一.函数的零点
1.函数零点的定义：对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点.
2.零点存在性定理:如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是的根.
3.相关结论:若连续不断的函数在定义域上是单调函数，则至多有一个零点.
注意：连续的函数在闭区间上有零点，不一定能推出.
二.二分法
1.对于在区间上连续不断且的函数，通过不断把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
三.二次函数图象与零点的关系
二次函数 的图象
零点个数 两个零点 一个零点 无零点
与轴交点 ， 无交点
四.复合函数零点问题
在某些情况下，我们可能需要将某函数作为另一函数的参数使用，这一函数就是复合函数．对于复合函数零点问题()，我们往往先将整体看出，先求解,解得.再求解，解得.(若不知道具体解析式，则通过观察的图像与的交点确定零点个数)
题型一.求零点区间问题
(2020 朝阳期末)函数的零点所在的区间是( )
A. B.
C. D.
函数.当时，函数的零点，，则 .
(2021 凉州期末)若，则的两个零点分别位于区间( )
A. 和内 B. 和内
C. 和内 D. 和内
已知，若，，则在区间上零点个数( )
A. 有且只有个 B. 可能有个或个
C. 至少个 D. 无法确定
(2020 宝安期末)用二分法研究函数的零点时，第一次经计算，，可得其中一个零点 ，第二次应计算的的值为 ．
已知函数，则无法用二分法计算零点的区间是( )(多选)
A. B.
C. D.
题型二.含绝对值的二次函数的零点问题
试讨论函数的零点个数.
试讨论函数的零点个数.
题型三.数形结合求零点
(2020 辽宁协作校期中)已知函数，若关于的方程有个不同的根，则的值可能为( )(多选)
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
函数和函数的图象的交点个数是( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
(2020 广东模拟)已知，则函数的零点个数为( )
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
(2021 秦州期中)已知函数，若函数恰有三个互不相同的零点，，，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【思考题】(2020 浙江)设,，函数，若函数恰有3个零点，则
A. ， B. ， C. ， D. ，
题型四.数形结合求参数取值范围
若函数有2个零点，则实数b的取值范围是 .
已知函数，．若存在2个零点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
已知函数，若关于的方程恰有6个不同的实数根，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
(2021 浙江模拟)已知，函数，当时，不等式的解集是 ．若函数恰有2个零点，则的取值范围是 ．
已知，若函数有且仅有2个零点，则实数的取值范围为 ．
【思考题】已知函数，函数恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是___________.
【思考题】(2020 马鞍山期中)已知函数，若方程恰有个实根，则的取值范围为( )
A. B.
C. D.
题型五.求零点与零点个数
函数的零点为 .
函数的零点为 .
已知是上最小正周期为2的周期函数，且当时, ,则函数的图象在区间[0,6]上与轴的交点的个数为 .
已知是定义在上周期为3的奇函数，且.则在区间上解的个数为( )
A. B. C. D.
(2021 抚顺期末)已知是偶函数，对任意的x都有，且，当，且时，恒成立，则( )(多选)
A. B. 直线是图像的对称轴
C. 在上是增函数 D. 方程在上有个实根
题型七.复合函数的零点问题
已知，，则方程的解为 .
已知，则的解的个数为 .
已知，若方程恰有7个不同的实数根，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
(2019 辽宁协作校期末)已知，关于的方程，给出下列四个命题，其中假命题的个数是( )
①存在实数，使得方程恰有个不同的实根
②存在实数，使得方程恰有个不同的实根
③存在实数，使得方程恰有个不同的实根
④存在实数，使得方程恰有个不同的实根
A. B. C. D.
已知，若关于方程有3个不同的实数根，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
已知函数，若关于的方程有五个不相等的实数根，则实数的取值范围是 ．
定义域和值域均为(常数)的函数和的图象如图所示，下列四个命题中正确的结论是( )(多选)
A. 方程有且仅有三个解 B. 方程有且仅有三个解
C. 方程有且仅有九个解 D. 方程有且仅有一个解
函数的图象如图所示，关于x的方程有三个不同的实数解，则m的取值范围是_______.
