2021-2022学年数学人教B版（2019）选择性必修第一册2.5.1椭圆的标准方程基础过关练(word 含答案解析）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年数学人教B版（2019）选择性必修第一册2.5.1椭圆的标准方程基础过关练(word 含答案解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 90.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-11-17 20:40:35 | ||
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文档简介
2.5 椭圆及其方程
2.5.1 椭圆的标准方程
基础过关练
题组一 椭圆的定义
1.(2019广东广州天河高二月考)已知F1,F2为两定点,|F1F2|=8,若动点M满足|MF1|+|MF2|=8,则动点M的轨迹为( )
A.椭圆 B.线段
C.圆 D.直线
2.若动点M(x,y)满足方程+=10,则动点M的轨迹方程为( )
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
3.已知圆(x+2)2+y2=36的圆心为M,且N(2,0),设A为圆上任一点,线段AN的垂直平分线交MA于点P,则动点P的轨迹是( )
A.圆 B.椭圆
C.双曲线 D.抛物线
4.(2020山东潍坊高二月考)设定点F1(0,-2),F2(0,2),动点P满足条件|PF1|+|PF2|=m+(m为常数,且m>2),则点P的轨迹是( )
A.椭圆 B.线段
C.不存在 D.椭圆或线段
题组二 对椭圆标准方程的理解
5.(2019浙江余姚二中月考)“1A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
6.(2019河南许昌高二期中)已知椭圆+=1(m>0)的左焦点为F(-3,0),则m=( )
A.9 B.4 C.3 D.2
7.(2020四川绵阳高二月考)若椭圆+y2=1的焦距为4,则实数n等于( )
A. B.1 C.6 D.3
8.若方程x2-3my2=1表示的曲线是焦点在x轴上的椭圆,则实数m的取值范围是 .
9.设椭圆+=1过点(-2,),则焦距等于 .
10.(2019山西临汾高二期中)若方程x2-2my2=4表示的曲线是椭圆,则实数m的取值范围是 .
题组三 求椭圆的标准方程
11.(2020云南师大附中高二月考)已知椭圆的焦距是,且椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于2,则椭圆的标准方程为( )
A.+=1 B.x2+=1或y2+=1
C.x2+=1 D.x2+=1或y2+=1
12.(2019湖南长沙高二期中)过点(,-),且与椭圆+=1有相同焦点的椭圆的标准方程为( )
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
13.若椭圆的焦点坐标为(±3,0),且经过点(4,0),则椭圆的标准方程为 .
14.已知椭圆+=1经过P1(,1),P2(-,-)两点,求该椭圆的标准方程.
能力提升练
题组一 椭圆定义的应用
1.(2019浙江宁波高二月考,)若椭圆+=1上一点P到焦点F1的距离为3,则点P到另一焦点F2的距离为( )
A.6 B.7 C.8 D.9
2.(2019广东汕头高二检测,)设F1,F2为椭圆+=1的两个焦点,点P在椭圆上,若线段PF1的中点在y轴上,则的值为( )
A. B. C. D.
3.(2019河北石家庄高二期中,)若F1,F2是椭圆+=1的两个焦点,A为椭圆上一点,且AF1⊥AF2,则△AF1F2的面积为( )
A.14 B.7 C.7 D.6
4.(2020山东淄博高三检测,)已知椭圆C:+y2=1(a>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P为椭圆上异于端点的任意点,O为坐标原点,PF1,PF2的中点分别为M,N,若四边形OMPN的周长为2,则△PF1F2的周长是( )
A.2(+) B.+2 C.+ D.4+2
5.(2019山东德州高二模拟,)已知两定点A(0,-2),B(0,2),点P在椭圆+=1上,且满足||-||=2,则·的值为( )
A.-12 B.12 C.-9 D.9
6.(多选)(2020山东潍坊中学高二期中,)已知P是椭圆+=1上一点,椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,且cos∠F1PF2=,则( )
A.△PF1F2的周长为12 B.=2
C.点P到x轴的距离为 D.·=2
7.(2019山东东营高二期中,)已知△ABC的顶点A(-3,0)和顶点B(3,0),顶点C在椭圆+=1上,则= .
8.(2019河南六校高二联考,)设F1,F2分别是椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右焦点,过点F1的直线交椭圆E于A,B两点,|AF1|=3|F1B|,且|AB|=4,△ABF2的周长为16,则|AF2|= .
