2021-2022学年北师大版九年级数学上册6.2反比例函数的图象与性质 同步练习（Word版含答案）

2021-2022学年北师大版九年级数学上册《6.2反比例函数的图象与性质》
同步练习（附答案）
1．如图，过反比例函数y＝（x＞0）上的一点A作y轴的平行线交反比例函数y＝（x＞0）于点B，连接OA、OB．若S△AOB＝3．则k的值为（　　）
A．3 B．﹣3 C．4 D．﹣4
2．已知（﹣1，4）是反比例函数y＝上一点，下列各点不在y＝上的是（　　）
A．（﹣3，） B．（2，2） C．（4，﹣1） D．（﹣，8）
3．如图，已知点A是反比例函数y＝（x＞0）的图象上一点，AB∥x轴交另一个反比例函数y＝（x＞0）的图象于点B，C为x轴上一点，若S△ABC＝2，则k的值为（　　）
A．4 B．2 C．3 D．1
4．反比例函数y＝与y＝﹣kx+1（k≠0）在同一坐标系的图象可能为（　　）
A．B． C．D．
5．若反比例函数y＝的图象分布在第二、四象限，则k的取值范围是（　　）
A．k＜﹣2 B．k＜2 C．k＞﹣2 D．k＞2
6．如图，正比例函数y＝k1x与反比例函数y＝的图象相交于A、B两点，若点A的坐标为（2，1），则点B的坐标是（　　）
A．（1，2） B．（﹣2，1） C．（﹣1，﹣2） D．（﹣2，﹣1）
7．如果点P（﹣2，m）在双曲线y＝﹣上，那么m的值是（　　）
A．5 B．﹣5 C．10 D．﹣10
8．如图，点A，B分别在反比例函数y＝（x＞0），y＝（x＜0）的图象上．若OA⊥OB，＝2，则a的值为（　　）
A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2
9．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴上，对角线BD∥x轴，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过矩形对角线的交点E．若点A（2，0）、D（0，4），则反比例函数的解析式为　 　．
10．如图，点A（m，m+1），B（m+3，m﹣1）都在反比例函数y＝的图象上，如果M为x轴上一点，N为y轴上一点，以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点M，N的坐标：　 　．
11．如图，已知，在矩形AOBC中，OB＝4，OA＝3，分别以OB、OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，F是边BC上的一个动点（不与B、C重合），过F点的反比例函数y＝（k＞0）的图象与AC边交于点E，将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上的点D处，则k的值为　 　．
12．如图，直线y＝mx﹣1交y轴于点B，交x轴于点C，以BC为边的正方形ABCD的顶点A（﹣1，a）在双曲线y＝﹣（x＜0）上，D点在双曲线y＝（x＞0）上，则k的值为　 　．
13．如图，A为反比例函数y＝（其中x＞0）图象上的一点，在x轴正半轴上有一点B，OB＝4．连接OA，AB，且OA＝AB．过点B作BC⊥OB，交反比例函数y＝（其中x＞0）的图象于点C，连接OC交AB于点D，则的值为　 　．
14．如图， ABCD的顶点A，B的坐标分别是A（﹣1，0），B（0，﹣2），顶点C、D在双曲线y＝上，边AD交y轴于点E，且四边形BCDE的面积是△ABE面积的9倍，则k＝　 　．
15．如图，直线y＝﹣x+b与双曲线（x＞0）交于A、B两点，与x轴、y轴分别交于E、F两点，连接OA、OB，若S△AOB＝S△OBF+S△OAE，则b＝　 　．
16．如图，已知正比例函数y＝kx（k≠0）和反比例函数y＝（m≠0）的图象相交于点A（﹣2，1）和点B，则不等式kx＜的解集是　 　．
17．如图，点A是双曲线y＝﹣在第二象限分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为底作等腰△ABC，且∠ACB＝120°，点C在第一象限，随着点A的运动点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线y＝上运动，则k的值为　 　．
