2021-2022学年数学人教B版（2019）选择性必修第一册2.4 曲线与方程基础过关练(word 含答案解析）

2.4　曲线与方程
基础过关练
题组一　曲线与方程的关系及其应用
1.若等腰三角形ABC底边的两端点分别是A(-4,0),B(2,0),则顶点C的轨迹是(　　)
A.一条直线 B.一条直线去掉一点
C.一个点 D.两个点
2.若点(2,-3)在曲线2x2-ay2=5上,则实数a的值等于(　　)
A. B.1 C.3 D.±
3.已知曲线y=x2-x+2与直线y=x-m有两个交点,则实数m的取值范围是(　　)
A.(-1,+∞) B.(-∞,-1]
C.(-∞,-1) D.(-∞,1)
4.在平面直角坐标系中,方程+=1所表示的曲线是(　　)
A.两条平行线 B.一个矩形 C.一个菱形 D.一个圆
5.方程x+|y-1|=0表示的曲线是(　　)
6.(2020山东日照高二月考)方程4x2-y2-4x+2y=0表示的图形是(　　)
A.直线2x-y=0 B.直线2x+y-2=0
C.点 D.直线2x-y=0和直线2x+y-2=0
题组二　求曲线的方程
7.在平面直角坐标系中,到两坐标轴的距离之和等于3的点M的轨迹方程为(　　)
A.x+y=3 B.x+y=-3
C.|x+y|=3 D.|x|+|y|=3
8.(2020浙江湖州高二期中)在平面直角坐标系xOy中,若定点A(-1,2)与动点P(x,y)满足·=8,则点P的轨迹方程为(　　)
A.x-2y-8=0 B.x-2y+8=0 C.x+2y-8=0 D.x+2y+8=0
9.已知动点A在圆x2+y2=1上,则点A与定点B(4,0)连线的中点的轨迹方程是(　　)
A.(x-2)2+y2= B.(x-2)2+y2=1C.(x-4)2+y2= D.(x+2)2+y2=
10.已知动点P(x,y)与两定点M(-1,0),N(1,0)连线的斜率之积等于常数λ(λ≠0),则动点P的轨迹方程为　　　　　　　　.
11.已知A(-1,0),B(2,4),△ABC的面积为10,则顶点C的轨迹方程是　　　　　　　　.
12.(2020吉林省实验中学高二月考)已知线段AB的长等于10,两端点A,B分别在x轴,y轴上移动,若点M在线段AB上,且+4=0,则点M的轨迹方程是　　　　　　　　.
13.已知圆C的方程为x2+y2=4,过圆C上的一动点M作平行于x轴的直线m,设m与y轴的交点为N,若向量=+(O为坐标原点),求动点Q的轨迹方程.
14.已知△ABC中,AB=2,AC=BC.
(1)求点C的轨迹方程,并指出轨迹曲线的形状;
(2)求△ABC面积的最大值.
能力提升练
题组　曲线与方程的综合应用
1.(2020辽宁沈阳高二月考,)“点M在曲线x2=4y上”是“点M的坐标满足方程x=2”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2.(2020陕西西安中学高二月考,)方程xy(x+y)=2 020所表示的曲线(　　)
A.关于x轴对称 B.关于y轴对称 C.关于原点对称 D.关于直线y=x对称
3.(多选)(2020广东佛山高二期末,)在平面直角坐标系中,曲线C上任意一点P与两个定点A(-2,0)和B(2,0)连线的斜率之和恒等于2,则关于曲线C的结论正确的是(　　)
A.曲线C是轴对称图形
B.曲线C上所有的点都在圆x2+y2=2外
C.曲线C是中心对称图形
D.曲线C上所有点的横坐标的绝对值都大于2
4.(2020辽宁大连高二期末,)已知动点M到点A(9,0)的距离是M到点B(1,0)的距离的3倍,则动点M的轨迹所围成图形的面积等于(　　)
A.3π B.6π C.9π D.81π
5.(2020浙江宁波高二月考,)已知平面直角坐标系中的两点A(3,1),B(-1,3),若点C满足=λ1+λ2(O为坐标原点),其中λ1,λ2∈R,且λ1+λ2=1,则点C的轨迹是(　　)
A.两个点 B.直线 C.圆 D.射线
6.(2020湖南岳阳高二期末,)在平面直角坐标系中,两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的“L-距离”定义为|P1P2|=|x1-x2|+|y1-y2|,则平面内与x轴上的两个不同定点F1,F2的“L-距离”之和等于定值(大于|F1F2|)的点的轨迹可以是(　　)
7.(2020贵州贵阳高二期末,)以古希腊数学家阿波罗尼斯命名的阿波罗尼斯圆,是指到两定点的距离之比为常数λ(λ>0,λ≠1)的动点M的轨迹.已知A(-2,0),B(2,0),动点M满足=,此时阿波罗尼斯圆的方程为　　　　　　　　.