【思考题】(2017 学军中学分班考)已知，设关于的方程的解集为，则不可能为( )
A. B. C. D.
(2020 玉林期末)函数的零点所在的一个区间是( )
A. B. C. D.
知函数在区间上有唯一零点，则正整数( )
A. B. C. D.
(2020 杨浦区期中)若函数满足，的零点为，则下列选项中一定错误的是( )
A. B.
C. D.
若都是常数，，，若的零点，则下列不等式正确的是( )
A. B.
C. D.
若函数有4个零点，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
已知函数，则函数的零点为 .
是定义在上的奇函数，且.则在的零点是( )(多选)
A. B. C. D.
已知函数，若函数在上有两个零点，则的取值范围是
A. B. C. D.
，，若方程有两个不相等的实根，则实数的取值范围为
A. B. C. D.
方程的不同实数根的个数为 .
已知函数，若关于x的方程恰有3个不同的实数解，则a的取值范围是________________.
已知，若方程有3个不同的实数根，则的值为( )
A. B. C. D.
(2021 黄石期末)定义域和值域均为()的函数和的图象如图所示，给出下列四个命题：
(1) 方程有且仅有三个解 (2) 方程有且仅有三个解
(3) 方程有且仅有九个解 (4) 方程有且仅有一个解
其中正确的命题是( )
A. (1)(4) B. (2)(3) C. (1)(3) D. (2)(4)
已知函数为偶函数，当时，，若函数恰有10个零点，则a的取值范围是_______.
1一.函数的零点
1.函数零点的定义：对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点.
2.零点存在性定理:如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是的根.
3.相关结论:若连续不断的函数在定义域上是单调函数，则至多有一个零点.
注意：连续的函数在闭区间上有零点，不一定能推出.
二.二分法
1.对于在区间上连续不断且的函数，通过不断把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
三.二次函数图象与零点的关系
二次函数 的图象
零点个数 两个零点 一个零点 无零点
与轴交点 ， 无交点
四.复合函数零点问题
在某些情况下，我们可能需要将某函数作为另一函数的参数使用，这一函数就是复合函数．对于复合函数零点问题()，我们往往先将整体看出，先求解,解得.再求解，解得.(若不知道具体解析式，则通过观察的图像与的交点确定零点个数)
题型一.求零点区间问题
(2020 朝阳期末)函数的零点所在的区间是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
函数.当时，函数的零点，，则 .
【答案】2
(2021 凉州期末)若，则的两个零点分别位于区间( )
A. 和内 B. 和内
C. 和内 D. 和内
【答案】A
已知，若，，则在区间上零点个数( )
A. 有且只有个 B. 可能有个或个
C. 至少个 D. 无法确定
【答案】A
(2020 宝安期末)用二分法研究函数的零点时，第一次经计算，，可得其中一个零点 ，第二次应计算的的值为 ．
【答案】;0.25;
已知函数，则无法用二分法计算零点的区间是( )(多选)
A. B.
C. D.
【答案】ABD
题型二.含绝对值的二次函数的零点问题
试讨论函数的零点个数.
【答案】时，0个零点；时，2个零点；时，4个零点；时，3个零点；
试讨论函数的零点个数.
【答案】时，0个零点；时，2个零点；时，4个零点；时，3个零点；
题型三.数形结合求零点
(2020 辽宁协作校期中)已知函数，若关于的方程有个不同的根，则的值可能为( )(多选)
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【答案】ABC
函数和函数的图象的交点个数是( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【答案】B
(2020 广东模拟)已知，则函数的零点个数为( )
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
【答案】A
(2021 秦州期中)已知函数，若函数恰有三个互不相同的零点，，，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【思考题】(2020 浙江)设,，函数，若函数恰有3个零点，则
A. ， B. ， C. ， D. ，
【答案】C
题型四.数形结合求参数取值范围
若函数有2个零点，则实数b的取值范围是 .
