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专题02 简单事件的概率（要点梳理+重难点题型）
【要点梳理】
要点一：必然事件、不可能事件和随机事件
1.定义：
（1）必然事件
在一定条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件，叫做必然事件．
（2）不可能事件
在每次试验中都不会发生的事件叫做不可能事件．
（3）随机事件
在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件.
重难点题型
【经典真题】
例1．（2021·江苏淮安·中考真题）下列事件是必然事件的是（ ）
A．没有水分，种子发芽 B．如果a、b都是实数，那么a＋b＝b＋a
C．打开电视，正在播广告 D．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上
【答案】B
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
【详解】解：A、没有水分，种子发芽，是不可能事件，本选项不符合题意；
B、如果a、b都是实数，那么a＋b＝b＋a，是必然事件，本选项符合题意；
C、打开电视，正在播广告，是随机事件，本选项不符合题意；
D、抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上，是随机事件，本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
例2．（2021·湖北青山·一模）投掷两枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，则下列事件为随机事件的是（ ）
A．两枚骰子向上一面的点数和大于1 B．两枚骰子向上一面的点数和等于1
C．两枚骰子向上一面的点数和等于9 D．两枚骰子向上一面的点数和大于12
【答案】C
【分析】根据事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件进行分析即可．
【详解】解：A．两枚骰子向上一面的点数之和一定大于1，是必然事件，故此选项不符合题意；
B．两枚骰子向上一面的点数之和不可能等于1，是不可能事件，故此选项不符合题意；
C．两枚骰子向上一面的点数之和等于5，是随机事件；是故此选项符合题意；
D．两枚骰子向上一面的点数之和一定不大于12，是不可能事件，故选项不符合题意
故选：C．
【点睛】此题主要考查了随机事件,关键是掌握随机事件定义.
【经典变式】
1．（2021·湖北硚口·模拟预测）一个不透明的袋子中装有5个相同的小球，分别标号为1，2，3，4，5从袋子中随机摸出两个小球，则下列事件是随机事件的是（ ）
A．两个小球的标号之和等于2
B．两个小球的标号之和大于2
C．两个小球的标号之和等于9
D．两个小球的标号之和大于9
【答案】C
【分析】根据随机事件的意义结合具体问题情境进行判断即可．
【详解】解：从标号为1、2、3、4、5的小球中随机摸出2个小球，标号之和最小为1+2＝3，标号之和最大为4+5＝9，
因此，“两个小球的标号之和等于2”是不可能事件，
“两个小球的标号之和大于2”是必然事件，
“两个小球的标号之和等于9”是可能事件，也是随机事件，
“两个小球的标号之和大于9”是不可能事件，
故选：C．
【点睛】本题考查随机事件，根据发生可能性的大小可以把事件分为不可能事件（发生的可能性为0），随机事件（发生的可能性为大于0小于1），必然事件（发生的可能性为100%）．
2．（2021·上海浦东新·模拟预测）抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，下列事件中是确定事件的为（ ）
A．点数为1 B．点数为3 C．点数为5 D．点数为7
【答案】D
【分析】抛一枚正方体骰子，可能出现的数字为：1，2，3，4，5，6．
【详解】A、点数为1是随机事件，也可能不发生；
B、点数为3是随机事件，也可能不发生；
C、点数为4是随机事件，也可能不发生；
D、点数为7是不可能事件，
故选：D．
【点睛】本题考查事件的分类，事件根据其发生的可能性大小分为必然事件、随机事件、不可能事件三类，不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．
3．（2021·贵州安顺·中考真题）“一个不透明的袋中装有三个球，分别标有1，2，这三个号码，这些球除号码外都相同，搅匀后任意摸出一个球，摸出球上的号码小于5”是必然事件，则的值可能是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【分析】根据必然事件的意义，进行解答即可．
【详解】解：根据题意可得，x的值可能为4．如果是5、7、6，那么与摸出球上的号码小于5”是必然事件相违背．
故选：A．
【点睛】本题考查随机事件、必然事件，理解必然事件的意义是正确判断的前提，结合问题情境判断事件发生的可能性是正确解答的关键．
4．（2021·湖北襄阳·中考真题）不透明袋子中装有除颜色外完全相同的2个红球和1个白球，从袋子中随机摸出2个球，下列事件是必然事件的是（ ）
A．摸出的2个球中至少有1个红球 B．摸出的2个球都是白球
C．摸出的2个球中1个红球、1个白球 D．摸出的2个球都是红球
【答案】A
【分析】根据随机事件和必然事件的具体意义进行判断即可．
【详解】解：袋子里装有2个红球和1个白球，
随机摸出2个球，根据抽屉原理可知，
随机摸出2个球，至少有1个红球，
故选：A．
【点睛】本题考查随机事件，理解随机事件的实际意义是正确判断的前提．
5．（2021·广西贺州·中考真题）下列事件中属于必然事件的是（ ）
A．任意画一个三角形，其内角和是180°
B．打开电视机，正在播放新闻联播
C．随机买一张电影票，座位号是奇数号
D．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上
【答案】A
【分析】根据必然事件的意义，结合具体的问题情境逐项进行判断即可．
【详解】解：A、任意画一个三角形，其内角和是180°；属于必然事件，故此选项符合题意；
B、打开电视机，正在播放新闻联播；属于随机事件，故此选项不符合题意；
C、随机买一张电影票，座位号是奇数号；属于随机事件，故此选项不符合题意；
D、掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上；属于随机事件，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了随机事件、必然事件，理解必然事件的意义是正确判断的前提，结合问题情境判断事件发生的可能性是正确解答的关键．
6．（2021·湖南怀化·中考真题）“成语”是中华文化的瑰宝，是中华文化的微缩景观．下列成语：①“水中捞月”，②“守株待兔”，③“百步穿杨”，④“瓮中捉鳖”描述的事件是不可能事件的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】A
【分析】不可能事件是一定不会发生的事件，根据定义即可判断．
【详解】A选项，水中捞月，一定不会发生，是不可能事件，符合题意；
B选项，守株待兔，可能会发生，是随机事件，不符合题意；
C选项，百步传杨，可能会发生，是随机事件，不符合题意；
D选项，瓮中捉鳖，一定会发生，是必然事件，不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
7．（2021·湖南长沙·中考真题）在一次数学活动课上，某数学老师将1~10共十个整数依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下）．他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：11；乙：4；丙：16；丁：7；戊：17．根据以上信息，下列判断正确的是（ ）
A．戊同学手里拿的两张卡片上的数字是8和9
B．丙同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7
C．丁同学手里拿的两张卡片上的数字是3和4
D．甲同学手里拿的两张卡片上的数字是2和9．
【答案】A
【分析】先根据判断出乙同学手里拿的两张卡片上的数字是1和3，从而可得判断出丁同学手里拿的两张卡片上的数字是2和5，再判断出甲同学手里拿的两张卡片上的数字是4和7，然后判断出丙同学手里拿的两张卡片上的数字是6和10，由此即可得出答案．
【详解】解：由题意得：是由中的两个不相同的数字相加所得的数，
只能是1与3的和，
即乙同学手里拿的两张卡片上的数字是1和3，
，
丁同学手里拿的两张卡片上的数字是2和5，
，
甲同学手里拿的两张卡片上的数字是4和7，
，
丙同学手里拿的两张卡片上的数字是6和10，
戊同学手里拿的两张卡片上的数字是8和9，
故选：A．
【点睛】本题考查了随机事件、等可能事件，正确列出每位同学的所有可能结果，进行逐一判断是解题关键．
8．（2021·湖北孝感·二模）下列事件：①任意画一个三角形，其内角和为180°；②在平面内任意画两条直线，则其位置关系是相交；③掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是6．其中是随机事件的是______．（填序号）
【答案】②③
【分析】根据事件发生的可能性的大小逐个进行判断即可．
【详解】解：①：任意画一个三角形，其内角和为180°是必然事件，不符合题意；
②：平面内两直线的位置关系有相交、平行或重合，因此在平面内任意画两条直线，则其位置关系是相交为随机事件，符合题意；
③：掷一枚质地均匀的骰子，出现的结果有六种，向上一面的点数是6此为随机事件，符合题意；
故答案为②③．
【点睛】本题考查的是必然事件、随机时间的概念，熟练掌握相关概念及区别是解题的关键．
9．（2021·全国·九年级课时练习）在每个事件的括号里填上“必然”、“随机”、“不可能”等词语．
①如果，那么．（ ）
②如果，那么，．（ ）
③一只袋里有5个红球，1个白球，从袋里任取一球是红色的．（ ）
④掷骰子游戏中，连续掷十次，掷得的点数全是6．（ ）
【答案】①必然；②不可能；③随机；④随机
【分析】根据确定事件和随机事件的定义来区分判断即可，必然事件和不可能事件统称确定性事件；
必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件；随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件．
【详解】①如果，那么，是必然事件；故答案为：必然
②如果，那么，，是不可能事件，，那么；故答案为：不可能
③一只袋里有5个红球，1个白球，从袋里任取一球是红色的，是随机事件；故答案为：随机；
④掷骰子游戏中，连续掷十次，掷得的点数全是6，是随机事件．故答案为：随机
【点睛】本题考查了确定事件和随机事件，根据相关知识判断事件的发生的可能性大小是解题的关键．
10．（2021·全国·九年级课时练习）下列事件分别是三类事件（必然事件、不可能事件、随机事件）中的哪种事件：
（1）在装有3个球的布袋里摸出4个球；
（2）2013年1月1日是元旦；
（3）正月十五雪打灯；
（4）爷爷、奶奶、爸爸、妈妈都在家，小明回家敲门，开门的是妈妈．
【答案】见解析
【分析】随机事件为可能发生，也可能不发生的事件；必然事件为一定发生的事件；不可能事件为一定不会发生的事件．
【详解】解：（1）在装有3个球的布袋里摸出4个球，不可能事件；
（2）2013年1月1日是元旦，必然事件；
（3）正月十五雪打灯，随机事件；
（4）爷爷、奶奶、爸爸、妈妈都在家，小明回家敲门，开门的是妈妈，随机事件．
【点睛】理解随机事件、必然事件以及不可能事件的概念是解决本题的关键．
【知识拓展】1.必然发生的事件和不可能发生的事件均为“确定事件”，随机事件又称为“不确定事件”；
2.要知道事件发生的可能性大小首先要确定事件是什么类型.一般地，必然发生的事件发生的可能性最大，不可能发生的事件发生的可能性最小，随机事件发生的可能性有大有小，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同.
