2021-2022学年北师大版九年级数学下册1.6利用三角函数测高 解答专题训练 （Word版含答案）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年北师大版九年级数学下册1.6利用三角函数测高 解答专题训练 （Word版含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 466.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-11-16 08:32:45 | ||
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文档简介
2021-2022学年北师大版九年级数学下册《1.6利用三角函数测高》解答专题训练（附答案）
1．近几年，我国国家海洋局高度重视海上巡逻．如图，上午9时，巡逻船位于A处，观测到某港口城市P位于巡逻船的北偏西67.5°，巡逻船以21海里/时的速度向正北方向行驶，下午2时巡逻船到达B处，这时观测到城市P位于巡逻船的南偏西36.9°方向，求此时巡逻船所在B处与城市P的距离？（参考数据：sin36.9°≈，tan36.9°≈，sin67.5°≈，tan67.5°≈）
2．南海是我国的南大门，如图所示，某天我国一艘海监执法船在南海海域正在进行常态化巡航，在A处测得北偏东30°方向上，距离为20海里的B处有一艘不明身份的船只正在向东南方向航行，便迅速沿北偏东75°的方向前往监视巡查，经过一段时间后在C处成功拦截不明船只，问我国海监执法船在前往监视巡查的过程中行驶了多少海里？
3．王亮同学要测量广场内被湖水隔开的两颗大树A和B之间的距离，它在A处测得B在A的北偏西30°方向，他从A处出发向北偏东15°方向走了200米到达C处，这时测得大树B在C的北偏西60°的方向．
（1）求∠ABC的度数；
（2）求两颗大树A和B之间的距离（结果精确到1米）（参考数据：≈1.414，，1.732，≈2.449）
4．超速行驶是一种十分危险的违法驾驶行为，在一条东西走向的笔直高速公路MN上，小型车限速为每小时100千米．现有一辆小汽车行驶到A处时，发现北偏东30°方向200米处有一超速监测仪P10秒后，小汽车行驶至B处，测得监测仪P在B处的北偏西45°方向上．请问：这辆车超速了吗？通过计算说明理由．（参考数据：≈1.41，≈1.73）
5．某条道路上通行车辆的限速60千米/时，道路的AB段为监测区，监测点P到AB的距离PH为50米（如图）．已知点P在点A的北偏东45°方向上，且在点B的北偏西60°方向上，点B在点A的北偏东75°方向上，那么车辆通过AB段的时间在多少秒以内，可认定为超速？（参考数据：≈1.7，≈1.4）．
6．如图，一艘海轮位于小岛C的南偏东60°方向，距离小岛120海里的A处，该海轮从A处正北方向航行一段距离后，到达位于小岛C北偏东45°方向的B处．
（1）求该海轮从A处到B处的航行过程中与小岛C之间的最短距离（记过保留根号）；
（2）如果该海轮以每小时20海里的速度从B处沿BC方向行驶，求它从B处到达小岛C的航行时间（结果精确到0.1小时）．（参考数据：＝1.41，＝1.73）
7．码头A、B位于东西走向的河岸线l上，一游轮在P处测得码头A在其北偏东70°，游轮向东航行10分钟后到达Q处，此时测得码头B在其北偏东35°．已知游轮的速度为30千米/小时，两码头A、B相距2千米．
（1）求点P到河岸线l的距离；
（2）若该游轮按原速度从点Q驶向码头B，则至少需要多长时间才能到达码头B？（sin35°≈，cos35°≈，tan35°≈，sin70°≈，cos70°≈，tan70°≈）
8．如图，在一笔直的海岸线上有A，B两个观测站，A观测站在B观测站的正东方向，有一艘小船在点P处，从A处测得小船在北偏西60°方向，从B处测得小船在北偏东45°的方向，点P到点B的距离是3千米．（注：结果有根号的保留根号）
（1）求A，B两观测站之间的距离；
（2）小船从点P处沿射线AP的方向以千米/时的速度进行沿途考察，航行一段时间后到达点C处，此时，从B测得小船在北偏西15°方向，求小船沿途考察的时间．
9．周末小明和同学们去“绿博园”的枫湖坐船，观赏风景；如图，小明正在A处的小船上，B处小船上的游客发现点A在点B的正西方向上，C处小船上的游客发现点A在点C的南偏东30°方向上，已知点C在点B的北偏西60°方向上，且B、C两地相距120米．
（1）求出此时点A到点C的距离
（2）若小明从A处沿AC方向向C驶去，当到达点Aˊ时，测得点B在Aˊ的南偏东75°的方向上，求此时小明所乘坐的小船走的距离．（注：结果保留根号）
10．如图，自来水厂A和村庄B在小河1的两侧，现要在A，B间铺设一条输水管道，为了搞好工程预算，需测算出A，B间的距离．一小船在点P处测得A在正北方向，B位于南偏东24.5°方向，前行1200m，到达点Q处，测得A位于北偏西49°方向，B位于南偏西41°方向．
（1）求BQ长度；
（2）求A，B间的距离．（参考数据：cos41°≈0.75）
11．由于过度采伐森林和破坏植被，我国部分地区频频遭受沙尘暴的侵袭．近日，A城气象局测得沙尘暴中心在A城的正北方向240km的B处，以12km/h的速度向南偏东30°方向移动，距沙尘暴中心150km的范围为受影响区域．
