：D．
16．解：75°可以用三角板的30°和45°画出，
105°可以用三角板的45°和60°画出，
110°用一副三角板不能画出，
135°可以用三角板的45°和90°画出．
故选：C．
17．解：设∠AOD＝a，
∵∠AOB＝130°，∠COD＝30°，
∴∠AOC＝∠AOD+∠COD＝a+30°，∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝130°﹣（a+30°）＝100°﹣a，
∴∠BOD＝∠BOC+∠COD＝100°﹣a+30＝130°﹣a，
∵OE平分∠AOC，
∴∠AOE＝∠COE＝∠AOC＝（a+30°）＝a+15°，
∴∠BOE＝∠AOB﹣∠AOE＝130°﹣（a+15°）＝115°﹣a，
∴∠BOE﹣∠BOD＝115°﹣a﹣（130°﹣a）＝115°﹣a﹣65°+a＝50°，
∴∠BOE﹣∠BOD的度数为50°，
故答案为：50．
18．解：由题意得：∠1+∠2+90°＝90°+90°﹣∠3．
∵∠1＝38°，∠2＝32°，
∴38°+32°+90°＝180°﹣∠3．
∴∠3＝20°．
故答案为：20．
19．解：先对图形标记如下：
∵∠A＝90°，∠B＝60°，
∴∠BOC＝90°﹣60°＝30°，∠AOC＝45°，
∴∠AOB＝45°+30°＝75°．
故答案为：75．
20．解：∵45°﹣36°＝9°，90°﹣72°＝18°，18°+45°＝63°，45°+72°＝117°，
∴用这副特制的三角板可以画出的角有9°，18°，63°，117°．
故答案为：①②④．
21．解：∵OC是∠AOB的平分线，∠AOB＝140°，
∴∠BOC＝∠AOB＝70°．
∵∠BOD＝25°，
∴∠COD＝BOC﹣∠BOD＝70°﹣25°＝45°，
故答案为：45°．
22．解：根据网格的特征以及角的表示可知，
∠MPN＝∠COD，
而∠COD＝∠AOB，
因此∠MPN＝∠AOB，
故答案为：＝．
23．解：∵0.52×60＝31.2，0.2×60＝12，
∴52.52°＝52°31′12″，
52°52′＞52°31′12″，
故答案为：＞．
24．解：如图，由于∠AOB＜∠COD，因此OA在∠COD的内部，
故答案为：①；
25．解：∵28°15′＝28°+（15÷60）°＝28.25°，
∴28°15′＞28.15°．
故答案为：＞．
26．解：∵∠AOB＝90°，∠DOE＝∠DOC+∠COE＝45°，
∴∠BOD+∠AOE＝45°，
∵OD平分∠BOC，
∴∠BOD＝∠COD，
∴∠AOE＝∠COE，
故答案为：＝
27．解：图中共有5个小于平角的角．故答案为5．
28．解：（1）结论：∠AOC＝∠BOD．
理由：∵∠AOB＝∠COD＝60°，
∴∠AOC+∠BOC＝∠BOD+∠BOC，
∴∠AOC＝∠BOD．
（2）∵∠BCO＝10°，∠AOB＝60°，
∴∠AOC＝50°，
∴∠AOD＝∠AOC+∠COD＝50°+60°＝110°．
（3）猜想：∠AOD+∠COB＝120°．
理由：∵∠AOB＝∠COD＝60°．
∴∠AOD＝∠AOB+∠COD﹣∠COB＝120°﹣∠COB，
∴∠AOD+∠COB＝120°．
（4）不成立．猜想：∠AOD+∠BOC＝240°，
理由：∵∠AOB＝∠COD＝60°．
∴∠AOD+∠BOC＝360°﹣60°﹣60°＝240°．
29．解：7+6+5+4+3+2+1＝＝28，
一般地如果MOG小于180，且图中一共有几条射线，
则一共有：（n﹣1）+（n﹣2）+…+2+1＝．
30．解：（1）一个角的平分线是这个角的“幸运线”；
故答案为：是；
（2）①设∠AOC＝x，则∠BOC＝2x，
由题意得，x+2x＝45°，解得x＝15°，
②设∠AOC＝x，则∠BOC＝x，
由题意得，x+x＝45°，解得x＝22.5°，
③设∠AOC＝x，则∠BOC＝x，
由题意得，x+x＝45°，解得x＝30°，
