2021——2022学年人教版八年级数学上册 13.3.2 等边三角形 同步练习（Word版含答案）

2021——2022学年度人教版八年级数学上册 第十三章 轴对称 13.3.2 等边三角形 同步练习
一、选择题
1．如图，在中，，，动点C从点О出发，沿射线OB方向移动，以AC为边向右侧作等边，连接BD，则下列结论不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．平分
2．如图，边长为9的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接HN．则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是（　　）
A．3 B． C． D．
3．如图，是等边的边上的中线，F是线段上的动点，E是边中点，当取得最小值时，则的度数为（ ）
A．15° B．22.5° C．30° D．45°
4．如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，CD＝2，则AD等于（　　）
A．10 B．8 C．6 D．4
5．如图，等边三角形的三条角平分线相交于点O，交于点D，交于点E，那么这个图形中的等腰三角形共有（ ）个
A．4 B．5 C．6 D．7
6．如图，点D在等边△ABC的边CB的延长线上，点E在线段BC上，连接AD，AE，若DA＝DE，且∠DAB＝20°，那么∠EAC的度数为（ ）
A．20° B．15° C．10° D．5°
7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列结论正确的有（　　）
①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC＝60°；③点D在AB的中垂线上；④S△ACD：S△ABD＝1：2．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，ABC中，∠B＝30°，∠C＝60°，AE⊥BC于E，AD平分∠BAE，EF⊥AD于F，以下结论：①∠DEF＝30°；②AD＝AC；③AFE≌AEC；④DE＝CE．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上的两个动点，且总使BD＝CE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则以下结论：（1）△ACE≌△CBD；（2）∠AFG＝60°；（3）AF＝2FG；（4）AC＝2CE．其中正确的结论有（ ）个
A．4 B．3 C．2 D．1
10．如图，已知点B、C、E在一直线上，、都是等边三角形，联结和，与相交于点F，与相交于点G，下列说法不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，OP平分，，，，，垂足为D，则________．
12．己知，如图，△ABC是等边三角形，AE=CD，BQ⊥AD于Q，BE交AD于点 P，下列说法：①∠APE=∠C； ②AQ=BQ； ③BP=2PQ； ④AE+BD=AB，其正确的是____(写出所有正确结论的序号)
13．如图，OP平分∠AOB，∠AOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA于点D，PC=6，则PD=___________．
14．如图，，在的同侧，，，，点为的中点，连接，，，若，则的最大值为______．
15．如图，中，，，平分，交于点．若，则的长为______．
三、解答题
16．如图，已知中，，，，，求AD的长．
17．已知A（-10，0），以0A为边在第二象限作等边△AOB
（1）求点B的横坐标：
（2）如下图，点M、N分别为OA、OB边上的动点，以MN为边在x轴上方作等边△MNE，连结OE，当∠EMO=45°时，求∠MEO的度数．
18．已知，如图，等边三角形ABC中，AB=2，点P为AB边上的任意一点(点P可以与点A重合但不与点B重合)，过点P作PE⊥BC，垂足为E，过点E作EF⊥AC，垂足为F，过点F作FQ⊥AB，垂足为Q，设BP=x，AQ=y
（1）直接写出y与x之间的等量关系式：
（2）求当BP的长等于多少时，点P与点Q重合．
19．已知等边三角形，
（1）尺规作图：过顶点、、依次作、、的垂线，三条垂线交于点、、（保留一条垂线的作图痕迹，另两条垂线的作图痕迹可以不保留，不需要写作法）
（2）求证：是等边三角形．
20．在等边△ABC中，点E在AB上，点D在CB延长线上，且ED＝EC．
（1）当点E为AB中点时，如图1，AE　 　DB（填“＞”、“＜”“＝”）；
（2）当点E为AB上任意一点时，如图2，AE　 　DB（填“＞”、“＜”“＝”），并说明理由．（提示：过点E作EF∥BC，交AC于点F）．
21．如图，在△ABC中，∠A＝30°，点D在边AB上运动（D不与A，B重合）连接CD，将△ABC沿CD翻折得到△A'B'C，A′C交AB于点E，A'B交AC于点F．
（1）求证：△BCE≌△B'CF；
（2）当∠DCA＝15°时，判断DE与A′E的数量关系，并加以证明．
22．如图，在等边ABC中，AB＝AC＝BC＝6cm，现有两点M、N分别从点A、B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s，当点N第一次回到点B时，点M、N同时停止运动，设运动时间为t（s）．
（1）当t＝ 时，M、N两点重合；
（2）当点M、N分别在AC、BA边上运动，AMN的形状会不断发生变化，当t＝ 时，AMN是等边三角形；
（3）当点M、N运动到BC边上时，若存在以MN为底边的等腰AMN，则t＝ ．
23．如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，8），点B在第一象限，为等边三角形．
（1）直接写出点B的纵坐标 ；
（2）如图2，于点C，点C关于x轴的对称点为点D，则点D的纵坐标为 ；连接AD交OB于E，则OE的长为 ．
（3）若点P为x轴上的一个动点，连接PA，以PA为边作等边，当OQ最短时，求Q点的纵坐标．
【参考答案】
1．D 2．B 3．C 4．D 5．D 6．C 7．D 8．C 9．B 10．B
11．2
12．①③④
13．3
14．27