（1）A城是否受到这次沙尘暴的影响，为什么？
（2）若A城受这次沙尘暴影响，那么遭受影响的时间有多长？
12．如图，海面上甲、乙两船分别从A，B两处同时出发，由西向东行驶，甲船的速度为24nmile/h，乙船的速度为15nmile/h，出发时，测得乙船在甲船北偏东50°方向，且AB＝10nmile，经过20分钟后，甲、乙两船分别到达C，D两处．
（参考值：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192）
（1）求两条航线间的距离；
（2）若两船保持原来的速度和航向，还需要多少时间才能使两船的距离最短？（精确到0.01）
13．向阳中学校园内有一条林萌道叫“勤学路”，道路两边有如图所示的路灯（在铅垂面内的示意图），灯柱BC的高为10米，灯柱BC与灯杆AB的夹角为120°．路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域DE的长为13.3米，从D、E两处测得路灯A的仰角分别为α和45°，且tanα＝6．求灯杆AB的长度．
14．如图，活动课上，小玥想要利用所学的数学知识测量某个建筑地所在山坡AE的高度，她先在山脚下的点E处测得山顶A的仰角是30°，然后，她沿着坡度i＝1：1的斜坡按速度20米/分步行15分钟到达C处，此时，测得点A的俯角是15°．图中点A、B、E、D、C在同一平面内，且点D、E、B在同一水平直线上，求出建筑地所在山坡AE的高度AB．（精确到0.1米，参考数据：≈1.41）．
15．如图，直立于地面上的电线杆AB，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是BC、CD，测得BC＝6米，CD＝4米，同时测得∠BCD＝150°，在D处测得电线杆顶端A的仰角为30°，试电线杆的高度（≈1.732，结果精确到0.1米）
16．已知，如图，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，数学兴趣小组的同学在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，然后他们沿着坡度为1：2.4的斜坡AP攀行了26米，在坡顶A处又测得该塔的塔顶B的仰角为76°．求：
（1）坡顶A到地面PQ的距离；
（2）古塔BC的高度（结果精确到1米）．
（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）
17．如图，小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC，测得B，C两点的俯角分别为60°和45°，已知热气球离地面的高度为120m，且大桥与地面在同一水平面上，求大桥BC的长度（结果保留整数，≈1.72）．
18．如图，小明所在教学楼的每层高度为3.6米，为了测量旗杆MN的高度，他在教学楼一楼的窗台A处测得旗杆顶部M的仰角为45°，他在二楼窗台B处测得M的仰角为30°，已知每层楼的窗台离该层的地面高度均为1米，求旗杆MN的高度
（结果保留根号）．
19．让每一个孩子在家门口就能“上好学”，合肥某中学依山而建．校门A处，有一斜坡AB，长度为13米，在坡顶B处看教学楼CF的楼顶C的仰角∠CBF＝45°，离B点A（3﹣）米远的E处有一花台，在E处仰望C的仰角∠CEF＝60°，CF的延长线交校门处的水平面于D点，FD＝5米．
（1）求斜坡AB的坡度i．
（2）求DC的长．
20．如图，从坡上建筑物AB观测坡地建筑物CD，从A点处测得C点的俯角为45°，从B点处测得D点的俯角为30°，已知建筑物AB的高度为10m，AB与CD的水平距离是OD＝15m，求CD的高度．
21．如图，学校数学兴趣小组在大运河的斜坡AB上，要测量河对岸镇国寺塔MN的高度，他们在斜坡AB上的C处，测得镇国寺塔MN的顶端N的仰角是20°，沿斜坡AB走10米，到达坡底B处（B处于镇国寺塔MN的底端M在同一水平线上），在B处测得镇国寺塔MN顶端N的仰角是30°，若斜坡AB的坡比为3：4，求镇国寺塔MN的高度．（结果保留整数，参考数据：sin20°≈0.3，cos20°≈0.9，tan20°≈0.4，≈1.7）
参考答案
1．解：过点P作PC⊥AB，垂足为C，设PC＝x海里．
在Rt△APC中，∵tan∠A＝，
∴AC＝，
在Rt△PCB中，∵tan∠B＝，
∴BC＝，
∵AC+BC＝AB＝21×5，
∴，解得x＝60，
∵，
∴（海里）．
∴巡逻船所在B处与城市P的距离为100海里．
2．解：过B作BD⊥AC，
∵∠BAC＝75°﹣30°＝45°，
∴在Rt△ABD中，∠BAD＝∠ABD＝45°，∠ADB＝90°，
由勾股定理得：BD＝AD＝×20＝10（海里），
在Rt△BCD中，∠C＝60°，∠CBD＝30°，
∴tan∠CBD＝，即CD＝10×＝，
则AC＝AD+DC＝10+（海里），即我海监执法船在前往监视巡查的过程中行驶了10+海里．
3．解：由题意可知：∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝30°+15°＝45°，