故答案为：15°或22.5°或30°；
（3）当0＜t≤6时，∠MON＝60+5t，∠AON＝60﹣15t，
若OA是射线OM与ON的幸运线，
则∠AON＝，即60﹣15t＝（60+5t），解得t＝；
∠AON＝∠MON，即60﹣15t＝（60+5t），解得t＝；
∠AON＝∠MON，即60﹣15t＝（60+5t），解得t＝；
当6＜t＜9时，∠MOA＝20t，∠AON＝15t﹣60，
若ON是射线OM与OA的幸运线，
则∠AON＝∠MOA即15t﹣60＝×20t，解得t＝12（舍）；
∠AON＝∠MOA，即15t﹣60＝×20t，解得t＝；
∠AON＝∠MOA，即15t﹣60＝×20t，解得t＝36（舍）；
故t的值是或或或．
31．解：（1）OD⊥OE．
理由：∵OD，OE分别为∠AOC，∠BOC的平分线，
∴∠COD＝∠AOC，∠COE＝∠BOC，
∵∠AOC+∠BOC＝180°，
∴∠DOE＝∠COD+∠COE＝（∠AOC+∠BOC）＝90°，
∴OD⊥OE．
（2）∵∠AOD＝30°，OD平分∠AOC，
∴∠AOC＝2∠AOD＝60°
∵∠DOE＝90°，
∴∠AOE＝∠AOD+∠DOE＝30°+90°＝120°，
∴∠AOE＝2∠AOC，
∴OC为∠AOE的平分线．
32．解：①当∠AOC＝3∠BOC时，
设∠BOC＝x，∠DOF＝y，
∵OB为∠AOC的三等分线，OF平分∠COD，
∴∠AOC＝3x，∠COD＝2y，∠BOD＝x+2y，
∵OE平分∠BOD，
∴∠EOD＝∠BOD＝x+y，
∵∠EOF＝14°，
∴x+y﹣y＝14°，
解得x＝28°，
故∠AOC＝3x＝84°．
②当∠AOC＝∠BOC时，
设∠BOC＝2x，∠DOF＝y，
∵OB为∠AOC的三等分线，OF平分∠COD，
∴∠AOC＝3x，∠COD＝2y，∠BOD＝2x+2y，
∵OE平分∠BOD，
∴∠EOD＝∠BOD＝x+y，
∵∠EOF＝14°，
∴x+y﹣y＝14°，
解得x＝14°，
故∠AOC＝3x＝42°．
综上，∠AOC＝84°或42°．
33．解：（1）∵∠AOB＝70°，∠BOC＝30°，
∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝70°+30°＝100°，
∵OE平分∠AOC，
∴∠EOC＝∠AOC＝50°，
∵OF平分∠BOC，
∴∠COF＝∠BOC＝15°，
∴∠EOF＝∠EOC﹣∠COF＝50°﹣15°＝35°，
故答案为：35°；
（2）∵OE平分∠AOC，
∴．
∵OF平分∠BOC，
∴．
∵∠EOF＝∠EOC﹣∠COF，
∴；
（3）拓展：，理由如下：
∵点E是AC的中点，
∴．
∵点D是BC的中点，
∴．
∴．
34．解：（1）∵E，F分别是AC，BD的中点，
∴EC＝，DF＝．
∴EC+DF＝．
又∵AB＝18cm，CD＝2cm，
∴AC+DB＝AB﹣CD＝18﹣2＝16（cm）．
∴EC+DF＝＝8（cm）．
∴EF＝EC+DF+CD＝8+2＝10（cm）．
故答案为：10．
（2）不变，与（1）同理．
（3）a：∵OE，OF分别平分∠AOC和∠BOD，
∴∠EOC＝，∠DOF＝．
∴∠EOC+∠DOF＝＝．
又∵∠AOB＝140°，∠COD＝40°，
∴∠AOC+∠BOD＝∠AOB﹣∠COD＝100°．
∴∠EOC+∠DOF＝50°．
∴∠EOF＝∠EOC+∠DOF+∠COD＝50°+40°＝90°．
b：由（1）得：∠EOC+∠DOF＝．
∵∠AOC+∠DOB＝∠AOB﹣∠COD，
∴∠EOC+∠DOF＝．
∴∠EOF＝∠EOC+∠DOF+∠COD＝+∠COD＝．
35．解：（1）∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∠AOB＝60°，
∴∠MOC＝∠AOC，
∴∠NOC＝∠BOC，
∴∠MON＝∠MOC+∠NOC＝∠BOC+∠AOC＝∠AOB＝×60°＝30°．
