2021-2022学年数学人教B版（2019）选择性必修第一册2.6.2双曲线的几何性质基础过关练word版含答案

2.6.2　双曲线的几何性质
基础过关练
题组一　根据双曲线的方程研究几何性质
1.双曲线-=1的左焦点与右顶点之间的距离等于(　　)
A.6 B.8 C.9 D.10
2.(2020山东潍坊中学高二月考)双曲线2x2-y2=8的虚轴长是(　　)
A.2 B.2 C.4 D.4
3.(2020陕西黄陵中学高二月考)若双曲线y2-=-1的实轴长为4,则其焦距等于　　　　.
4.若点A(10,2)是双曲线my2-4x2+4m=0上的点,试求该双曲线的实轴长、虚轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标、离心率、渐近线方程.
题组二　根据几何性质求双曲线的方程
5.中心在原点,实轴在x轴上,一个焦点在直线3x-4y+12=0上的等轴双曲线方程是(　　)
A.x2-y2=8 B.x2-y2=4 C.y2-x2=8 D.y2-x2=4
6.(2020吉林白山一中高二月考)焦点为(0,6)且与双曲线-y2=1有相同渐近线的双曲线的方程为(　　)
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
7.(2020北京八中高二期中)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率e=,对称中心为O,右焦点为F,点A是双曲线C的一条渐近线上位于第一象限内的点,∠AOF=∠OAF,△OAF的面积为3,则双曲线C的方程为(　　)
A.-=1 B.-y2=1
C.-=1 D.-=1
8.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的上焦点为F,M是双曲线虚轴的一个端点,过F,M的直线交双曲线的下支于A点,O为坐标原点.若M为AF的中点,且||=6,则双曲线C的方程为　　　　　　.
9.已知双曲线-=1(a>0,b>0)过点(,),且以实轴的两个端点与虚轴的一个端点为顶点能组成一个等边三角形,则双曲线的方程为　　　　　　　　.
10.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一个焦点在直线l:x+3y+12=0上,且其一条渐近线与直线l平行,求该双曲线的方程.
题组三　双曲线的渐近线及其应用
11.(2020河南郑州高二期末)设曲线C是双曲线,则“C的方程为x2-=1”是“C的渐近线方程为y=±2x”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
12.下列双曲线中,不是以2x±3y=0为渐近线的是(　　)
A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1
13.(2020浙江杭州高二期末)设双曲线-y2=1(a>0)的一条渐近线的倾斜角为,则a=(　　)
A. B. C. D.2
14.(2020湖南雅礼中学高二月考)双曲线C:x2-y2=2的右焦点为F,P为C的一条渐近线上的点,O为坐标原点,若|PO|=|PF|,则S△OPF=(　　)
A. B. C.1 D.2
15.(2020山东日照二中高二月考)设点F是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点,点F到渐近线的距离与双曲线两焦点间的距离的比为1∶6,则双曲线的渐近线方程为(　　)
A.2x±y=0 B.x±2y=0
C.x±3y=0 D.3x±y=0
16.已知F1,F2分别为双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P为双曲线右支上的一点,且|PF1|=2|PF2|.若△PF1F2为等腰三角形,求该双曲线的渐近线方程.
题组四　双曲线的离心率
17.(2020福建三明一中高二期中)双曲线+=1(m∈Z)的离心率(　　)
A.不确定 B.等于2
C.等于 D.等于
18.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为2,则点(-2,0)到渐近线的距离等于(　　)
A.3 B.
C.2 D.6
19.双曲线-=1(a>0,b>0)的实轴为A1A2,虚轴的一个端点为B,若三角形A1A2B的面积为b2,则双曲线的离心率为(　　)
A. B. C. D.
20.(2020甘肃兰州高二期末)若直线y=2x与双曲线-=1(a>0,b>0)有公共点,则双曲线的离心率的取值范围为(　　)
A.(1,) B.(,+∞)
C.(1,] D.[,+∞)
21.(2020安徽芜湖高二期末)设A1,A2分别为双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右顶点,若双曲线上存在点M使得<2,则双曲线C的离心率的取值范围为(　　)
A.(1,) B.(1,)
C.(,+∞) D.(1,2)
22.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0),过双曲线C的右焦点F作C的渐近线的垂线,垂足为M,延长FM与y轴交于点P,且|FM|=4|PM|,则双曲线C的离心率为　　　　.
23.(2020广东珠海高二期末)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线的右支上,且=4,则双曲线的离心率的最大值为　　　　.
24.过双曲线-=1(a>0,b>0)的一个焦点F作一条渐近线的垂线,若垂足恰在线段OF(O为原点)的垂直平分线上,求双曲线的离心率.
答案全解全析
基础过关练
1.B　由已知得左焦点的坐标为(-5,0),右顶点的坐标为(3,0),所以左焦点与右顶点之间的距离等于8.
2.D　因为双曲线的标准方程为-=1,所以虚轴长2b=2=4.
3.答案　2
解析　双曲线方程可化为-y2=1,必有m>0,又实轴长为4,所以2=4,因此m=4,所以c2=4+1=5,故焦距为2c=2.
