2021-2022学年数学人教B版（2019）选择性必修第一册第二章 平面解析几何达标检测word版含答案

本章达标检测
(满分:150分;时间:120分钟)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.直线x-3y-5=0的倾斜角为(　　)
A. B. C. D.
2.已知直线l1:x+my+6=0和l2:(m-2)x+3y+2m=0互相平行,则m=(　　)
A.-1或3 B.-1 C.-3 D.1或-3
3.若抛物线y2=x的焦点与椭圆+=1的左焦点重合,则m的值为(　　)
A.- B.
C.-2 D.2
4.已知圆C1:(x+2)2+(y-2)2=1,圆C2:(x-2)2+(y-5)2=16,则圆C1与圆C2的位置关系是(　　)
A.相离 B.相交 C.外切 D.内切
5.已知圆(x-a)2+y2=9(a>5)上存在点M,使||=2||(O为原点)成立,Q(2,0),则实数a的取值范围是(　　)
A.a>7 B.5C.≤a≤7 D.56.过抛物线y2=8x的焦点F的直线l交抛物线于A,B两点,点P在线段AB上运动(不与点A,B重合),原点O关于点P的对称点为M,则四边形OAMB的面积的最小值为(　　)
A.8 B.10 C.14 D.16
7.在平面直角坐标系xOy中,双曲线-=1(a>0,b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2=2py(p>0)交于A,B两点.若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为(　　)
A.y=±x B.y=±x
C.y=±x D.y=±x
8.双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,渐近线分别为l1,l2,过点F1且与l1垂直的直线l交l1于点P,交l2于点Q,若=2,则双曲线的离心率e为　　(　　)
A. B.
C.2 D.3
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分)
9.已知直线l的一个方向向量为u=,且l经过点(1,-2),则下列结论中正确的是(　　)
A.l的倾斜角等于150°
B.l在x轴上的截距等于
C.l与直线x-3y+2=0垂直
D.l上不存在与原点距离等于的点
10.已知双曲线C的标准方程为x2-=1,则(　　)
A.双曲线C的离心率等于半焦距
B.双曲线y2-=1与双曲线C有相同的渐近线
C.双曲线C的一条渐近线被圆(x-1)2+y2=1截得的弦长为
D.直线y=kx+b与双曲线C的公共点个数只可能为0,1,2
11.已知椭圆E:+=1的左、右焦点分别为F1,F2,定点A(1,4),若点P是椭圆E上的动点,则|PA|+|PF1|的值可能为(　　)
A.7 B.10
C.17 D.19
12.已知抛物线C:y2=8x,O为坐标原点,其焦点为F,准线与x轴相交于M点,经过M点且斜率为k的直线l与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则下列结论中正确的是(　　)
A.-1B.y1y2=8x1x2
C.∠AFB可能为直角
D.当k2=时,△AFB的面积为16
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)
13.与双曲线-=1有公共焦点,且长轴长为8的椭圆的方程为　　　　　　　　　.
14.已知一个储油罐横截面的外轮廓线是一个椭圆,它的焦距为2.4,外轮廓线上的点到两个焦点的距离之和为3,则该椭圆的离心率为　　　.
15.已知圆C:x2+y2+2x-4y+1=0,若存在圆C的弦AB,使得|AB|=2,且其中点M在直线2x+y+k=0上,则实数k的取值范围是　　　　.
16.椭圆+=1(a>b>0)的左顶点为A,上、下顶点分别为B1,B2,若·=3,△AB1B2的面积为2,直线y=x与椭圆相交于M,N两点,则椭圆的方程为　　　　　　,|MN|的值为　　　　.
四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)如图,已知点A(2,3),B(4,1),△ABC是以AB为底边的等腰三角形,点C在直线l:x-2y+2=0上.
(1)求AB边上的高CE所在直线的方程;
(2)求△ABC的面积.
18.(本小题满分12分)已知曲线E上任意一点P到点F(2,0)的距离与它到直线l:x=-2的距离相等,若过F的两条直线l1,l2的斜率之积为-1,且l1,l2分别交曲线E于A,B两点和C,D两点.
(1)求曲线E的方程;
(2)求|AB|+|CD|的最小值.
19.(本小题满分12分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,以原点O为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆与直线x-y+=0相切,过点P(4,0)且不垂直于x轴的直线l与椭圆C相交于A,B两点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)求·的取值范围.
20.(本小题满分12分)已知圆M:x2+y2=6,圆N与圆M关于直线l:x+y-1=0对称.
(1)求圆N的方程;
(2)是否存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2,使得l1被圆M截得的弦长与l2被圆N截得的弦长相等 若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
21.(本小题满分12分)点P(x,y)与定点F(1,0)的距离和它到直线l1:x=4距离的比是常数.
(1)求点P的轨迹方程;
(2)记点P的轨迹为C,过F的直线l与曲线C交于点M,N,与抛物线y2=4x交于点A,B,设D(-1,0),记△DMN与△DAB的面积分别是S1,S2,求的取值范围.