∠MCA＝∠CAD＝15°，
∴∠ACB＝180°﹣∠MCA﹣∠BCN＝180°﹣15°﹣60°＝105°，
在△ABC中，
∠ABC＝180°﹣∠BCA﹣∠BAC＝180°﹣105°﹣45°＝30°；
过点C作CH⊥AB于点H，
在Rt△ACH中，∵AC＝200（米），∠CAH＝45°，
∴CH＝ACsin∠CAH＝200×sin45°＝200×＝100（米）
∴AH＝CH＝100 （米）
在Rt△BCH中，∵CH＝100 （米），∠CBH＝30°，
∴；
∴AB＝AH+BH＝100+100≈386（米）
答：两棵大树A和B之间的距离约为386米．
4．解：这辆车没有超速．理由如下：
过点P作PC⊥AB于C，则∠PCA＝∠PCB＝90°．
由题可知：∠APC＝30°，∠BPC＝45°，
∴在Rt△APC中，AC＝PA＝×200＝100（米），PC＝AC＝100米．
在Rt△BCP中，BC＝PC＝100米，
∴AB＝AC+BC＝100+100（米），
∵行驶时间为10秒，
∴这辆车的速度为＝10+10≈27.3（米/秒），
100千米/时≈27.8米/秒，
27.3米/秒＜27.8米/秒，
所以，这辆车没有超速，
5．解：如图，由题意知∠CAB＝75°、∠CAP＝45°、∠PBD＝60°，
∴∠PAH＝∠CAB﹣∠CAP＝30°，
∵∠PHA＝∠PHB＝90°，PH＝50，
∴AH＝＝＝50，
∵AC∥BD，
∴∠ABD＝180°﹣∠CAB＝105°，
∴∠PBH＝∠ABD﹣∠PBD＝45°，
则PH＝BH＝50，
∴AB＝AH+BH＝50+50，
∵60千米/时＝米/秒，
∴时间t＝＝3+3≈8.1（秒），
即车辆通过AB段的时间在8.1秒以内，可认定为超速．
6．解：（1）如图，过点C作CD⊥AB于D，
由题意，得∠ACD＝30°．
在直角△ACD中，∠ADC＝90°，
∴cos∠ACD＝，
∴CD＝AC cos30°＝120×＝60（海里）；
（2）在直角△BCD中，∠BDC＝90°，∠DCA＝45°，
∴cos∠BCD＝，
∴BC＝＝＝60≈60×2.44＝146.4（海里），
∴146.4÷20＝7.32≈7.3（小时）．
答：（1）求该海轮从A处到B处的航行过程中与小岛C之间的最短距离是60海里；
（2）如果该海轮以每小时20海里的速度从B处沿BC方向行驶，求它从B处到达小岛C的航行时间约为7.3小时．
7．解：（1）过点B作BE⊥PQ于E，作BF∥AP交PQ于点F．
∵AB∥PQ，BF∥AP，
∴四边形APFB是平行四边形，
∴PF＝AB＝2千米，∠EFB＝∠EPA＝20°，
∴FQ＝PQ﹣PF＝30×﹣2＝3（千米）．
在△BFQ中，∵∠BFQ＝20°，∠FQB＝90°+35°＝125°，
∴∠FBQ＝180°﹣∠BFQ﹣∠FQB＝35°，
设BE＝x，FQ＝FE﹣QE，FE＝x tan70°，QE＝35×tan35°，
可得x tan70°﹣35×tan35°＝3，
解得x＝．
答：点P到河岸线l的距离是千米；
（2）∵BQ＝千米，游轮的速度为30千米/小时，
∴该游轮按原速度从点Q驶向码头B的时间为：÷30＝（小时）．
答：若该游轮按原速度从点Q驶向码头B，则它至少需要小时才能到达码头B．
8．解：（1）如图，过点P作PD⊥AB于点D．
在Rt△PBD中，∠BDP＝90°，∠PBD＝90°﹣45°＝45°，
∴BD＝PD＝3千米．
在Rt△PAD中，∠ADP＝90°，∠PAD＝90°﹣60°＝30°，
∴AD＝PD＝3千米，PA＝6千米．
∴AB＝BD+AD＝3+3（千米）；
（2）如图，过点B作BF⊥AC于点F．
根据题意得：∠ABC＝105°，
在Rt△ABF中，∠AFB＝90°，∠BAF＝30°，
∴BF＝AB＝千米，AF＝AB＝ 千米．
在△ABC中，∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝45°．
在Rt△BCF中，∠BFC＝90°，∠C＝45°，
∴CF＝BF＝千米，
∴PC＝AF+CF﹣AP＝3千米．
故小船沿途考察的时间为：3÷＝3（小时）．
9．解：（1）作CD⊥BA交BA的延长线于点D，
由题意可得，BC＝120米，∠CBD＝30°，
则CD＝60米，
∵∠DCA＝30°，
∴AC＝米，
即此时点A到点C的距离是40米；
（2）作A′N⊥BC于点N，作A′E⊥BA交BA的延长线于点E，
由题意可得，
∠1＝30°，∠EA′B＝′75°，∠EA′A＝30°，∠CBD＝30°，
则∠AA′B＝45°，
∴∠2＝15°，
∴∠A′BE＝15°，
∴A′N＝A′E，
设AA′＝x，
则A′E＝，
∴A′N＝，
∴CA′＝，
∵CA＝，
∴x+x＝40，
得x＝60﹣20，
答：此时小明所乘坐的小船走的距离是（60﹣20）米．
10．解：（1）∵B位于P点南偏东24.5°方向，
∴∠BPQ＝90°﹣24.5°＝65.5°，
又∵B位于Q点南偏西41°方向，
∴∠PQB＝90°﹣41°＝49°，
∴∠PBQ＝180°﹣65.5°﹣49°＝65.5°，即∠PBQ＝∠BPQ，
∴BQ＝PQ＝1200（m）；
（2）∵点P处测得A在正北方向，
