2021-2022学年冀教版九年级数学上册28.3圆心角和圆周角 同步达标训练（Word版 含答案）

2021-2022学年冀教版九年级数学上册《28.3圆心角和圆周角》同步达标训练（附答案）
选择题
1．如图，在⊙O中，A、C、D、B是⊙O上四点，OC、OD交AB于E、F，且AE＝BF．下列结论不正确的是（　　）
A．OE＝OF B．＝ C．AC＝CD＝DB D．CD∥AB
2．已知弧CD是⊙O的一条弧，点A是弧CD的中点，连接AC，CD．则（　　）
A．CD＝2AC B．CD＞2AC C．CD＜2AC D．不能确定．
3．点A、C为半径是3的圆周上两点，点B为的中点，以线段BA、BC为邻边作菱形ABCD，顶点D恰在该圆直径的三等分点上，则该菱形的边长为（　　）
A．或2 B．或2 C．或2 D．或2
4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，则下列结论正确的是（　　）
A．AB＝AD B．BC＝CD C． D．∠BCA＝∠DCA
5．点A、C为半径是4的圆周上两点，点B为的中点，以线段BA、BC为邻边作菱形ABCD，顶点D恰在该圆半径的中点上，则该菱形的边长为（　　）
A．或2 B．或2 C．2或2 D．2或2
6．下列四个命题：
①同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等；
②同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等；
③同圆或等圆中，相等的弦的弦心距相等；
④同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等．
真命题的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图，半径为R的⊙O的弦AC＝BD，且AC⊥BD于E，连接AB、AD，若AD＝，则半径R的长为（　　）
A．1 B． C． D．
8．如图，半径为5的⊙O中，有两条互相垂直的弦AB、CD，垂足为点E，且AB＝CD＝8，则OE的长为（　　）
A．3 B． C．2 D．3
填空题
9．如图，已知⊙O中，弦AB、CD交于P，AP＝PB＝4，CP＝2，则CD＝　 　．
10．如图，AB是⊙O的直径，点C、D是AB两侧⊙O上的点，若∠ADC＝54°，则∠CAB＝　 　°．
11．如图，A、D是⊙O上的两点，BC是直径，若∠ADC＝30°，则∠OCA＝　 　．
12．圆的内接四边形中，∠A：∠B：∠C＝2：3：4，则∠D的度数为　 　．
13．如图，AB是⊙O的直径，点C在上，点D在AB上，AC＝AD，OE⊥CD于E．若∠COD＝84°，则∠EOD的度数是　 　．
14．在半径为5的圆内有长为5的弦，则此弦所对圆周角的度数为　 　．
15．如图，在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝55°，以BC为直径作⊙O，分别交AB、AC于点E、F，则的度数为　 　．
16．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB＝AD，若∠ABD＝36°，则∠C的度数是　 　．
17．如图，在半径为R的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D为的中点，AC与BD交于点E，若点E是BD的中点，则AC的长为　 　．
18．如图，AB是半圆O的直径，AB＝4，点C，D在半圆上，OC⊥AB，＝2，点P是OC上的一个动点，则BP+DP的最小值为　 　．
解答题
19．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC＝BD，连接AC．
（1）求证：AB＝AC；
（2）过点D作DE⊥AC，垂足为E．若⊙O的半径为5，∠BAC＝60°，求DE的长．
20．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上不同于A，B的两点，且OC平分∠ACD，延长AC与DB交于点E，过点C作CF⊥OC交DE于点F．
（1）求证：∠A＝∠E．
（2）若BF＝5，，求⊙O的半径．
21．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接AC、BD相交于点E．
（1）如图1，若AC＝BD，求证：AE＝DE；
（2）如图2，若AC⊥BD，连接OC，求证：∠OCD＝∠ACB．
22．如图，AB是⊙O的直径．CD⊥AB于点E，G是BC上任意一点，连接GD交AB于点F，连接AD，AG．
（1）求证：∠ADC＝∠AGD．
（2）若CD＝AG，
①求证：△ADG是等腰三角形．
