2021-2022学年北师大版九年级数学上册《6.2反比例函数的图象与性质》
同步练习(附答案)
1.如图,过反比例函数y=(x>0)上的一点A作y轴的平行线交反比例函数y=(x>0)于点B,连接OA、OB.若S△AOB=3.则k的值为( )
A.3 B.﹣3 C.4 D.﹣4
2.已知(﹣1,4)是反比例函数y=上一点,下列各点不在y=上的是( )
A.(﹣3,) B.(2,2) C.(4,﹣1) D.(﹣,8)
3.如图,已知点A是反比例函数y=(x>0)的图象上一点,AB∥x轴交另一个反比例函数y=(x>0)的图象于点B,C为x轴上一点,若S△ABC=2,则k的值为( )
A.4 B.2 C.3 D.1
4.反比例函数y=与y=﹣kx+1(k≠0)在同一坐标系的图象可能为( )
A.B. C.D.
5.若反比例函数y=的图象分布在第二、四象限,则k的取值范围是( )
A.k<﹣2 B.k<2 C.k>﹣2 D.k>2
6.如图,正比例函数y=k1x与反比例函数y=的图象相交于A、B两点,若点A的坐标为(2,1),则点B的坐标是( )
A.(1,2) B.(﹣2,1) C.(﹣1,﹣2) D.(﹣2,﹣1)
7.如果点P(﹣2,m)在双曲线y=﹣上,那么m的值是( )
A.5 B.﹣5 C.10 D.﹣10
8.如图,点A,B分别在反比例函数y=(x>0),y=(x<0)的图象上.若OA⊥OB,=2,则a的值为( )
A.﹣4 B.4 C.﹣2 D.2
9.如图,在平面直角坐标系中,矩形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴上,对角线BD∥x轴,反比例函数y=(k>0,x>0)的图象经过矩形对角线的交点E.若点A(2,0)、D(0,4),则反比例函数的解析式为 .
10.如图,点A(m,m+1),B(m+3,m﹣1)都在反比例函数y=的图象上,如果M为x轴上一点,N为y轴上一点,以点A,B,M,N为顶点的四边形是平行四边形,直接写出点M,N的坐标: .
11.如图,已知,在矩形AOBC中,OB=4,OA=3,分别以OB、OA所在直线为x轴和y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,F是边BC上的一个动点(不与B、C重合),过F点的反比例函数y=(k>0)的图象与AC边交于点E,将△CEF沿EF对折后,C点恰好落在OB上的点D处,则k的值为 .
12.如图,直线y=mx﹣1交y轴于点B,交x轴于点C,以BC为边的正方形ABCD的顶点A(﹣1,a)在双曲线y=﹣(x<0)上,D点在双曲线y=(x>0)上,则k的值为 .
13.如图,A为反比例函数y=(其中x>0)图象上的一点,在x轴正半轴上有一点B,OB=4.连接OA,AB,且OA=AB.过点B作BC⊥OB,交反比例函数y=(其中x>0)的图象于点C,连接OC交AB于点D,则的值为 .
14.如图, ABCD的顶点A,B的坐标分别是A(﹣1,0),B(0,﹣2),顶点C、D在双曲线y=上,边AD交y轴于点E,且四边形BCDE的面积是△ABE面积的9倍,则k= .
15.如图,直线y=﹣x+b与双曲线(x>0)交于A、B两点,与x轴、y轴分别交于E、F两点,连接OA、OB,若S△AOB=S△OBF+S△OAE,则b= .
16.如图,已知正比例函数y=kx(k≠0)和反比例函数y=(m≠0)的图象相交于点A(﹣2,1)和点B,则不等式kx<的解集是 .
17.如图,点A是双曲线y=﹣在第二象限分支上的一个动点,连接AO并延长交另一分支于点B,以AB为底作等腰△ABC,且∠ACB=120°,点C在第一象限,随着点A的运动点C的位置也不断变化,但点C始终在双曲线y=上运动,则k的值为 .
18.如图,函数y=kx(k≠0)与y=的图象交于A,B两点,过点A作AM垂直于x轴,垂足为点M,则△BOM的面积为 .
19.如图,A、B两点在函数y=(x>0)的图象上.
(1)求m的值及直线AB的解析式;
(2)如果一个点的横、纵坐标均为整数,那么我们称这个点是格点.请直接写出图中阴影部分(不包括边界)所含格点的个数.
