2021-2022学年数学人教B版（2019）选择性必修第一册2.8 直线与圆锥曲线的位置关系基础过关练word版含答案

2.8　直线与圆锥曲线的位置关系
基础过关练
题组一　直线与椭圆的位置关系
1.(2020吉林一中高二月考)已知A={(x,y)|x+y=2},B={(x,y)|x2+2y2=2},则A∩B中元素的个数为(　　)
A.4 B.2 C.1 D.0
2.直线y=kx-k+1与椭圆+=1的位置关系为(　　)
A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定
3.直线y=x+1被椭圆x2+4y2=8截得的弦长是(　　)
A. B. C. D.
4.(2020浙江宁波高二月考)以F1(-1,0),F2(1,0)为焦点且与直线x-y+3=0有公共点的椭圆中,离心率最大的椭圆方程是(　　)
A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1
5.(2020河北沧州高二期中)直线y=kx+1被椭圆+y2=1截得的弦长的最大值为　　　　.
6.(2020山东潍坊一中高二月考)经过椭圆+y2=1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l,交椭圆于A,B两点,设O为坐标原点,则·=　　　　.
7.已知椭圆方程为+=1.
(1)判断直线y=2x+6是否与椭圆有公共点;
(2)若斜率为1的直线l与椭圆相交于A、B两点,且|AB|=,求直线l的方程.
8.(2019重庆八中高二月考)已知椭圆C:+y2=1,直线l经过点E(-1,0),且与椭圆C相交于A、B两点,且|EA|=2|EB|.
(1)求直线l的方程;
(2)求弦AB的长度.
题组二　直线与双曲线的位置关系
9.(2020山东淄博高二月考)直线y=2x与双曲线-y2=1公共点的个数为(　　)
A.0 B.1 C.2 D.4
10.(2019山西临汾一中高二期中)若直线l经过点(2,0),且与双曲线x2-y2=1只有一个公共点,则符合要求的直线l的条数是(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
11.已知双曲线-=1的右焦点为F,若过点F的直线与双曲线右支有且只有一个交点,则此直线斜率的取值范围是(　　)
A. B.(-,)
C. D.[-,]
12.(2019广东茂名高二期中)若直线y=x+m与双曲线-y2=1有两个公共点,则实数m的取值范围是　　　　.
13.已知点A(-,0)和点B(,0),动点C到A,B两点的距离之差的绝对值为2,点C的轨迹与直线y=x-2交于D,E两点,求线段DE的长.
题组三　直线与抛物线的位置关系
14.(2020黑龙江哈尔滨师大附中高二月考)已知直线y=kx-1与抛物线x2=8y相切,则双曲线x2-k2y2=1的离心率为(　　)
A. B. C. D.
15.(2020重庆巴蜀中学高二月考)过点(1,1)与抛物线y2=x只有一个公共点的直线有(　　)
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
16.直线y=2x+4与抛物线y=x2交于A,B两点,O为坐标原点,则△ABO的面积为(　　)
A.2 B.4 C.6 D.8
17.直线y=x-3与抛物线y2=4x交于A,B两点,过A,B两点向抛物线的准线作垂线,垂足分别为P,Q,则梯形APQB的面积为(　　)
A.48 B.56 C.64 D.72
18.(2020福建福州四校高二联考)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,点M(-2,2),过点F且斜率为k的直线与C交于A,B两点,若·=0,则k=(　　)
A. B. C. D.2
19.设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是　　　　　　　.
20.(2020山东烟台一中高二期中)在平面直角坐标系xOy中,直线l过抛物线y2=4x的焦点F,且与该抛物线相交于A,B两点,其中点A在x轴上方.若直线l的倾斜角为60°,则△OAF的面积为　　　　.
21.过点(-3,2)的直线与抛物线y2=4x只有一个公共点,求此直线方程.
22.(2020四川绵阳高二期中)已知抛物线C:y2=2px(p>0)经过点A(1,-2).
(1)求抛物线的方程,并求其准线方程;
(2)若直线l与OA平行,与抛物线有公共点,且直线OA与l的距离为,求直线l的方程.