②连接BG，若BF＝2，BG＝3，求⊙O的半径．
参考答案
1．解：连接OA，OB，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA．
在△OAE与△OBF中，
，
∴△OAE≌△OBF（SAS），
∴OE＝OF，故A选项正确；
∠AOE＝∠BOF，即∠AOC＝∠BOD，
∴＝，故B选项正确；
连接AD．
∵＝，
∴∠BAD＝∠ADC，
∴CD∥AB，故D选项正确；
∵∠BOD＝∠AOC不一定等于∠COD，
∴弧AC＝弧BD不一定等于弧CD，
∴AC＝BD不一定等于CD，
故C选项不正确．
故选：C．
2．解：如图，∵点A是弧CD的中点，
即＝，
∴AC＝AD，
∵CD＜AC+AD，
∴CD＜2AC．
故选：C．
3．解：过B作直径，连接AC交BO于E，
∵点B为的中点，
∴BD⊥AC，
如图①，
∵点D恰在该圆直径的三等分点上，
∴BD＝×2×3＝2，
∴OD＝OB﹣BD＝1，
∵四边形ABCD是菱形，
∴DE＝BD＝1，
∴OE＝2，
连接OC，
∵CE＝＝，
∴边CD＝＝；
如图②，BD＝×2×3＝4，
同理可得，OD＝1，OE＝1，DE＝2，
连接OC，
∵CE＝＝＝2，
∴边CD＝＝＝2，
故选：D．
4．解：A、∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定，∴AB与AD不一定相等，故本选项错误；
B、∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，∴＝，∴BC＝CD，故本选项正确；
C、∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定，∴与不一定相等，故本选项错误；
D、∠BCA与∠DCA的大小关系不确定，故本选项错误．
故选：B．
5．解：过B作直径，连接AC交AO于E，
∵点B为的中点，
∴BD⊥AC，
如图①，
∵点D恰在该圆直径上，D为OB的中点，
∴BD＝×4＝2，
∴OD＝OB﹣BD＝2，
∵四边形ABCD是菱形，
∴DE＝BD＝1，
∴OE＝1+2＝3，
连接OC，
∵CE＝＝＝，
在Rt△DEC中，由勾股定理得：DC＝＝＝2；
如图②，
OD＝2，BD＝4+2＝6，DE＝BD＝3，OE＝3﹣2＝1，
由勾股定理得：CE＝＝＝，
DC＝＝＝2，
故选：C．
6．解：①同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等，错误，是假命题，不符合题意；
②同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，正确，是真命题，符合题意；
③同圆或等圆中，相等的弦的弦心距相等，正确，是真命题，符合题意；
④同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，正确，是真命题，符合题意，
真命题有3个，
故选：C．
7．解：∵弦AC＝BD，
∴，
∴，
∴∠ABD＝∠BAC，
∴AE＝BE；
如图，连接OA，OD，
∵AC⊥BD，AE＝BE，
∴∠ABE＝∠BAE＝45°，
∴∠AOD＝2∠ABE＝90°，
∵OA＝OD，
∴AD＝R，
∵AD＝，
∴R＝1，
故选：A．
8．解：如图，作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OA，OC．
∴AM＝BM＝4，CN＝DN＝4，
∵OA＝OC＝5，
∴OM＝＝＝3，ON＝＝＝3，
∴OM＝ON，
∵AB⊥CD，
∴∠OME＝∠ONE＝∠MEN＝90°，
∴四边形OMEN是矩形，
∵OM＝ON，
∴四边形OMEN是正方形，
∴OE＝OM＝3，
故选：D．
9．解：∵弦AB、CD交于P，
∴PA PB＝PC PD，
∴4×4＝2×PD，
解得，PD＝8，
∴CD＝PC+PD＝10，
故答案为：10．
10．解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠B＝∠ADC＝54°，
∴∠CAB＝90°﹣∠B＝90°﹣54°＝36°．
故答案为36．
11．解：连接AB，如图，
∵BC是直径，
∴∠BAC＝90°，
∵∠B＝∠ADC＝30°，
∴∠ACB＝90°﹣∠B＝90°﹣30°＝60°，
即∠OCA＝60°．
故答案为60．
12．解：设∠A、∠B、∠C分别为2x、3x、4x，
∵四边形ABCD为圆内接四边形，
∴∠A+∠C＝180°，即2x+4x＝180°，
解得，x＝30°，
∴∠B＝3x＝90°，
∴∠D＝180°﹣∠B＝90°，
故答案为：90°．
13．解：如图，∵＝，∠COD＝84°，
∴∠A＝∠COD＝42°．
又∵AC＝AD，