20.已知,如图,函数y=与y=﹣2x+8的图象交于点A、B.
(1)直接写出A、B两点的坐标:A ,B ;
(2)观察图象,直接写出不等式>﹣2x+8的解集: ;
(3)点P是坐标轴上的动点,当AP+BP取得最小值时,求点P的坐标.
21.如图,直线y=﹣x+b与反比例函数y=的图象相交于A(1,4),B两点,延长AO交反比例函数图象于点C,连接OB.
(1)求k和b的值;
(2)直接写出一次函数值小于反比例函数值的自变量x的取值范围;
(3)在y轴上是否存在一点P,使S△PAC=S△AOB?若存在请求出点P坐标,若不存在请说明理由.
22.如图,已知反比例函数y=(x>0)的图象与一次函数y=kx+4的图象交于A和B(6,1)两点.
(1)求反比例函数与一次函数的解析式;
(2)求△AOB的面积.
23.如图,在平面直角坐标系中,直线l1:y=﹣x与反比例函数y=的图象交于A,B两点(点A在点B左侧),已知A点的纵坐标是2;
(1)求反比例函数的表达式;
(2)根据图象直接写出﹣x>的解集;
(3)将直线l1:y=x沿y向上平移后的直线l2与反比例函数y=在第二象限内交于点C,如果△ABC的面积为30,求平移后的直线l2的函数表达式.
24.如图,已知正比例函数y=2x和反比例函数的图象交于点A(m,﹣2).
(1)求反比例函数的解析式;
(2)若双曲线上点C(2,n)沿OA方向平移个单位长度得到点B,判断四边形OABC的形状并证明你的结论.
25.如图,一次函数y1=﹣x+2的图象与反比例函数y2=(k≠0)的图象分别交于第二、四象限的A,B两点,点A的横坐标为﹣1.
(1)求反比例函数的表达式;
(2)根据图象回答:当x取何值时,y1<y2.请直接写出答案: .
26.如图,Rt△ABO的顶点A是反比例函数y=与一次函数y=﹣x﹣(k+1)的图象在第二象限的交点,AB⊥x轴于B,且S△ABO=.
(1)直接写出这两个函数的关系式;
(2)求△AOC的面积;
(3)根据图象直接写出:当x为何值时,反比例函数的值小于一次函数的值.
参考答案
1.解:∵点A在反比例函数y=(x>0)的图象上,且AB∥y轴,
∴S△AOC=×|2|=1,
又∵S△AOB=3,
∴S△BOC=3﹣1=2,
∴|k|=2,
而k<0,
∴k=﹣4,
故选:D.
2.解:将点(﹣1,4)代入y=,
∴k=﹣4,
∵2×2=4≠﹣4,
∴点(2,2)不在函数图象上,
故选:B.
3.解:延长AB交y轴于点D,连接OA、OB,
∵点A是反比例函数y=(x>0)的图象上,AB∥x轴,
∴S△AOD=|k|=×6=3,S△AOB=S△ACB=2,
∴S△BOD=S△AOD﹣S△AOB=3﹣2=1,
又∵点B在反比例函数y=(x>0)的图象上,
∴S△BOD=|k|=1,
∴k=2,k=﹣2(舍去),
故选:B.
4.解:A、由反比例函数的图象可知,k>0,一次函数图象呈上升趋势且交与y轴的正半轴,﹣k>0,即k<0,故本选项错误;
B、由反比例函数的图象可知,k>0,一次函数图象呈下降趋势且交与y轴的正半轴,﹣k<0,即k>0,故本选项正确;
C、由反比例函数的图象可知,k<0,一次函数图象呈上升趋势且交与y轴的负半轴(不合题意),故本选项错误;
D、由反比例函数的图象可知,k<0,一次函数图象呈下降趋势且交与y轴的正半轴,﹣k<0,即k>0,故本选项错误.
故选:B.
5.解:∵反比例函数y=的图象分布在第二、四象限,
∴2﹣k<0,
解得k>2,
故选:D.
6.解:∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称,
∴A、B两点关于原点对称,
∵A的坐标为(2,1),
∴B的坐标为(﹣2,﹣1).
故选:D.
7.解:∵点P(﹣2,m)在双曲线y=﹣上,
∴m=﹣=5.
故选:A.
