2021-2022学年冀教版九年级数学上册第28章圆优生辅导测评（Word版 含答案）

2021-2022学年冀教版九年级数学上册《第28章圆》优生辅导测评（附答案）
一．选择题（共10小题，满分40分）
1．如图，一个小圆沿着一个五边形的边滚动，如果五边形的各边长都和小圆的周长相等，那么当小圆滚动到原来位置时，小圆自身滚动的圈数是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．10
2．如图，⊙O的半径OA＝6，以A为圆心，OA为半径的弧交⊙O于B、C点，则BC＝（　　）
A． B． C． D．
3．如图，圆弧形桥拱的跨度AB＝12米，拱高CD＝4米，则拱桥的半径为（　　）
A．6.5米 B．9米 C．13米 D．15米
4．如图，在三个等圆上各有一条劣弧：弧AB、弧CD、弧EF，如果+＝，那么AB+CD与EF的大小关系是（　　）
A．AB+CD＝EF B．AB+CD＜EF
C．AB+CD＞EF D．大小关系不确定
5．如图，AB是半圆的直径，点C是弧AB的中点，点E是弧AC的中点，连接EB，CA交于点F，则＝（　　）
A． B． C．1﹣ D．
6．如图，六边形ABCDEF是正六边形，曲线FK1K2K3K4K5K6K7…叫做“正六边形的渐开线”，其中，，，，，，…的圆心依次按点A，B，C，D，E，F循环，其弧长分别记为l1，l2，l3，l4，l5，l6，…．当AB＝1时，l2021等于（　　）
A． B． C． D．
7．如图，已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，CD⊥AB于D，AD＝9，BD＝4，以C为圆心，CD为半径的圆与⊙O相交于P，Q两点，弦PQ交CD于E，则PE EQ的值是（　　）
A．24 B．9 C．6 D．27
8．如图，设AD，BE，CF为三角形ABC的三条高，若AB＝6，BC＝5，EF＝3，则线段BE的长为（　　）
A． B．4 C． D．
9．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程x2﹣7x+12＝0的两个实数根，则该直角三角形外接圆的半径长为（　　）
A．3 B．4 C．6 D．2.5
10．若将直尺的0cm刻度线与半径为5cm的量角器的0°线对齐，并让量角器沿直尺的边缘无滑动地滚动（如图），则直尺上的10cm刻度线对应量角器上的度数约为（　　）
A．90° B．115° C．125° D．180°
二．填空题（共5小题，满分30分）
11．如图，平面直角坐标系xOy中，M点的坐标为（3，0），⊙M的半径为2，过M点的直线与⊙M的交点分别为A，B，则△AOB的面积的最大值为　 　，此时A，B两点所在直线与x轴的夹角等于　 　°．
12．如图，AB为⊙O的直径，其长度为2cm，点C为半圆弧的中点，若⊙O的另一条弦AD长等于，∠CAD的度数为　 　．
13．如图所示，一根水平放置的圆柱形输水管道横截面，其中有水部分水面宽0.8米，最深处水深0.2米，则此输水管道的直径是　 　．
14．如图，⊙O的半径为1cm，弦AB、CD的长度分别为cm，1cm，则弦AC、BD所夹的锐角α＝　 　度．
15．如图，已知A、B两点的坐标分别为（，0）、（0，2），P是△AOB外接圆上的一点，且∠AOP＝45°，则点P的坐标为 　 　．
三．解答题（共5小题，满分50分）
16．如图，⊙O的半径均为R．
（1）请在图①中画出弦AB，CD，使图①为轴对称图形而不是中心对称图形；请在图②中画出弦AB，CD，使图②仍为中心对称图形；
（2）如图③，在⊙O中，AB＝CD＝m（0＜m＜2R），且AB与CD交于点E，夹角为锐角α．求四边形ACBD的面积（用含m，α的式子表示）；
（3）若线段AB，CD是⊙O的两条弦，且AB＝CD＝R，你认为在以点A，B，C，D为顶点的四边形中，是否存在面积最大的四边形？请利用图④说明理由．
17．已知A，B，C，D是⊙O上的四个点．
（1）如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证：AC⊥BD；
（2）如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径．