∴∠ADC＝∠ACD＝＝69°．
∵OE⊥CD，
∴∠OED＝90°．
∴∠EOD＝90°﹣69°＝21°．
故答案是：21°．
14．解：如图所示，
∵OD⊥AB，
∴D为AB的中点，即AD＝BD＝，
在Rt△AOD中，OA＝5，AD＝，
∴sin∠AOD＝＝，
又∵∠AOD为锐角，
∴∠AOD＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∴∠ACB＝∠AOB＝60°，
又∵圆内接四边形AEBC对角互补，
∴∠AEB＝120°，
则此弦所对的圆周角为60°或120°．
故答案为60°或120°
15．解：∵∠A＝70°，∠B＝55°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝55°，
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC，
如图，连接OF，
∵OC＝OF，
∴∠C＝∠CFO＝55°，
∴∠COF＝70°，
∴的度数是70°，
故答案为：70°．
16．解：∵AB＝AD，∠ABD＝36°，
∴∠ADB＝∠ABD＝36°，
∴∠A＝180°﹣∠ADB﹣∠ABD＝108°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠C+∠A＝180°，
∴∠C＝180°﹣108°＝72°，
故答案为：72°．
17．解：连接OD，交AC于F，
∵D是的中点，
∴OD⊥AC，AF＝CF，
∴∠DFE＝90°，
∵OA＝OB，AF＝CF，
∴OF＝BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
在△EFD和△ECB中,
,
∴△EFD≌△ECB（AAS），
∴DF＝BC，
∴OF＝DF，
∵OD＝R，
∴OF＝，
∴BC＝，
在Rt△ABC中，AC2＝AB2﹣BC2，
∴AC＝＝＝R，
故选答案为：R．
18．解：如图，连接AD，PA，PD，OD．
∵OC⊥AB，OA＝OB，
∴PA＝PB，∠COB＝90°，
∵＝2，
∴∠DOB＝×90°＝60°，
∵OD＝OB，
∴△OBD是等边三角形，
∴∠ABD＝60°
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD＝AB sin∠ABD＝2，
∵PB+PD＝PA+PD≥AD，
∴PD+PB≥2，
∴PD+PB的最小值为2，
故答案为：2．
19．解：（1）证明：连接AD，如图，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，又BD＝CD
∴AD是BC的垂直平分线，
∴AB＝AC，
（2）∵AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵⊙O的半径为5，
∴AB＝BC＝10，CD＝BC＝5，
又∵∠C＝60°，
∴DE＝CD sin60°＝．
20．（1）证明：由题意∠ACO＝∠A＝∠D．
∵OC平分∠ACD，
∴∠ACO＝∠OCD，
∴∠OCD＝∠D．
∴OC∥DE，
∴∠E＝∠ACO，
∴∠E＝∠A．
（2）解：∵，
∴设BD＝3x，OB＝4x，
由（1）得∠E＝∠A＝∠CDE，OC∥DE．
∵CF⊥OC，
∴CF⊥DE，
∴EF＝DF＝3x+5．
∴BE＝3x+10，
∵∠E＝∠A，
∴AB＝BE，即3x+10＝8x，
解得x＝2
∴半径OB＝4x＝8．
21．证明：（1）∵AC＝BD，
∴＝，
即+＝+，
∴＝，
∴∠ADB＝∠CAD，
∴AE＝DE；
（2）作直径CF，连接DF，如图2，
∵AC⊥BD，
∴∠AED＝90°，
∴∠ADE+∠CAD＝90°，
∵∠ACB＝∠ADE，∠F＝∠CAD，
∴∠ACB+∠F＝90°，
∵CF为直径，
∴∠CDF＝90°，
∴∠F+∠FCD＝90°，
∴∠ACB＝∠FCD，
即∠OCD＝∠ACB．
22．解：（1）连接AC，如图，
∴∠ACD＝∠AGD，
∵CD⊥AE，
∴AC＝AD，
∴△ACD是等腰三角形，
∴∠ACD＝∠ADC，
∴∠ADC＝∠AGD．
（2）①∵CD＝AG，
∠CAD＝∠ADG
∵∠ACD＝∠ADC＝∠AGD
在△ACD和△AGD中，
∴△ACD≌△AGD（ASA）
∴由（1）得△ACD是等腰三角形，
∴△ADG是等腰三角形．
②连接DO、GO，设⊙O的半径为r，
∵AD＝DG，DO＝DO，OA＝OG，
∴△AOD≌△GOD（SSS），
∴∠ADO＝∠GDO，
∴OD⊥AG，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AGB＝90°，即BG⊥AG，
∴OD∥BG，
∴△BGF∽△ODF，
∴，即，
∴r＝6，即⊙O的半径为6．