8.解:过点A作AM⊥x轴于点M,过点B作BN⊥x轴于点N,
∴∠AMO=∠BNO=90°,
∴∠AOM+∠OAM=90°,
∵OA⊥OB,
∴∠AOM+∠BON=90°,
∴∠OAM=∠BON,
∴△AOM∽△OBN,
∵点A,B分别在反比例函数y=(x>0),y=(x<0)的图象上,
∴S△AOM:S△BON=1:(﹣a),
∴AO:BO=1:,
∵OB:OA=2,
∴a=﹣4,
故选:A.
9.解:∵BD∥x轴,D(0,4),
∴B、D两点纵坐标相同,都为4,
∴可设B(x,4).
∵矩形ABCD的对角线的交点为E,
∴E为BD中点,∠DAB=90°.
∴E(x,4).
∵∠DAB=90°,
∴AD2+AB2=BD2,
∵A(2,0),D(0,4),B(x,4),
∴22+42+(x﹣2)2+42=x2,
解得x=10,
∴E(5,4).
∵反比例函数y=(k>0,x>0)的图象经过点E,
∴k=5×4=20,
∴反比例函数的解析式为y=
故答案为y=.
10.解:∵点A(m,m+1),B(m+3,m﹣1)都在反比例函数y=kx的图象上,
∴,
∴k=m(m+1)=(m+3)(m﹣1),
∴m2+m=m2+2m﹣3,
解得m=3,
∴k=3×4=12;
∵m=3,
∴A(3,4),B(6,2),
作AM⊥x轴于M,过B作BN⊥y轴于N,两线交于P,
∵A(3,4),B(6,2),
∴AP=PM=2,BP=PN=3,
∵四边形ANMB是平行四边形,
当M(﹣3,0)、N(0,﹣2)时,根据勾股定理能求出AM=BN,AB=MN,
即四边形AMNB是平行四边形,
∴此时M(3,0)、N(0,2)或M(﹣3,0)、N(0,﹣2).
故答案为:M(3,0)、N(0,2)或M(﹣3,0)、N(0,﹣2).
11.解:如图,过点E作EM⊥x轴于点M,
∵将△CEF沿EF对折后,C点恰好落在OB上的D点处,
∴∠EDF=∠C=90°,EC=ED,CF=DF,
∴∠MDE+∠FDB=90°,
而EM⊥OB,
∴∠MDE+∠MED=90°,
∴∠MED=∠FDB,
∴Rt△MED∽Rt△BDF;
又∵EC=AC﹣AE=4﹣,CF=BC﹣BF=3﹣,
∴ED=4﹣,DF=3﹣,
∴==;
∵EM:DB=ED:DF=4:3,而EM=3,
∴DB=,
在Rt△DBF中,DF2=DB2+BF2,即(3﹣)2=()2+()2,
解得k=,
故答案为.
12.解:∵A(﹣1,a)在双曲线y=﹣(x<0)上,
∴a=2,
∴A(﹣1,2),
∵点B在直线y=mx﹣1上,
∴B(0,﹣1),
∴AE=1,BE=3,
作DM⊥x轴于M,AN⊥DM于N,交y轴于E,
∵∠MDC+∠ADN=90°=∠MDC+∠MCD,
∴∠ADN=∠MCD,
同理:∠ADN=∠EAB=∠CBO=∠MCD,
∵四边形ABCD是正方形,
∴BC=AB=CD=DA,
∴△ADN≌△BAE≌△CBO≌△CDM(AAS),
∴DM=BE=AN=CO=3,CM=AE=1,
∴EN=3﹣1=2,
∴点D(2,3),
∵D点在双曲线y=(x>0)上,
∴k=2×3=6,
故答案为:6.
13.解:过点A作AH⊥x轴,垂足为H,AH交OC于点M,如图,
∵OA=AB,AH⊥OB,
∴OH=BH=OB=×4=2,
A(2,),C(4,),
∵AH∥BC,
∴MH=BC=,
∴AM=AH﹣MH=﹣=,
∵AM∥BC,
∴△ADM∽△BDC,
∴==.