9.(2019四川成都七中高二检测,)已知直线2x+y-4=0过椭圆E:+=1(a>b>0)的右焦点F2,且与椭圆E在第一象限的交点为M,与y轴交于点N,F1是椭圆E的左焦点,且|MN|=|MF1|,求椭圆E的方程.
10.(2019安徽合肥高二月考,)已知椭圆C:+=1,点M与椭圆C的焦点不重合,若M关于C的两焦点的对称点分别为A,B,且线段MN的中点在椭圆C上,求|AN|+|BN|的值.
题组二 椭圆中的最值问题
11.(2019重庆八中高二检测,)已知P为椭圆+=1上的一点,M,N分别为圆(x+3)2+y2=1和圆(x-3)2+y2=4上的点,则|PM|+|PN|的最小值为( )
A.5 B.7 C.13 D.15
12.(2020辽宁大连高二检测,)已知点M是椭圆+=1(a>b>0)上任意一点,两个焦点分别为F1,F2,若|MF1|·|MF2|的最大值为8,则a的值为( )
A.8 B.4 C.2 D.2
13.(2019陕西咸阳高二月考,)已知O为坐标原点,点F为椭圆+=1的左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则·的最大值为( )
A.2 B.3 C.6 D.8
14.(多选)(2020山东烟台第一中学高二月考,)已知P是椭圆+y2=1上一点,F1,F2是其两个焦点,则∠F1PF2的大小可能为( )
A. B. C. D.
15.(2019山东师大附中高二检测,)已知F是椭圆5x2+9y2=45的左焦点,P是此椭圆上的动点,A(1,1)是一定点,则|PA|+|PF|的最大值为 ,最小值为 .
16.(2020湖北天门高二期末,)已知椭圆+=1的左焦点为F,直线x=m与椭圆相交于A,B两点,当△FAB的周长最大时,求△FAB的面积.
17.(2019河南郑州高二检测,)椭圆的两焦点分别为F1(-4,0),F2(4,0),点P在椭圆上,若△PF1F2的面积最大为12,求该椭圆的标准方程.
18.(2019湖北武汉部分学校高三质检,)设O为坐标原点,动点M在椭圆E:+=1上,过点M作x轴的垂线,垂足为N,点P满足=.
(1)求点P的轨迹方程;
(2)设A(1,0),在x轴上是否存在一定点B,使|BP|=2|AP|恒成立 若存在,求出B点坐标;若不存在,说明理由.
答案全解全析
基础过关练
1.B 显然M到两定点F1,F2的距离之和等于常数8,但由于这个常数等于|F1F2|,所以动点M的轨迹是线段F1F2.
2.B 依题意,动点M(x,y)到两定点(2,0),(-2,0)的距离之和等于常数10,且10>4,所以其轨迹为椭圆,且2a=10,c=2,b2=21,故方程为+=1.
3.B 易知M(-2,0),|AM|=6,|MN|=4.因为点P在线段AN的垂直平分线上,所以|PA|=|PN|,所以|PM|+|PN|=|PM|+|PA|=|AM|=6>|MN|.由椭圆的定义知,P的轨迹是椭圆.
4.A 因为m>2,所以m+>2=4,即|PF1|+|PF2|>4=|F1F2|,所以点P的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆.
5.B 若方程表示椭圆,则有因此16.B 依题意,椭圆焦点在x轴上,且c=3,因此25-m2=9,又m>0,所以m=4.
7.D 依题意,2c=4,所以c=2,因此当椭圆焦点在x轴上时,有3n-1=,解得n=3;当椭圆焦点在y轴上时,有1-3n=,解得n=-,不合题意,舍去.故实数n等于3.
8.答案
解析 将椭圆方程化为+=1,依题意有解得m<-,即实数m的取值范围是.
9.答案 4
解析 因为椭圆+=1过点(-2,),所以将其代入,得m2=16,所以c2=16-4=12,c=2,故焦距2c=4.
10.答案 mm<0且m≠-
解析 由题意,方程x2-2my2=4可化为+=1,且->0,-≠4,解得m<0且m≠-.
故实数m的取值范围是mm<0且m≠-.
11.B 由已知得2c=,2a=2,所以c=,a=1,因此b2=a2-c2=,故椭圆方程为x2+=1或y2+=1.