要点二：概率的意义
概率是从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小.一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数附近，那么这个常数就叫做事件A的概率(probability)，记为.
重难点题型
【经典真题】
例1．（2021·湖北襄阳·一模）下列说法正确的是（ ）
A．“连接一个菱形的两条对角线，它们互相垂直平分”这一事件是随机事件．
B．概率很小的事件不可能发生．
C．367人中一定至少有两个人同一天生日．
D．“明天降雨的概率为80%”，意味着明天有80%的时间会有降雨．
【答案】C
【分析】根据概率的意义以及随机事件，必然事件，不可能事件的定义，逐一判断选项，即可．
【详解】解：A. “连接一个菱形的两条对角线，它们互相垂直平分”这一事件是必然事件，故该选项错误；
B. 概率很小的事件也有可能发生，故该选项错误；
C. 367人中一定至少有两个人同一天生日，故该选项正确；
D. “明天降雨的概率为80%”，意味着明天降雨可能性比较大，故该选项错误，
故选C．
【点睛】本题主要考查概率的意义以及随机事件，必然事件，不可能事件的定义，理解概率的意义，是解题的关键．
例2．（2020·江苏常州·二模）抛掷一枚质地均匀的硬币5000次，正面朝上的次数最有可能为（ ）
A．1500 B．2000 C．2500 D．3000
【答案】C
【分析】直接利用抛掷一枚硬币正面向上的概率为，进而估算出正面朝上的次数．
【详解】抛掷一枚质地均匀的硬币5000次，正面朝上的次数最有可能为2500．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了可能性大小，正确掌握概率的意义是解题关键．
【经典变式】
1．（2021·江苏泰州·中考真题）“14人中至少有2人在同一个月过生日”这一事件发生的概率为P，则（ ）
A．P＝0 B．0＜P＜1 C．P＝1 D．P＞1
【答案】C
【分析】根据不可能事件的概率为，随机事件的概率大于而小于，必然事件的概率为1，即可判断．
【详解】解：∵一年有12个月，14个人中有12个人在不同的月份过生日，剩下的两人不论哪个月生日，都和前12人中的一个人同一个月过生日
∴“14人中至少有2人在同一个月过生日”是必然事件，
即这一事件发生的概率为．
故选：．
【点睛】本题考查了概率的初步认识，确定此事件为必然事件是解题的关键．
2．（2021·湖北襄阳·一模）下列说法正确的是（ ）
A．“购买一张彩票，中奖”是不可能事件
B．“从，，π，0.2这四个数中随机选一个数，这个数是无理数”是随机事件
C．抛掷一枚质地均匀的硬币10次，有3次正面朝上，说明正面朝上的概率是0.3
D．某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，所以他击中靶的概率是0.5
【答案】B
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念以及概率的意义逐项进行判断即可．
【详解】解：A、购买一张彩票，中奖，是随机事件，故本选项不合题意；
B、“从，，π，0.2这四个数中随机选一个数，这个数是无理数”是随机事件，故本选项符合题意；
C、试验次数太少，不能说明概率一定是0.3，故本选项不合题意；
D、某运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，它们发生的可能性不等，故本选项不合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了随机事件，概率的意义，解答本题的关键是明确题意，可以判断各个选项中的说法是否正确．
3．（2021·江苏·泰兴市实验初级中学一模）小明是校篮球队的一名队员，根据以往的数据统计，小明的进球率是50%，他明天将参加一场比赛，则下列说法正确的是（ ）
A．小明明天的进球率是50% B．小明明天每投10次必有5次投中
C．小明明天一定能进球 D．小明明天投20个球，其中投中10个是随机事件
【答案】D
【分析】直接利用概率的意义分析即可．
【详解】解：A、小明明天的进球率不一定是50%，本选项说法错误，不符合题意；
B、小明明天每投10次不一定有5次投中，本选项说法错误，不符合题意；
C、小明明天不一定能进球，本选项说法错误，不符合题意；
D、小明明天投20个球，其中投中10个是随机事件，本选项说法正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查概率的意义，正确理解概率的意义是解题关键．
4．（2021·全国·模拟预测）抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为0.5，下列说法正确的是（ ）
A．连续抛掷2次必有1次正面朝上
B．连续抛掷10次不可能都正面朝上
C．大量反复抛掷每100次出现正面朝上50次
D．通过抛掷硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的
【答案】D
【分析】概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现，据此逐项判断即可．
【详解】抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为0.5，可以用到实际生活，通过抛掷硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的．故选：D．
【点睛】此题主要考查了概率的意义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现．
5．（2021·广西·模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．“买中奖率为的奖券10张，中奖”是必然事件
B．“汽车累积行驶，从未出现故障”是不可能事件
C．武汉气象局预报说“明天的降水概率为70%”，意味着武汉明天一定下雨
D．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为0.5
【答案】D
【分析】根据随机事件的概念、概率的意义分别对每一项进行分析，即可得出答案．
【详解】解：A、“买中奖率为的奖券10张，中奖”是随机事件，故本选项错误；
B、汽车累积行驶10000km，从未出现故障”是随机事件，故本选项错误；
C、武汉气象局预报说“明天的降水概率为70%”，意味着明天可能下雨，故本选项错误；
D、抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为0.5，故本选项正确；
故选：D．
【点睛】此题考查了随机事件、概率的意义，正确理解概率的意义是解题的关键．
6．（2020·全国·九年级课时练习）下列事件发生的概率为0的是（ ）
A．射击运动员只射击1次，就命中靶心
B．任取一个实数x，都有|x|≥0
C．画一个三角形，使其三边的长分别为8cm，6cm，2cm
D．抛掷一枚质地均匀且六个面分别刻有1到6的点数的正方体骰子，朝上一面的点数为6
【答案】C
【详解】A. 射击运动员只射击1次，就命中靶心是随机事件，故此选项错误；
B. 任取一个实数x，都有|x|≥0，是必然事件，故此选项错误；
C. 画一个三角形，使其三边的长分别为8cm，6cm，2cm，是不可能事件，故此选项正确；
D. 抛掷一枚质地均匀且六个面分别刻有1到6的点数的正方体骰子，朝上一面的点数为6是随机事件，故此选项错误．
故选C．
7．（2019·湖北襄阳·中考真题）下列说法错误的是（ ）
A．必然事件发生的概率是1
B．通过大量重复试验，可以用频率估计概率
C．概率很小的事件不可能发生
D．投一枚图钉，“钉尖朝上”的概率不能用列举法求得
【答案】C
【分析】不确定事件就是随机事件，即可能发生也可能不发生的事件，发生的概率大于0并且小于1
【详解】A、必然事件发生的概率是1，正确；
B、通过大量重复试验，可以用频率估计概率，正确；
C、概率很小的事件也有可能发生，故错误；
D、投一枚图钉，“钉尖朝上”的概率不能用列举法求得，正确，
故选C．
【点睛】本题考查了概率的意义，概率的意义反映的只是这一事件发生的可能性的大小，概率取值范围：0≤p≤1，其中必然发生的事件的概率P(A)＝1；不可能发生事件的概率P(A)＝0；随机事件，发生的概率大于0并且小于1.事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0.
8．（2021·湖北武汉·模拟预测）一个不透明的口袋中装有四个相同的小球，它们分别标号为，，，．从中同时摸出两个，则下列事件为随机事件的是（ ）
A．两个小球的标号之和等于 B．两个小球的标号之和大于
C．两个小球的标号之和等于 D．两个小球的标号之和大于
【答案】C
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
【详解】解：A．两个小球的标号之和等于是不可能事件，不合题意；
B．两个小球的标号之和大于是必然事件，不合题意；
C．两个小球的标号之和等于是随机事件，符合题意；
D．两个小球的标号之和大于是不可能事件，不合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件，理解概念并运用概念解决实际问题．
【知识拓展】(1)概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值；
(2)概率反映了随机事件发生的可能性的大小；
(3) 事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，，即，其中P(必然事件)=1，P(不可能事件)=0，0
要点三：用列举法求概率
常用的列举法有两种：列表法和树形图法.
列表法：
当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法.
列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.