23.(2020安徽合肥八中高二期末)已知过抛物线x2=2py(p>0)的焦点,斜率为的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1(1)求该抛物线的方程;
(2)O为坐标原点,C为抛物线上一点,若=+λ,求λ的值.
能力提升练
题组一　中点弦问题
1.(2020广东珠海高三期末,)已知椭圆+=1(a>b>0)的右焦点为F,离心率为,过点F的直线l交椭圆于A,B两点,若AB的中点为(1,1),则直线l的斜率k=(　　)
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.2 B.-2 C. D.-
2.(2020山东寿光现代中学高二月考,)过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F,且倾斜角为的直线与抛物线交于A,B两点,若弦AB的垂直平分线经过点(0,2),则p的值为(　　)
A.4 B.2 C. D.
3.(2020山西太原高二月考,)已知双曲线-=1(a>0,b>0)与方向向量为k=(6,6)的直线交于A,B两点,线段AB的中点为(4,1),则该双曲线的渐近线方程是　　　　.
4.(2019四川眉山高二月考,)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点F(-2,0),上顶点B(0,2).
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线y=x+m与椭圆C交于不同的两点M,N,且线段MN的中点G在圆x2+y2=1上,求m的值.
题组二　最值与范围问题
5.(2020浙江杭州学军中学高二月考,)圆C的圆心在拋物线y=4x2上,且圆C过抛物线y=4x2的焦点,则圆C上的点到直线y=-6距离的最小值为(　　)
A. B. C.5 D.
6.(2020河南新乡一中高二期中,)已知椭圆C:+y2=1,设过点P(2,0)的直线l与椭圆C交于不同的两点A,B且∠AOB为钝角(其中O为坐标原点),则直线l的斜率的取值范围是(　　)
A. B.∪
C.∪ D.∪
7.(多选)(2020浙江宁波镇海中学月考,)已知F是双曲线-=1的右焦点,O为坐标原点,设P是双曲线上一点,则∠POF的大小可能是(　　)
A.15° B.25° C.60° D.165°
8.(2020河南平顶山高二检测,)椭圆+=1的左、右焦点分别为F1,F2,过椭圆的右焦点F2作一条直线l交椭圆于P,Q两点,则△F1PQ内切圆面积的最大值是　　　　.
9.(2020山东泰安高二月考,)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率等于,且点(-2,)在双曲线上.
(1)求双曲线的方程;
(2)若双曲线的左顶点为A1,右焦点为F2,P为双曲线右支上任意一点,求·的最小值.
10.(2020广东广州高三期末,)已知F为抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,过F垂直于x轴的直线被C截得的弦长为4.
(1)求抛物线C的方程;
(2)过点(m,0),且斜率为1的直线被抛物线C截得的弦为AB,若点F在以AB为直径的圆内,求m的取值范围.
11.(2020山西太原高二期中,)已知椭圆C:+=1(b>0)上的动点P到右焦点距离的最小值为3-2.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线l和椭圆C交于M、N两点,A为椭圆的右顶点,·=0,求△AMN面积的最大值.
题组三　定值与定点问题
12.(2019山东泰安高二月考,)设A、P是椭圆+y2=1上的两点,点A关于x轴的对称点为B(异于点P),若直线AP、BP分别交x轴于点M、N,则·等于　　　　　　.
13.(2020湖南浏阳高二期中,)过抛物线C:y2=x上一点A(1,1)作两条互相垂直的直线,分别交抛物线于P,Q(异于点A)两点,则直线PQ恒过定点　　　　.
14.(2020安徽黄山高三一模,)已知△ABC的三个顶点都在抛物线y2=2px(p>0)上,且抛物线的焦点F为△ABC的重心.
(1)记△OFA、△OFB、△OFC的面积分别为S1、S2、S3,求证:++为定值;
(2)若点A的坐标为(1,-2),求BC所在的直线方程.
15.(2019海南海口中学高二期中,)已知抛物线y2=2px(p>0)的准线与x轴的交点坐标是(-4,0).
(1)求抛物线方程;
(2)求定点M,使过点M的直线l与抛物线交于B、C两点(异于原点),且以BC为直径的圆恰好经过原点.
