2021-2022学年数学人教B版（2019）选择性必修第一册2.5.2椭圆的几何性质基础过关练(word 含答案解析）

2.5.2　椭圆的几何性质
基础过关练
题组一　利用方程研究椭圆的几何性质
1.已知椭圆+=1(a>b>0)的一个焦点是圆x2+y2-6x+8=0的圆心,且短轴长为8,则椭圆的左顶点为(　　)
A.(-3,0) B.(-4,0)
C.(-10,0) D.(-5,0)
2.(2019江西九江一中月考)已知正数m满足m2-2m=8,则椭圆x2+=1的焦点坐标为(　　)
A.(±,0) B.(0,±)
C.(±,0)或(±,0) D.(0,±)或(±,0)
3.(2020广东深圳外国语学校高二检测)已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,椭圆上一点P到两焦点的距离之和为12,则椭圆的短轴长为(　　)
A.8 B.6 C.5 D.4
4.(2020广东深圳中学高二检测)设AB是椭圆的长轴,点C在椭圆上,且∠CBA=45°,若AB=4,BC=,则椭圆的焦距等于(　　)
A. B. C. D.
5.已知焦点在x轴上的椭圆的方程为+=1,随着a的增大该椭圆的形状(　　)
A.越扁 B.越接近于圆
C.先接近于圆后越扁 D.先越扁后接近于圆
6.已知椭圆x2+(m+3)y2=m(m>0)的离心率e=,求m的值及椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标以及顶点坐标.
题组二　根据几何性质求椭圆的标准方程
7.(2019河南郑州第二次质量检测)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,过F2的直线l交C于A,B两点,若△AF1B的周长为12,则C的方程为(　　)
A.+y2=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
8.已知椭圆的中心在原点,一个焦点为(-,0),且长轴长是短轴长的2倍,则该椭圆的标准方程是(　　)
A.+y2=1 B.x2+=1
C.+y2=1 D.x2+=1
9.(2020河北唐山高三模拟)已知F1,F2为椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,过原点O且倾斜角为30°的直线l与椭圆C的一个交点为A,若AF1⊥AF2且=2,则椭圆C的方程为(　　)
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
10.(2019贵州贵阳高二模拟)若椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,短轴长为4,则椭圆的标准方程为　　　　　　　　.
11.已知F1(-3,0),F2(3,0)是椭圆+=1(a>b>0)的两个焦点,点P在椭圆上,∠F1PF2=α,且当α=时,△F1PF2的面积最大,求椭圆的标准方程.
题组三　椭圆的离心率问题
12.与椭圆+=1有相同离心率的椭圆方程是(　　)
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
13.(2019山东滨州高二模拟)若椭圆C:+=1(a>b>0)的短轴长等于焦距,则椭圆的离心率为(　　)
A. B. C. D.
14.(2020河北秦皇岛高二模拟)椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2且垂直于x轴的直线交C于A,B两点,若△AF1B为等边三角形,则椭圆C的离心率为(　　)
A. B. C. D.
15.已知椭圆+=1(a>b>0)的右顶点和上顶点分别为A、B,左焦点为F,以原点O为圆心的圆与直线BF相切,且该圆与y轴的正半轴交于点C,过点C的直线交椭圆于M、N两点.若四边形FAMN是平行四边形,则该椭圆的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
16.已知椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F,右顶点为A,点B在椭圆上,且BF⊥x轴,直线AB交y轴于点P.若=2,则椭圆的离心率是(　　)
A. B.
C. D.
17.设F1(-c,0),F2(c,0)分别是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,若在直线x=上存在点P,使线段PF1的中垂线过点F2,则椭圆离心率的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
18.在以原点O为中心,F1、F2为焦点的椭圆上存在一点M,满足||=2||=2||,则该椭圆的离心率为　　(　　)
A. B.
C. D.
19.椭圆+=1的离心率为,则m=　　　　.
20.(2020辽宁锦州高二模拟)已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,P是椭圆上一点,若|PF1|=2|PF2|,则椭圆的离心率的取值范围是　　　　　.
21.(2019山东济南外国语学校高三摸底考试)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,O为坐标原点,A为椭圆上一点,连接AF2,交y轴于点M,若∠F1AF2=,且3|OM|=|OF2|,求该椭圆的离心率.