12.C 设所求椭圆方程为+=1(k<9),将点(,-)代入,可得+=1,解得k=5(k=21舍去),故所求椭圆的标准方程为+=1.
13.答案 +=1
解析 依题意,设椭圆方程为+=1(a>b>0),则有解得故方程为+=1.
14.解析 设=m,=n,则椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,且m≠n).因为椭圆经过P1,P2两点,所以解得即故所求椭圆方程为+=1.
能力提升练
1.B 根据椭圆的定义知,|PF1|+|PF2|=2a=2×5=10,因为|PF1|=3,所以|PF2|=7.
2.C 因为线段PF1的中点在y轴上,所以PF2⊥x轴,|PF2|===1,|PF1|=2a-|PF2|=8-1=7,所以=.
3.C 依题意有|F1F2|=2=2,|AF1|+|AF2|=2×3=6,由于AF1⊥AF2,所以+|AF2|2=8,即-2|AF1|·|AF2|=8,因此|AF1|·|AF2|=14,于是△AF1F2的面积S=|AF1|·|AF2|=7.
4.A 由已知得OM+ON+PM+PN=2,而OM=PF2,ON=PF1,PM=PF1,PN=PF2,所以PF1+PF2=2,又由椭圆的定义知PF1+PF2=2a,所以a=,所以c===.故△PF1F2的周长为PF1+PF2+F1F2=2a+2c=2+2=2(+).
5.D 由题意易知A(0,-2),B(0,2)为椭圆+=1的两焦点,又a=4,所以||+||=2×4=8.因为||-||=2,所以||=5,||=3,又因为||=4,所以AB⊥BP,故·=(+)·=||2=9.
6.BCD 由椭圆方程知a=3,b=2,所以c=,所以|PF1|+|PF2|=6,于是△PF1F2的周长为2a+2c=6+2,故A选项错误;在△PF1F2中,由余弦定理可得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2=-2|PF1||PF2|-2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2,所以20=36-2|PF1|·|PF2|-|PF1||PF2|,解得|PF1||PF2|=6,故=|PF1||PF2|sin∠F1PF2=×6×=2,故B选项正确;设点P到x轴的距离为d,则=|F1F2|·d=×2d=2,所以d=,故C选项正确;·=||·||·cos∠F1PF2=6×=2,故D选项正确.
7.答案 3
解析 由椭圆方程+=1,得a=5,b=4,所以c=3,所以顶点A,B为椭圆的两个焦点,如图.在△ABC中,|AB|=6,|BC|+|AC|=10,由正弦正理可得===3.
8.答案 5
解析 由|AF1|=3|F1B|,|AB|=4,得|AF1|=3,|F1B|=1.因为△ABF2的周长为16,所以|AB|+|AF2|+|BF2|=4a=16,解得a=4.又|AF1|+|AF2|=2a=8,所以|AF2|=5.
9.解析 直线2x+y-4=0与x轴,y轴分别交于点(2,0),(0,4),因此F2(2,0),N(0,4),于是c=2,因为2a=|MF1|+|MF2|=|MN|+|MF2|=|NF2|=2,所以a=,从而b2=5-4=1,故椭圆E的方程为+y2=1.
10.解析 由已知得a=4,不妨设F1,F2分别是椭圆C的左、右焦点,M关于F1的对称点为A,关于F2的对称点为B,K为线段MN的中点.由已知条件,易得F1,F2分别是线段MA,MB的中点,则在△NAM和△NBM中,有|AN|=2|KF1|,|BN|=2|KF2|,又由椭圆的定义,得|KF1|+|KF2|=2a=8,所以|AN|+|BN|=2(|KF1|+|KF2|)=16.
11.B 由题易知椭圆的两个焦点F1,F2分别是两圆的圆心,且|PF1|+|PF2|=10,从而|PM|+|PN|的最小值为|PF1|+|PF2|-1-2=7.
12.C 由于|MF1|+|MF2|=2a,所以|MF1|·|MF2|≤=a2,当且仅当|MF1|=|MF2|时取等号,故a2=8,所以a=2.
13.C 由题意可知O(0,0),F(-1,0),设点P的坐标为(x,y),则=(x,y),=(x+1,y),所以·=x(x+1)+y2=x2+x+y2=x2+x+3-x2=x2+x+3=(x+2)2+2.因为x∈[-2,2],所以当x=2时,·取最大值,(·)max=×(2+2)2+2=6.