16.(2020陕西西安高二检测,)已知椭圆C:+=1(a>b>0)过点A(2,0),离心率为.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点B(1,0)且斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆C相交于E,F两点,直线AE,AF分别交直线x=3于M,N两点,线段MN的中点为P.记直线PB的斜率为k',求证:k·k'为定值.
答案全解全析
基础过关练
1.D　联立消去x得3y2-4y+2=0,由于Δ=-8<0,所以直线x+y=2与椭圆x2+2y2=2没有公共点,故A∩B中元素的个数为0.
2.A　由题意得直线y-1=k(x-1)恒过定点(1,1),而点(1,1)在椭圆+=1的内部,所以直线与椭圆相交.
3.A　将直线y=x+1代入x2+4y2=8,可得x2+4(x+1)2=8,即5x2+8x-4=0,所以x1=-2,x2=,则y1=-1,y2=,故直线y=x+1被椭圆x2+4y2=8截得的弦长为=.
4.C　设椭圆方程为+=1(a>1),由得(2a2-1)x2+6a2x+(10a2-a4)=0,由Δ≥0,得a≥(a≤1舍去),所以e==≤,所以离心率最大时,a=,此时椭圆方程为+=1.
5.答案　
解析　联立消去y得(1+4k2)x2+8kx=0,设弦为AB,其中A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=0,
于是|AB|=|x1-x2|
=×=,
因此当-=0,即k=±时,弦长取得最大值.
6.答案　-
解析　依题意,当直线l经过椭圆的右焦点(1,0)时,其方程为y=x-1,代入椭圆方程+y2=1,并整理得3x2-4x=0,解得x=0或x=,所以两个交点的坐标分别为(0,-1),,所以·=-,同理,当直线l经过椭圆的左焦点时,也可得·=-.
7.解析　(1)由可得2x2+6x+5=0,由于Δ=62-4×2×5<0,所以该方程组无解,即直线与椭圆没有公共点.
(2)设直线l的方程为y=x+m,A(x1,y1),B(x2,y2).
由方程组消去y得5x2+2mx+m2-16=0,
由题意,得Δ=(2m)2-20(m2-16)>0,且x1+x2=-,x1x2=,
因为|AB|=·|x1-x2|=·= ,
所以-=,
解得m=±2,验证知Δ>0成立,
所以直线l的方程为x-y+2=0或x-y-2=0.
8.解析　(1)若直线l的斜率不存在,则其方程为x=-1,显然不满足|EA|=2|EB|,
故直线l的斜率一定存在,设为k,则l的方程为y=k(x+1).
联立整理得(4k2+1)x2+8k2x+4k2-4=0.
Δ=-4(4k2+1)(4k2-4)=48k2+16>0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系可得
由于|EA|=2|EB|,所以x1+2x2=-3,③
联立①②③可得k=±,
因此直线l的方程是y=±(x+1),即x+6y+=0或x-6y+=0.
(2)由(1)得x1+x2=-,x1x2=-,
因此弦AB的长度|AB|=|x1-x2|=·
=·
=.
9.A　双曲线-y2=1的渐近线方程为y=±x,焦点在x轴上,结合图像(图略)知,直线y=2x与该双曲线无公共点.
10.B　依题意,直线l的斜率必存在,设其为k,则直线l的方程为y=k(x-2).
联立消去y整理得到(1-k2)·x2+4k2x-(4k2+1)=0,
当1-k2=0,即k=±1时,该方程只有一个解,直线与双曲线只有一个公共点;
当1-k2≠0时,由Δ=(4k2)2+4(1-k2)·(4k2+1)=0,得k无解.综上,符合要求的直线只有2条.
11.C　双曲线-=1的渐近线方程是y=±x,右焦点为F(4,0),过右焦点F(4,0)分别作两条渐近线的平行线l1和l2,如图,由图可知,符合条件的直线的斜率的取值范围是.
12.答案　m>或m<-
解析　联立消去y得3x2+8mx+4m2+4=0,依题意有Δ=(8m)2-4×3×(4m2+4)>0,即m2>3,解得m>或m<-.
13.解析　设点C(x,y),则||CA|-|CB||=2<2,根据双曲线的定义,可知点C的轨迹是双曲线,2a=2,2c=|AB|=2,故a2=1,b2=2,故点C的轨迹方程是x2-=1.