18．如图，函数y＝kx（k≠0）与y＝的图象交于A，B两点，过点A作AM垂直于x轴，垂足为点M，则△BOM的面积为　 　．
19．如图，A、B两点在函数y＝（x＞0）的图象上．
（1）求m的值及直线AB的解析式；
（2）如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点．请直接写出图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数．
20．已知，如图，函数y＝与y＝﹣2x+8的图象交于点A、B．
（1）直接写出A、B两点的坐标：A　 　，B　 　；
（2）观察图象，直接写出不等式＞﹣2x+8的解集：　 　；
（3）点P是坐标轴上的动点，当AP+BP取得最小值时，求点P的坐标．
21．如图，直线y＝﹣x+b与反比例函数y＝的图象相交于A（1，4），B两点，延长AO交反比例函数图象于点C，连接OB．
（1）求k和b的值；
（2）直接写出一次函数值小于反比例函数值的自变量x的取值范围；
（3）在y轴上是否存在一点P，使S△PAC＝S△AOB？若存在请求出点P坐标，若不存在请说明理由．
22．如图，已知反比例函数y＝（x＞0）的图象与一次函数y＝kx+4的图象交于A和B（6，1）两点．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．
23．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣x与反比例函数y＝的图象交于A，B两点（点A在点B左侧），已知A点的纵坐标是2；
（1）求反比例函数的表达式；
（2）根据图象直接写出﹣x＞的解集；
（3）将直线l1：y＝x沿y向上平移后的直线l2与反比例函数y＝在第二象限内交于点C，如果△ABC的面积为30，求平移后的直线l2的函数表达式．
24．如图，已知正比例函数y＝2x和反比例函数的图象交于点A（m，﹣2）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若双曲线上点C（2，n）沿OA方向平移个单位长度得到点B，判断四边形OABC的形状并证明你的结论．
25．如图，一次函数y1＝﹣x+2的图象与反比例函数y2＝（k≠0）的图象分别交于第二、四象限的A，B两点，点A的横坐标为﹣1．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）根据图象回答：当x取何值时，y1＜y2．请直接写出答案：　 　．
26．如图，Rt△ABO的顶点A是反比例函数y＝与一次函数y＝﹣x﹣（k+1）的图象在第二象限的交点，AB⊥x轴于B，且S△ABO＝．
（1）直接写出这两个函数的关系式；
（2）求△AOC的面积；
（3）根据图象直接写出：当x为何值时，反比例函数的值小于一次函数的值．
参考答案
1．解：∵点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，且AB∥y轴，
∴S△AOC＝×|2|＝1，
又∵S△AOB＝3，
∴S△BOC＝3﹣1＝2，
∴|k|＝2，
而k＜0，
∴k＝﹣4，
故选：D．
2．解：将点（﹣1，4）代入y＝，
∴k＝﹣4，
∵2×2＝4≠﹣4，
∴点（2，2）不在函数图象上，
故选：B．
3．解：延长AB交y轴于点D，连接OA、OB，
∵点A是反比例函数y＝（x＞0）的图象上，AB∥x轴，
∴S△AOD＝|k|＝×6＝3，S△AOB＝S△ACB＝2，
∴S△BOD＝S△AOD﹣S△AOB＝3﹣2＝1，
又∵点B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴S△BOD＝|k|＝1，
∴k＝2，k＝﹣2（舍去），
故选：B．
4．解：A、由反比例函数的图象可知，k＞0，一次函数图象呈上升趋势且交与y轴的正半轴，﹣k＞0，即k＜0，故本选项错误；
B、由反比例函数的图象可知，k＞0，一次函数图象呈下降趋势且交与y轴的正半轴，﹣k＜0，即k＞0，故本选项正确；
