2021-2022学年冀教版九年级数学上册28.3圆心角和圆周角优生辅导测评（Word版 含答案）

2021-2022学年冀教版九年级数学上册《28.3圆心角和圆周角》优生辅导测评（附答案）
一．选择题（共10小题，满分40分）
1．如图，在三个等圆上各有一条劣弧：弧AB、弧CD、弧EF，如果+＝，那么AB+CD与EF的大小关系是（　　）
A．AB+CD＝EF B．AB+CD＜EF
C．AB+CD＞EF D．大小关系不确定
2．如图，是半圆，O为AB中点，C、D两点在上，且AD∥OC，连接BC、BD．若＝62°，则的度数为何？（　　）
A．56 B．58 C．60 D．62
3．如图，半圆O的直径AB＝10cm，弦AC＝6cm，AD平分∠BAC，则AD的长为（　　）
A．cm B．cm C．cm D．4cm
4．如图，AB是半圆的直径，点C是弧AB的中点，点E是弧AC的中点，连接EB，CA交于点F，则＝（　　）
A． B． C．1﹣ D．
5．如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，∠ABC＝25°，则∠CAD的度数为（　　）
A．25° B．50° C．65° D．75°
6．如图，O是线段BC的中点，A、D、C到O点的距离相等．若∠ABC＝30°，则∠ADC的度数是（　　）
A．30° B．60° C．120° D．150°
7．如图，六边形ABCDEF是正六边形，曲线FK1K2K3K4K5K6K7…叫做“正六边形的渐开线”，其中，，，，，，…的圆心依次按点A，B，C，D，E，F循环，其弧长分别记为l1，l2，l3，l4，l5，l6，…．当AB＝1时，l2021等于（　　）
A． B． C． D．
8．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB∥CD，AB＝4，CD＝2，并且，则四边形ABCD的面积为（　　）
A．6 B．9 C．12 D．18
9．如图1，平行四边形纸片ABCD的面积为120，AD＝20，AB＝18．今沿两对角线将四边形ABCD剪成甲、乙、丙、丁四个三角形纸片．若将甲、丙合并（AD、CB重合）形成一线对称图形戊，如图2所示，则图形戊的两对角线长度和（　　）
A．26 B．29 C．24 D．25
10．如图，已知⊙O的两条弦AB、CD相交于AB的中点E，且AB＝4，DE＝CE+3，则CD的长为（　　）
A．4 B．5 C．8 D．10
二．填空题（共5小题，满分30分）
11．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，点D是的中点，已知∠AOB＝98°，∠COB＝120°，则∠ABD的度数是　 　度．
12．如图，AB、CD是⊙O的两条互相垂直的弦，圆心角∠AOC＝130°，AD，CB的延长线相交于P，∠P＝　 　度．
13．如图，已知A、B两点的坐标分别为（，0）、（0，2），P是△AOB外接圆上的一点，且∠AOP＝45°，则点P的坐标为 　 　．
14．如图，在平面直角坐标系中，以点A（0，2）为圆心，2为半径的圆交y轴于点B．已知点C（2，0），点D为⊙A上的一动点，以CD为斜边，在CD左侧作等腰直角三角形CDE，连接BC，则△BCE面积的最小值为　 　．
15．如图，四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，若∠CAD＝76°，则∠CBD＝　 　度．
三．解答题（共5小题，满分50分）
16．已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，有一个圆心角为45°，半径的长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，且直线CE，CF分别与直线AB交于点M，N．