∴∠APQ＝90°．在Rt△APQ中，cos∠AQP≈0.75
∴AQ＝1200÷0.75＝1600，
∵在点Q处，测得A位于北偏西49°方向，B位于南偏西41°方向，
∴∠AQB＝90°，在Rt△ABQ中，
AB＝＝＝2000（m）
答：A，B间的距离约为2000m．
11．解：（1）过点A作AD⊥BC，垂足为D，
在Rt△ABD中，由题意可知∠DBA＝30°，
∴AD＝AB＝×240＝120（km），
∵AD＝120＜150，
∴A城将受这次沙尘暴的影响；
（2）设点E，F是以A为圆心，150km为半径的圆与CB的交点，连接AE，AF，
由题意得DE＝＝90（km），
∴EF＝2DE＝2×90＝180（km），
∴A城受沙尘暴影响的时间为：180÷12＝15（时），
答：A城将受到这次沙尘暴的影响，影响的时间为15时．
12．解：（1）过点A作AE⊥DB，交DB的延长线于E，
在Rt△AEB中，∵∠AEB＝90°，∠EAB＝50°，AB＝10，
∴AE＝AB cos50°＝10×0.643＝6.43（nmile），
答：两条航线间的距离为6.43（nmile）；
（2）当甲乙两船的位置垂直时，两船之间的距离最短，过C作CF⊥BD于F．
∵BE＝AB sin50°＝7.66，
AC＝24×＝8，BD＝15×＝5，
∴DF＝BD+BE﹣AC＝4.66，
设还需要t小时才能使两船的距离最短，
则有：24t﹣15t＝4.66，
解得t＝0.52（h），
答：还需要0.52h才能使两船的距离最短．
13．解：过点A作AF⊥CE，交CE于点F，过点B作BG⊥AF，交AF于点G，则FG＝BC＝10．
由题意得∠ADE＝α，∠E＝45°．
设AF＝x．
∵∠E＝45°，
∴EF＝AF＝x．
在Rt△ADF中，∵tan∠ADF＝，
∴DF＝＝，
∵DE＝13.3，
∴x+＝13.3．
∴x＝11.4．
∴AG＝AF﹣GF＝11.4﹣10＝1.4．
∵∠ABC＝120°，
∴∠ABG＝∠ABC﹣∠CBG＝120°﹣90°＝30°．
∴AB＝2AG＝2.8，
答：灯杆AB的长度为2.8米．
14．解：作EF⊥AC于点F，
根据题意，CE＝20×15＝300米，
∵i＝1：1，
∴tan∠CED＝1，
∴∠CED＝∠DCE＝45°，
∵∠ECF＝90°﹣45°﹣15°＝30°，
∴EF＝CE＝150米，
∵∠CEF＝60°，∠AEB＝30°，
∴∠AEF＝180°﹣45°﹣60°﹣30°＝45°，
∴AF＝EF＝150米，
∴AE＝（米），
∴AB＝×150≈105.8（米）．
答：建筑地所在山坡AE的高度AB约为105.8米．
15．解：延长AD交BC的延长线于E，作DF⊥BE于F，
∵∠BCD＝150°，
∴∠DCF＝30°，又CD＝4m，
∴DF＝2m，CF＝＝2（m），
由题意得∠E＝30°，
∴EF＝＝2，
∴BE＝BC+CF+EF＝（6+4）m，
∴AB＝BE×tanE＝（6+4）×＝2+4≈7.5（米），
答：电线杆的高度为7.5米．
16．解：（1）过点A作AH⊥PO，垂足为点H，
∵斜坡AP的坡度为1：2.4，
∴，
设AH＝5k，则PH＝12k，由勾股定理，得AP＝13k，
∴13k＝26，
解得k＝2，
∴AH＝10，
答：坡顶A到地面PQ的距离为10米．
（2）延长BC交PO于点D，
∵BC⊥AC，AC∥PO，
∴BD⊥PO，
∴四边形AHDC是矩形，CD＝AH＝10，AC＝DH，
∵∠BPD＝45°，
∴PD＝BD，
设BC＝x，则x+10＝24+DH，
∴AC＝DH＝x﹣14，
在Rt△ABC中，tan76°＝，即≈4.01．
解得x≈19．
答：古塔BC的高度约为19米．
17．解：作AD⊥CB交CB所在直线于点D．
由题知，∠ACD＝45°，∠ABD＝60°．
在Rt△ACD中，∠ACD＝45°，
所以CD＝AD＝120 m．
在Rt△ABD中，∠ABD＝60°，tan60°＝＝，
所以BD＝AD＝，
所以BC＝CD﹣BD＝120﹣≈120﹣69.2≈51（m）．
答：大桥BC的长度约为51m．
18．解：过点M的水平线交直线AB于点H，
由题意，得∠AMH＝∠MAH＝45°，∠BMH＝30°，AB＝3.6，
设MH＝x，则AH＝x，BH＝xtan30°＝x，
∴AB＝AH﹣BH＝x﹣x＝3.6，
解得x＝，
则旗杆高度MN＝x+1＝（米）
答：旗杆MN的高度度约为米．
19．解：（1）过B作BG⊥AD于G，
则四边形BGDF是矩形，
∴BG＝DF＝5米，
∵AB＝13米，
∴AG＝＝12米，
∴AB的坡度i＝＝1：2.4；
（2）∵在Rt△BCF中，∠CBF＝45°，
∴BF＝CF，
∵在Rt△CEF中，∠CEF＝60°，
∴EF＝CF，
∵BE＝4（3﹣）米，
∴BF﹣EF＝CF﹣CF＝4（3﹣），
解得：CF＝12．
∴DC＝CF+DF＝12+5＝17米．
20．解：作CE⊥AO于点E，如右图所示，
∵CE⊥AO，∠FAC＝45°，OD＝15m，
∴∠CAE＝45°，CE＝15m，
∴AE＝15m，
∵AB＝10m
∴BE＝5m，
∵∠BOD＝90°，∠BDO＝30°，OD＝15m，
∴BO＝15×tan30°＝15×＝5m，
∴EO＝BO﹣BE＝5﹣5，
∴CD＝EO＝5﹣5．