重难点题型
【经典真题】
例1．（2021·山东济南·中考真题）某学校组织学生到社区开展公益宣传活动，成立了“垃圾分类”“文明出行”“低碳环保”三个宣传队，如果小华和小丽每人随机选择参加其中一个宣传队，则她们恰好选到同一个宣传队的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，用列表法求出概率即可．
【详解】根据题意，设三个宣传队分别为列表如下：
小华\小丽
总共由9种等可能情况，她们恰好选择同一个宣传队的情况有3种，
则她们恰好选到同一个宣传队的概率是．
故选C
【点睛】本题考查了用列表法求概率，掌握列表法求概率是解题的关键．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果数，概率=所求情况数与总情况数之比．
例2．（2021·辽宁阜新·中考真题）小颖有两顶帽子，分别为红色和黑色，有三条围巾，分别为红色、黑色和白色，她随机拿出一顶帽子和一条围巾戴上，恰好为红色帽子和红色围巾的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用列表法或树状图即可解决．
【详解】分别用r、b代表红色帽子、黑色帽子，用R、B、W分别代表红色围巾、黑色围巾、白色围巾，列表如下：
R B W
r rR rB rW
b bR bB bW
则所有可能的结果数为6种，其中恰好为红色帽子和红色围巾的结果数为1种，根据概率公式，恰好为红色帽子和红色围巾的概率是．
故选：C．
【点睛】本题考查了简单事件的概率，常用列表法或画树状图来求解．
【经典变式】
1．（2021·河北·石家庄市第四十中学二模）现从四个数，0，1，2中任意选出两个不同的数，分别作为函数中a，b的值．那么所得图像中，分布在一二三象限的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先利用列表的方法求解从四个数，0，1，2中任意选出两个不同的数的结果数，再判断使函数的图像分布在一二三象限的结果数，再直接利用概率公式进行计算即可得到答案.
【详解】解：列表如下：
一共有种等可能的结果，
而分布在一二三象限，
＞＞
所以符合条件的等可能的结果数有种，
所以使分布在一二三象限的概率是
故选：
【点睛】本题考查的是利用画树状图或列表的方法求解等可能事件的概率，一次函数的性质，灵活应用以上知识解题是解题的关键.
2．（2021·重庆实验外国语学校三模）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，球上分别标有数字1，，4，，随机摸取一个小球记作，然后不放回，再随机摸取一个小球记作，则为正数的概率是______．
【答案】
【分析】列表将所有等可能的结果列举出来，然后利用概率公式求解即可．
【详解】解：列表如下：
1 -2 4 -8
1 -2 4 -8
-2 -2 -8 16
4 4 -8 -32
-8 -8 16 -32
由表知，共有12种等可能结果，其中两次取出的小球上数字之积等于正数的有4种结果，
所以两次取出的小球上数字之积等于正数的概率为，
故答案为．
【点睛】本题考查了列表法与树状图的知识，解题的关键是能够用列表或列树状图将所有等可能的结果列举出来，难度不大．
3．（2021·河南邓州·一模）一个不透明的袋子里有4个小球，上面分别标有数字，，1，2，小球除所标数字不同外，其它完全相同，摇匀后摸出一球，记下数字为a，不放回，再摸出一球，记下数字为b，若点M的坐标为则点M落在双曲线上的概率为____________．
【答案】
【分析】通过列表得出所有等可能结果即可，找出落在双曲线上的的情况数，再根据概率公式计算即可．
【详解】解：列表如下：
-2 -1 1 2
-2 (-1，-2) (1，-2) (2，-2)
-1 (-2，-1) (1，-1) (2，-1）
1 (-2，1) (-1，1) (2，1)
2 (-2，2) (-1，2) (1，2)
由表知，共有12种等可能结果，横纵坐标之积为-2的情况有：(1，-2)，(2，-1），(-2，1)，(-1，2)，共4中，
所以落在双曲线上的概率分别为：=，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，以及反比例函数图象上点的坐标特征．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比；反比例函数图象上的点(x，y)的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．
4．（2021·山东·青岛大学附属中学二模）小王和小明用如图所示的同一个转盘进行“配紫色”游戏，游戏规则如下：连续转动两次转盘，如果两次转出的颜色相同或配成紫色（若其中一次转盘转出蓝色，另一次转出红色，则配成紫色；如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一种颜色为止）小王赢，否则，小明赢．
（1）请你通过列表法分别求出小王和小明获胜的概率．
（2）你认为这个游戏公平吗 请说明理由．
【答案】（1）小王获胜的概率为，小明获胜的概率为．（2）不公平，理由见解析
【分析】（1）求情况数与总情况数之比即可解决问题；
（2）游戏是否公平，关键要看是否游戏双方各有50%赢的机会，通过（1）答案即可判断本题中即小王获胜与小明获胜的概率是否相等，即可得出结论．
【详解】解：（1）
第二次
第一次 红 黄 蓝 绿
红 （红红） （红黄） （红蓝） （红绿）
黄 （黄红） （黄黄） （黄蓝） （黄绿）
蓝 （蓝红） （蓝黄） （蓝蓝） （蓝绿）
绿 （绿红） （绿黄） （绿蓝） （绿绿）
P小王胜=，P小明胜=
所以，小王获胜的概率为，小明获胜的概率为．
（2）因为P小王胜=，P小明胜=，则，
所以这个游戏不公平．
【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
5．（2021·辽宁·沈阳实验中学二模）我校初高中学生正在为积极筹备“艺体节”活动，校学生会为此次活动演出选择以下四个场地：A“篮球馆”、B“羽毛球馆”、C“未来广场”、D“田径场”，四个场地各有优缺点，体育馆场地干净整洁，但不易搭建舞台；羽毛球馆室内采光较好，但场地较小；未来广场安静优雅，但地面不平坦；田径场场地平坦而且较大，但受天气影响较大，于是对本校学生进行调查了解，调查结果如图所示，并完成下列问题：
（1）本次一共调查了______名学生；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）本次活动策划人想从这四个场地中随机选取两个场地为活动候选场地，请用树状图或列表的方法求恰好选中“篮球馆”和“羽毛球馆”的概率．
【答案】（1）50；（2）见解析；（3）．
【分析】（1）依据C部分的数据，即可得到本次一共调查的人数；
（2）依据总人数以及其余各部分的人数，即可得到B对应的人数；
（3）列表将所有等可能的结果列举出来，利用概率公式求解即可．
【详解】解：（1）本次一共调查：15÷30%=50（人）；
故答案为：50；
（2）B对应的人数为：50-16-15-7=12，
如图所示：
（3）
A B C D
A AB AC AD
B BA BC BD
C CA CB CD
D DA DB DC
∵共有12种等可能的结果，恰好选中A、B的有2种，
∴P（选中A、B）=．
【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图，列表与树状图的应用，解题的关键是通过列表将所有等可能的结果列举出来，然后利用概率公式求解．
6．（2021·浙江·杭州市采荷中学二模）一个不透明的布袋里装有3个只有颜色不同的球，其中，2个红球，1个白球，从中摸岀1个球，记下颜色后放回，再摸出1个球，求两次摸出的球恰好颜色不同的概率．
【答案】
【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：列表如下：
白 红1 红2
白 白，白 白，红1 白，红2
红1 红1，白 红1，红1 红1，红2
红2 红2，白 红2，红1 红2，红2
∴一共有9种等可能的结果，其中两次摸出的球恰好颜色不同的有4种结果，
∴两次摸出的球恰好颜色不同的概率为．
【点睛】本题主要考查列表法与树状图法，列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．
7．（2021·辽宁沈阳·中考真题）某品牌免洗洗手液按剂型分为凝胶型、液体型，泡沫型三种型号（分别用A，B，C依次表示这三种型号）．小辰和小安计划每人购买一瓶该品牌免洗洗手液，上述三种型号中的每一种免洗洗手液被选中的可能性均相同．
（1）小辰随机选择一种型号是凝胶型免洗洗手液的概率是__________．
（2）请你用列表法或画树状图法，求小辰和小安选择同一种型号免洗洗手液的概率．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：（1）小辰随机选择一种型号是凝胶型免洗洗手液的概率是，
故答案为：；
（2）列表如下：
由表可知，共有9种等可能结果，其中小辰和小安选择同一种型号免洗洗手液有3种结果，
所以小辰和小安选择同一种型号免洗洗手液的概率为．
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
8．（2021·湖南湘潭·中考真题）“共和国勋章”获得者钟南山院士说：按照疫苗保护率达到70%计算，中国的新冠疫苗覆盖率需要达到近80%，才有可能形成群体免疫，本着自愿的原则，18至60周岁符合身体条件的中国公民均可免费接种新冠疫苗．居民甲、乙准备接种疫苗，其居住地及工作单位附近有两个大型医院和两个社区卫生服务中心均可免费接种疫苗，提供疫苗种类如下表：
接种地点 疫苗种类
医院 A 新冠病毒灭活疫苗
B 重组新冠病毒疫苗（CHO细胞）
社区卫生服务中心 C 新冠病毒灭活疫苗
D 重组新冠病毒疫苗（CHO细胞）
若居民甲、乙均在A、B、C、D中随机独立选取一个接种点接种疫苗，且选择每个接种点的机会均等（提示：用A、B、C、D表示选取结果）
（1）求居民甲接种的是新冠病毒灭活疫苗的概率；
（2）请用列表或画树状图的方法求居民甲、乙接种的是相同种类疫苗的概率．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）利用概率公式直接计算即可；
（2）先列表求解所有的等可能的结果数，再得到符合条件的结果数，从而利用概率公式进行计算即可.
【详解】解：（1）由概率的含义可得：
居民甲接种的是新冠病毒灭活疫苗的概率是
（2）列表如下：
由表中信息可得一共有种等可能的结果数，属于同种疫苗的结果数有：
，，，，，，，共 种，
所以居民甲、乙接种的是相同种类疫苗的概率为：
【点睛】本题考查的是随机事件的概率，利用列表法或画树状图求解概率，掌握列表的方法与画树状图的方法是解题的关键.
【知识拓展】（1）列表法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；
（2）列表法适用于涉及两步试验的随机事件发生的概率.
树形图：当一次试验要涉及3个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图.
树形图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.