C、由反比例函数的图象可知，k＜0，一次函数图象呈上升趋势且交与y轴的负半轴（不合题意），故本选项错误；
D、由反比例函数的图象可知，k＜0，一次函数图象呈下降趋势且交与y轴的正半轴，﹣k＜0，即k＞0，故本选项错误．
故选：B．
5．解：∵反比例函数y＝的图象分布在第二、四象限，
∴2﹣k＜0，
解得k＞2，
故选：D．
6．解：∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，
∴A、B两点关于原点对称，
∵A的坐标为（2，1），
∴B的坐标为（﹣2，﹣1）．
故选：D．
7．解：∵点P（﹣2，m）在双曲线y＝﹣上，
∴m＝﹣＝5．
故选：A．
8．解：过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥x轴于点N，
∴∠AMO＝∠BNO＝90°，
∴∠AOM+∠OAM＝90°，
∵OA⊥OB，
∴∠AOM+∠BON＝90°，
∴∠OAM＝∠BON，
∴△AOM∽△OBN，
∵点A，B分别在反比例函数y＝（x＞0），y＝（x＜0）的图象上，
∴S△AOM：S△BON＝1：（﹣a），
∴AO：BO＝1：，
∵OB：OA＝2，
∴a＝﹣4，
故选：A．
9．解：∵BD∥x轴，D（0，4），
∴B、D两点纵坐标相同，都为4，
∴可设B（x，4）．
∵矩形ABCD的对角线的交点为E，
∴E为BD中点，∠DAB＝90°．
∴E（x，4）．
∵∠DAB＝90°，
∴AD2+AB2＝BD2，
∵A（2，0），D（0，4），B（x，4），
∴22+42+（x﹣2）2+42＝x2，
解得x＝10，
∴E（5，4）．
∵反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点E，
∴k＝5×4＝20，
∴反比例函数的解析式为y＝
故答案为y＝．
10．解：∵点A（m，m+1），B（m+3，m﹣1）都在反比例函数y＝kx的图象上，
∴，
∴k＝m（m+1）＝（m+3）（m﹣1），
∴m2+m＝m2+2m﹣3，
解得m＝3，
∴k＝3×4＝12；
∵m＝3，
∴A（3，4），B（6，2），
作AM⊥x轴于M，过B作BN⊥y轴于N，两线交于P，
∵A（3，4），B（6，2），
∴AP＝PM＝2，BP＝PN＝3，
∵四边形ANMB是平行四边形，
当M（﹣3，0）、N（0，﹣2）时，根据勾股定理能求出AM＝BN，AB＝MN，
即四边形AMNB是平行四边形，
∴此时M（3，0）、N（0，2）或M（﹣3，0）、N（0，﹣2）．
故答案为：M（3，0）、N（0，2）或M（﹣3，0）、N（0，﹣2）．
11．解：如图，过点E作EM⊥x轴于点M，
∵将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上的D点处，
∴∠EDF＝∠C＝90°，EC＝ED，CF＝DF，
∴∠MDE+∠FDB＝90°，
而EM⊥OB，
∴∠MDE+∠MED＝90°，
∴∠MED＝∠FDB，
∴Rt△MED∽Rt△BDF；
又∵EC＝AC﹣AE＝4﹣，CF＝BC﹣BF＝3﹣，
∴ED＝4﹣，DF＝3﹣，
∴＝＝；
∵EM：DB＝ED：DF＝4：3，而EM＝3，
∴DB＝，
在Rt△DBF中，DF2＝DB2+BF2，即（3﹣）2＝（）2+（）2，
解得k＝，
故答案为．
12．解：∵A（﹣1，a）在双曲线y＝﹣（x＜0）上，
∴a＝2，
∴A（﹣1，2），
∵点B在直线y＝mx﹣1上，
∴B（0，﹣1），
∴AE＝1，BE＝3，
作DM⊥x轴于M，AN⊥DM于N，交y轴于E，
∵∠MDC+∠ADN＝90°＝∠MDC+∠MCD，
∴∠ADN＝∠MCD，
同理：∠ADN＝∠EAB＝∠CBO＝∠MCD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝AB＝CD＝DA，
∴△ADN≌△BAE≌△CBO≌△CDM（AAS），
∴DM＝BE＝AN＝CO＝3，CM＝AE＝1，
∴EN＝3﹣1＝2，
∴点D（2，3），
∵D点在双曲线y＝（x＞0）上，
∴k＝2×3＝6，
故答案为：6．
13．解：过点A作AH⊥x轴，垂足为H，AH交OC于点M，如图，
∵OA＝AB，AH⊥OB，
∴OH＝BH＝OB＝×4＝2，