22.(本小题满分12分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,F1,F2分别是椭圆C的左、右焦点,P是C上任意一点,若△PF1F2面积的最大值为4.
(1)求椭圆C的方程;
(2)直线l1:y=x与椭圆C在第一象限的交点为M,直线l2:y=x+m(m≠0)与椭圆C交于A,B两点,直线MA,MB与x轴分别交于P,Q两点,求证:△MPQ始终为等腰三角形.
答案全解全析
一、单项选择题
1.A　直线的斜率k=,设倾斜角为θ,则tan θ=,故θ=.
2.B　由已知得1×3=m(m-2),解得m=3或-1,当m=3时,两直线重合,故舍去,所以m=-1.
3.A　椭圆+=1中,c==2,所以其左焦点为(-2,0),因此y2=x的焦点为(-2,0),于是<0且-=8,故m=-.
4.C　圆C1的圆心C1(-2,2),半径r1=1,圆C2的圆心C2(2,5),半径r2=4,所以圆心距|C1C2|=5=r1+r2,故两圆外切.
5.D　设点M(x,y).∵||=2||,
∴x2+y2=4[(x-2)2+y2],
整理得+y2=,
即点M的轨迹是以为圆心,为半径的圆,
由题意可得该圆与以(a,0)为圆心,3为半径的圆有公共点,
又a>5,∴3-≤a-≤3+,得56.D　依题知F(2,0),设直线l:x=my+2,与抛物线方程联立得y2-8my-16=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=8m,y1y2=-16.
易知S四边形OAMB=2S△AOB=2×|OF|·|y1-y2|=2×=16,
∴当m=0时,四边形OAMB的面积最小,为16.
7.C　设A(x1,y1),B(x2,y2),联立消去x得a2y2-2b2py+a2b2=0,因此y1+y2=.又因为|AF|+|BF|=4|OF|,所以y1++y2+=4×,即y1+y2=p,因此=p,所以=,故渐近线方程为y=±x.
8.B　记O为坐标原点,由题意可得F1(-c,0),不妨设l1:y=-x,l2:y=x,则直线l:y=(x+c).联立解得则P,故||=b,|OP|=a.因为=2,所以|PQ|=2|F1P|,所以|PQ|=2b,|OQ|=,|F1Q|=3b,则cos∠QOF1=.
因为tan∠QOF2=,所以cos∠QOF2=,所以+=0,整理得c4-4a2c2+3a4=0,则e4-4e2+3=0,又e>1,所以e=.
二、多项选择题
9.CD　由已知得直线l的斜率k==-,设其倾斜角为θ,则tan θ=-,所以θ=120°,故A选项错误;易知直线l的方程为y+2=-(x-1),即x+y+2-=0,所以它在x轴上的截距等于1-,故B选项错误;直线x-3y+2=0的斜率为,×(-)=-1,所以两直线垂直,故C选项正确;原点到直线l的距离d=1->,即l上的点与原点的最小距离大于,故l上不存在与原点距离等于的点,D选项正确.
10.AD　由双曲线方程可知,a=1,b=2,c=,所以离心率e==c,故A正确;C的渐近线方程为y=±x=±2x,而双曲线y2-=1的焦点在y轴上,渐近线方程为y=±x,二者渐近线方程不同,所以B错误;C的渐近线y=2x被圆(x-1)2+y2=1截得的弦长为2×=,渐近线y=-2x被圆(x-1)2+y2=1截得的弦长为,故C错误;由直线与双曲线的位置关系可知直线y=kx+b与双曲线C的公共点个数只可能为0,1,2,故D正确.
11.ABC　由题意可得F2(4,0),则|AF2|==5,故||PA|-|PF2||≤|AF2|=5.因为点P在椭圆E上,所以|PF1|+|PF2|=2a=12,所以|PF1|=12-|PF2|,故|PA|+|PF1|=12+|PA|-|PF2|,由于-5≤|PA|-|PF2|≤5,所以7≤|PA|+|PF1|≤17,故|PA|+|PF1|的可能取值为7,10,17.
12.CD　依题意F(2,0),M(-2,0),直线l的方程为y=k(x+2),联立消去y得k2x2+(4k2-8)x+4k2=0,因为直线l与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,所以解得-1三、填空题
13.答案　+=1
解析　易知双曲线-=1的焦点在x轴上,坐标为(±3,0),因此可设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0),则有2a=8,于是a=4,又c=3,所以b2=7,于是椭圆的方程为+=1.
14.答案　
解析　由已知得2c=2.4,2a=3,所以离心率e===.
15.答案　-≤k≤
解析　圆C的方程可化为(x+1)2+(y-2)2=4,圆心C(-1,2),半径r=2,由于弦AB满足|AB|=2,且其中点为M,则|CM|==1,因此M点在以C(-1,2)为圆心,1为半径的圆上,又点M在直线2x+y+k=0上,故直线2x+y+k=0与圆(x+1)2+(y-2)2=1有公共点,于是≤1,解得-≤k≤.