14.BCD 设|PF1|=m,|PF2|=n,则m>0,n>0,且m+n=2a=4,在△F1PF2中,由余弦定理可得cos∠F1PF2===-1,由于mn≤=4,所以cos∠F1PF2≥-,当且仅当m=n时取等号,故∠F1PF2的最大值为,结合选项可知∠F1PF2的大小可能为,,.
15.答案 6+;6-
解析 椭圆的标准方程为+=1.如图所示,设椭圆的右焦点为F1,则F1(2,0),|PF|+|PF1|=6,所以|PA|+|PF|=|PA|-|PF1|+6.因为-|AF1|≤|PA|-|PF1|≤|AF1|(当P,A,F1共线时,等号成立),|AF1|==,所以|PA|+|PF|≤6+,|PA|+|PF|≥6-.故|PA|+|PF|的最大值为6+,最小值为6-.
16.解析 设椭圆的右焦点为E,连接AE,BE,由椭圆的定义,知△FAB的周长l=|AB|+|AF|+|BF|=|AB|+(2a-|AE|)+(2a-|BE|)=4a+|AB|-(|AE|+|BE|),因为|AE|+|BE|≥|AB|,所以l≤4a,即当直线x=m过右焦点E时,△FAB的周长最大,此时m=1,△FAB的高为|EF|=2,将x=1代入椭圆方程,得|y|=,所以|AB|=3,故S△FAB=×2×3=3.
17.解析 设椭圆的方程为+=1(a>b>0),如图,当P在y轴上时,△PF1F2的面积最大,所以×8×b=12,解得b=3.又因为c=4,所以a2=b2+c2=25,故椭圆的标准方程为+=1.
18.解析 (1)设P(x,y),M(x1,y1),则N(x1,0),=(x-x1,y),=(0,y1).
∵M在椭圆E上,∴+=1(*),
由=,得即
代入(*)式,得x2+y2=4,
即点P的轨迹方程为x2+y2=4.
(2)假设存在点B(m,0)满足条件,
由(1)知P(x,y),
∵|BP|=2|AP|,∴=2,
即点P的轨迹方程为3x2+3y2+(2m-8)x=m2-4,
由(1)知点P的轨迹方程为x2+y2=4,
故解得m=4,
∴存在点B(4,0)满足条件
2.5.1 椭圆的标准方程
基础过关练
题组一 椭圆的定义
1.(2019广东广州天河高二月考)已知F1,F2为两定点,|F1F2|=8,若动点M满足|MF1|+|MF2|=8,则动点M的轨迹为( )
A.椭圆 B.线段
C.圆 D.直线
2.若动点M(x,y)满足方程+=10,则动点M的轨迹方程为( )
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
3.已知圆(x+2)2+y2=36的圆心为M,且N(2,0),设A为圆上任一点,线段AN的垂直平分线交MA于点P,则动点P的轨迹是( )
A.圆 B.椭圆
C.双曲线 D.抛物线
4.(2020山东潍坊高二月考)设定点F1(0,-2),F2(0,2),动点P满足条件|PF1|+|PF2|=m+(m为常数,且m>2),则点P的轨迹是( )
A.椭圆 B.线段
C.不存在 D.椭圆或线段
题组二 对椭圆标准方程的理解
5.(2019浙江余姚二中月考)“1
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
6.(2019河南许昌高二期中)已知椭圆+=1(m>0)的左焦点为F(-3,0),则m=( )
A.9 B.4 C.3 D.2
7.(2020四川绵阳高二月考)若椭圆+y2=1的焦距为4,则实数n等于( )
A. B.1 C.6 D.3
8.若方程x2-3my2=1表示的曲线是焦点在x轴上的椭圆,则实数m的取值范围是 .
9.设椭圆+=1过点(-2,),则焦距等于 .
10.(2019山西临汾高二期中)若方程x2-2my2=4表示的曲线是椭圆,则实数m的取值范围是 .
题组三 求椭圆的标准方程
11.(2020云南师大附中高二月考)已知椭圆的焦距是,且椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于2,则椭圆的标准方程为( )
A.+=1 B.x2+=1或y2+=1
C.x2+=1 D.x2+=1或y2+=1
12.(2019湖南长沙高二期中)过点(,-),且与椭圆+=1有相同焦点的椭圆的标准方程为( )
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
13.若椭圆的焦点坐标为(±3,0),且经过点(4,0),则椭圆的标准方程为 .