【答案】
已知函数，．若存在2个零点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
已知函数，若关于的方程恰有6个不同的实数根，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】A
(2021 浙江模拟)已知，函数，当时，不等式的解集是 ．若函数恰有2个零点，则的取值范围是 ．
【答案】；；
已知，若函数有且仅有2个零点，则实数的取值范围为 ．
【答案】；
【思考题】已知函数，函数恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是___________.
【答案】
【思考题】(2020 马鞍山期中)已知函数，若方程恰有个实根，则的取值范围为( )
A. B.
C. D.
【答案】D
题型五.求零点与零点个数
函数的零点为 .
【答案】-4;0;4
函数的零点为 .
【答案】1
已知是上最小正周期为2的周期函数，且当时, ,则函数的图象在区间[0,6]上与轴的交点的个数为 .
【答案】7个
已知是定义在上周期为3的奇函数，且.则在区间上解的个数为( )
A. B. C. D.
【答案】D
(2021 抚顺期末)已知是偶函数，对任意的x都有，且，当，且时，恒成立，则( )(多选)
A. B. 直线是图像的对称轴
C. 在上是增函数 D. 方程在上有个实根
【答案】AB
题型七.复合函数的零点问题
已知，，则方程的解为 .
【答案】
已知，则的解的个数为 .
【答案】3
已知，若方程恰有7个不同的实数根，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】B
(2019 辽宁协作校期末)已知，关于的方程，给出下列四个命题，其中假命题的个数是( )
①存在实数，使得方程恰有个不同的实根
②存在实数，使得方程恰有个不同的实根
③存在实数，使得方程恰有个不同的实根
④存在实数，使得方程恰有个不同的实根
A. B. C. D.
【答案】C
已知，若关于方程有3个不同的实数根，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】A
已知函数，若关于的方程有五个不相等的实数根，则实数的取值范围是 ．
【答案】
定义域和值域均为(常数)的函数和的图象如图所示，下列四个命题中正确的结论是( )(多选)
A. 方程有且仅有三个解 B. 方程有且仅有三个解
C. 方程有且仅有九个解 D. 方程有且仅有一个解
【答案】AD
函数的图象如图所示，关于x的方程有三个不同的实数解，则m的取值范围是_______.
【答案】
【思考题】(2017 学军中学分班考)已知，设关于的方程的解集为，则不可能为( )
A. B. C. D.
【答案】B
(2020 玉林期末)函数的零点所在的一个区间是( )
A. B. C. D.
【答案】B
知函数在区间上有唯一零点，则正整数( )
A. B. C. D.
【答案】A
(2020 杨浦区期中)若函数满足，的零点为，则下列选项中一定错误的是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
若都是常数，，，若的零点，则下列不等式正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
若函数有4个零点，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
已知函数，则函数的零点为 .
【答案】-1,-2
是定义在上的奇函数，且.则在的零点是( )(多选)
A. B. C. D.
【答案】D
已知函数，若函数在上有两个零点，则的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】C
，，若方程有两个不相等的实根，则实数的取值范围为
A. B. C. D.
【答案】B
方程的不同实数根的个数为 .
【答案】5
已知函数，若关于x的方程恰有3个不同的实数解，则a的取值范围是________________.
【答案】；
已知，若方程有3个不同的实数根，则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
(2021 黄石期末)定义域和值域均为()的函数和的图象如图所示，给出下列四个命题：
(1) 方程有且仅有三个解 (2) 方程有且仅有三个解
(3) 方程有且仅有九个解 (4) 方程有且仅有一个解
其中正确的命题是( )
A. (1)(4) B. (2)(3) C. (1)(3) D. (2)(4)
【答案】A
已知函数为偶函数，当时，，若函数恰有10个零点，则a的取值范围是_______.
【答案】1