14.解:如图,过C、D两点作x轴的垂线,垂足为F、G,DG交BC于M点,过C点作CH⊥DG,垂足为H,
∵ABCD是平行四边形,
∴∠ABC=∠ADC,
∵BO∥DG,
∴∠OBC=∠GDE,
∴∠HDC=∠ABO,
∴△CDH≌△ABO(AAS),
∴CH=AO=1,DH=OB=2,设C(m+1,n),D(m,n+2),
则(m+1)n=m(n+2)=k,
解得n=2m,则D的坐标是(m,2m+2),
设直线AD解析式为y=ax+b,将A、D两点坐标代入得
,
由①得:a=b,代入②得:mb+b=2m+2,
即b(m+1)=2(m+1),解得b=2,
则,
∴y=2x+2,E(0,2),BE=4,
∴S△ABE=×BE×AO=2,
∵S四边形BCDE=9S△ABE=9××4×1=18,
∵S四边形BCDE=S△ABE+S四边形BEDM=18,
即2+4×m=18,
解得m=4,
∴n=2m=8,
∴k=(m+1)n=5×8=40.
故答案为:40.
15.解:令y=0,则﹣x+b=0,
解得x=b,
令x=0,则y=b,
所以,点E(b,0)、F(0,b),
所以,OE=OF,
过点O作OM⊥AB于点M,则ME=MF,
设点A(x1,y1)、B(x2,y2),
联立,
消掉y得,x2﹣bx+1=0,
根据根与系数的关系,x1 x2=1,
所以y1 y2=1,
所以y1=x2,y2=x1,
所以OA=OB,
所以AM=BM(等腰三角形三线合一),
∵S△AOB=S△OBF+S△OAE,
∴FB=BM=AM=AE,
所以点A(b,b),
∵点A在双曲线y=上,
∴b×b=1,
解得b=.
故答案为:.
16.解:∵正比例函数y=kx(k≠0)和反比例函数y=(m≠0)的图象相交于点A(﹣2,1),和点B,
∴B(2,﹣1),
∴不等式kx<的解集是﹣2<x<0或x>2,
故答案为:﹣2<x<0或x>2.
17.解:作AD⊥x轴于D,CE⊥x轴于E,连接OC,如图,
∵AB过原点,
∴点A与点B关于原点对称,
∴OA=OB,
∵△CAB为等腰三角形,
∴OC⊥AB,
∴∠ACB=120°,
∴∠CAB=30°,
∴OA=OC,
∵∠AOD+∠COE=90°,∠AOD+∠OAD=90°,
∴∠OAD=∠COE,
∴Rt△AOD∽Rt△OCE,
∴=()2=()2=3,
而S△OAD=×|﹣6|=3,
∴S△OCE=1,
即|k|=1,
而k>0,
∴k=2.
18.解:由题意得:OA=OB,则S△AOM=S△BOM,
设A(a,b)(a>0,b>0),故OM=a,AM=b,
将x=a,y=b代入反比例函数y=得:b=,即ab=3,
又∵AM⊥OM,即△AOM为直角三角形,
∴S△BOM=S△AOM=OM AM=ab=.
故答案是:.
19.解:(1)由图象可知,函数(x>0)的图象经过点A(1,6),
可得m=6.
设直线AB的解析式为y=kx+b.
∵A(1,6),B(6,1)两点在函数y=kx+b的图象上,
∴,
解得.
∴直线AB的解析式为y=﹣x+7;
(2)图中阴影部分(不包括边界)所含格点是(2,4),(3,3),(4,2)共3个.
20.解:(1)由题意得:,
解之得:,,
∴A、B两点坐标分别为A(3,2)、B(1,6);
(2)由图象得:不等式>﹣2x+8的解集为0<x<1或x>3;
(3)分两种情况:
①如果点P在x轴上,
作点A关于x轴的对称点A′(3,﹣2),连接A′B交x轴于点P,则PA′=PA,
所以AP+BP=A′P+BP=A′B,即AP+BP的最小值为线段A′B的长度.
设直线A′B的解析式为y=kx+b,
∵A′(3,﹣2),B(1,6),
∴,解得,
∴直线A′B的解析式为y=﹣4x+10,
当y=0时,x=,
∴点P的坐标为(,0);
②如果点P在y轴上,
作点B关于y轴的对称点B′(﹣1,6),连接AB′交y轴于点P,则PB′=PB,
所以AP+BP=AP+B′P=AB′,即AP+BP的最小值为线段AB′的长度.
设直线AB′的解析式为y=mx+n,
∵A(3,2),B′(﹣1,6),
∴,解得,
∴直线AB′的解析式为y=﹣x+5,
当x=0时,y=5,
∴点P的坐标为(0,5).