14.已知椭圆+=1经过P1(,1),P2(-,-)两点,求该椭圆的标准方程.
能力提升练
题组一 椭圆定义的应用
1.(2019浙江宁波高二月考,)若椭圆+=1上一点P到焦点F1的距离为3,则点P到另一焦点F2的距离为( )
A.6 B.7 C.8 D.9
2.(2019广东汕头高二检测,)设F1,F2为椭圆+=1的两个焦点,点P在椭圆上,若线段PF1的中点在y轴上,则的值为( )
A. B. C. D.
3.(2019河北石家庄高二期中,)若F1,F2是椭圆+=1的两个焦点,A为椭圆上一点,且AF1⊥AF2,则△AF1F2的面积为( )
A.14 B.7 C.7 D.6
4.(2020山东淄博高三检测,)已知椭圆C:+y2=1(a>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P为椭圆上异于端点的任意点,O为坐标原点,PF1,PF2的中点分别为M,N,若四边形OMPN的周长为2,则△PF1F2的周长是( )
A.2(+) B.+2 C.+ D.4+2
5.(2019山东德州高二模拟,)已知两定点A(0,-2),B(0,2),点P在椭圆+=1上,且满足||-||=2,则·的值为( )
A.-12 B.12 C.-9 D.9
6.(多选)(2020山东潍坊中学高二期中,)已知P是椭圆+=1上一点,椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,且cos∠F1PF2=,则( )
A.△PF1F2的周长为12 B.=2
C.点P到x轴的距离为 D.·=2
7.(2019山东东营高二期中,)已知△ABC的顶点A(-3,0)和顶点B(3,0),顶点C在椭圆+=1上,则= .
8.(2019河南六校高二联考,)设F1,F2分别是椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右焦点,过点F1的直线交椭圆E于A,B两点,|AF1|=3|F1B|,且|AB|=4,△ABF2的周长为16,则|AF2|= .
9.(2019四川成都七中高二检测,)已知直线2x+y-4=0过椭圆E:+=1(a>b>0)的右焦点F2,且与椭圆E在第一象限的交点为M,与y轴交于点N,F1是椭圆E的左焦点,且|MN|=|MF1|,求椭圆E的方程.
10.(2019安徽合肥高二月考,)已知椭圆C:+=1,点M与椭圆C的焦点不重合,若M关于C的两焦点的对称点分别为A,B,且线段MN的中点在椭圆C上,求|AN|+|BN|的值.
题组二 椭圆中的最值问题
11.(2019重庆八中高二检测,)已知P为椭圆+=1上的一点,M,N分别为圆(x+3)2+y2=1和圆(x-3)2+y2=4上的点,则|PM|+|PN|的最小值为( )
A.5 B.7 C.13 D.15
12.(2020辽宁大连高二检测,)已知点M是椭圆+=1(a>b>0)上任意一点,两个焦点分别为F1,F2,若|MF1|·|MF2|的最大值为8,则a的值为( )
A.8 B.4 C.2 D.2
13.(2019陕西咸阳高二月考,)已知O为坐标原点,点F为椭圆+=1的左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则·的最大值为( )
A.2 B.3 C.6 D.8
14.(多选)(2020山东烟台第一中学高二月考,)已知P是椭圆+y2=1上一点,F1,F2是其两个焦点,则∠F1PF2的大小可能为( )
A. B. C. D.
15.(2019山东师大附中高二检测,)已知F是椭圆5x2+9y2=45的左焦点,P是此椭圆上的动点,A(1,1)是一定点,则|PA|+|PF|的最大值为 ,最小值为 .
16.(2020湖北天门高二期末,)已知椭圆+=1的左焦点为F,直线x=m与椭圆相交于A,B两点,当△FAB的周长最大时,求△FAB的面积.
17.(2019河南郑州高二检测,)椭圆的两焦点分别为F1(-4,0),F2(4,0),点P在椭圆上,若△PF1F2的面积最大为12,求该椭圆的标准方程.
18.(2019湖北武汉部分学校高三质检,)设O为坐标原点,动点M在椭圆E:+=1上,过点M作x轴的垂线,垂足为N,点P满足=.