A（2，），C（4，），
∵AH∥BC，
∴MH＝BC＝，
∴AM＝AH﹣MH＝﹣＝，
∵AM∥BC，
∴△ADM∽△BDC，
∴＝＝．
14．解：如图，过C、D两点作x轴的垂线，垂足为F、G，DG交BC于M点，过C点作CH⊥DG，垂足为H，
∵ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC，
∵BO∥DG，
∴∠OBC＝∠GDE，
∴∠HDC＝∠ABO，
∴△CDH≌△ABO（AAS），
∴CH＝AO＝1，DH＝OB＝2，设C（m+1，n），D（m，n+2），
则（m+1）n＝m（n+2）＝k，
解得n＝2m，则D的坐标是（m，2m+2），
设直线AD解析式为y＝ax+b，将A、D两点坐标代入得
，
由①得：a＝b，代入②得：mb+b＝2m+2，
即b（m+1）＝2（m+1），解得b＝2，
则，
∴y＝2x+2，E（0，2），BE＝4，
∴S△ABE＝×BE×AO＝2，
∵S四边形BCDE＝9S△ABE＝9××4×1＝18，
∵S四边形BCDE＝S△ABE+S四边形BEDM＝18，
即2+4×m＝18，
解得m＝4，
∴n＝2m＝8，
∴k＝（m+1）n＝5×8＝40．
故答案为：40．
15．解：令y＝0，则﹣x+b＝0，
解得x＝b，
令x＝0，则y＝b，
所以，点E（b，0）、F（0，b），
所以，OE＝OF，
过点O作OM⊥AB于点M，则ME＝MF，
设点A（x1，y1）、B（x2，y2），
联立，
消掉y得，x2﹣bx+1＝0，
根据根与系数的关系，x1 x2＝1，
所以y1 y2＝1，
所以y1＝x2，y2＝x1，
所以OA＝OB，
所以AM＝BM（等腰三角形三线合一），
∵S△AOB＝S△OBF+S△OAE，
∴FB＝BM＝AM＝AE，
所以点A（b，b），
∵点A在双曲线y＝上，
∴b×b＝1，
解得b＝．
故答案为：．
16．解：∵正比例函数y＝kx（k≠0）和反比例函数y＝（m≠0）的图象相交于点A（﹣2，1），和点B，
∴B（2，﹣1），
∴不等式kx＜的解集是﹣2＜x＜0或x＞2，
故答案为：﹣2＜x＜0或x＞2．
17．解：作AD⊥x轴于D，CE⊥x轴于E，连接OC，如图，
∵AB过原点，
∴点A与点B关于原点对称，
∴OA＝OB，
∵△CAB为等腰三角形，
∴OC⊥AB，
∴∠ACB＝120°，
∴∠CAB＝30°，
∴OA＝OC，
∵∠AOD+∠COE＝90°，∠AOD+∠OAD＝90°，
∴∠OAD＝∠COE，
∴Rt△AOD∽Rt△OCE，
∴＝（）2＝（）2＝3，
而S△OAD＝×|﹣6|＝3，
∴S△OCE＝1，
即|k|＝1，
而k＞0，
∴k＝2．
18．解：由题意得：OA＝OB，则S△AOM＝S△BOM，
设A（a，b）（a＞0，b＞0），故OM＝a，AM＝b，
将x＝a，y＝b代入反比例函数y＝得：b＝，即ab＝3，
又∵AM⊥OM，即△AOM为直角三角形，
∴S△BOM＝S△AOM＝OM AM＝ab＝．
故答案是：．
19．解：（1）由图象可知，函数（x＞0）的图象经过点A（1，6），
可得m＝6．
设直线AB的解析式为y＝kx+b．
∵A（1，6），B（6，1）两点在函数y＝kx+b的图象上，
∴，
解得．
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+7；
（2）图中阴影部分（不包括边界）所含格点是（2，4），（3，3），（4，2）共3个．
20．解：（1）由题意得：，
解之得：，，
∴A、B两点坐标分别为A（3，2）、B（1，6）；
（2）由图象得：不等式＞﹣2x+8的解集为0＜x＜1或x＞3；
（3）分两种情况：
①如果点P在x轴上，
作点A关于x轴的对称点A′（3，﹣2），连接A′B交x轴于点P，则PA′＝PA，
所以AP+BP＝A′P+BP＝A′B，即AP+BP的最小值为线段A′B的长度．
设直线A′B的解析式为y＝kx+b，
∵A′（3，﹣2），B（1，6），
∴，解得，
∴直线A′B的解析式为y＝﹣4x+10，
当y＝0时，x＝，
∴点P的坐标为（，0）；
②如果点P在y轴上，
作点B关于y轴的对称点B′（﹣1，6），连接AB′交y轴于点P，则PB′＝PB，