由消去y,整理得x2+4x-6=0,因为Δ>0,所以直线与双曲线有两个交点,
设D(x1,y1),E(x2,y2),则x1+x2=-4,x1·x2=-6,
故|DE|=·=4.
14.B　由得x2-8kx+8=0,依题意有Δ=64k2-32=0,则k2=,所以双曲线方程为x2-=1,可得a=1,c=,则双曲线的离心率e==.
15.B　因为点(1,1)在抛物线y2=x上,所以与y2=x只有一个公共点的直线有两条,其中一条为切线,一条为平行于x轴的直线.
16.B　设A(x1,y1),B(x2,y2),由得x2-2x-4=0,所以x1+x2=2,x1x2=-4,|AB|=|x1-x2|=·=10,原点到直线的距离d=,S△AOB=×10×=4.
17.A　由得x2-10x+9=0,解得或不妨设A(9,6),B(1,-2),则|AP|=10,|BQ|=2,|PQ|=8,故梯形APQB的面积S=(|AP|+|BQ|)×|PQ|=×(10+2)×8=48.
18.D　过点F(2,0)且斜率为k的直线的方程为y=k(x-2),设点A(x1,y1),B(x2,y2),则·=(x1+2,y1-2)·(x2+2,y2-2)=(x1+2)(x2+2)+(y1-2)(y2-2)=x1x2+2(x1+x2)+4+y1y2-2(y1+y2)+4=0,①
由消去y,并整理得k2x2-(4k2+8)x+4k2=0,
∴x1x2=4,x1+x2=,②
消去x,并整理得ky2-8y-16k=0,
∴y1y2=-16,y1+y2=,③
将②③代入①并整理得k2-4k+4=0,
解得k1=k2=2.
19.答案　-1≤k≤1
解析　易知直线l的斜率一定存在,故设直线l的方程为y=k(x+2),与抛物线方程联立,消去x,整理得ky2-8y+16k=0.
当k=0时,直线l与抛物线有一个交点;
当k≠0时,由Δ=64-64k2≥0,解得-1≤k≤1,且k≠0.
综上,-1≤k≤1.
20.答案　
解析　直线l的方程为y=(x-1),即x=y+1,代入抛物线方程得y2-y-4=0,解得y1=2,y2=-,因为点A在x轴上方,所以A点的纵坐标为2,故△OAF的面积为×1×2=.
21.解析　显然直线斜率存在,故设直线方程为y-2=k(x+3),
由消去x,整理得ky2-4y+12k+8=0,①
当k=0时,方程①化为-4y+8=0,即y=2,此时过(-3,2)的直线方程为y=2,满足条件.
当k≠0时,方程①应有两个相等的实根,所以即解得k=或k=-1,则直线方程为y-2=(x+3)或y-2=-(x+3),即x-3y+9=0或x+y+1=0.
综上,所求直线方程为y=2或x-3y+9=0或x+y+1=0.
22.解析　(1)将点A(1,-2)代入抛物线方程y2=2px(p>0),得(-2)2=2p×1,得p=2.
故抛物线C的方程为y2=4x,其准线方程为x=-1.
(2)设直线l的方程为y=-2x+t(t≠0).
联立消去x得y2+2y-2t=0.
因为直线l与抛物线C有公共点,所以Δ=4+8t≥0,解得t≥-.
由直线OA与l的距离为,可得=,解得t=±1,
所以t=1.
所以直线l的方程为2x+y-1=0.
23.解析　(1)抛物线x2=2py的焦点为,所以直线AB的方程为y=x+,
由消去x得4y2-5py+p2=0,
所以y1+y2=,由抛物线的定义得|AB|=y1+y2+p=9,即+p=9,所以p=4.
所以抛物线的方程为x2=8y.
(2)由p=4知,方程4y2-5py+p2=0可化为y2-5y+4=0,解得y1=1,y2=4,
故x1=-2,x2=4.
所以A(-2,1),B(4,4).
则=+λ=(-2,1)+λ(4,4)=(-2+4λ,1+4λ).
因为C为抛物线上一点,
所以(-2+4λ)2=8(1+4λ),
整理得λ2-2λ=0,所以λ=0或λ=2.
能力提升练
1.D　∵=,∴4c2=2a2,∴4(a2-b2)=2a2,∴a2=2b2.