重难点题型
【经典真题】
例1．（2021·广东广州·中考真题）为了庆祝中国共产党成立100周年，某校举办了党史知识竞赛活动，在获得一等奖的学生中，有3名女学生，1名男学生，则从这4名学生中随机抽取2名学生，恰好抽到2名女学生的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与选出的2名学生中恰好有2名女生的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】解：画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，选出的2名学生中恰好有2名女生的有6种情况；
∴P（2女生）=．
故选：B．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
例2．（2021·黑龙江·哈尔滨市虹桥初级中学校一模）在一个不透明的布袋中有2个红球和2个白球，它们除颜色外其他都相同，如果从布袋里随机摸出两个球，那么所摸到两个球恰好是一红一白球的概率为___________．
【答案】
【分析】画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，其中所摸到两个球恰好是一红一白球的有8种结果，
∴所摸到两个球恰好是一红一白球的概率为，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
【经典变式】
1．（2021·广西河池·中考真题）从﹣2，4，5这3个数中，任取两个数作为点P的坐标，则点P在第四象限的概率是__________．
【答案】
【分析】先画树状图展示所有6种等可能的结果，利用第四象限点的坐标特征确定点P在第四象限的结果数，然后根据概率公式计算，即可求解．
【详解】解：画出树状图为：
共有6种等可能的结果，它们是：（-2，4），（-2，5），（4，-2），（4，5），（5，4），（5，-2），
其中点P在第四象限的结果数为2，即（4，-2），（5，-2），
所以点P在第四象限的概率为： ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法求概率和点的坐标特征，通过列表法或树状图法列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率是解题的关键．
2．（2021·江苏镇江·中考真题）一只不透明的袋子中装有1个黄球，现放若干个红球，它们与黄球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出两个球，使得P（摸出一红一黄）＝P（摸出两红），则放入的红球个数为__．
【答案】3
【分析】分别假设放入的红球个数为1、2和3，画树状图列出此时所有等可能结果，从中找到摸出一红一黄和两个红球的结果数，从而验证红球的个数是否符合题意．
【详解】解：（1）假设袋中红球个数为1，
此时袋中由1个黄球、1个红球，
搅匀后从中任意摸出两个球，P（摸出一红一黄）＝1，P（摸出两红）＝0，不符合题意．
（2）假设袋中的红球个数为2，
列树状图如下：
由图可知，共有6种情况，其中两次摸到红球的情况有2种，摸出一红一黄的有4种结果，
∴P（摸出一红一黄）=，P（摸出两红）=，不符合题意，
（3）假设袋中的红球个数为3，
画树状图如下：
由图可知，共有12种情况，其中两次摸到红球的情况有6种，摸出一红一黄的有6种结果，
∴P（摸出一红一黄）=P（摸出两红）=，符合题意，
所以放入的红球个数为3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了列表法和树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
3．（2021·江西·新余市第一中学模拟预测）2020春开学为防控冠状病毒，学生进校园必须戴口罩，测体温，某校开通了三条人工测体温的通道，每周一分别由王老师、张老师、李老师三位老师给进校园的学生测体温（每个通道一位老师），周一有两学生进校园，在3个通道中，可随机选择其中的一个通过．
（1）其中一个学生进校园时，由王老师测体温的概率是 ；
（2）求两学生进校园时，都是王老师测体温的概率．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）根据题意画出树状图得出所有等情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【详解】解：（1）共有三个老师测体温，分别是王老师、张老师、李老师
由王老师测体温的概率是；
故答案为：；
（2）设王老师、张老师、李老师分别用、、表示，画树状图如下：
共有9种等情况数，其中都是王老师测体温的有1种情况，
则都是王老师测体温的概率是．
【点睛】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
4．（2021·宁夏·银川市第三中学一模）为倡导“低碳出行”，每年9月22日为世界无车日，2020年9月22日，由中国城市公共交通协会联合清华大学中国城市研究院共同举办的第十四届“922绿色出行日”主题活动拉开序幕，环保部门对某城市居民出行使用交通方式的情况进行了问卷调查，将收回的问卷调查结果整理后，绘制了如下不完整的统计图，其中“骑自行车、电动车”所在的扇形的圆心角是162°．
请根据以上信息解答下列问题：
（1）请补全条形统计图．
（2）如果绿色出行是指“骑自行车、电动车”和“坐公交车”，计算绿色出行在所有交通方式中的频率，并在50万人口的城市中选择绿色出行的共有多少人．
（3）若参与问卷调查的人中选择“其他”交通方式的有两名女性，其余为男性，现从中随机选取两人进行跟踪调查，请借助树状图或者表格，求出恰好选到1男1女的概率．
【答案】（1）见解析；（2），42.5万人；（3）
【分析】（1）先求出被调查的总人数，再求出骑自行车、电动车的人数和“其他”人数，即可求解；
（2）先求出绿色出行在所有交通方式中的频率，再用50万乘以绿色出行在所有交通方式中的频率，即可求解；
（3）先根据题意，画出树状图，得到共有20种等可能的情况，其中是1男1女的情况有12种，即可求解．
【详解】解：（1）被调查的总人数为： （人），
则骑自行车、电动车的人数为：（人），
“其他”人数为（人）
补全条形统计图如图：
（2）绿色出行在所有交通方式中的频率为，
估计50万人口的城市中选择绿色出行的共有（万人）．
（3）易知选择“其他”交通方式的有两名女性，三名男性，面树状图如下：
由树状图可知共有20种等可能的情况，其中是1男1女的情况有12种，
∴恰好选到1男1女的概率为．
【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合应用，求频率和概率，用样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图得到准确信息是解题的关键．
5．（2021·江苏·高港实验学校二模）如图是某教室里日光灯的四个控制开关（分别记为A、B、C、D），每个开关分别控制一排日光灯（开关序号与日光灯的排数序号不一定一致）．某天上课时，王老师在完全不知道哪个开关对应控制哪排日光灯的情况下先后随机按下两个开关．
（1）王老师按下第一个开关恰好能打开第一排日光灯的概率是 ；
（2）王老师按下两个开关恰好能打开第一排与第三排日光灯的概率是多少？请用列表法或画树状图法加以分析．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）用列表法或树状图列举所有可能，再利用概率公式解答即可．
【详解】（1）由题意得：王老师按下第一个开关恰好能打开第一排日光灯的概率为，
故答案为：；
（2）画出树状图如下：
所有出现的等可能性结果有12种，其中满足条件的结果有2种，则两个开关恰好能打开第一排与第三排日光灯的概率是．
【点睛】本题考查了求概率，较复杂的可以用列表法或树状图法，关键是求得所有可能的结果数及事件发生的结果数，后者与前者的比便是所求的概率．
6．（2021·山东日照·中考真题）为庆祝中国共产党建党100周年，某校加强了学生对党史知识的学习，并组织学生参加《党史知识》测试（满分100分）．为了解学生对党史知识的掌握程度，从七、八年级中各随机抽取10名学生的测试成绩，进行统计、分析，过程如下：
收集数据：
七年级：86 88 95 90 100 95 95 99 93 100
八年级：100 98 98 89 87 98 95 90 90 89
整理数据：
成绩x（分）
年级 85＜x≤90 90＜x≤95 95＜x≤100
七年级 3 4 3
八年级 5 a b
分析数据：
统计量
年级 平均数 中位数 众数
七年级 94.1 95 d
八年级 93.4 c 98
应用数据：
（1）填空：______，______，______，______；
（2）若八年级共有200人参与答卷，请估计八年级测试成绩大于95分的人数；
（3）从测试成绩优秀的学生中选出5名语言表达能力较强的学生，其中八年级3名，七年级2名.现从这5名学生中随机抽取2名到当地社区担任党史宣讲员．请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到同年级学生的概率．
【答案】（1）1，4，92.5，95；（2）80；（3）
【分析】（1）利用唱票的形式得到、的值，根据中位数的定义确定的值，根据众数的定义确定的值；
（2）用200乘以样本中八年级测试成绩大于95分所占的百分比即可；
（3）画树状图展示所有20种等可能的结果，找出两同学为同年级的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】解：（1），，
八年级成绩按由小到大排列为：87，89，89，90，90，95，98，98，98，100，
所以八年级成绩的中位数，
七年级成绩中95出现的次数最多，则；
故答案为1，4，92.5，95；
（2），
估计八年级测试成绩大于95分的人数为80人；
（3）画树状图为：
共有20种等可能的结果，其中两同学为同年级的结果数为8，
所以抽到同年级学生的概率．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：通过列表或树状图展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，求出概率．也考查了统计图．
7．（2021·江苏镇江·中考真题）甲、乙、丙三人各自随机选择到A，B两个献血站进行爱心献血．求这三人在同一个献血站献血的概率．
【答案】
【分析】首先根据题意画树状图，然后根据树状图即可求得所有等可能的结果和满足条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图得：
共8种等可能情况，其中这三人在同一个献血站献血的有2种结果，
所以这三人在同一个献血站献血的概率为．
【点睛】此题考查了树状图法求概率．注意树状图法适台两步或两步以上完成的事件，树状图法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
8．（2021·辽宁鞍山·中考真题）为了加快推进我国全民新冠病毒疫苗接种，在全国范围内构筑最大免疫屏障，各级政府积极开展接种新冠病毒疫苗的宣传工作．某社区印刷了多套宣传海报，每套海报四张，海报内容分别是：