综上所述,点P的坐标为(,0)或(0,5).
故答案为(3,2),(1,6);0<x<1或x>3.
21.解:(1)将A(1,4)分别代入y=﹣x+b和
得:4=﹣1+b,4=,解得:b=5,k=4;
(2)一次函数值小于反比例函数值的自变量x的取值范围为:x>4或0<x<1,
(3)过A作AN⊥x轴,过B作BM⊥x轴,
由(1)知,b=5,k=4,
∴直线的表达式为:y=﹣x+5,反比例函数的表达式为:
由,解得:x=4,或x=1,
∴B(4,1),
∴S△AOB=(1+4)×(4﹣1)÷2=,
∵S△PAC=,
∴,
过A作AE⊥y轴,过C作CD⊥y轴,设P(0,t),
∴S△PAC=OP CD+OP AE=OP(CD+AE)=|t|=3,
解得:t=3,t=﹣3,
∴P(0,3)或P(0,﹣3).
22.解:(1)将B(6,1)代入y=得:m=6,
即反比例函数的解析式为:y=;
将B(6,1)代入y=kx+4得:1=6k+4,
解得:k=﹣,
即一次函数的解析式为y=﹣x+4;
(2)解得:,,
∴A(2,3),
作AE⊥x轴于E,BF⊥x轴于F,则AE=3,BF=1,
设直线y=﹣x+4与x轴交于C点,
由y=﹣x+4=0得x=8,即C(8,0),
∴S△AOB=S△AOC﹣S△BOC=×8×3﹣×8×1=8.
23.解:(1)∵直线l1:y=﹣x经过点A,A点的纵坐标是2,
∴当y=2时,x=﹣4,
∴A(﹣4,2),
∵反比例函数y=的图象经过点A,
∴k=﹣4×2=﹣8,
∴反比例函数的表达式为y=﹣;
(2)∵直线l1:y=﹣x与反比例函数y=的图象交于A,B两点,
∴B(4,﹣2),
∴不等式﹣x>的解集为x<﹣4或0<x<4;
(3)如图,设平移后的直线l2与x轴交于点D,连接AD,BD,
∵CD∥AB,
∴△ABC的面积与△ABD的面积相等,
∵△ABC的面积为30,
∴S△AOD+S△BOD=30,即OD(|yA|+|yB|)=30,
∴×OD×4=30,
∴OD=15,
∴D(15,0),
设平移后的直线l2的函数表达式为y=﹣x+b,
把D(15,0)代入,可得0=﹣×15+b,
解得b=,
∴平移后的直线l2的函数表达式为y=﹣x+.
24.解:(1)设反比例函数的解析式为y=(k>0),
∵A(m,﹣2)在正比例函数y=2x图象上,
∴﹣2=2m,
∴m=﹣1,
∴A(﹣1,﹣2),
又∵点A在反比例函数y=上,
∴k=2,
∴反比例函数的解析式为y=;
(2)四边形OABC是菱形.
证明:∵A(﹣1,﹣2),
∴OA==,
由题意知:CB∥OA且CB=,
∴CB=OA,
∴四边形OABC是平行四边形,
∵C(2,n)在y=上,
∴n=1,
∴C(2,1),
OC==,
∴OC=OA,
∴四边形OABC是菱形.
25.解:(1)把x=﹣1代入一次函数y1=﹣x+2得:
y1=﹣(﹣1)+2=3,
即点A的坐标为:(﹣1,3),
把点A(﹣1,3)代入反比例函数y2=得:
3=,
解得:k=﹣3,
即反比例函数为y2=﹣,
(2)一次函数y=﹣x+2与反比例函数y=﹣联立得:
,
解得:或,
即点A的坐标为:(﹣1,3),点B的坐标为:(3,﹣1),
由图象可知:当﹣1<x<0或x>3时,y1<y2,
故答案为:﹣1<x<0或x>3.
26.解:(1)设点A(x,y),则xy=k
∵S△AOB=
∴(﹣x)×y=
∴k=﹣3
∴反比例函数解析式y=
一次函数解析式y=﹣x+2
(2)由
解得,
∴A(﹣1,3)、C(3,﹣1)
∵一次函数y=﹣x+2与y轴的交点坐标为(0,2)
∴S△AOC=×2×(3+1)=4
(3)由图象可得:当x<﹣1或0<x<3时,一次函数图象在反比例图象的上方