（Ⅰ）当扇形CEF绕点C在∠ACB的内部旋转时，如图1，求证：MN2＝AM2+BN2；
（思路点拨：考虑MN2＝AM2+BN2符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决．可将△ACM沿直线CE对折，得△DCM，连DN，只需证DN＝BN，∠MDN＝90°就可以了．请你完成证明过程．）
（Ⅱ）当扇形CEF绕点C旋转至图2的位置时，关系式MN2＝AM2+BN2是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
17．已知：如图，在⊙O中，弦AB＝CD．
求证：（1）弧AC＝弧BD；
（2）∠AOC＝∠BOD．
18．已知：如图，在半径为2的半圆O中，半径OA垂直于直径BC，点E与点F分别在弦AB、AC上滑动并保持AE＝CF，但点F不与A、C重合，点E不与A、B重合．
（1）求四边形AEOF的面积．
（2）设AE＝x，S△OEF＝y，写出y与x之间的函数关系式，求x的取值范围．
19．已知：△ABC是⊙O的内接正三角形，P为弧BC上一点（与点B、C不重合），
（1）如果点P是弧BC的中点，求证：PB+PC＝PA；
（2）如果点P在弧BC上移动时，（1）的结论还成立吗？请说明理由．
20．如图，△ABC中，E、F分别是AB、AC上的点．
①AD平分∠BAC，②DE⊥AB，DF⊥AC，③AD⊥EF．
以此三个中的两个为条件，另一个为结论，可构成三个命题，即：
①② ③，①③ ②，②③ ①．
（1）试判断上述三个命题是否正确（直接作答）；
（2）请证明你认为正确的命题．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分40分）
1．解：如图，在弧EF上取一点M使弧EM＝弧CD，
则弧FM＝弧AB，
∴AB＝FM，CD＝EM，
在△MEF中，FM+EM＞EF，
∴AB+CD＞EF．
故选：C．
2．解：
以AB为直径作圆，如图，作直径CM，连接AC，
∵AD∥OC，
∴∠1＝∠2，
∴弧AM＝弧DC＝62°，
∴弧AD的度数是180°﹣62°﹣62°＝56°，
故选：A．
3．解：连接OD，OC，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
∵∠CAD＝∠BAD（角平分线的性质），
∴＝，
∴∠DOB＝∠OAC＝2∠BAD，
∴△AOF≌△ODE，
∴OE＝AF＝AC＝3（cm），
在Rt△DOE中，DE＝＝4（cm），
在Rt△ADE中，AD＝＝4（cm）．
故选：A．
4．解：方法1：连接AE、CE．作AD∥CE，交BE于D．
∵点E是弧AC的中点，
∴可设AE＝CE＝1，
根据平行线的性质得∠ADE＝∠CED＝45°．
∴△ADE是等腰直角三角形，
则AD＝，BD＝AD＝．
所以BE＝+1．
再根据两角对应相等得△AEF∽△BEA，
则EF＝＝﹣1，BF＝2．
所以＝．
方法2：过点C作CO⊥AB于点O，
∵AB是半圆的直径，点C是弧AB的中点，
∴点O是圆心．
连接OE，BC，OE与AC交于点M，
∵E为弧AC的中点，
易证OE⊥AC，
∵∠ACB＝90°，∠AOE＝45°，
∴OE∥BC，
设OM＝1，则AM＝1，
∴AC＝BC＝2，OA＝，
∴OE＝，
∴EM＝﹣1，
∵OE∥BC，
∴＝＝．
故选：D．
5．解：∵∠ABC＝25°，
∴∠ADC＝25°，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD＝90°，
∴∠CAD＝90°﹣25°＝65°．
故选：C．
6．解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，即∠ADC＝150°．