所以AP+BP＝AP+B′P＝AB′，即AP+BP的最小值为线段AB′的长度．
设直线AB′的解析式为y＝mx+n，
∵A（3，2），B′（﹣1，6），
∴，解得，
∴直线AB′的解析式为y＝﹣x+5，
当x＝0时，y＝5，
∴点P的坐标为（0，5）．
综上所述，点P的坐标为（，0）或（0，5）．
故答案为（3，2），（1，6）；0＜x＜1或x＞3．
21．解：（1）将A（1，4）分别代入y＝﹣x+b和
得：4＝﹣1+b，4＝，解得：b＝5，k＝4；
（2）一次函数值小于反比例函数值的自变量x的取值范围为：x＞4或0＜x＜1，
（3）过A作AN⊥x轴，过B作BM⊥x轴，
由（1）知，b＝5，k＝4，
∴直线的表达式为：y＝﹣x+5，反比例函数的表达式为：
由，解得：x＝4，或x＝1，
∴B（4，1），
∴S△AOB＝（1+4）×（4﹣1）÷2＝，
∵S△PAC＝，
∴，
过A作AE⊥y轴，过C作CD⊥y轴，设P（0，t），
∴S△PAC＝OP CD+OP AE＝OP（CD+AE）＝|t|＝3，
解得：t＝3，t＝﹣3，
∴P（0，3）或P（0，﹣3）．
22．解：（1）将B（6，1）代入y＝得：m＝6，
即反比例函数的解析式为：y＝；
将B（6，1）代入y＝kx+4得：1＝6k+4，
解得：k＝﹣，
即一次函数的解析式为y＝﹣x+4；
（2）解得：，，
∴A（2，3），
作AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，则AE＝3，BF＝1，
设直线y＝﹣x+4与x轴交于C点，
由y＝﹣x+4＝0得x＝8，即C（8，0），
∴S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC＝×8×3﹣×8×1＝8．
23．解：（1）∵直线l1：y＝﹣x经过点A，A点的纵坐标是2，
∴当y＝2时，x＝﹣4，
∴A（﹣4，2），
∵反比例函数y＝的图象经过点A，
∴k＝﹣4×2＝﹣8，
∴反比例函数的表达式为y＝﹣；
（2）∵直线l1：y＝﹣x与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，
∴B（4，﹣2），
∴不等式﹣x＞的解集为x＜﹣4或0＜x＜4；
（3）如图，设平移后的直线l2与x轴交于点D，连接AD，BD，
∵CD∥AB，
∴△ABC的面积与△ABD的面积相等，
∵△ABC的面积为30，
∴S△AOD+S△BOD＝30，即OD（|yA|+|yB|）＝30，
∴×OD×4＝30，
∴OD＝15，
∴D（15，0），
设平移后的直线l2的函数表达式为y＝﹣x+b，
把D（15，0）代入，可得0＝﹣×15+b，
解得b＝，
∴平移后的直线l2的函数表达式为y＝﹣x+．
24．解：（1）设反比例函数的解析式为y＝（k＞0），
∵A（m，﹣2）在正比例函数y＝2x图象上，
∴﹣2＝2m，
∴m＝﹣1，
∴A（﹣1，﹣2），
又∵点A在反比例函数y＝上，
∴k＝2，
∴反比例函数的解析式为y＝；
（2）四边形OABC是菱形．
证明：∵A（﹣1，﹣2），
∴OA＝＝，
由题意知：CB∥OA且CB＝，
∴CB＝OA，
∴四边形OABC是平行四边形，
∵C（2，n）在y＝上，
∴n＝1，
∴C（2，1），
OC＝＝，
∴OC＝OA，
∴四边形OABC是菱形．
25．解：（1）把x＝﹣1代入一次函数y1＝﹣x+2得：
y1＝﹣（﹣1）+2＝3，
即点A的坐标为：（﹣1，3），
把点A（﹣1，3）代入反比例函数y2＝得：
3＝，
解得：k＝﹣3，
即反比例函数为y2＝﹣，
（2）一次函数y＝﹣x+2与反比例函数y＝﹣联立得：
，
解得：或，
即点A的坐标为：（﹣1，3），点B的坐标为：（3，﹣1），
由图象可知：当﹣1＜x＜0或x＞3时，y1＜y2，
故答案为：﹣1＜x＜0或x＞3．
26．解：（1）设点A（x，y），则xy＝k
∵S△AOB＝
∴（﹣x）×y＝
∴k＝﹣3
∴反比例函数解析式y＝
一次函数解析式y＝﹣x+2
（2）由
解得，
∴A（﹣1，3）、C（3，﹣1）
∵一次函数y＝﹣x+2与y轴的交点坐标为（0，2）
∴S△AOC＝×2×（3+1）＝4
（3）由图象可得：当x＜﹣1或0＜x＜3时，一次函数图象在反比例图象的上方