8.(2020北京房山高二期末,)已知曲线W的方程为|y|+x2-5x=0.
(1)请写出曲线W的一条对称轴方程:　　　　　;
(2)曲线W上的点的横坐标的取值范围是　　　　.
9.(2020吉林长春高二期末,)已知曲线x2+2y2=1上的两个点A(x1,y1),B(x2,y2),点O为坐标原点,若直线OA,OB的斜率之积满足kOA·kOB=-,求△AOB的面积.
10.(2019上海七宝中学高二期末,)在平面直角坐标系xOy中,曲线Γ:x2+y2=1(y≥0).
(1)如图1,点B为曲线Γ上的动点,A(2,0),求线段AB的中点的轨迹方程;
(2)如图2,点B为曲线Γ上的动点,A(2,0),将△OAB绕点A顺时针旋转90°得到△DAC,求线段OC长度的最大值.
答案全解全析
基础过关练
1.B　依题意,顶点C的轨迹是线段AB的垂直平分线除去AB的中点.
2.A　由已知得2×22-a×(-3)2=5,解得a=.
3.C　依题意,方程组有两组实数解,即方程x2-x+2=x-m有两个不相等的实数根,将方程整理为x2-2x+m+2=0,所以Δ=4-4(m+2)>0,解得m<-1.
4.C　当x≥0,y≥0时,方程为+=1;当x≥0,y≤0时,方程为-=1;当x≤0,y≤0时,方程为+=-1;当x≤0,y≥0时,方程为-+=1,因此原方程所表示的曲线是一个以(3,0),(0,2),(-3,0),(0,-2)为顶点的菱形.
5.B　由x+|y-1|=0可知曲线过点(-1,0),(-1,2),所以只有选项B正确.
6.D　方程4x2-y2-4x+2y=0可化为(2x+y)·(2x-y)-2(2x-y)=0,即(2x-y)(2x+y-2)=0,故2x-y=0或2x+y-2=0,即方程表示的图形是直线2x-y=0和直线2x+y-2=0.
7.D　设M的坐标为(x,y),依题意有|x|+|y|=3.
8.A　由已知得=(x,y),=(1,-2),由于·=8,所以x-2y=8,即点P的轨迹方程为x-2y-8=0.
9.A　设A(x0,y0),线段AB的中点为P(x,y),则有因此由于点A在圆x2+y2=1上,所以+=1,即(2x-4)2+(2y)2=1,即(x-2)2+y2=,此方程即为线段AB中点的轨迹方程.
10.答案　x2-=1(λ≠0,x≠±1)
解析　由题设知直线PM与PN的斜率存在且均不为零,所以kPM·kPN=·=λ,整理得x2-=1(λ≠0,x≠±1).所以动点P的轨迹方程为x2-=1(λ≠0,x≠±1).
11.答案　4x-3y-16=0或4x-3y+24=0
解析　由直线的两点式方程得直线AB的方程是=,即4x-3y+4=0,线段AB的长度为|AB|==5.设点C的坐标为(x,y),则×5×=10,即4x-3y-16=0或4x-3y+24=0.
12.答案　16x2+y2=64　
解析　设M(x,y),A(a,0),B(0,b),因为|AB|=10,所以=10,即a2+b2=100.因为+4=0,所以=4,所以则代入a2+b2=100,可得25x2+=100,即16x2+y2=64.
13.解析　设点Q的坐标为(x,y),点M的坐标为(x0,y0)(y0≠0),则点N的坐标为(0,y0).
因为=+,所以(x,y)=(x0,y0)+(0,y0)=(x0,2y0),
则x0=x,y0=.
因为点M在圆C上,所以+=4,即x2+=4(y≠0).
所以动点Q的轨迹方程为x2+=4(y≠0).
14.解析　(1)以的方向为x轴正方向,AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系(图略),则A(-1,0),B(1,0).