16.答案　+y2=1;
解析　由题意A(-a,0),B1(0,b),B2(0,-b),因此·=a2-b2=3,由于△AB1B2的面积为2,所以ab=2,解得a=2,b=1,所以椭圆的方程为+y2=1.把y=x代入椭圆的方程,化简整理得5x2=4,解得x1=,x2=-,所以|MN|=|x1-x2|=×=.
四、解答题
17.解析　(1)由题意可知,E为AB的中点,(1分)
所以E(3,2),且kCE=-=1,(3分)
因此CE所在直线的方程为y-2=x-3,
即x-y-1=0.(5分)
(2)由得C(4,3),(6分)
所以|AC|=|BC|=2,AC⊥BC,(8分)
故S△ABC=|AC|·|BC|=2.(10分)
18.解析　(1)由定义可知,曲线E为以F(2,0)为焦点,直线l:x=-2为准线的抛物线.(2分)
设其方程为y2=2px(p>0),则=2,所以p=4,
故曲线E的方程为y2=8x.(4分)
(2)设直线AB的方程为y=k1(x-2),
联立消去y得x2-(4+8)·x+4=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4+,于是|AB|=x1+x2+p=8+.(7分)
设直线CD的方程为y=k2(x-2),
同理可得|CD|=8+.
因此|AB|+|CD|=16++,(10分)
因为k1k2=-1,所以|AB|+|CD|=16++≥16+2=32, 当且仅当k1=-k2=1或k1=-k2=-1时,等号成立.
故|AB|+|CD|的最小值为32.(12分)
19.解析　(1)由题意知e==,所以e2===,即a2=b2.(2分)
又以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆与直线x-y+=0相切,
所以b==,所以b2=3,a2=4,
故椭圆C的方程为+=1.(4分)
(2)由题意知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=k(x-4),(5分)
由消去y可得(4k2+3)x2-32k2x+64k2-12=0,
由Δ=(-32k2)2-4(4k2+3)(64k2-12)>0,得k2<.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=,(8分)
∴y1y2=k(x1-4)·k(x2-4)=k2x1x2-4k2·(x1+x2)+16k2=,
∴·=x1x2+y1y2=+=25-,(10分)
∵0≤k2<,∴-29≤-<-,
∴·∈,
∴·的取值范围是.(12分)
20.解析　(1)设N(a,b),∵圆M与圆N关于直线l:x+y-1=0对称,M(0,0),
∴直线MN与直线l垂直,MN的中点在直线l上,
∴(3分)
解得
故圆N的方程为(x-1)2+(y-1)2=6.(5分)
(2)设点P(m,n)满足条件,
假设直线l1,l2的斜率均存在且不为0.
不妨设直线l1的方程为y-n=k(x-m),k≠0,
则直线l2的方程为y-n=-(x-m).
∵圆M和圆N的半径相等,∴若直线l1被圆M截得的弦长与直线l2被圆N截得的弦长相等,
则圆M的圆心到直线l1的距离和圆N的圆心到直线l2的距离相等,(7分)
即=,
整理得|n-mk|=|1+k-nk-m|,(8分)
∴n-mk=±(1+k-nk-m),即m+n-1-k(m-n+1)=0或n-m+1-k(m+n-1)=0,
∵k的取值有无穷多个,∴
或(10分)
解得或
故存在满足条件的点P,其坐标为(0,1)或(1,0).(12分)
21.解析　(1) 依题意有=,(2分)
化简得3x2+4y2=12,
故点P的轨迹方程为+=1.(4分)
(2)依题意=,(5分)
①当l不垂直于x轴时,设l的方程是y=k(x-1)(k≠0),
联立消去y可得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,
设A(x1,y1), B(x2,y2),则x1+x2=,
∴|AB|=x1+x2+2=.(6分)
联立消去y可得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,
设M(x3,y3),N(x4,y4),
则x3+x4=, x3x4=,(8分)
|MN|==,
则===+∈.(10分)
②当l垂直于x轴时,易知|AB|=4,|MN|==3,
此时==.
综上,的取值范围是.(12分)
22.解析　(1)由e==,a2=b2+c2可得
c=2b,
由△PF1F2面积的最大值为4知,bc=4,解得a=3,b=,c=4.
故椭圆C的方程为+=1.(4分)
(2)证明:联立可得M(3,1).(5分)
联立消去y得2x2+6mx+9m2-18=0.
∵直线l2与椭圆C交于A,B两点,
∴Δ=(6m)2-4×2×(9m2-18)>0,
∴-2设A(x1,y1),B(x2,y2),
直线MP,MQ的斜率分别为k1,k2,
则k1=,k2=.
又x1+x2=-3m,x1x2=m2-9,
y1=x1+m,y2=x2+m,
∴k1+k2=+
=
==0,(11分)
由此可知∠MPQ=∠MQP,
∴△MPQ始终为等腰三角形.(12分)