A.防疫道路千万条，接种疫苗第一条；
B．疫苗接种保安全，战胜新冠靠全员；
C．接种疫苗别再拖，安全保障好处多；
D．疫苗接种连万家，平安健康乐全家．
志愿者小张和小李利用休息时间到某小区张贴海报．
（1）小张从一套海报中随机抽取一张，抽到B海报的概率是 ．
（2）小张和小李从同一套海报中各随机抽取一张，用列表法或画树状图法，求他们两个人中有一个人抽到D海报的概率．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有12种等可能的结果，小张和小李两个人中有一个人抽到D海报的结果有6种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：（1）每套海报四张
小张从一套海报中随机抽取一张，抽到B海报的概率是，
故答案为：；
（2）画树状图如图：
共有12种等可能的结果，小张和小李两个人中有一个人抽到D海报的结果有6种，
小张和小李两个人中有一个人抽到D海报的概率为．
【点睛】本题考查了概率的计算，用列表法或画树状图法求概率，掌握概率的计算方法是解题的关键．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果数，概率=所求情况数与总情况数之比．
9．（2021·四川德阳·中考真题）为庆祝中国共产党建党100周年，某校举行了“传党情，颂党恩”知识竞赛．为了解全校学生知识掌握情况，学校随机抽取部分竞赛成绩制定了不完整的统计表和频数分布直方图．
分数x（分） 频数（人） 频率
90≤x＜100 80 a
80≤x＜90 60 0.3
70≤x＜80 0.18
60≤x＜70 b 0.12
（1）请直接写出表中a，b的值，并补全频数分布直方图；
（2）竞赛成绩在80分以上（含80分）记为优秀，请估计该校3500名参赛学生中有多少名学生成绩优秀；
（3）为了参加市上的“传党情，颂党恩”演讲比赛，学校从本次知识竞赛成绩优秀的学生中再次选拔出演讲水平较好的三位同学，其中男生一位、女生两位，现从中任选两位同学参加，请利用画树状图或列表的方法，求选中的两位同学恰好是一男一女的概率．
【答案】（1）a=0.4、b=24，补全图形见解答；（2）2450名；（3）
【分析】（1）先由80≤x＜90的频数及频率求出样本容量，再根据频率=频数÷样本容量求解即可；
（2）总人数乘以样本中竞赛成绩在80分以上（含80分）的频率和即可；
（3）画树状图列出所有等可能结果，从中找到一男一女的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：（1）样本容量为60÷0.3=200，
∴a=80÷200=0.4，b=200×0.12=24，
70≤x＜80对应的频数为200×0.18=36，
补全图形如下：
（2）估计该校3500名参赛学生中成绩优秀的学生人数为3500×（0.4+0.3）=2450（名）；
（3）画树状图如下：
由树状图知，共有6种等可能结果，其中选中的两位同学恰好是一男一女的有4种结果，
所以选中的两位同学恰好是一男一女的概率为．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．
10．（2021·江苏淮安·中考真题）在三张形状、大小、质地均相同的卡片上各写一个数字，分别为1、2、﹣1，现将三张卡片放入一只不透明的盒子中，搅匀后任意抽出一张，记下数字后放回，搅匀后再任意抽出一张记下数字．
（1）第一次抽到写有负数的卡片的概率是 ；
（2）用画树状图或列表等方法求两次抽出的卡片上数字都为正数的概率．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）用负数的个数除以数字的总个数即可；
（2）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：（1）负数的个数有1个，数字的总个数是3个，
所以第一次抽到写有负数的卡片的概率是，
故答案为：；
（2）画树状图为：
共有9种等可能的结果数，其中两次抽出的卡片上数字都为正数的有4种结果，
所以两次抽出的卡片上数字都为正数的概率为．
【点睛】本题考查的是求概率和树状图，熟练掌握概率的意义是解决本题的关键．
【知识拓展】(1) 树形图法同样适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；
（2）在用列表法或树形图法求可能事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同.
要点四：利用频率估计概率
当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率.
重难点题型
【经典真题】
例1．（2021·四川乐山·中考真题）在一次心理健康教育活动中，张老师随机抽取了40名学生进行了心理健康测试，并将测试结果按“健康、亚健康、不健康”绘制成下列表格，其中测试结果为“健康”的频率是（ ）．
类型 健康 亚健康 不健康
数据（人） 32 7 1
A．32 B．7 C． D．
【答案】D
【分析】结合题意，根据频率的定义计算，即可得到答案．
【详解】根据题意，得测试结果为“健康”的频率是
故选：D．
【点睛】本题考查了抽样调查的知识；解题的关键是熟练掌握频率的性质，从而完成求解．
例2．（2021·福建·重庆实验外国语学校模拟预测）某家庭记录使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：，得到频数分布表如下：
日用水量
频数 1 5 13 10 16 5
估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于的概率为 __．
【答案】
【分析】分析表中数据，计算50天日用水量少于0.3的频数，由，计算即可．
【详解】解：由表可知，使用后，50天日用水量少于0.3的频数为，
所以估计50天日用水量少于0.3的概率为，
故答案为：．
【点睛】本题考查频率的计算，用频率估计概率，根据相关知识点解题是关键．
【经典变式】
1．（2021·广东·深圳市宝安中学（集团）模拟预测）一个不透明的袋中装有黄、白两种颜色的球共40个，这些球除颜色外都相同，小亮通过多次摸球试验后，发现摸到黄球的频率稳定在0.35左右，则袋中白球可能有______个．
【答案】26
【分析】利用频率估计概率得到摸到白球的概率为1-0.35，然后根据概率公式计算即可．
【详解】解：设袋子中白球有x个，根据题意，得：＝1-0.35，
解得：x＝26，
即布袋中白球可能有26个，
故答案为：26．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
2．（2021·辽宁锦州·中考真题）一个口袋中有红球、白球共20个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了300次球，发现有120次摸到红球，则这个口袋中红球的个数约为____．
【答案】8
【分析】估计利用频率估计概率可估计摸到红球的概率为0.4，然后根据概率公式计算这个口袋中红球的数量．
【详解】解：因为共摸了300次球，发现有120次摸到红球，
所以估计摸到红球的概率为0.4，
所以估计这个口袋中红球的数量为20×0.4＝8（个）．
故答案为：8．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
3．（2021·广西柳北·三模）一个袋子中有6个红球和若干个白球，这些球除颜色外，形状、大小、质地完全相同，在看不到的条件下，随机摸出一个红球的概率是，则袋中有____________个白球．
【答案】14
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率，求出即可．
【详解】解：设白球x个，根据题意可得：
，
解得：x=14，
经检验，x=14是原方程的根，
故袋中有14个白球．
故答案为：14．
【点睛】本题考查的是概率的求法．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
4．（2021·湖北宜昌·中考真题）社团课上，同学们进行了“摸球游戏”：在一个不透明的盒子里装有几十个除颜色不同外其余均相同的黑、白两种球，将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程．整理数据后，制作了“摸出黑球的频率”与“摸球的总次数”的关系图象如图所示，经分析可以推断盒子里个数比较多的是___________（填“黑球”或“白球”）．
【答案】白球
【分析】利用频率估计概率的知识，确定摸出黑球的概率，由此得到答案．
【详解】解：由图可知：摸出黑球的频率是0.2，
根据频率估计概率的知识可得，摸一次摸到黑球的概率为0.2，
∴可以推断盒子里个数比较多的是白球，
故答案为：白球．
【点睛】此题考查利用频率估计概率，正确理解图象的意义是解题的关键．
5．（2021·广东南海·模拟预测）在一个不透明的布袋中装有红球、白球共20个，它们除颜色外其他完全相同．小明通过多次摸球试验后发现，其中摸到红球的频率稳定在0.6，则随机从布袋中摸出一个球是红球的概率是______．
【答案】0.6
【分析】根据频率与概率的关系解答．
【详解】解：根据频率与概率的关系可得所求概率即为0.6，
故答案为0.6 ．
【点睛】本题考查用频率估计概率，正确理解用频率估计概率的意义和方法是解题关键．
6．（2020·辽宁鞍山·中考真题）在一个不透明的袋子中装有6个红球和若干个白球，这些球除颜色外都相同，将球搅匀后随机摸出一个球，记下颜色后放回，不断重复这一过程，共摸球100次，发现有20次摸到红球，估计袋子中白球的个数约为_________．
【答案】24
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设未知数列出方程求解．
【详解】解：∵共试验100次，其中有20次摸到红球，
∴白球所占的比例为：，
设袋子中共有白球x个，则，
解得：x=24，
经检验：x=24是原方程的解，
故答案为：24．
【点睛】本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．关键是根据白球的频率得到相应的等量关系．
7．（2021·江苏·靖江市靖城中学一模）对某篮球运动员进行3分球投篮测试结果如下表：
投篮次数n 10 50 100 150 200
命中次数m 4 25 65 90 120
命中率 0.4 0.5 0.65
（1）计算、直接填表：表中投篮150次、200次相应的命中率．
（2）这个运动员投篮命中的概率约是_____．
（3）估计这个运动员3分球投篮15次能得多少分？
【答案】（1）；（2）；（3）分
【分析】（1）由命中次数除以投篮次数即可得到相应的命中率；
（2）由大量实验是前提下，利用频率估计概率即可得到答案；
（3）先计算次投篮的命中数，从而可得答案.
【详解】解：（1）投篮150次、200次的命中率分别为：
（2）随着投篮次数的增加，这个运动员投篮命中率稳定在附近，
所以这个运动员投篮命中的概率约是
故答案为：
（3）这个运动员3分球投篮15次大约投中次，
所以这个运动员3分球投篮15次的得分大约为：分.
【点睛】本题考查的是利用频率估计概率，掌握大量实验的前提下，利用稳定的频率估计概率是解题的关键.