故答案为：30°；
（2）不变，
当OC旋转到∠AOB的外部时，
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∠AOB＝60°，
∴∠MOC＝∠AOC，
∴∠NOC＝∠BOC，
∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOC＝∠BOC﹣∠AOC＝∠AOB＝×60°＝30°．
∴∠MON的度数不会发生变化；
（3）当OC旋转到∠AOB（∠BOC＜120°）的外部且射线OC在OB的下方时，
∵OM平分∠AOC，∠NOC＝∠BOC，
∴∠COM＝∠AOC，∠BON＝∠BOC，
∴∠COM﹣∠BON＝∠AOC﹣×∠BOC＝∠BOC﹣∠AOC＝∠AOB＝30°．
36．解：（1）∵∠BOD＝60°，
∴∠AOD＝120°，
∵∠AOE＝2∠DOE，
∴∠DOE＝∠AOD＝40°，
∴∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝60°﹣40°＝20°；
（2）∠BOD＝3∠COE，
设∠COE＝x，则∠DOE＝60﹣x，
∵∠AOE＝2∠DOE，
∴∠AOD＝3∠DOE＝3（60﹣x）＝180﹣3x，
∴∠BOD＝180﹣∠AOD＝180﹣（180﹣3x）＝3x，
∴∠BOD＝3∠COE．
37．解：（1）∵∠AOC：∠BOC＝1：2，∠AOB＝120°，
∴∠AOC＝∠AOB＝×120°＝40°，
∠BOC＝∠AOB＝×120°＝80°；
（2）∵OM平分∠AOC，
∴∠COM＝∠AOC＝×40°＝20°，
∵∠CON：∠BON＝1：3，
∴∠CON＝∠BOC＝×80°＝20°，
∴∠MON＝∠COM+∠CON＝20°+20°＝40°；
（3）如图，当OD在∠AOB内部时，
设∠BOD＝x°，
∵2∠AOD＝3∠BOD，
∴∠AOD＝x°，
∵∠AOB＝120°，
∴x+x＝120，
解得：x＝48，
∴∠BOD＝48°，
∴∠COD＝∠BOC﹣∠BOD＝80°﹣48°＝32°，
如图，当OD在∠AOB外部时，
设∠BOD＝y°，
∵2∠AOD＝3∠BOD，
∴∠AOD＝y°，
∵∠AOB＝120°，
∴y﹣y＝120，
解得：y＝240，
∴∠BOD＝240°，
此时∠COD＝320°，
综上所述，∠COD的度数为32°或320°．
38．解：（1）①C在∠AOB内部时，如下图，
∵∠AOC＝∠BOC，
∴∠BOC＝∠AOB＝×40°＝30°，
②OC在∠AOB外部时，如下图，
∠AOC＝∠BOC，
∴∠BOC＝∠AOB＝×40°＝60°，
综上所述：∠BOC＝30°或60°；
故答案为：30°或60°．
（2）解：
设∠CON＝x，
∵ON是∠MOC的四等分点，且3∠CON＝∠NOM，
∴∠NOM＝3x，∠COM＝4x，
又∵∠AOC＝20°，
∴∠AOM＝4x﹣20°，
∴∠AON＝∠NOM﹣∠AOM＝3x﹣（4x﹣20°）＝20°﹣x，
∴4∠AON+∠COM＝4（20°﹣x）+4x＝80°，
∴4∠AON+∠COM＝80°．
（3）记OM的旋转角度为α，分五种情况讨论：
第一种，当0°≤α≤60°，即0≤t≤12时，如下图，
射线OM绕着O点从OB开始以5度/秒的速度逆时针旋转得∠MOB＝5t°，
∴∠COM＝∠COA+∠AOB﹣∠MOB＝60°﹣5t°，
∵ON是∠MOC四等分线，且3∠CON＝∠NOM，
∴∠CON＝∠COM，
∴∠AON＝∠COA﹣∠CON＝∠COA﹣∠COM＝20°﹣（60°﹣5t°）＝5°+t°，
∴4∠AON+∠BOM＝4（5°+t°）+5t°＝20°+10t°，
∴0≤t≤12时，4∠AON+∠BOM＝20°+10t°，不是定值．
第二种情况：当60°＜α＜180°，即12＜t＜36时，如下图，
∵∠MOB＝5t°，
∴∠COM＝∠MOB﹣∠BOC＝5t°﹣60°，
∵∠CON＝∠COM，