15．2
16．解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C=30°，
∴∠BAC=180°-2×30°=120°，
∵DA⊥BA，
∴∠BAD=90°，
∴∠CAD=120°-90°=30°，
∴∠CAD=∠C，
∴AD=CD，
在Rt△ABD中，∵∠B=30°，∠BAD=90°，
∴BD=2AD，
∴BC=BD+CD=2AD+AD=3AD，
∵BC=6cm，
∴AD=2cm．
17．解：（1）过B作BD⊥OA与D，
∵△AOB为等边三角形，点A（-10,0），
∴OA=OB=AB=10，∠BAO=∠ABO=∠BOA=60°，
∵BD⊥OA，
∴AD=OD=，
∴点B的横坐标为-5，
（2）过M作MF∥AB，
∴∠MFO=∠BAO=∠BOA=60°，
∴△OMF为等边三角形，
∴∠FMO=60°，MF=MO，
∵△MNE是等边三角形，
∴∠NME=∠FMO=60°，MN=ME，
∴∠FMN+∠NMO=∠NMO+∠OME=60°，
∴∠FMN=∠OME，
在△MFN和△OME中，
，
∴△MFN≌△OME（SAS），
∴∠MFN=∠MOE=60°，
∵∠EMO=45°，
∴∠MEO=180°-∠OME-∠MOE=180°-45°-60°=75°．
18．解：（1），∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，
在中，，∴，则．
在中，，∴，∴．
在中，，
∴，
∴；
（2）当点与点重合时，，即，解得．
故当时，点与点重合．
19．解：（1）如图所示：
（2）证明：
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝60°．
∵BC⊥MN，BA⊥MG，
∴∠CBM＝∠BAM＝90°．
∴∠ABM＝90° ∠ABC＝30°．
∴∠M＝90° ∠ABM＝60°．
同理：∠N＝∠G＝60°．
∴△MNG为等边三角形．
20．解：（1）∵△ABC是等边三角形，点E为AB中点，
∴∠BCE＝，
又∵ED＝EC，
∴∠EDB=∠BCE=，
又∵∠ABC=∠EDB+∠DEB=,
∴∠EDB=∠DEB=
∴DB=AE．
故答案为：=；
（2）AE=DB．
理由：如图2，过E作EF∥BC交AC于F，
∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∠FEC=∠BCE．
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠A=∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠A=∠AEF=∠AFE=60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴AE=AF=EF．
∴AB-AE=AC-AF，
∴BE=CF．
∵∠AFE+∠EFC=180°，∠DBE+∠ABC=180°，
∴∠DBE=∠EFC．
∵ED=EC，
∴∠D=∠BCE，
∴∠D=∠CEF．
在△DBE和△EFC中，
∴△DBE≌△EFC（AAS），
∴DB=EF，
∴DB=AE．
故答案为：（1）=；（2）=
21．（1）证明：∵将△ABC沿CD翻折得到△A'B'C，
∴∠BCD＝∠B'CD，∠FCD＝∠ECD，∠B＝∠B'，BC＝B'C，
∴∠BCE＝∠FCB'，
在△BCE和△B'CF中，
，
∴△BCE≌△FCB'（ASA）；
（2）解：DE＝A'E．
证明：∵∠A＝30°，∠DCA＝15°，
∴∠EDC＝∠A+∠DCA＝30°+15°＝45°，
∴∠FDC＝∠EDC＝45°，
∴∠EDF＝90°，
∴∠A'DE＝90°，
∴DE＝A'E．
22．解：（1）设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，
x+6=2x，
解得：x=6，
即当M、N运动6秒时，点N追上点M；
（2）设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形△AMN，如图1，
AM=t，AN=6-2t，
∵∠A=60°，当AM=AN时，△AMN是等边三角形，
∴t=6-2t，
解得t=2，
∴点M、N运动2秒后，可得到等边三角形△AMN；
（3）当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形，
由（1）知6秒时M、N两点重合，恰好在C处，
如图4，假设△AMN是等腰三角形，
∴AN=AM，
∴∠AMN=∠ANM，
∴∠AMC=∠ANB，
∵AB=BC=AC，
∴△ACB是等边三角形，
∴∠C=∠B，
在△ACM和△ABN中，
，
∴△ACM≌△ABN（AAS），
∴CM=BN，
∴t-6=18-2t，
解得t=8，符合题意．
所以假设成立，当M、N运动8秒时，能得到以MN为底的等腰三角形．
23．解：（1）如图，过点B作BH⊥AO于点H，
∵点A的坐标为（0，8），点B在第一象限，为等边三角形．
∴OA=OB=AB=8， ，
∴点B的纵坐标为4；
（2）如图，过点C作CN⊥y轴于点N，连接CD，交OB于点M，
∵为等边三角形，
∴ ，∠OAC=60°，
∵CN⊥y，
∴∠CAN=30°，
∴ ，
∴ON=OA-AN=6，
∴点C的纵坐标为6，
∵点C关于x轴的对称点为点D，
∴点D的纵坐标为-6；
∴CD⊥x轴，CD=6+6=12，
∴CD∥y轴，
∴∠BCM=∠BAO=60°，∠BMC=∠AOB=60°，
∴∠BCM=∠BMC=∠B，
∴△BCM为等边三角形，
∴BM=BC=CM=4，
∴DM=CD-CM=8，OM=OB-BM=4，
∴DM=OA，
∵CD∥y轴，
∴∠OAE=∠MDE，∠AOE=∠DME，
∴△DME≌△AOE，
∴OE=EM，
∴ ；
（3）如图，连接OQ，BP，过点Q作QK⊥x轴于点K，
∵△APQ，△AOB为等边三角形，
∴AQ=AP，AO=AB，∠QAP=∠OAB=60°，
∴∠QAO=∠BAP，
∴△QAO≌△PAB，
∴OQ=BP，∠AOQ=∠ABP，
∴当BP最短时，OQ最短，
当BP⊥x轴时，BP最短，此时OQ最短，
∵点B的纵坐标为4，
∴BP=4，即OQ=4，
∵ ，
∴∠AOQ=∠ABP=120°，
∴∠QOK=30°，
∴ ，
即当OQ最短时， Q点的纵坐标为2．