21．解：如图作CH⊥MN于H，CK⊥BM于K．则四边形CHMK是矩形，设MN＝a．
在Rt△MNB中，BM＝a，
在Rt△BCK中，Ck：BK＝3：4，设CK＝3k，BK＝4k，
∵（3k）2+（4k）2＝102，
∴k＝2（负根已经舍弃），
∴CK＝HM＝6，BK＝8，KM＝CH＝8+a，
在Rt△CNH中，tan20°＝，
∴＝0.4，
解得a≈30（米），
答：镇国寺塔MN的高度为30米．
1．近几年，我国国家海洋局高度重视海上巡逻．如图，上午9时，巡逻船位于A处，观测到某港口城市P位于巡逻船的北偏西67.5°，巡逻船以21海里/时的速度向正北方向行驶，下午2时巡逻船到达B处，这时观测到城市P位于巡逻船的南偏西36.9°方向，求此时巡逻船所在B处与城市P的距离？（参考数据：sin36.9°≈，tan36.9°≈，sin67.5°≈，tan67.5°≈）
2．南海是我国的南大门，如图所示，某天我国一艘海监执法船在南海海域正在进行常态化巡航，在A处测得北偏东30°方向上，距离为20海里的B处有一艘不明身份的船只正在向东南方向航行，便迅速沿北偏东75°的方向前往监视巡查，经过一段时间后在C处成功拦截不明船只，问我国海监执法船在前往监视巡查的过程中行驶了多少海里？
3．王亮同学要测量广场内被湖水隔开的两颗大树A和B之间的距离，它在A处测得B在A的北偏西30°方向，他从A处出发向北偏东15°方向走了200米到达C处，这时测得大树B在C的北偏西60°的方向．
（1）求∠ABC的度数；
（2）求两颗大树A和B之间的距离（结果精确到1米）（参考数据：≈1.414，，1.732，≈2.449）
4．超速行驶是一种十分危险的违法驾驶行为，在一条东西走向的笔直高速公路MN上，小型车限速为每小时100千米．现有一辆小汽车行驶到A处时，发现北偏东30°方向200米处有一超速监测仪P10秒后，小汽车行驶至B处，测得监测仪P在B处的北偏西45°方向上．请问：这辆车超速了吗？通过计算说明理由．（参考数据：≈1.41，≈1.73）
5．某条道路上通行车辆的限速60千米/时，道路的AB段为监测区，监测点P到AB的距离PH为50米（如图）．已知点P在点A的北偏东45°方向上，且在点B的北偏西60°方向上，点B在点A的北偏东75°方向上，那么车辆通过AB段的时间在多少秒以内，可认定为超速？（参考数据：≈1.7，≈1.4）．
6．如图，一艘海轮位于小岛C的南偏东60°方向，距离小岛120海里的A处，该海轮从A处正北方向航行一段距离后，到达位于小岛C北偏东45°方向的B处．
（1）求该海轮从A处到B处的航行过程中与小岛C之间的最短距离（记过保留根号）；
（2）如果该海轮以每小时20海里的速度从B处沿BC方向行驶，求它从B处到达小岛C的航行时间（结果精确到0.1小时）．（参考数据：＝1.41，＝1.73）
7．码头A、B位于东西走向的河岸线l上，一游轮在P处测得码头A在其北偏东70°，游轮向东航行10分钟后到达Q处，此时测得码头B在其北偏东35°．已知游轮的速度为30千米/小时，两码头A、B相距2千米．
（1）求点P到河岸线l的距离；
（2）若该游轮按原速度从点Q驶向码头B，则至少需要多长时间才能到达码头B？（sin35°≈，cos35°≈，tan35°≈，sin70°≈，cos70°≈，tan70°≈）
8．如图，在一笔直的海岸线上有A，B两个观测站，A观测站在B观测站的正东方向，有一艘小船在点P处，从A处测得小船在北偏西60°方向，从B处测得小船在北偏东45°的方向，点P到点B的距离是3千米．（注：结果有根号的保留根号）
（1）求A，B两观测站之间的距离；
（2）小船从点P处沿射线AP的方向以千米/时的速度进行沿途考察，航行一段时间后到达点C处，此时，从B测得小船在北偏西15°方向，求小船沿途考察的时间．
9．周末小明和同学们去“绿博园”的枫湖坐船，观赏风景；如图，小明正在A处的小船上，B处小船上的游客发现点A在点B的正西方向上，C处小船上的游客发现点A在点C的南偏东30°方向上，已知点C在点B的北偏西60°方向上，且B、C两地相距120米．
（1）求出此时点A到点C的距离
（2）若小明从A处沿AC方向向C驶去，当到达点Aˊ时，测得点B在Aˊ的南偏东75°的方向上，求此时小明所乘坐的小船走的距离．（注：结果保留根号）
10．如图，自来水厂A和村庄B在小河1的两侧，现要在A，B间铺设一条输水管道，为了搞好工程预算，需测算出A，B间的距离．一小船在点P处测得A在正北方向，B位于南偏东24.5°方向，前行1200m，到达点Q处，测得A位于北偏西49°方向，B位于南偏西41°方向．
（1）求BQ长度；
（2）求A，B间的距离．（参考数据：cos41°≈0.75）
11．由于过度采伐森林和破坏植被，我国部分地区频频遭受沙尘暴的侵袭．近日，A城气象局测得沙尘暴中心在A城的正北方向240km的B处，以12km/h的速度向南偏东30°方向移动，距沙尘暴中心150km的范围为受影响区域．
（1）A城是否受到这次沙尘暴的影响，为什么？
（2）若A城受这次沙尘暴影响，那么遭受影响的时间有多长？
12．如图，海面上甲、乙两船分别从A，B两处同时出发，由西向东行驶，甲船的速度为24nmile/h，乙船的速度为15nmile/h，出发时，测得乙船在甲船北偏东50°方向，且AB＝10nmile，经过20分钟后，甲、乙两船分别到达C，D两处．