答案全解全析
基础过关练
1.D　圆x2+y2-6x+8=0的圆心为(3,0),所以椭圆中c=3,又2b=8,所以b=4,于是a==5,故左顶点为(-5,0).
2.B　因为正数m满足m2-2m=8,所以m2-2m-8=0,所以m=4,故椭圆方程为x2+=1,其焦点坐标为(0,±).
3.A　椭圆+=1(a>b>0)的离心率e==,椭圆上一点P到两焦点的距离之和为12,即2a=12,可得a=6,c=2,因此b===4,则椭圆的短轴长为2b=8.
4.A　不妨设椭圆方程为+=1(a>b>0),A为长轴的左端点,B为长轴的右端点,因为∠CBA=45°,AB=4,BC=,所以2a=4,C(1,1)或C(1,-1),所以a2=4,于是+=1,解得b2=,所以c==,所以焦距2c=.
5.B　依题意有解得16.解析　椭圆方程可化为+=1,m>0.
因为m-=>0,所以m>,所以a2=m,b2=,c==.
由e=,得=,所以m=1,故椭圆的标准方程为x2+=1,a=1,b=,c=,
所以椭圆的长轴长为2a=2,短轴长为2b=1,焦点坐标为,,四个顶点的坐标分别为(-1,0),(1,0),,.
7.D　由椭圆的定义知|AF1|+|AF2|=2a,|BF1|+|BF2|=2a,所以△AF1B的周长为|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=12,所以a=3.因为椭圆的离心率e==,所以c=2,所以b2=a2-c2=5,所以椭圆C的方程为+=1.
8.A　依题意,椭圆的焦点在x轴上,设其方程为+=1(a>b>0),则
所以a=2,b=1,所以该椭圆的标准方程为+y2=1.
9.A　由题意可知|OA|=c,不妨设点A在第一象限,如图,设A(x0,y0),则x0=c·cos 30°=c,y0=c·sin 30°=c,即A,代入椭圆的方程可得+=1①,由=2,得=×2c×c=c2=2,即c2=4,又c2=a2-b2,结合①,可得a2=6,b2=2,故椭圆的方程为+=1.
10.答案　+=1
解析　由题意可知e==,2b=4,所以b=2,所以
所以所以椭圆的标准方程为+=1.
11.解析　因为当点P为短轴端点时,最大,所以∠PF1F2=,因此tan=,由题意知c=3,所以b=,于是a2=b2+c2=12,故椭圆的标准方程为+=1.
12.A　椭圆+=1与已知椭圆的长轴长和短轴长分别相等,因此两椭圆的形状、大小完全一样,只是焦点所在坐标轴不同,故两个椭圆的离心率相同.经检验,其他选项不满足题意,故选A.
13.C　依题意可知,2b=2c,所以a==c,所以椭圆的离心率e==.
14.D　由△AF1B为等边三角形,可得2c=×,所以2ac=(a2-c2),即e2+2e-=0,又e∈(0,1),所以e=.
15.A　因为圆O与直线BF相切,所以圆O的半径为,即OC=,因为四边形FAMN是平行四边形,所以点M的坐标为,代入椭圆方程得+=1,所以5e2+2e-3=0,又016.D　因为=2,所以||=2||.记O为坐标原点,则PO∥BF,所以==,即=,故e==.
17.D　由题意可设P,因为PF1的中垂线过点F2,所以|F1F2|=|F2P|,即2c=,整理得=3c2+2a2-.因为≥0,所以3c2+2a2-≥0,即3e2-+2≥0,又018.C　不妨设F1(-c,0),F2(c,0),c>0,过点M作x轴的垂线,交x轴于点N,则点N的坐标为.设||=2||=2||=2t(t>0),根据勾股定理可知,||2-||2=||2-||2,从而c=t,又|MF1|+|MF2|=2a,所以a=,则e==.
19.答案　3或
解析　当焦点在x轴上时,= m=3;当焦点在y轴上时,= m=.综上,m=3或m=.
20.答案　
解析　由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=2a,因为|PF1|=2|PF2|,所以|PF2|=a.易知|PF2|≥a-c,所以a-c≤,所以≤c,所以≥,故椭圆的离心率的取值范围是.
21.解析　设AF1=m,AF2=n.如图所示,由题意易得Rt△AF1F2∽Rt△OMF2,所以==,所以n=3m,又m+n=2a,m2+n2=4c2,所以m2=,n2=9m2=,+=4c2,所以=,故该椭圆的离心率为.