8.（2021·湖南长沙·中考真题）“网红”长沙入选2021年“五一”假期热门旅游城市．本市某景点为吸引游客，设置了一种游戏，其规则如下：凡参与游戏的游客从一个装有12个红球和若干个白球（每个球除颜色外，其他都相同）的不透明纸箱中，随机摸出一个球，摸到红球就可免费得到一个景点吉祥物．据统计参与这种游戏的游客共有60000人，景点一共为参与该游戏的游客免费发放了景点吉祥物15000个．
（1）求参与该游戏可免费得到景点吉祥物的频率；
（2）请你估计纸箱中白球的数量接近多少？
【答案】（1）；（2）纸箱中白球的数量接近36个．
【分析】（1）利用免费发放的景点吉祥物数量除以参与这种游戏的游客人数即可得；
（2）设纸箱中白球的数量为个，先利用频率估计概率可得随机摸出一个球是红球的概率，再利用概率公式列出方程，解方程即可得．
【详解】解：（1）由题意得：，
答：参与该游戏可免费得到景点吉祥物的频率为；
（2）设纸箱中白球的数量为个，
由（1）可知，随机摸出一个球是红球的概率约为，
则，
解得，
经检验，是所列分式方程的解，且符合题意，
答：纸箱中白球的数量接近36个．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率、已知概率求数量，熟练掌握概率公式是解题关键．
9．（2021·湖南岳阳·中考真题）国务院教育督导委员会办公室印发的《关于组织责任督学进行“五项管理”督导的通知》指出，要加强中小学生作业、睡眠、手机、读物、体质管理．某校数学社团成员采用随机抽样的方法，抽取了八年级部分学生，对他们一周内平均每天的睡眠时间（单位：）进行了调查，将数据整理后得到下列不完整的统计图表：
组别 睡眠时间分组 频数 频率
4 0.08
8 0.16
10
21 0.42
0.14
请根据图表信息回答下列问题：
（1）频数分布表中，________，________；
（2）扇形统计图中，组所在扇形的圆心角的度数是________；
（3）请估算该校600名八年级学生中睡眠不足7小时的人数；
（4）研究表明，初中生每天睡眠时长低于7小时，会严重影响学习效率．请你根据以上调查统计结果，向学校提出一条合理化的建议．
【答案】（1）0.2,7；（2）；（3）144人；（4）建议学校尽量让学生在学校完成作业，课后少布置作业．
【分析】（1）按照频率=进行求解，根据组别的频数和频率即可求得本次调查的总人数，再按照公式频率=进行求解，即可得到，的值；
（2）根据（1）中所求得的的值，即可得到其在扇形中的百分比，此题得解；
（3）根据频率估计概率，即可计算出该校600名八年级学生中睡眠不足7小时的人数；
（4）根据（3）中结果，即可知道该学校每天睡眠时长低于7小时的人数，根据实际情况提出建议．
【详解】（1）根据组别，本次调查的总体数量=，
∴组别的频率=，
∴组别的频数=频率×总体数量，
∴，；
（2）∵（1）中求得的值为0.2，
∴其在扇形中的度数；
（3）组别和的频率和为：，
∴八年级学生中睡眠不足7小时的人数（人）；
（4）根据（3）中求得的该学校每天睡眠时长低于7小时的人数，建议学校尽量让学生在学校完成作业，课后少布置作业．
【点睛】本题主要考查了用频率估计概率，解题的关键是掌握频率=，解答本题的关键是掌握频率、频数和总体数量的关系．
10．（2021·甘肃武威·中考真题）一个不透明的箱子里装有3个红色小球和若干个白色小球，每个小球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复实验后，发现摸到红色小球的频率稳定于0.75左右．
（1）请你估计箱子里白色小球的个数；
（2）现从该箱子里摸出1个小球，记下颜色后放回箱子里，摇匀后，再摸出1个小球，求两次摸出的小球颜色恰好不同的概率（用画树状图或列表的方法）．
【答案】（1）1个；（2）
【分析】（1）先利用频率估计概率，得到摸到红球的概率为0.75，再利用概率公式列方程，解方程可得答案；
（2）利用列表或画树状图的方法得到所有的等可能的结果数，得到符合条件的结果数，再利用概率公式计算即可得到答案．
【详解】解：（1）∵通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.75左右，
∴估计摸到红球的概率为0.75，
设白球有个，依题意得
解得，．
经检验：是原方程的解，且符合题意，
所以箱子里可能有1个白球；
（2）列表如下：
红 红 红 白
红 （红，红） （红，红） （红，红） （红，白）
红 （红，红） （红，红） （红，红） （红，白）
红 （红，红） （红，红） （红，红） （红，白）
白 （白，红） （白，红） （白，红） （白，白）
或画树状图如下：
∵一共有16种等可能的结果，两次摸出的小球颜色恰好不同的有：
（红，白）、（红，白）、（红，白）、（白，红）、（白，红）、（白，红）共6种．
∴两次摸出的小球恰好颜色不同的概率．
【点睛】本题考查的是利用频率估计概率，利用列表法或画树状图的方法求解等可能事件的概率，掌握实验次数足够多的情况下，频率会稳定在某个数值附近，这个常数视为概率，以及掌握列表与画树状图的方法是解题的关键．
【知识拓展】用试验去估计随机事件发生的概率应尽可能多地增加试验次数，当试验次数很大时，结果将较为精确.
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专题02 简单事件的概率（要点梳理+重难点题型）
【要点梳理】
要点一：必然事件、不可能事件和随机事件
1.定义：
（1）必然事件
在一定条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件，叫做必然事件．
（2）不可能事件
在每次试验中都不会发生的事件叫做不可能事件．
（3）随机事件
在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件.
重难点题型
【经典真题】
例1．（2021·江苏淮安·中考真题）下列事件是必然事件的是（ ）
A．没有水分，种子发芽 B．如果a、b都是实数，那么a＋b＝b＋a
C．打开电视，正在播广告 D．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上
例2．（2021·湖北青山·一模）投掷两枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，则下列事件为随机事件的是（ ）
A．两枚骰子向上一面的点数和大于1 B．两枚骰子向上一面的点数和等于1
C．两枚骰子向上一面的点数和等于9 D．两枚骰子向上一面的点数和大于12
【经典变式】
1．（2021·湖北硚口·模拟预测）一个不透明的袋子中装有5个相同的小球，分别标号为1，2，3，4，5从袋子中随机摸出两个小球，则下列事件是随机事件的是（ ）
A．两个小球的标号之和等于2
B．两个小球的标号之和大于2
C．两个小球的标号之和等于9
D．两个小球的标号之和大于9
2．（2021·上海浦东新·模拟预测）抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，下列事件中是确定事件的为（ ）
A．点数为1 B．点数为3 C．点数为5 D．点数为7
3．（2021·贵州安顺·中考真题）“一个不透明的袋中装有三个球，分别标有1，2，这三个号码，这些球除号码外都相同，搅匀后任意摸出一个球，摸出球上的号码小于5”是必然事件，则的值可能是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
4．（2021·湖北襄阳·中考真题）不透明袋子中装有除颜色外完全相同的2个红球和1个白球，从袋子中随机摸出2个球，下列事件是必然事件的是（ ）
A．摸出的2个球中至少有1个红球 B．摸出的2个球都是白球
C．摸出的2个球中1个红球、1个白球 D．摸出的2个球都是红球
5．（2021·广西贺州·中考真题）下列事件中属于必然事件的是（ ）
A．任意画一个三角形，其内角和是180°
B．打开电视机，正在播放新闻联播
C．随机买一张电影票，座位号是奇数号
D．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上
6．（2021·湖南怀化·中考真题）“成语”是中华文化的瑰宝，是中华文化的微缩景观．下列成语：①“水中捞月”，②“守株待兔”，③“百步穿杨”，④“瓮中捉鳖”描述的事件是不可能事件的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
7．（2021·湖南长沙·中考真题）在一次数学活动课上，某数学老师将1~10共十个整数依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下）．他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：11；乙：4；丙：16；丁：7；戊：17．根据以上信息，下列判断正确的是（ ）
A．戊同学手里拿的两张卡片上的数字是8和9
B．丙同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7
C．丁同学手里拿的两张卡片上的数字是3和4
D．甲同学手里拿的两张卡片上的数字是2和9．
8．（2021·湖北孝感·二模）下列事件：①任意画一个三角形，其内角和为180°；②在平面内任意画两条直线，则其位置关系是相交；③掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是6．其中是随机事件的是______．（填序号）
9．（2021·全国·九年级课时练习）在每个事件的括号里填上“必然”、“随机”、“不可能”等词语．
①如果，那么．（ ）
②如果，那么，．（ ）
③一只袋里有5个红球，1个白球，从袋里任取一球是红色的．（ ）
④掷骰子游戏中，连续掷十次，掷得的点数全是6．（ ）
10．（2021·全国·九年级课时练习）下列事件分别是三类事件（必然事件、不可能事件、随机事件）中的哪种事件：
（1）在装有3个球的布袋里摸出4个球；
（2）2013年1月1日是元旦；
（3）正月十五雪打灯；
（4）爷爷、奶奶、爸爸、妈妈都在家，小明回家敲门，开门的是妈妈．
【知识拓展】1.必然发生的事件和不可能发生的事件均为“确定事件”，随机事件又称为“不确定事件”；
2.要知道事件发生的可能性大小首先要确定事件是什么类型.一般地，必然发生的事件发生的可能性最大，不可能发生的事件发生的可能性最小，随机事件发生的可能性有大有小，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同.
要点二：概率的意义
概率是从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小.一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数附近，那么这个常数就叫做事件A的概率(probability)，记为.