∴∠AON＝∠COA+∠CON＝∠COA+∠COM＝20°+（5t°﹣60°）＝5°+t°，
∴4∠AON+∠BOM＝4（5°+t°）+5t°＝10t°+20°，
∴12＜t＜36时，4∠AON+∠BOM不是定值．
第三种情况：当180°≤α≤240°，即36≤t≤48时，如下图，
由∠MOB＝360°﹣5t°得，∠COM＝5t°﹣60°，
∵ON是∠MOC四等分线，且3∠CON＝∠NOM，
∴∠AON＝∠CON+∠COA＝∠COM+∠COA＝（5t°﹣60°）+20°＝5°+t°，
∴4∠AON+∠BOM＝4（5°+t°）+360°﹣5t°＝380°，
∴当36≤t≤48时，4∠AON+∠COM为定值380°；
第四种情况：当240°＜α＜0°时，即48＜t＜68，如下图，
由∠MOB＝360°﹣5t°得，∠COM＝∠MOB+∠BOC＝360°﹣5t°+60°＝420°﹣5t°，
∴∠AON＝∠CON﹣∠COA＝∠COM﹣∠COA＝（420°﹣5t°）﹣20°＝190°﹣t°，
∴4∠AON+∠BOM＝4（190°﹣t°）+360°﹣5t°＝1120°﹣10t°，
∴48＜t＜68时，4∠AON+∠COM不是定值；
第五种情况：当340°≤α≤360°，即68≤t≤72时，如下图，
由∠MOB＝360°﹣5t°得，∠COM＝∠MOB+∠BOC＝360°﹣5t°+60°＝420°﹣5t°，
∴∠AON＝∠COA﹣∠CON＝∠COA﹣∠COM＝20°﹣（420°﹣5t°）＝t°﹣85°，
∴4∠AON+∠BOM＝4（t°﹣85°）+360°﹣5t°＝20°，
∴68≤t≤72时，4∠AON+∠COM为定值20°．
综上所述：当36≤t≤48时，4∠AON+∠COM为定值380°；当68≤t≤72时，4∠AON+∠COM＝20°，为定值20°．
39．解：（1）因为OC平分∠AOB，∠AOB＝80°，
所以∠BOC＝∠AOB＝40°．
因为∠BOD＝20°，
所以∠COD＝∠BOC+∠BOD＝60°．
故答案为：，40°，∠BOC+∠BOD，60°；
（2）如图3，
因为OC平分∠AOB，∠AOB＝80°，
所以∠BOC＝∠AOB＝40°，
因为∠BOD＝20°，
所以∠COD＝∠BOC﹣∠BOD＝40°﹣20°＝20°．
40．解：（1）∵OM为∠AOB的角平分线、∠AOB＝40°，
∴∠MOB＝20°．
∵∠MON＝70°，
∴∠BON＝∠MON﹣∠MOB＝50°．
∵ON为∠BOD的角平分线，
∴∠BON＝∠DON＝50°．
∴∠CON＝∠COD﹣∠DON＝10°
∴∠BOC＝∠DON﹣∠CON＝40°．
故答案为：40°．
（2）如图①：①逆时针旋转时：
当C′在B上方时，根据题意可知，∠BOC′＝40°﹣4t，∠BOD′＝∠BOD﹣4t＝100°﹣4t．
∠BON′＝∠BOD′＝＝50°﹣2t，
∵OC′平分∠BON′，
∴∠BOC′＝，即40°﹣4t＝（50°﹣2t），
解得：t＝5（s）．
当C′在B下方时，此时C′也在N′下方，此时不存在OC′平分∠BON′．
顺时针旋转时：如图②，
同理当C′在B下方时，此时C′也在N′下方，此时不存在OC′平分∠BON′．
当C′在B上方时，即OC′与OB重合，
由题意可求OC′与OB重合用的时间＝∠AOC÷4+∠AOB÷6
＝（∠AOB+∠BOC）÷4+∠AOB÷6
＝（s）．
∴OC′与OB重合之后，∠BOC′＝6（t﹣）（s）．
∴∠BOD′＝∠BOC′+60°＝6（t﹣）+60°＝6t﹣100°．
∴∠BON′＝＝（6t﹣100°）＝3t﹣50°，
∵OC′平分∠BON′，
∴∠BOC′＝，
∴6（t﹣）＝（3t﹣50°），
解得：t＝30（s）
综上所述t的值为5或30．
②逆时针旋转时：当C′在B上方时，如图③
根据①可知，∠BOC′＝40°﹣4t，∠BOD′＝100°﹣4t，∠BON′＝50°﹣2t．
∴∠AOD′＝∠AOB+∠BOD′＝140°﹣4t，