(1)求点P的轨迹方程;
(2)设A(1,0),在x轴上是否存在一定点B,使|BP|=2|AP|恒成立 若存在,求出B点坐标;若不存在,说明理由.
答案全解全析
基础过关练
1.B 显然M到两定点F1,F2的距离之和等于常数8,但由于这个常数等于|F1F2|,所以动点M的轨迹是线段F1F2.
2.B 依题意,动点M(x,y)到两定点(2,0),(-2,0)的距离之和等于常数10,且10>4,所以其轨迹为椭圆,且2a=10,c=2,b2=21,故方程为+=1.
3.B 易知M(-2,0),|AM|=6,|MN|=4.因为点P在线段AN的垂直平分线上,所以|PA|=|PN|,所以|PM|+|PN|=|PM|+|PA|=|AM|=6>|MN|.由椭圆的定义知,P的轨迹是椭圆.
4.A 因为m>2,所以m+>2=4,即|PF1|+|PF2|>4=|F1F2|,所以点P的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆.
5.B 若方程表示椭圆,则有因此1
7.D 依题意,2c=4,所以c=2,因此当椭圆焦点在x轴上时,有3n-1=,解得n=3;当椭圆焦点在y轴上时,有1-3n=,解得n=-,不合题意,舍去.故实数n等于3.
8.答案
解析 将椭圆方程化为+=1,依题意有解得m<-,即实数m的取值范围是.
9.答案 4
解析 因为椭圆+=1过点(-2,),所以将其代入,得m2=16,所以c2=16-4=12,c=2,故焦距2c=4.
10.答案 mm<0且m≠-
解析 由题意,方程x2-2my2=4可化为+=1,且->0,-≠4,解得m<0且m≠-.
故实数m的取值范围是mm<0且m≠-.
11.B 由已知得2c=,2a=2,所以c=,a=1,因此b2=a2-c2=,故椭圆方程为x2+=1或y2+=1.
12.C 设所求椭圆方程为+=1(k<9),将点(,-)代入,可得+=1,解得k=5(k=21舍去),故所求椭圆的标准方程为+=1.
13.答案 +=1
解析 依题意,设椭圆方程为+=1(a>b>0),则有解得故方程为+=1.
14.解析 设=m,=n,则椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,且m≠n).因为椭圆经过P1,P2两点,所以解得即故所求椭圆方程为+=1.
能力提升练
1.B 根据椭圆的定义知,|PF1|+|PF2|=2a=2×5=10,因为|PF1|=3,所以|PF2|=7.
2.C 因为线段PF1的中点在y轴上,所以PF2⊥x轴,|PF2|===1,|PF1|=2a-|PF2|=8-1=7,所以=.
3.C 依题意有|F1F2|=2=2,|AF1|+|AF2|=2×3=6,由于AF1⊥AF2,所以+|AF2|2=8,即-2|AF1|·|AF2|=8,因此|AF1|·|AF2|=14,于是△AF1F2的面积S=|AF1|·|AF2|=7.
4.A 由已知得OM+ON+PM+PN=2,而OM=PF2,ON=PF1,PM=PF1,PN=PF2,所以PF1+PF2=2,又由椭圆的定义知PF1+PF2=2a,所以a=,所以c===.故△PF1F2的周长为PF1+PF2+F1F2=2a+2c=2+2=2(+).
5.D 由题意易知A(0,-2),B(0,2)为椭圆+=1的两焦点,又a=4,所以||+||=2×4=8.因为||-||=2,所以||=5,||=3,又因为||=4,所以AB⊥BP,故·=(+)·=||2=9.
6.BCD 由椭圆方程知a=3,b=2,所以c=,所以|PF1|+|PF2|=6,于是△PF1F2的周长为2a+2c=6+2,故A选项错误;在△PF1F2中,由余弦定理可得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2=-2|PF1||PF2|-2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2,所以20=36-2|PF1|·|PF2|-|PF1||PF2|,解得|PF1||PF2|=6,故=|PF1||PF2|sin∠F1PF2=×6×=2,故B选项正确;设点P到x轴的距离为d,则=|F1F2|·d=×2d=2,所以d=,故C选项正确;·=||·||·cos∠F1PF2=6×=2,故D选项正确.