重难点题型
【经典真题】
例1．（2021·湖北襄阳·一模）下列说法正确的是（ ）
A．“连接一个菱形的两条对角线，它们互相垂直平分”这一事件是随机事件．
B．概率很小的事件不可能发生．
C．367人中一定至少有两个人同一天生日．
D．“明天降雨的概率为80%”，意味着明天有80%的时间会有降雨．
例2．（2020·江苏常州·二模）抛掷一枚质地均匀的硬币5000次，正面朝上的次数最有可能为（ ）
A．1500 B．2000 C．2500 D．3000
【经典变式】
1．（2021·江苏泰州·中考真题）“14人中至少有2人在同一个月过生日”这一事件发生的概率为P，则（ ）
A．P＝0 B．0＜P＜1 C．P＝1 D．P＞1
2．（2021·湖北襄阳·一模）下列说法正确的是（ ）
A．“购买一张彩票，中奖”是不可能事件
B．“从，，π，0.2这四个数中随机选一个数，这个数是无理数”是随机事件
C．抛掷一枚质地均匀的硬币10次，有3次正面朝上，说明正面朝上的概率是0.3
D．某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，所以他击中靶的概率是0.5
3．（2021·江苏·泰兴市实验初级中学一模）小明是校篮球队的一名队员，根据以往的数据统计，小明的进球率是50%，他明天将参加一场比赛，则下列说法正确的是（ ）
A．小明明天的进球率是50% B．小明明天每投10次必有5次投中
C．小明明天一定能进球 D．小明明天投20个球，其中投中10个是随机事件
4．（2021·全国·模拟预测）抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为0.5，下列说法正确的是（ ）
A．连续抛掷2次必有1次正面朝上
B．连续抛掷10次不可能都正面朝上
C．大量反复抛掷每100次出现正面朝上50次
D．通过抛掷硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的
5．（2021·广西·模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．“买中奖率为的奖券10张，中奖”是必然事件
B．“汽车累积行驶，从未出现故障”是不可能事件
C．武汉气象局预报说“明天的降水概率为70%”，意味着武汉明天一定下雨
D．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为0.5
6．（2020·全国·九年级课时练习）下列事件发生的概率为0的是（ ）
A．射击运动员只射击1次，就命中靶心
B．任取一个实数x，都有|x|≥0
C．画一个三角形，使其三边的长分别为8cm，6cm，2cm
D．抛掷一枚质地均匀且六个面分别刻有1到6的点数的正方体骰子，朝上一面的点数为6
7．（2019·湖北襄阳·中考真题）下列说法错误的是（ ）
A．必然事件发生的概率是1
B．通过大量重复试验，可以用频率估计概率
C．概率很小的事件不可能发生
D．投一枚图钉，“钉尖朝上”的概率不能用列举法求得
8．（2021·湖北武汉·模拟预测）一个不透明的口袋中装有四个相同的小球，它们分别标号为，，，．从中同时摸出两个，则下列事件为随机事件的是（ ）
A．两个小球的标号之和等于 B．两个小球的标号之和大于
C．两个小球的标号之和等于 D．两个小球的标号之和大于
【知识拓展】(1)概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值；
(2)概率反映了随机事件发生的可能性的大小；
(3) 事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，，即，其中P(必然事件)=1，P(不可能事件)=0，0要点三：用列举法求概率
常用的列举法有两种：列表法和树形图法.
列表法：
当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法.
列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.
重难点题型
【经典真题】
例1．（2021·山东济南·中考真题）某学校组织学生到社区开展公益宣传活动，成立了“垃圾分类”“文明出行”“低碳环保”三个宣传队，如果小华和小丽每人随机选择参加其中一个宣传队，则她们恰好选到同一个宣传队的概率是（ ）
A． B． C． D．
例2．（2021·辽宁阜新·中考真题）小颖有两顶帽子，分别为红色和黑色，有三条围巾，分别为红色、黑色和白色，她随机拿出一顶帽子和一条围巾戴上，恰好为红色帽子和红色围巾的概率是（ ）
A． B． C． D．
【经典变式】
1．（2021·河北·石家庄市第四十中学二模）现从四个数，0，1，2中任意选出两个不同的数，分别作为函数中a，b的值．那么所得图像中，分布在一二三象限的概率是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·重庆实验外国语学校三模）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，球上分别标有数字1，，4，，随机摸取一个小球记作，然后不放回，再随机摸取一个小球记作，则为正数的概率是______．
3．（2021·河南邓州·一模）一个不透明的袋子里有4个小球，上面分别标有数字，，1，2，小球除所标数字不同外，其它完全相同，摇匀后摸出一球，记下数字为a，不放回，再摸出一球，记下数字为b，若点M的坐标为则点M落在双曲线上的概率为____________．
4．（2021·山东·青岛大学附属中学二模）小王和小明用如图所示的同一个转盘进行“配紫色”游戏，游戏规则如下：连续转动两次转盘，如果两次转出的颜色相同或配成紫色（若其中一次转盘转出蓝色，另一次转出红色，则配成紫色；如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一种颜色为止）小王赢，否则，小明赢．
（1）请你通过列表法分别求出小王和小明获胜的概率．
（2）你认为这个游戏公平吗 请说明理由．
5．（2021·辽宁·沈阳实验中学二模）我校初高中学生正在为积极筹备“艺体节”活动，校学生会为此次活动演出选择以下四个场地：A“篮球馆”、B“羽毛球馆”、C“未来广场”、D“田径场”，四个场地各有优缺点，体育馆场地干净整洁，但不易搭建舞台；羽毛球馆室内采光较好，但场地较小；未来广场安静优雅，但地面不平坦；田径场场地平坦而且较大，但受天气影响较大，于是对本校学生进行调查了解，调查结果如图所示，并完成下列问题：
（1）本次一共调查了______名学生；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）本次活动策划人想从这四个场地中随机选取两个场地为活动候选场地，请用树状图或列表的方法求恰好选中“篮球馆”和“羽毛球馆”的概率．
6．（2021·浙江·杭州市采荷中学二模）一个不透明的布袋里装有3个只有颜色不同的球，其中，2个红球，1个白球，从中摸岀1个球，记下颜色后放回，再摸出1个球，求两次摸出的球恰好颜色不同的概率．
7．（2021·辽宁沈阳·中考真题）某品牌免洗洗手液按剂型分为凝胶型、液体型，泡沫型三种型号（分别用A，B，C依次表示这三种型号）．小辰和小安计划每人购买一瓶该品牌免洗洗手液，上述三种型号中的每一种免洗洗手液被选中的可能性均相同．
（1）小辰随机选择一种型号是凝胶型免洗洗手液的概率是__________．
（2）请你用列表法或画树状图法，求小辰和小安选择同一种型号免洗洗手液的概率．
8．（2021·湖南湘潭·中考真题）“共和国勋章”获得者钟南山院士说：按照疫苗保护率达到70%计算，中国的新冠疫苗覆盖率需要达到近80%，才有可能形成群体免疫，本着自愿的原则，18至60周岁符合身体条件的中国公民均可免费接种新冠疫苗．居民甲、乙准备接种疫苗，其居住地及工作单位附近有两个大型医院和两个社区卫生服务中心均可免费接种疫苗，提供疫苗种类如下表：
接种地点 疫苗种类
医院 A 新冠病毒灭活疫苗
B 重组新冠病毒疫苗（CHO细胞）
社区卫生服务中心 C 新冠病毒灭活疫苗
D 重组新冠病毒疫苗（CHO细胞）
若居民甲、乙均在A、B、C、D中随机独立选取一个接种点接种疫苗，且选择每个接种点的机会均等（提示：用A、B、C、D表示选取结果）
（1）求居民甲接种的是新冠病毒灭活疫苗的概率；
（2）请用列表或画树状图的方法求居民甲、乙接种的是相同种类疫苗的概率．
【知识拓展】（1）列表法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；
（2）列表法适用于涉及两步试验的随机事件发生的概率.
树形图：当一次试验要涉及3个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图.
树形图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.