（参考值：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192）
（1）求两条航线间的距离；
（2）若两船保持原来的速度和航向，还需要多少时间才能使两船的距离最短？（精确到0.01）
13．向阳中学校园内有一条林萌道叫“勤学路”，道路两边有如图所示的路灯（在铅垂面内的示意图），灯柱BC的高为10米，灯柱BC与灯杆AB的夹角为120°．路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域DE的长为13.3米，从D、E两处测得路灯A的仰角分别为α和45°，且tanα＝6．求灯杆AB的长度．
14．如图，活动课上，小玥想要利用所学的数学知识测量某个建筑地所在山坡AE的高度，她先在山脚下的点E处测得山顶A的仰角是30°，然后，她沿着坡度i＝1：1的斜坡按速度20米/分步行15分钟到达C处，此时，测得点A的俯角是15°．图中点A、B、E、D、C在同一平面内，且点D、E、B在同一水平直线上，求出建筑地所在山坡AE的高度AB．（精确到0.1米，参考数据：≈1.41）．
15．如图，直立于地面上的电线杆AB，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是BC、CD，测得BC＝6米，CD＝4米，同时测得∠BCD＝150°，在D处测得电线杆顶端A的仰角为30°，试电线杆的高度（≈1.732，结果精确到0.1米）
16．已知，如图，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，数学兴趣小组的同学在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，然后他们沿着坡度为1：2.4的斜坡AP攀行了26米，在坡顶A处又测得该塔的塔顶B的仰角为76°．求：
（1）坡顶A到地面PQ的距离；
（2）古塔BC的高度（结果精确到1米）．
（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）
17．如图，小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC，测得B，C两点的俯角分别为60°和45°，已知热气球离地面的高度为120m，且大桥与地面在同一水平面上，求大桥BC的长度（结果保留整数，≈1.72）．
18．如图，小明所在教学楼的每层高度为3.6米，为了测量旗杆MN的高度，他在教学楼一楼的窗台A处测得旗杆顶部M的仰角为45°，他在二楼窗台B处测得M的仰角为30°，已知每层楼的窗台离该层的地面高度均为1米，求旗杆MN的高度
（结果保留根号）．
19．让每一个孩子在家门口就能“上好学”，合肥某中学依山而建．校门A处，有一斜坡AB，长度为13米，在坡顶B处看教学楼CF的楼顶C的仰角∠CBF＝45°，离B点A（3﹣）米远的E处有一花台，在E处仰望C的仰角∠CEF＝60°，CF的延长线交校门处的水平面于D点，FD＝5米．
（1）求斜坡AB的坡度i．
（2）求DC的长．
20．如图，从坡上建筑物AB观测坡地建筑物CD，从A点处测得C点的俯角为45°，从B点处测得D点的俯角为30°，已知建筑物AB的高度为10m，AB与CD的水平距离是OD＝15m，求CD的高度．
21．如图，学校数学兴趣小组在大运河的斜坡AB上，要测量河对岸镇国寺塔MN的高度，他们在斜坡AB上的C处，测得镇国寺塔MN的顶端N的仰角是20°，沿斜坡AB走10米，到达坡底B处（B处于镇国寺塔MN的底端M在同一水平线上），在B处测得镇国寺塔MN顶端N的仰角是30°，若斜坡AB的坡比为3：4，求镇国寺塔MN的高度．（结果保留整数，参考数据：sin20°≈0.3，cos20°≈0.9，tan20°≈0.4，≈1.7）
参考答案
1．解：过点P作PC⊥AB，垂足为C，设PC＝x海里．
在Rt△APC中，∵tan∠A＝，
∴AC＝，
在Rt△PCB中，∵tan∠B＝，
∴BC＝，
∵AC+BC＝AB＝21×5，
∴，解得x＝60，
∵，
∴（海里）．
∴巡逻船所在B处与城市P的距离为100海里．
2．解：过B作BD⊥AC，
∵∠BAC＝75°﹣30°＝45°，
∴在Rt△ABD中，∠BAD＝∠ABD＝45°，∠ADB＝90°，
由勾股定理得：BD＝AD＝×20＝10（海里），
在Rt△BCD中，∠C＝60°，∠CBD＝30°，
∴tan∠CBD＝，即CD＝10×＝，
则AC＝AD+DC＝10+（海里），即我海监执法船在前往监视巡查的过程中行驶了10+海里．
3．解：由题意可知：∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝30°+15°＝45°，
∠MCA＝∠CAD＝15°，
∴∠ACB＝180°﹣∠MCA﹣∠BCN＝180°﹣15°﹣60°＝105°，
在△ABC中，
∠ABC＝180°﹣∠BCA﹣∠BAC＝180°﹣105°﹣45°＝30°；
过点C作CH⊥AB于点H，
在Rt△ACH中，∵AC＝200（米），∠CAH＝45°，
∴CH＝ACsin∠CAH＝200×sin45°＝200×＝100（米）