4.解析　因为点A(10,2)在双曲线my2-4x2+4m=0上,
所以m-4×102+4m=0,解得m=25,于是双曲线方程为25y2-4x2+100=0,
即-=1,
所以双曲线的焦点在x轴上,且a2=25,b2=4,c2=25+4=29.
因此实轴长2a=10,虚轴长2b=4,焦距为2c=2,
焦点坐标为(,0),(-,0),
顶点坐标为(-5,0),(5,0),
离心率e==,
渐近线方程为y=±x.
5.A　依题意双曲线的焦点在x轴上,且其中一个焦点在直线3x-4y+12=0上,故该焦点为(-4,0),即c=4,因此a2=b2=8,故双曲线方程为x2-y2=8.
6.A　由题意设双曲线方程为-y2=t(t<0),则-+=1,所以-2t-t=36,解得t=-12,所以双曲线方程为-=1.故选A.
7.C　依题意得e2==1+=,所以=①.由F向渐近线作垂线,设垂足为M,则|FM|=b,|OM|=a,所以|OA|=2|OM|=2a,于是S△OAF=·|OA|·|FM|=·2a·b=3②,由①②解得a=3,b=,故双曲线C的方程为-=1.
8.答案　y2-=1
解析　设双曲线下焦点为Q,连接AQ,则OM为△FQA的中位线,所以|AQ|=2b,又|AF|-|AQ|=2a,所以6-2b=2a,又因为c2+b2=9,即a2+2b2=9,所以a=1,b=2,故方程为y2-=1.
9.答案　x2-=1
解析　因为以实轴的两个端点与虚轴的一个端点为顶点能组成一个等边三角形,所以=tan60°=,即b=a,又因为双曲线过点(,),所以-=1,解得a2=1,b2=3,故双曲线方程为x2-=1.
10.解析　依题意得,双曲线的焦点在y轴上,又直线l与y轴的交点为(0,-4),所以双曲线的一个焦点坐标为(0,-4),即c==4.又因为直线l的斜率为-,所以=,解得a2=4,b2=12,故双曲线的方程为-=1.
11.A　当C的方程为x2-=1时,其渐近线方程一定为y=±2x,但当渐近线方程为y=±2x时,C的方程可以为x2-=k(k≠0),不一定为x2-=1,故应为充分不必要条件.
12.C　C选项中的双曲线-=1,焦点在x轴上,渐近线方程为y=±x,不是2x±3y=0,故选C.
13.C　依题意得,=tan=,所以a=.
14.C　双曲线方程为-=1,因此右焦点F的坐标为(2,0),渐近线方程为y=±x,故|OF|=2,由于|PO|=|PF|,所以P为双曲线的渐近线与线段OF的垂直平分线的交点,其坐标为(1,1)或(1,-1),故S△OPF=×2×1=1.
15.B　双曲线的右焦点F(c,0)到渐近线y=x的距离d===b,因为点F到渐近线的距离与双曲线两焦点间的距离的比为1∶6,所以=,即c=3b,所以c2=a2+b2=9b2,即a2=8b2,a=2b,故双曲线的渐近线方程为y=±x=±x=±x,即x±2y=0.
16.解析　因为P为双曲线右支上的一点,所以|PF1|-|PF2|=2a,又|PF1|=2|PF2|,所以|PF1|=4a,|PF2|=2a.因为△PF1F2为等腰三角形,所以|PF1|=|F1F2|或|F1F2|=|PF2|,即有4a=2c或2c=2a(舍去),因此c=2a,所以c2=4a2=a2+b2,所以b2=3a2,=,故渐近线方程为y=±x.
17.D　由已知得m2(m2-3)<0,即018.A　渐近线方程为y=±x,即bx±ay=0,则点(-2,0)到渐近线的距离d==.因为e==2,所以=4,所以b2=3a2=c2,即b=c,所以d=3.
19.B　由题意可得×2ab=b2,即a=b,所以a2=2b2=2c2-2a2,即2c2=3a2,所以e==.故选B.
20.B　依题意应有>2,所以>4,所以e>,即离心率的取值范围是(,+∞).
21.B　设M(x,y)(x≠±a),因为A1(-a,0),A2(a,0),所以=,=,则·=,又点M在双曲线上,所以-=1,即y2=b2,代入·=中可得=<2,即=e2-1<2,所以122.答案　
解析　由已知易得|OM|=a,|FM|=b,所以|PM|=,由勾股定理可得|PM|2+|OM|2=|OP|2,|OP|2+|OF|2=|PF|2,所以+a2+c2=,又因为c2=a2+b2,所以c2=5a2,所以离心率e==.
23.答案　
解析　由题意得|PF1|-|PF2|=3|PF2|=2a,所以|PF2|=≥c-a,所以≥c,即e=∈,故离心率e的最大值为.
24.解析　如图所示,不妨设F为右焦点,过F作FP垂直于一条渐近线,垂足为P,过P作PM⊥OF于M.由已知得M为OF的中点,由射影定理知|PF|2=|FM||FO|,
又F(c,0),渐近线OP的方程为bx-ay=0,所以|PF|==b,于是b2=·c,即2b2=c2=a2+b2,因此a2=b2,故e===.