设C(x,y),由AC=BC,得(x+1)2+y2=2[(x-1)2+y2],即(x-3)2+y2=8.
易知点C不在x轴上,
所以点C的轨迹方程为(x-3)2+y2=8(y≠0),
故轨迹曲线是以(3,0)为圆心,2为半径的圆,去掉点(3+2,0)和点(3-2,0).
(2)由于AB=2,
所以S△ABC=×2×|y|=|y|.
因为(x-3)2+y2=8(y≠0),所以0<|y|≤2,
所以S△ABC≤2,
即△ABC面积的最大值为2.
能力提升练
1.B　若点M在曲线x2=4y上,则x=±2;当点M的坐标满足方程x=2时,必有x2=4y,即点M在曲线x2=4y上,故应为必要不充分条件.
2.D　同时将方程中的y换为x,x换为y,方程不发生变化,所以方程所表示的曲线关于直线y=x对称.
3.BC　设P(x,y),依题意有+=2,整理,得x2=xy+4,于是曲线C的方程为y=x-(x≠0,x≠±2),容易判断曲线C不是轴对称图形,而是中心对称图形,原点是它的对称中心,因此A选项错误,C选项正确;又因为x2+y2=x2+=2x2+-8≥2-8=8-8>2,所以曲线C上所有的点都在圆x2+y2=2外,故B选项正确;易得点(1,-3)在曲线C上,但其横坐标的绝对值不大于2,故D选项错误.
4.C　设M(x,y),则|MA|=,|MB|=.由|MA|=3|MB|,得=3,化简,得x2+y2=9,因此动点M的轨迹是以原点为圆心,3为半径的圆,其面积等于9π.
5.B　设C(x,y),则=(x,y),=(3,1),=(-1,3),因为=λ1+λ2,所以又λ1+λ2=1,所以x+2y-5=0,故点C的轨迹为一条直线.
6.A　设F1(-c,0),F2(c,0),c>0,动点M(x,y)到定点F1,F2的“L-距离”之和为定值m,则有|x+c|+|y|+|x-c|+|y|=m,即|x+c|+|x-c|+2|y|=m.当x<-c,y≥0时,方程可化为x-y+=0;当x<-c,y<0时,方程可化为x+y+=0;当-c≤x7.答案　x2+y2-12x+4=0
解析　设M(x,y),
因为=,
所以=,
两边平方并化简,
得x2+y2-12x+4=0.
经检验,上式就是所求圆的方程.
8.答案　(1)y=0　(2)[0,5]
解析　(1)由W的方程知,若(x,y)是曲线上的点,则(x,-y)也是曲线上的点,因此直线y=0是曲线W的一条对称轴.同理,易知直线x=也是曲线W的一条对称轴.
(2)由|y|+x2-5x=0得|y|=-x2+5x,因为|y|≥0,所以-x2+5x≥0,解得0≤x≤5.
9.解析　因为点A(x1,y1),B(x2,y2)在曲线x2+2y2=1上,
所以+2=1,+2=1,两式相乘得+4+2+2=1①.
因为kOA·kOB=-,
所以·=-,
因此x1x2+2y1y2=0,两边平方,得+4+4x1x2y1y2=0②.
①-②,得2=1,
所以x1y2-x2y1=±.
又直线OA的方程为y=x,即y1x-x1y=0,点B到直线OA的距离d=,
于是S△AOB=|OA|·d=··=|y1x2-y2x1|=.
10.解析　(1)设点B的坐标为(x0,y0),则y0≥0,设线段AB的中点为M(x,y).
因为点B在曲线Γ上,所以+=1①.
因为M为线段AB的中点,
所以
则
代入①式得(2x-2)2+4y2=1,
化简得(x-1)2+y2=,其中y≥0.
故线段AB的中点的轨迹方程为(x-1)2+y2=(y≥0).
(2)如图所示,将△OAB绕点A顺时针旋转90°得到△DAC,易得D(2,2),
结合图形可知,点C在曲线(x-2)2+(y-2)2=1(x≥2)上运动,
则问题转化为求原点O到曲线(x-2)2+(y-2)2=1(x≥2)上一点C的距离的最大值.
连接OD并延长交曲线(x-2)2+(y-2)2=1(x≥2)于点C',当点C与C'重合时,|OC|取得最大值,且|OC|max=|OD|+1=2+1.