∴AH＝CH＝100 （米）
在Rt△BCH中，∵CH＝100 （米），∠CBH＝30°，
∴；
∴AB＝AH+BH＝100+100≈386（米）
答：两棵大树A和B之间的距离约为386米．
4．解：这辆车没有超速．理由如下：
过点P作PC⊥AB于C，则∠PCA＝∠PCB＝90°．
由题可知：∠APC＝30°，∠BPC＝45°，
∴在Rt△APC中，AC＝PA＝×200＝100（米），PC＝AC＝100米．
在Rt△BCP中，BC＝PC＝100米，
∴AB＝AC+BC＝100+100（米），
∵行驶时间为10秒，
∴这辆车的速度为＝10+10≈27.3（米/秒），
100千米/时≈27.8米/秒，
27.3米/秒＜27.8米/秒，
所以，这辆车没有超速，
5．解：如图，由题意知∠CAB＝75°、∠CAP＝45°、∠PBD＝60°，
∴∠PAH＝∠CAB﹣∠CAP＝30°，
∵∠PHA＝∠PHB＝90°，PH＝50，
∴AH＝＝＝50，
∵AC∥BD，
∴∠ABD＝180°﹣∠CAB＝105°，
∴∠PBH＝∠ABD﹣∠PBD＝45°，
则PH＝BH＝50，
∴AB＝AH+BH＝50+50，
∵60千米/时＝米/秒，
∴时间t＝＝3+3≈8.1（秒），
即车辆通过AB段的时间在8.1秒以内，可认定为超速．
6．解：（1）如图，过点C作CD⊥AB于D，
由题意，得∠ACD＝30°．
在直角△ACD中，∠ADC＝90°，
∴cos∠ACD＝，
∴CD＝AC cos30°＝120×＝60（海里）；
（2）在直角△BCD中，∠BDC＝90°，∠DCA＝45°，
∴cos∠BCD＝，
∴BC＝＝＝60≈60×2.44＝146.4（海里），
∴146.4÷20＝7.32≈7.3（小时）．
答：（1）求该海轮从A处到B处的航行过程中与小岛C之间的最短距离是60海里；
（2）如果该海轮以每小时20海里的速度从B处沿BC方向行驶，求它从B处到达小岛C的航行时间约为7.3小时．
7．解：（1）过点B作BE⊥PQ于E，作BF∥AP交PQ于点F．
∵AB∥PQ，BF∥AP，
∴四边形APFB是平行四边形，
∴PF＝AB＝2千米，∠EFB＝∠EPA＝20°，
∴FQ＝PQ﹣PF＝30×﹣2＝3（千米）．
在△BFQ中，∵∠BFQ＝20°，∠FQB＝90°+35°＝125°，
∴∠FBQ＝180°﹣∠BFQ﹣∠FQB＝35°，
设BE＝x，FQ＝FE﹣QE，FE＝x tan70°，QE＝35×tan35°，
可得x tan70°﹣35×tan35°＝3，
解得x＝．
答：点P到河岸线l的距离是千米；
（2）∵BQ＝千米，游轮的速度为30千米/小时，
∴该游轮按原速度从点Q驶向码头B的时间为：÷30＝（小时）．
答：若该游轮按原速度从点Q驶向码头B，则它至少需要小时才能到达码头B．
8．解：（1）如图，过点P作PD⊥AB于点D．
在Rt△PBD中，∠BDP＝90°，∠PBD＝90°﹣45°＝45°，
∴BD＝PD＝3千米．
在Rt△PAD中，∠ADP＝90°，∠PAD＝90°﹣60°＝30°，
∴AD＝PD＝3千米，PA＝6千米．
∴AB＝BD+AD＝3+3（千米）；
（2）如图，过点B作BF⊥AC于点F．
根据题意得：∠ABC＝105°，
在Rt△ABF中，∠AFB＝90°，∠BAF＝30°，
∴BF＝AB＝千米，AF＝AB＝ 千米．
在△ABC中，∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝45°．
在Rt△BCF中，∠BFC＝90°，∠C＝45°，
∴CF＝BF＝千米，
∴PC＝AF+CF﹣AP＝3千米．
故小船沿途考察的时间为：3÷＝3（小时）．
9．解：（1）作CD⊥BA交BA的延长线于点D，
由题意可得，BC＝120米，∠CBD＝30°，
则CD＝60米，
∵∠DCA＝30°，
∴AC＝米，
即此时点A到点C的距离是40米；
（2）作A′N⊥BC于点N，作A′E⊥BA交BA的延长线于点E，
由题意可得，
∠1＝30°，∠EA′B＝′75°，∠EA′A＝30°，∠CBD＝30°，
则∠AA′B＝45°，
∴∠2＝15°，
∴∠A′BE＝15°，
∴A′N＝A′E，
设AA′＝x，
则A′E＝，
∴A′N＝，
∴CA′＝，
∵CA＝，
∴x+x＝40，
得x＝60﹣20，
答：此时小明所乘坐的小船走的距离是（60﹣20）米．
10．解：（1）∵B位于P点南偏东24.5°方向，
∴∠BPQ＝90°﹣24.5°＝65.5°，
又∵B位于Q点南偏西41°方向，
∴∠PQB＝90°﹣41°＝49°，
∴∠PBQ＝180°﹣65.5°﹣49°＝65.5°，即∠PBQ＝∠BPQ，
∴BQ＝PQ＝1200（m）；
（2）∵点P处测得A在正北方向，
∴∠APQ＝90°．在Rt△APQ中，cos∠AQP≈0.75
∴AQ＝1200÷0.75＝1600，
∵在点Q处，测得A位于北偏西49°方向，B位于南偏西41°方向，
∴∠AQB＝90°，在Rt△ABQ中，
AB＝＝＝2000（m）
答：A，B间的距离约为2000m．
11．解：（1）过点A作AD⊥BC，垂足为D，
在Rt△ABD中，由题意可知∠DBA＝30°，
∴AD＝AB＝×240＝120（km），