∴∠AOP＝＝70°﹣2t，
∴∠BOP＝∠AOP﹣∠AOB＝30°﹣2t，
∵∠MON′＝∠MOB+∠BON′＝70°﹣2t，
∴|∠BOP﹣∠MON′|＝|30°﹣2t﹣70°+2t|＝40°，
此段时间0≤t≤10s；
如图④当C′在B下方时，设经过OB后运动时间为t2，
同理可知，∠BOC′＝4t2，∠BOD′＝60°﹣4t2，
∴，
∴∠AOD′＝∠AOB+∠BOD′＝100°﹣4t2，
∴，
∴∠BOP＝∠AOP﹣∠AOB＝10°﹣2t2，
∵∠MON′＝∠MOB+∠BON′＝50°﹣2t2，
∴|∠BOP﹣∠MON′|＝|10°﹣2t2﹣50°+2t2|＝40°．
此时：10＜t≤20；
顺时针旋转时：当C′在B下方时，如图⑤，
设经过OB后运动时间为t1，
同理可知：∠BOC′＝40°﹣6t1，∠BOD′＝20°+6t1，
∴，
∴∠AOD′＝60°+6t1，
∠AOP＝30°+3t1，
∴∠BOP＝∠AOP﹣∠AOB＝3t1﹣10°，
∵∠MON′＝∠MOB+∠BON′＝30°﹣3t1，
∴|∠BOP﹣∠MON′|＝|3t1﹣10°﹣30°﹣3t1|＝40°，
此时：20＜t≤；
当C′在B上方时，如图⑥，
设经过OB后运动时间为t3，
同理可知：，∠BOC′＝60°+6t3，∠BOD′＝100°+6t3，
∴∠BON′＝＝50°+3t3，
∴∠AOD′＝140°+6t3，
∴∠AOP＝70°+3t3，
∴∠BOP＝∠AOP﹣∠AOB＝30°+3t3，
∵∠MON′＝∠MOB+∠BON′＝70°+3t3，
∴|∠BOP﹣∠MON′|＝|30°+3t3﹣70°﹣3t3|＝40°，
此时：＜t≤50．
综上所述：存在且定值为40°，0≤t≤50．
41．解：（1）∵OE平分∠DOB，OF平分∠DOA，
∴∠DOF＝，∠DOE＝．
∴∠EOF＝＝＝＝90°．
（2）不变，理由如下：
由（1）可知：∠EOF＝＝＝＝90°，与∠DOB无关．
∴∠EOF的度数不变．
42．解：（1）∵∠AOC＝40°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝140°．
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE＝＝70°．
∵∠COD＝90°，
∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝90°﹣70°＝20°．
（2）∵∠COE＝∠DOB，
∴∠DOB＝3∠COE．
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOC＝2∠COE．
∵∠COD＝90°，
∴∠BOC+∠BOD＝2∠COE+3∠COE＝5∠COE＝90°．
∴∠COE＝18°．
∴∠BOC＝2∠COE＝36°．
∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣36°＝144°．
43．解：（1）∵∠COD＝90°，
∴∠AOC+∠BOD＝90°．
∵∠AOC＝50°，
∴∠BOD＝40°．
∴∠COB＝∠COD+∠BOD＝90°+40°＝130°．
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE＝．
∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝90°﹣65°＝25°．
（2）设∠AOC＝α．
则∠BOC＝180°﹣α．
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE＝．
∵∠BOD＝∠COD﹣∠BOC＝90°﹣（180°﹣α）＝α﹣90°，
∴∠DOE＝∠DOB+∠BOE＝．．
∴按图3所示的位置放置时，∠AOC与∠DOE度数间的等量关系为：∠DOE＝∠AOC．