故选：D．
7．解：根据题意得：L1＝＝，
L2＝＝，
L3＝＝＝π，
L4＝＝，
按照这种规律可以得到：Ln＝，
∴L2021＝．
故选：C．
8．解：过O点作DC的垂线交DC于E，交AB于F，交⊙O于M，N，连OD，OA，如图，
∴DE＝EC＝1，DM弧＝MC弧，
∵AB∥CD，
∴OF⊥AB，AD弧＝BC弧，
∴AF＝BF＝2，AN弧＝BN弧，
而且，
∴AD弧＝DM弧+AN弧，
∴AD弧为半圆MN的一半，
∴∠DOA＝90°，
∴Rt△ODE≌Rt△OAF，
∴OE＝AF＝2，OF＝DE＝1，即EF＝3，
∴梯形ABCD的面积＝ （2+4） 3＝9．
故选：B．
9．解：∵AD＝20，平行四边形的面积是120，
∴AD边上的高是6．
∴要求的两对角线长度和是20+6＝26．
故选：A．
10．解：设CE＝x，则DE＝3+x．
根据相交弦定理，得x（x+3）＝2×2，
x＝1或x＝﹣4（不合题意，应舍去）．
则CD＝3+1+1＝5．
故选：B．
二．填空题（共5小题，满分30分）
11．解：∵∠AOB＝98°，∠COB＝120°，
∴∠AOC＝360°﹣∠AOB﹣∠COB＝142°；
∴∠ABC＝71°；
∵D是的中点，
∴∠CBD＝∠BAC；
又∵∠BAC＝∠COB＝60°，
∴∠CBD＝30°；
∴∠ABD＝∠ABC+∠CBD＝101°．
12．解：设AB与CD交于点E，
∵AB⊥CD，
∴∠AED＝∠CEB＝90°，
∵圆心角∠AOC＝130°，
∴∠ADC＝∠ABC＝65°，
∴∠BAD＝∠DCB＝90°﹣65°＝25°，
∵∠ADC＝∠P+∠DCP，
∴∠P＝65°﹣25°＝40°．
13．解：∵OB＝2，OA＝2，
∴AB＝＝4，
∵∠AOP＝45°，
∴P点横纵坐标相等，可设为a，即P（a，a），
∵∠AOB＝90°，
∴AB是直径，
∴Rt△AOB外接圆的圆心为AB中点，坐标C（，1），
可得P点在圆上，P点到圆心的距离为圆的半径2，
过点C作CF∥OA，过点P作PE⊥OA于E交CF于F，
∴∠CFP＝90°，
∴PF＝a﹣1，CF＝a﹣，PC＝2，
∴在Rt△PCF中，利用勾股定理得：（a﹣）2+（a﹣1）2＝22，
舍去不合适的根，可得：a＝1+，
则P点坐标为（+1，+1）．
∵P与P′关于圆心（，1）对称，
∴P′（﹣1，1﹣）．
故答案为：（+1，+1）或（﹣1，1﹣）
14．解：如图，设E（m，n），
过点E作EM⊥x轴于M，过点作DN⊥EM，交ME的延长线于N，
∴∠CME＝∠END＝90°，
∴∠MCE+∠MEC＝90°，
∵△CDE是等腰直角三角形，
∴CE＝DE，∠CED＝90°，
∴∠NED+∠MEC＝90°，
∴∠MCE＝∠NED，
∴△CME≌△END（AAS），
∴EM＝DN＝n，CM＝EN＝2﹣m，
∴D（m+n，n+2﹣m），
∵点D在以A（0，2）为圆心半径为2的圆上，
连接AD，则AD＝2，
∴＝2，
∴＝，
即＝，
∴点E在以点O为圆心，为半径的圆上，（到定点（0，0）的距离是的点的轨迹），
∵以点A（0，2）为圆心，2为半径的圆交y轴于点B，
∴B（0，4），
∴OB＝4，
∵C（2，0），
∴OC＝2，
∴BC＝2，
过点O作OH⊥BC于H，
∴OH＝＝，
设点E到BC的距离为h，
∴S△BCE＝BC h＝×h＝h，
∴h最小时，S△BCE最小，而h最小＝OH﹣＝﹣，
∴S△BCE最小＝（﹣）＝4﹣，
故答案为：4﹣．
15．解：∵AB＝AC＝AD，
∴点B，C，D可以看成是以点A为圆心，AB为半径的圆上的三个点，
∴∠CBD是弧CD对的圆周角，∠CAD是弧CD对的圆心角；
∵∠CAD＝76°，
∴∠CBD＝∠CAD＝×76°＝38°．
三．解答题（共5小题，满分50分）
16．（Ⅰ）证明：∵将△ACM沿直线CE对折，得△DCM，连DN，