∵AD＝120＜150，
∴A城将受这次沙尘暴的影响；
（2）设点E，F是以A为圆心，150km为半径的圆与CB的交点，连接AE，AF，
由题意得DE＝＝90（km），
∴EF＝2DE＝2×90＝180（km），
∴A城受沙尘暴影响的时间为：180÷12＝15（时），
答：A城将受到这次沙尘暴的影响，影响的时间为15时．
12．解：（1）过点A作AE⊥DB，交DB的延长线于E，
在Rt△AEB中，∵∠AEB＝90°，∠EAB＝50°，AB＝10，
∴AE＝AB cos50°＝10×0.643＝6.43（nmile），
答：两条航线间的距离为6.43（nmile）；
（2）当甲乙两船的位置垂直时，两船之间的距离最短，过C作CF⊥BD于F．
∵BE＝AB sin50°＝7.66，
AC＝24×＝8，BD＝15×＝5，
∴DF＝BD+BE﹣AC＝4.66，
设还需要t小时才能使两船的距离最短，
则有：24t﹣15t＝4.66，
解得t＝0.52（h），
答：还需要0.52h才能使两船的距离最短．
13．解：过点A作AF⊥CE，交CE于点F，过点B作BG⊥AF，交AF于点G，则FG＝BC＝10．
由题意得∠ADE＝α，∠E＝45°．
设AF＝x．
∵∠E＝45°，
∴EF＝AF＝x．
在Rt△ADF中，∵tan∠ADF＝，
∴DF＝＝，
∵DE＝13.3，
∴x+＝13.3．
∴x＝11.4．
∴AG＝AF﹣GF＝11.4﹣10＝1.4．
∵∠ABC＝120°，
∴∠ABG＝∠ABC﹣∠CBG＝120°﹣90°＝30°．
∴AB＝2AG＝2.8，
答：灯杆AB的长度为2.8米．
14．解：作EF⊥AC于点F，
根据题意，CE＝20×15＝300米，
∵i＝1：1，
∴tan∠CED＝1，
∴∠CED＝∠DCE＝45°，
∵∠ECF＝90°﹣45°﹣15°＝30°，
∴EF＝CE＝150米，
∵∠CEF＝60°，∠AEB＝30°，
∴∠AEF＝180°﹣45°﹣60°﹣30°＝45°，
∴AF＝EF＝150米，
∴AE＝（米），
∴AB＝×150≈105.8（米）．
答：建筑地所在山坡AE的高度AB约为105.8米．
15．解：延长AD交BC的延长线于E，作DF⊥BE于F，
∵∠BCD＝150°，
∴∠DCF＝30°，又CD＝4m，
∴DF＝2m，CF＝＝2（m），
由题意得∠E＝30°，
∴EF＝＝2，
∴BE＝BC+CF+EF＝（6+4）m，
∴AB＝BE×tanE＝（6+4）×＝2+4≈7.5（米），
答：电线杆的高度为7.5米．
16．解：（1）过点A作AH⊥PO，垂足为点H，
∵斜坡AP的坡度为1：2.4，
∴，
设AH＝5k，则PH＝12k，由勾股定理，得AP＝13k，
∴13k＝26，
解得k＝2，
∴AH＝10，
答：坡顶A到地面PQ的距离为10米．
（2）延长BC交PO于点D，
∵BC⊥AC，AC∥PO，
∴BD⊥PO，
∴四边形AHDC是矩形，CD＝AH＝10，AC＝DH，
∵∠BPD＝45°，
∴PD＝BD，
设BC＝x，则x+10＝24+DH，
∴AC＝DH＝x﹣14，
在Rt△ABC中，tan76°＝，即≈4.01．
解得x≈19．
答：古塔BC的高度约为19米．
17．解：作AD⊥CB交CB所在直线于点D．
由题知，∠ACD＝45°，∠ABD＝60°．
在Rt△ACD中，∠ACD＝45°，
所以CD＝AD＝120 m．
在Rt△ABD中，∠ABD＝60°，tan60°＝＝，
所以BD＝AD＝，
所以BC＝CD﹣BD＝120﹣≈120﹣69.2≈51（m）．
答：大桥BC的长度约为51m．
18．解：过点M的水平线交直线AB于点H，
由题意，得∠AMH＝∠MAH＝45°，∠BMH＝30°，AB＝3.6，
设MH＝x，则AH＝x，BH＝xtan30°＝x，
∴AB＝AH﹣BH＝x﹣x＝3.6，
解得x＝，
则旗杆高度MN＝x+1＝（米）
答：旗杆MN的高度度约为米．
19．解：（1）过B作BG⊥AD于G，
则四边形BGDF是矩形，
∴BG＝DF＝5米，
∵AB＝13米，
∴AG＝＝12米，
∴AB的坡度i＝＝1：2.4；
（2）∵在Rt△BCF中，∠CBF＝45°，
∴BF＝CF，
∵在Rt△CEF中，∠CEF＝60°，
∴EF＝CF，
∵BE＝4（3﹣）米，
∴BF﹣EF＝CF﹣CF＝4（3﹣），
解得：CF＝12．
∴DC＝CF+DF＝12+5＝17米．
20．解：作CE⊥AO于点E，如右图所示，
∵CE⊥AO，∠FAC＝45°，OD＝15m，
∴∠CAE＝45°，CE＝15m，
∴AE＝15m，
∵AB＝10m
∴BE＝5m，
∵∠BOD＝90°，∠BDO＝30°，OD＝15m，
∴BO＝15×tan30°＝15×＝5m，
∴EO＝BO﹣BE＝5﹣5，
∴CD＝EO＝5﹣5．
21．解：如图作CH⊥MN于H，CK⊥BM于K．则四边形CHMK是矩形，设MN＝a．
在Rt△MNB中，BM＝a，
在Rt△BCK中，Ck：BK＝3：4，设CK＝3k，BK＝4k，
∵（3k）2+（4k）2＝102，
∴k＝2（负根已经舍弃），
∴CK＝HM＝6，BK＝8，KM＝CH＝8+a，
在Rt△CNH中，tan20°＝，
∴＝0.4，
解得a≈30（米），
答：镇国寺塔MN的高度为30米．