设A(x1,y1),B(x2,y2),且x1+x2=2,y1+y2=2,易得
①-②得b2(x1+x2)(x1-x2)+a2(y1+y2)(y1-y2)=0,∴2b2(x1-x2)+2a2(y1-y2)=0,
∴2b2+4b2=0,∴1+2k=0,∴k=-.故选D.
2.C　由题意,抛物线y2=2px(p>0)的焦点F,则过焦点F且倾斜角为的直线方程为y=x-,设A(x1,y1),B(x2,y2),由得y2-2py-p2=0,所以y1+y2=2p,x1+x2=3p,于是弦AB的中点坐标为.由题易知,弦AB的垂直平分线方程为y-2=-x,又弦AB的中点在该直线上,所以p-2=-,解得p=.
3.答案　y=±x
解析　设A(x1,y1),B(x2,y2),则-=1且-=1,因为线段AB的中点为(4,1),所以==,由题意可得直线AB的斜率为1,所以=1,即=,故双曲线的渐近线方程为y=±x.
4.解析　(1)由题意可得c=2,b=2,由a2=b2+c2得a2=22+22=8,
故椭圆C的方程为+=1.
(2)设点M,N的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),线段MN的中点G(x0,y0),
由消去y得3x2+4mx+2m2-8=0,则Δ=96-8m2>0,所以-2因为x1+x2=-,则x0==-,y0=x0+m=,
又因为点G(x0,y0)在圆x2+y2=1上,
所以+=1,
解得m=±,满足-2所以m的值为±.
5.A　设圆C的圆心为(a,4a2),半径为r,由抛物线的焦点为,准线方程为y=-,可得r=4a2+,所以圆C与抛物线的准线相切,与直线y=-6相离,所以圆C上的点到直线y=-6的距离的最小值为6-=.
6.B　易知直线l的斜率存在,故设直线方程为y=k(x-2)(k≠0),由消去y得(1+2k2)x2-8k2x+8k2-2=0,由题意Δ=(-8k2)2-4×(1+2k2)×(8k2-2)>0,
解得-设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=,y1y2=k2(x1-2)(x2-2)=,
因为∠AOB为钝角,所以x1x2+y1y2=+<0,解得-综上所述,直线l的斜率的取值范围为∪.
7.ABD　易知该双曲线的焦点在x轴上,渐近线方程为y=±x,即y=±x,因此两条渐近线的倾斜角分别为30°,150°,当P在右支上时,∠POF的取值范围是[0°,30°),当P在左支上时,∠POF的取值范围是(150°,180°],因此结合选项知∠POF的大小不可能为60°,可能为15°,25°,165°.
8.答案　π
解析　因为三角形内切圆的半径与三角形周长的乘积是三角形面积的2倍,且△F1PQ的周长是定值8,所以只需求△F1PQ面积的最大值.设直线l的方程为x=my+1,联立消去x,得(3m2+4)y2+6my-9=0,设P(x1,y1),Q(x2,y2),则y1+y2=-,y1y2=-,于是=|F1F2|·|y1-y2|==12,设m2+1=t,则t≥1,即=12=12.
令g(t)=9t+(t≥1),易知g(t)在[1,+∞)上为增函数,所以g(t)≥g(1)=10,所以≤3,所以内切圆半径r=≤,因此△F1PQ内切圆面积的最大值是π.
9.解析　(1)依题意有又c2=a2+b2,所以a2=4,b2=5,故双曲线的方程为-=1.
(2)由已知得A1(-2,0),F2(3,0),设P(x,y)(x≥2),
于是=(-2-x,-y),=(3-x,-y),
因此·=x2-x-6+y2=x2-x-6+x2-5=x2-x-11=-,
由于x≥2,所以当x=2时,·取得最小值,为-4.
10.解析　(1)抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F的坐标为,
把x=代入y2=2px,得y=±p,
所以2p=4,
因此抛物线C的方程为y2=4x.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),过点(m,0)且斜率为1的直线方程为y=x-m,
联立消去y得x2-(2m+4)x+m2=0,
所以Δ=[-(2m+4)]2-4m2>0 m>-1.