44．解：∵∠BOD＝115°，∠COD＝90°，
∴∠BOC＝∠BOD﹣∠COD＝115°﹣90°＝25°，
∵OC平分∠AOB，
∴∠AOB＝2∠BOC＝50°，
∴∠AOD＝∠BOD﹣∠AOB＝115°﹣50°＝65°．
45．解：（1）∵OP是∠AOB的“好线”，且∠BOP＝30°，
∴∠AOP＝2∠BOP＝60°，
①当OP在∠AOB的外部时，∠AOB＝∠AOP﹣∠BOP＝30°，
②当OP在∠AOB的内部时，∠AOB＝∠AOP+∠BOP＝90°．
（2）∵OB是∠MOP的平分线，且∠MOB＝30°，
∴∠BOP＝∠MOB＝30°，
∠MOP＝2∠MOB＝60°，
∴∠PON＝120°，
∵OA是∠PON的平分线，
∴∠AOP＝∠PON＝60°，
∴∠BOP＝∠AOP，
∴OP是∠AOB的一条“好线”；
（3）设旋转的时间为t秒，
①80﹣12t＝4t，
∴t＝5，
②3（12t﹣80）＝4t，
∴t＝，
综上所述，所有符合条件的旋转时间为5秒或秒．
46．（1）∠AOD+∠BOC＝180°．
证明：∵∠AOB和∠COD是直角，
∴∠AOB＝∠COD＝90°，
∵∠BOD+∠BOC＝∠COD，
∴∠BOD＝90°﹣∠BOC，
同理：∠AOC＝90°﹣∠BOC，
∴∠AOD＝∠AOB+∠BOD＝90°+90°﹣∠BOC＝180°﹣∠BOC，
∴∠AOD+∠BOC＝180°；
（2）解：设∠BOE＝a，则∠BOC＝4a，
∵∠BOE+∠EOC＝∠BOC，
∴∠EOC＝∠BOC﹣∠BOE＝3a，
∵∠AOD+∠COD+∠BOC+∠AOB＝360°，
∴∠AOD＝360°﹣∠COD﹣∠BOC﹣∠AOB
＝360°﹣90°﹣4a﹣90°
＝180°﹣4a，
∵∠DOF＝∠AOD，
∴∠DOF＝（180°﹣4a）＝135°﹣3a，
∴∠AOF＝∠AOD＝（180°﹣4a）＝45°﹣a，
∴∠EOF＝∠BOE+∠AOB+∠AOF＝a+90°+45°﹣a＝135°，
∠EOF的度数为135°；
（3）①当射线OG在∠EOF内部时，
∴∠GOF：∠GOE＝3：7，
∴∠GOF＝（∠GOF+∠GOE）＝∠EOF＝×135°＝40.5°；
②当射线OG在∠EOF外部时，
∵∠GOF：∠GOE＝3：7，
∴∠GOF＝（∠GOE﹣∠GOF）
＝∠EOF
＝（∠DOF+∠COD+∠EOC）
＝ （135°﹣3a+90°+3a）
＝67.5°．
综上所述，∠GOF 的度数是40.5°或67.5°．
47．解：（1）∵OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，
∴∠NOB＝，∠BOM＝．
∴∠NOB+∠BOM＝＝．
∴∠MON＝．
又∵∠AOD＝156°，
∴∠MON＝＝78°．
（2）由题意得：射线OC可能在∠DON内部或射线OC在∠NOB内部．
①当射线OC可能在∠DON内部时，如图1．
由（1）知：∠MON＝78°．
∴∠COM＝∠CON+∠MON＝23°+78°＝101°．
②当射线OC在∠NOB内部时，如图2．
由（1）知：∠MON＝78°．
∴∠COM＝∠MON﹣∠NOC＝78°﹣23°＝55°．
综上：∠COM＝101°或55°．
48．解：∵OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，
∴∠COD＝∠AOC，∠EOC＝∠BOC，
∴∠DOE＝∠DOC﹣∠COE
＝∠AOC﹣∠BOC
＝（∠AOC﹣∠BOC）
＝∠AOB．
（1）∵∠AOB＝90°，
∴∠DOE＝×90°＝45°；
（2）∵∠DOB＝x，∠AOB＝90°，
∴∠AOD＝∠AOB﹣∠DOB＝90°﹣x，
∵OD平分∠AOC，
∴∠DOC＝∠AOD＝90°﹣x
∵∠DOB＝x
∴∠BOC＝∠DOC﹣∠DOB＝90°﹣2x
∵OE平分∠BOC，
∴，
∴＝45°．
故答案为：90°﹣x，45°﹣x，45°