∴△DCM≌△ACM
∴CD＝CA，DM＝AM，∠DCM＝∠ACM，∠CDM＝∠A
又∵CA＝CB，
∴CD＝CB，
∴∠DCN＝∠ECF﹣∠DCM＝45°﹣∠DCM
∠BCN＝∠ACB﹣∠ECF﹣∠ACM
＝90°﹣45°﹣∠ACM＝45°﹣∠ACM
∴∠DCN＝∠BCN
又∵CN＝CN，
∴△CDN≌△CBN．
∴DN＝BN，∠CDN＝∠B．
∴∠MDN＝∠CDM+∠CDN＝∠A+∠B＝90°．
∴在Rt△MDN中，由勾股定理
∴MN2＝DM2+DN2，即MN2＝AM2+BN2．
（Ⅱ）解：关系式MN2＝AM2+BN2仍然成立．
证明：∵将△ACM沿直线CE对折，得△GCM，连GN，
∴△GCM≌△ACM．（8分）
∴CG＝CA，GM＝AM，∠GCM＝∠ACM，∠CGM＝∠CAM，
又∵CA＝CB，得CG＝CB．
∵∠GCN＝∠GCM+∠ECF＝∠GCM+45°
∴∠BCN＝∠ACB﹣∠ACN＝90°﹣（∠ECF﹣∠ACM）＝45°+∠ACM
得∠GCN＝∠BCN．
又∵CN＝CN，
∴△CGN≌△CBN．
∴GN＝BN，∠CGN＝∠B＝45°，∠CGM＝∠CAM＝180°﹣∠CAB＝135°，
∴∠MGN＝∠CGM﹣∠CGN＝135°﹣45°＝90°，
∴在Rt△MGN中，由勾股定理，
∴MN2＝GM2+GN2，即MN2＝AM2+BN2．
17．证明：（1）∵在⊙O中，弦AB＝CD，
∴弧AB＝弧CD，
∵弧BC＝弧CB，
∴弧AC＝弧BD；
（2）∵弧AC＝弧BD，
∴∠AOC＝∠BOD．
18．解：（1）∵BC为半圆O的直径，OA为半径，且OA⊥BC，
∴∠B＝∠OAF＝45°，OA＝OB，
又∵AE＝CF，AB＝AC，
∴BE＝AF，
∴△BOE≌△AOF
∴S四边形AEOF＝S△AOB＝OB OA＝2．
（2）∵BC为半圆O的直径，
∴∠BAC＝90°，且AB＝AC＝2，
y＝S△OEF＝S四边形AEOF﹣S△AEF＝2﹣AE AF＝2﹣x（2﹣x）
∴y＝x2﹣x+2（0＜x＜2）．
19．解：（1）连OB，OC，如图
∵点P是弧BC的中点，△ABC是⊙O的内接正三角形，
∴AP为⊙O的直径，
∴∠BPO＝∠ACB，∠APC＝∠ABC，
∵△ABC是⊙O的内接正三角形，
∴∠ACB＝∠ABC＝60°，
∴∠BPO＝∠APC＝60°，
∴△OBP和△OPC都是等边三角形，
∴PB＝PC＝OP＝OA，
∴PB+PC＝PA；
（2）（1）的结论还成立．理由如下：
截取PE＝PC，
∵∠APC＝60°，
∴△PEC为等边三角形，
∴CE＝CP，∠PCE＝60°，
而∠ACB＝60°，
∴∠ACE＝∠BCP，
而CA＝CB，
∴△CAE≌△CBP，
∴AE＝PB，
∴PB+PC＝PA．
20．解：（1）①② ③，正确；①③ ②，错误；②③ ①，正确．
（2）先证①② ③．如图．
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，AD＝AD，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF．
∴DE＝DF，∠ADE＝∠ADF．
设AD与EF交于G，则△DEG≌△DFG，
∴∠DGE＝∠DGF．
∴∠DGE＝∠DGF＝90°．
∴AD⊥EF．
再证②③ ①．如图2，
设AD的中点为O，连接OE，OF，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴OE，OF分别是Rt△ADE，Rt△ADF斜边上的中线．
∴OE＝AD，OF＝AD．
即点O到A、E、D、F的距离相等．
∴四点A、E、D、F在以O为圆心，AD为半径的圆上，AD是直径．
∴EF是⊙O的弦．
∵EF⊥AD，
∴∠DAE＝∠DAF．
即AD平分∠BAC．