根据韦达定理得x1+x2=2m+4,x1x2=m2,
易知F(1,0),点F在以AB为直径的圆内等价于·<0,
所以·=(x1-1,y1)·(x2-1,y2)=x1x2-(x1+x2)+1+y1y2
=x1x2-(x1+x2)+1+(x1-m)(x2-m)
=2x1x2-(m+1)(x1+x2)+m2+1
=2m2-(m+1)(2m+4)+m2+1
=m2-6m-3<0,
解得3-2-1,
所以m的取值范围是(3-2,3+2).
11.解析　(1)由已知得a=3,a-c=3-2,所以c=2,b=1,故椭圆C的方程为+y2=1.
(2)设直线AM的方程为y=k(x-3),不妨设k>0.
因为·=0,则直线AN的方程为y=-(x-3).
由可得(9k2+1)x2-54k2x+81k2-9=0.
设M(x1,y1),因为点A的坐标为(3,0),所以3x1=,即x1=,
所以|AM|=|3-x1|=·,
同理可得|AN|=·=·,
所以△AMN的面积S=|AM|·|AN|
=(1+k2)·
==
=≤=,当且仅当64k2=9(k2+1)2,即k=时等号成立.
所以△AMN面积的最大值为.
12.答案　2
解析　如图所示,设点A(a,b),P(c,d),则B(a,-b),
设点M(x0,0),N(x1,0),则
解得故·=·=,
又+b2=1,+d2=1,所以c2-a2=2(b2-d2),故·=
=c2+d2·=c2+2d2=2.
13.答案　(2,-1)
解析　由题意可得,这两条直线的斜率均存在,且不为0,设直线AP的方程为y-1=k(x-1),与抛物线方程y2=x联立,消去x得ky2-y+1-k=0,设P(xP,yP),由根与系数的关系可得yP=,即P,同理可得Q((k+1)2,-k-1),所以直线PQ的斜率kPQ=,所以直线PQ的方程为(1-k2-2k)y=kx+k2-1,即(1+y)k2+(x+2y)k-y-1=0,可得直线PQ恒过定点(2,-1).
14.解析　设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),
(1)证明:由题意可得++=0 x1+x2+x3=,又=2pxi(i=1,2,3),
所以++=(++)=·2p(x1+x2+x3)=p4,为定值.
(2)将A(1,-2)代入y2=2px(p>0)得p=2,所以F(1,0),x1+x2+x3=3,y1+y2+y3=0,
所以x2+x3=2,y2+y3=2,
设BC所在的直线方程为x=my+n,代入抛物线y2=4x得y2-4my-4n=0,
所以y2+y3=4m=2,解得m=,x2+x3=
m(y2+y3)+2n=2,解得n=,
所以BC所在的直线方程为x=y+,即2x-y-1=0.
15.解析　(1)依题意,准线方程为x=-4,所以=4,p=8,2p=16,故抛物线方程为y2=16x.
(2)当直线l的斜率存在时,设其方程为y=kx+b,显然k≠0,b≠0.
设B(x1,y1),C(x2,y2),由于以BC为直径的圆恰好经过原点,所以·=0,即x1x2+y1y2=0.
将y=kx+b与y2=16x联立得k2x2+2(bk-8)x+b2=0,
由韦达定理可得x1+x2=-,x1x2=.
又因为y1y2=(kx1+b)(kx2+b)=,
所以+=0,得b=-16k,
此时直线l的方程为y=k(x-16),必过定点(16,0).
当直线l的斜率不存在时,直线x=16与抛物线y2=16x相交于B(16,16),C(16,-16)或B(16,-16),C(16,16),仍然满足·=0.
综上,定点M为(16,0).
16.解析　(1)由题意得
解得a=2,b=1,
所以椭圆C的方程为+y2=1.
(2)证明:易知直线l的方程为y=k(x-1),
代入椭圆方程+y2=1得(4k2+1)x2-8k2x+4k2-4=0,
设E(x1,y1),F(x2,y2),则由韦达定理得x1+x2=,x1x2=,
直线AE,AF的方程分别为y=(x-2),y=(x-2),
令x=3,得M,N,
所以P,
则k·k'=k×
=k×
=×
=×
=×=×
=-,为定值.
故k·k'为定值.