重难点题型
【经典真题】
例1．（2021·广东广州·中考真题）为了庆祝中国共产党成立100周年，某校举办了党史知识竞赛活动，在获得一等奖的学生中，有3名女学生，1名男学生，则从这4名学生中随机抽取2名学生，恰好抽到2名女学生的概率为（ ）
A． B． C． D．
例2．（2021·黑龙江·哈尔滨市虹桥初级中学校一模）在一个不透明的布袋中有2个红球和2个白球，它们除颜色外其他都相同，如果从布袋里随机摸出两个球，那么所摸到两个球恰好是一红一白球的概率为___________．
【经典变式】
1．（2021·广西河池·中考真题）从﹣2，4，5这3个数中，任取两个数作为点P的坐标，则点P在第四象限的概率是__________．
2．（2021·江苏镇江·中考真题）一只不透明的袋子中装有1个黄球，现放若干个红球，它们与黄球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出两个球，使得P（摸出一红一黄）＝P（摸出两红），则放入的红球个数为__．
3．（2021·江西·新余市第一中学模拟预测）2020春开学为防控冠状病毒，学生进校园必须戴口罩，测体温，某校开通了三条人工测体温的通道，每周一分别由王老师、张老师、李老师三位老师给进校园的学生测体温（每个通道一位老师），周一有两学生进校园，在3个通道中，可随机选择其中的一个通过．
（1）其中一个学生进校园时，由王老师测体温的概率是 ；
（2）求两学生进校园时，都是王老师测体温的概率．
4．（2021·宁夏·银川市第三中学一模）为倡导“低碳出行”，每年9月22日为世界无车日，2020年9月22日，由中国城市公共交通协会联合清华大学中国城市研究院共同举办的第十四届“922绿色出行日”主题活动拉开序幕，环保部门对某城市居民出行使用交通方式的情况进行了问卷调查，将收回的问卷调查结果整理后，绘制了如下不完整的统计图，其中“骑自行车、电动车”所在的扇形的圆心角是162°．
请根据以上信息解答下列问题：
（1）请补全条形统计图．
（2）如果绿色出行是指“骑自行车、电动车”和“坐公交车”，计算绿色出行在所有交通方式中的频率，并在50万人口的城市中选择绿色出行的共有多少人．
（3）若参与问卷调查的人中选择“其他”交通方式的有两名女性，其余为男性，现从中随机选取两人进行跟踪调查，请借助树状图或者表格，求出恰好选到1男1女的概率．
5．（2021·江苏·高港实验学校二模）如图是某教室里日光灯的四个控制开关（分别记为A、B、C、D），每个开关分别控制一排日光灯（开关序号与日光灯的排数序号不一定一致）．某天上课时，王老师在完全不知道哪个开关对应控制哪排日光灯的情况下先后随机按下两个开关．
（1）王老师按下第一个开关恰好能打开第一排日光灯的概率是 ；
（2）王老师按下两个开关恰好能打开第一排与第三排日光灯的概率是多少？请用列表法或画树状图法加以分析．
6．（2021·山东日照·中考真题）为庆祝中国共产党建党100周年，某校加强了学生对党史知识的学习，并组织学生参加《党史知识》测试（满分100分）．为了解学生对党史知识的掌握程度，从七、八年级中各随机抽取10名学生的测试成绩，进行统计、分析，过程如下：
收集数据：
七年级：86 88 95 90 100 95 95 99 93 100
八年级：100 98 98 89 87 98 95 90 90 89
整理数据：
成绩x（分）
年级 85＜x≤90 90＜x≤95 95＜x≤100
七年级 3 4 3
八年级 5 a b
分析数据：
统计量
年级 平均数 中位数 众数
七年级 94.1 95 d
八年级 93.4 c 98
应用数据：
（1）填空：______，______，______，______；
（2）若八年级共有200人参与答卷，请估计八年级测试成绩大于95分的人数；
（3）从测试成绩优秀的学生中选出5名语言表达能力较强的学生，其中八年级3名，七年级2名.现从这5名学生中随机抽取2名到当地社区担任党史宣讲员．请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到同年级学生的概率．
7．（2021·江苏镇江·中考真题）甲、乙、丙三人各自随机选择到A，B两个献血站进行爱心献血．求这三人在同一个献血站献血的概率．
8．（2021·辽宁鞍山·中考真题）为了加快推进我国全民新冠病毒疫苗接种，在全国范围内构筑最大免疫屏障，各级政府积极开展接种新冠病毒疫苗的宣传工作．某社区印刷了多套宣传海报，每套海报四张，海报内容分别是：
A.防疫道路千万条，接种疫苗第一条；
B．疫苗接种保安全，战胜新冠靠全员；
C．接种疫苗别再拖，安全保障好处多；
D．疫苗接种连万家，平安健康乐全家．
志愿者小张和小李利用休息时间到某小区张贴海报．
（1）小张从一套海报中随机抽取一张，抽到B海报的概率是 ．
（2）小张和小李从同一套海报中各随机抽取一张，用列表法或画树状图法，求他们两个人中有一个人抽到D海报的概率．
9．（2021·四川德阳·中考真题）为庆祝中国共产党建党100周年，某校举行了“传党情，颂党恩”知识竞赛．为了解全校学生知识掌握情况，学校随机抽取部分竞赛成绩制定了不完整的统计表和频数分布直方图．
分数x（分） 频数（人） 频率
90≤x＜100 80 a
80≤x＜90 60 0.3
70≤x＜80 0.18
60≤x＜70 b 0.12
（1）请直接写出表中a，b的值，并补全频数分布直方图；
（2）竞赛成绩在80分以上（含80分）记为优秀，请估计该校3500名参赛学生中有多少名学生成绩优秀；
（3）为了参加市上的“传党情，颂党恩”演讲比赛，学校从本次知识竞赛成绩优秀的学生中再次选拔出演讲水平较好的三位同学，其中男生一位、女生两位，现从中任选两位同学参加，请利用画树状图或列表的方法，求选中的两位同学恰好是一男一女的概率．
10．（2021·江苏淮安·中考真题）在三张形状、大小、质地均相同的卡片上各写一个数字，分别为1、2、﹣1，现将三张卡片放入一只不透明的盒子中，搅匀后任意抽出一张，记下数字后放回，搅匀后再任意抽出一张记下数字．
（1）第一次抽到写有负数的卡片的概率是 ；
（2）用画树状图或列表等方法求两次抽出的卡片上数字都为正数的概率．
【知识拓展】(1) 树形图法同样适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；
（2）在用列表法或树形图法求可能事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同.
要点四：利用频率估计概率
当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率.
重难点题型
【经典真题】
例1．（2021·四川乐山·中考真题）在一次心理健康教育活动中，张老师随机抽取了40名学生进行了心理健康测试，并将测试结果按“健康、亚健康、不健康”绘制成下列表格，其中测试结果为“健康”的频率是（ ）．
类型 健康 亚健康 不健康
数据（人） 32 7 1
A．32 B．7 C． D．
例2．（2021·福建·重庆实验外国语学校模拟预测）某家庭记录使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：，得到频数分布表如下：
日用水量
频数 1 5 13 10 16 5
估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于的概率为 __．
【经典变式】
1．（2021·广东·深圳市宝安中学（集团）模拟预测）一个不透明的袋中装有黄、白两种颜色的球共40个，这些球除颜色外都相同，小亮通过多次摸球试验后，发现摸到黄球的频率稳定在0.35左右，则袋中白球可能有______个．
2．（2021·辽宁锦州·中考真题）一个口袋中有红球、白球共20个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了300次球，发现有120次摸到红球，则这个口袋中红球的个数约为____．
3．（2021·广西柳北·三模）一个袋子中有6个红球和若干个白球，这些球除颜色外，形状、大小、质地完全相同，在看不到的条件下，随机摸出一个红球的概率是，则袋中有____________个白球．
4．（2021·湖北宜昌·中考真题）社团课上，同学们进行了“摸球游戏”：在一个不透明的盒子里装有几十个除颜色不同外其余均相同的黑、白两种球，将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程．整理数据后，制作了“摸出黑球的频率”与“摸球的总次数”的关系图象如图所示，经分析可以推断盒子里个数比较多的是___________（填“黑球”或“白球”）．
5．（2021·广东南海·模拟预测）在一个不透明的布袋中装有红球、白球共20个，它们除颜色外其他完全相同．小明通过多次摸球试验后发现，其中摸到红球的频率稳定在0.6，则随机从布袋中摸出一个球是红球的概率是______．
6．（2020·辽宁鞍山·中考真题）在一个不透明的袋子中装有6个红球和若干个白球，这些球除颜色外都相同，将球搅匀后随机摸出一个球，记下颜色后放回，不断重复这一过程，共摸球100次，发现有20次摸到红球，估计袋子中白球的个数约为_________．
7．（2021·江苏·靖江市靖城中学一模）对某篮球运动员进行3分球投篮测试结果如下表：
投篮次数n 10 50 100 150 200
命中次数m 4 25 65 90 120
命中率 0.4 0.5 0.65
（1）计算、直接填表：表中投篮150次、200次相应的命中率．
（2）这个运动员投篮命中的概率约是_____．
（3）估计这个运动员3分球投篮15次能得多少分？
8.（2021·湖南长沙·中考真题）“网红”长沙入选2021年“五一”假期热门旅游城市．本市某景点为吸引游客，设置了一种游戏，其规则如下：凡参与游戏的游客从一个装有12个红球和若干个白球（每个球除颜色外，其他都相同）的不透明纸箱中，随机摸出一个球，摸到红球就可免费得到一个景点吉祥物．据统计参与这种游戏的游客共有60000人，景点一共为参与该游戏的游客免费发放了景点吉祥物15000个．
（1）求参与该游戏可免费得到景点吉祥物的频率；
（2）请你估计纸箱中白球的数量接近多少？
9．（2021·湖南岳阳·中考真题）国务院教育督导委员会办公室印发的《关于组织责任督学进行“五项管理”督导的通知》指出，要加强中小学生作业、睡眠、手机、读物、体质管理．某校数学社团成员采用随机抽样的方法，抽取了八年级部分学生，对他们一周内平均每天的睡眠时间（单位：）进行了调查，将数据整理后得到下列不完整的统计图表：
组别 睡眠时间分组 频数 频率
4 0.08
8 0.16
10
21 0.42
0.14
请根据图表信息回答下列问题：
（1）频数分布表中，________，________；
（2）扇形统计图中，组所在扇形的圆心角的度数是________；
（3）请估算该校600名八年级学生中睡眠不足7小时的人数；
（4）研究表明，初中生每天睡眠时长低于7小时，会严重影响学习效率．请你根据以上调查统计结果，向学校提出一条合理化的建议．
10．（2021·甘肃武威·中考真题）一个不透明的箱子里装有3个红色小球和若干个白色小球，每个小球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复实验后，发现摸到红色小球的频率稳定于0.75左右．
（1）请你估计箱子里白色小球的个数；
（2）现从该箱子里摸出1个小球，记下颜色后放回箱子里，摇匀后，再摸出1个小球，求两次摸出的小球颜色恰好不同的概率（用画树状图或列表的方法）．
【知识拓展】用试验去估计随机事件发生的概率应尽可能多地增加试验次数，当试验次数很大时，结果将较为精确.
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