7.答案 3
解析 由椭圆方程+=1,得a=5,b=4,所以c=3,所以顶点A,B为椭圆的两个焦点,如图.在△ABC中,|AB|=6,|BC|+|AC|=10,由正弦正理可得===3.
8.答案 5
解析 由|AF1|=3|F1B|,|AB|=4,得|AF1|=3,|F1B|=1.因为△ABF2的周长为16,所以|AB|+|AF2|+|BF2|=4a=16,解得a=4.又|AF1|+|AF2|=2a=8,所以|AF2|=5.
9.解析 直线2x+y-4=0与x轴,y轴分别交于点(2,0),(0,4),因此F2(2,0),N(0,4),于是c=2,因为2a=|MF1|+|MF2|=|MN|+|MF2|=|NF2|=2,所以a=,从而b2=5-4=1,故椭圆E的方程为+y2=1.
10.解析 由已知得a=4,不妨设F1,F2分别是椭圆C的左、右焦点,M关于F1的对称点为A,关于F2的对称点为B,K为线段MN的中点.由已知条件,易得F1,F2分别是线段MA,MB的中点,则在△NAM和△NBM中,有|AN|=2|KF1|,|BN|=2|KF2|,又由椭圆的定义,得|KF1|+|KF2|=2a=8,所以|AN|+|BN|=2(|KF1|+|KF2|)=16.
11.B 由题易知椭圆的两个焦点F1,F2分别是两圆的圆心,且|PF1|+|PF2|=10,从而|PM|+|PN|的最小值为|PF1|+|PF2|-1-2=7.
12.C 由于|MF1|+|MF2|=2a,所以|MF1|·|MF2|≤=a2,当且仅当|MF1|=|MF2|时取等号,故a2=8,所以a=2.
13.C 由题意可知O(0,0),F(-1,0),设点P的坐标为(x,y),则=(x,y),=(x+1,y),所以·=x(x+1)+y2=x2+x+y2=x2+x+3-x2=x2+x+3=(x+2)2+2.因为x∈[-2,2],所以当x=2时,·取最大值,(·)max=×(2+2)2+2=6.
14.BCD 设|PF1|=m,|PF2|=n,则m>0,n>0,且m+n=2a=4,在△F1PF2中,由余弦定理可得cos∠F1PF2===-1,由于mn≤=4,所以cos∠F1PF2≥-,当且仅当m=n时取等号,故∠F1PF2的最大值为,结合选项可知∠F1PF2的大小可能为,,.
15.答案 6+;6-
解析 椭圆的标准方程为+=1.如图所示,设椭圆的右焦点为F1,则F1(2,0),|PF|+|PF1|=6,所以|PA|+|PF|=|PA|-|PF1|+6.因为-|AF1|≤|PA|-|PF1|≤|AF1|(当P,A,F1共线时,等号成立),|AF1|==,所以|PA|+|PF|≤6+,|PA|+|PF|≥6-.故|PA|+|PF|的最大值为6+,最小值为6-.
16.解析 设椭圆的右焦点为E,连接AE,BE,由椭圆的定义,知△FAB的周长l=|AB|+|AF|+|BF|=|AB|+(2a-|AE|)+(2a-|BE|)=4a+|AB|-(|AE|+|BE|),因为|AE|+|BE|≥|AB|,所以l≤4a,即当直线x=m过右焦点E时,△FAB的周长最大,此时m=1,△FAB的高为|EF|=2,将x=1代入椭圆方程,得|y|=,所以|AB|=3,故S△FAB=×2×3=3.
17.解析 设椭圆的方程为+=1(a>b>0),如图,当P在y轴上时,△PF1F2的面积最大,所以×8×b=12,解得b=3.又因为c=4,所以a2=b2+c2=25,故椭圆的标准方程为+=1.
18.解析 (1)设P(x,y),M(x1,y1),则N(x1,0),=(x-x1,y),=(0,y1).
∵M在椭圆E上,∴+=1(*),
由=,得即
代入(*)式,得x2+y2=4,
即点P的轨迹方程为x2+y2=4.
(2)假设存在点B(m,0)满足条件,
由(1)知P(x,y),
∵|BP|=2|AP|,∴=2,
即点P的轨迹方程为3x2+3y2+(2m-8)x=m2-4,
由(1)知点P的轨迹方程为x2+y2=4,
故解得m=4,
∴存在点B(4,0)满足条件