18．一辆装满货物的卡车，高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图所示的某工厂，问这辆卡车能否通过厂门（厂门上方为半圆形拱门）？说明你的理由．
19．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝6，AC＝4，D是AB边上一点，P是优弧BAC的中点，连接PA、PB、PC、PD．
（1）当BD的长度为多少时，△PAD是以AD为底边的等腰三角形？并证明；
（2）在（1）的条件下，若cos∠PCB＝，求PA的长．
20．已知：如图，在半径为2的半圆O中，半径OA垂直于直径BC，点E与点F分别在弦AB、AC上滑动并保持AE＝CF，但点F不与A、C重合，点E不与A、B重合．
（1）求四边形AEOF的面积．
（2）设AE＝x，S△OEF＝y，写出y与x之间的函数关系式，求x的取值范围．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分40分）
1．解：因为五边形的各边长都和小圆的周长相等，所以小圆在每一边上滚动正好一周，在五条边上共滚动了5周．由于每次小圆从五边形的一边滚动到另一边时，都会翻转72°，所以小圆在五个角处共滚动一周．因此，总共是滚动了6周．
故选：C．
2．解：设OA与BC相交于D点．
∵AB＝OA＝OB＝6
∴△OAB是等边三角形．
又根据垂径定理可得，OA平分BC，
利用勾股定理可得BD＝＝3
所以BC＝6．
故选：A．
3．解：根据垂径定理的推论，知此圆的圆心在CD所在的直线上，设圆心是O
连接OA．根据垂径定理，得AD＝6（米），
设圆的半径是r，根据勾股定理，得r2＝36+（r﹣4）2，解得r＝6.5
故选：A．
4．解：如图，在弧EF上取一点M使弧EM＝弧CD，
则弧FM＝弧AB，
∴AB＝FM，CD＝EM，
在△MEF中，FM+EM＞EF，
∴AB+CD＞EF．
故选：C．
5．解：方法1：连接AE、CE．作AD∥CE，交BE于D．
∵点E是弧AC的中点，
∴可设AE＝CE＝1，
根据平行线的性质得∠ADE＝∠CED＝45°．
∴△ADE是等腰直角三角形，
则AD＝，BD＝AD＝．
所以BE＝+1．
再根据两角对应相等得△AEF∽△BEA，
则EF＝＝﹣1，BF＝2．
所以＝．
方法2：过点C作CO⊥AB于点O，
∵AB是半圆的直径，点C是弧AB的中点，
∴点O是圆心．
连接OE，BC，OE与AC交于点M，
∵E为弧AC的中点，
易证OE⊥AC，
∵∠ACB＝90°，∠AOE＝45°，
∴OE∥BC，
设OM＝1，则AM＝1，
∴AC＝BC＝2，OA＝，
∴OE＝，
∴EM＝﹣1，
∵OE∥BC，
∴＝＝．
故选：D．
6．解：根据题意得：L1＝＝，
L2＝＝，
L3＝＝＝π，
L4＝＝，
按照这种规律可以得到：Ln＝，
∴L2021＝．
故选：C．
7．解：延长DC交⊙C于M，延长CD交⊙O于N．
∵CD2＝AD DB，AD＝9，BD＝4，
∴CD＝6．
在⊙O、⊙C中，由相交弦定理可知，PE EQ＝DE EM＝CE EN，
设CE＝x，则DE＝6﹣x，EN＝6﹣x+6
则（6﹣x）（x+6）＝x（6﹣x+6），
解得x＝3．
所以，CE＝3，DE＝6﹣3＝3，EM＝6+3＝9．
所以PE EQ＝3×9＝27．
故选：D．
8．解：∵AD，BE，CF为△ABC的三条高，易知B，C，E，F四点共圆
∴△AEF∽△ABC
∴，即cos∠BAC＝
∴sin∠BAC＝
∴在Rt△ABE中，BE＝AB sin∠BAC＝6＝．
故选：D．
9．解：x2﹣7x+12＝0，
（x﹣3）（x﹣4）＝0，
解得x＝3，x＝4；
所以直角三角形的两条直角边为：3、4，
由勾股定理得：斜边长＝＝5；
所以直角三角形的外接圆半径长为2.5，
故选：D．
10．解：本题中弧长应该是10cm，
根据半径为5cm，那么5×π×n÷180＝10，
那么圆心角n≈115°．
故选：B．
二．填空题（共5小题，满分30分）
11．解：∵AB为⊙M的直径，
∴AB＝4，
当O点到AB的距离最大时，△AOB的面积的最大值，即AB⊥x轴于M点，
而O点到AB的距离最大为OM的长，
∴△AOB的面积的最大值＝×4×3＝6，
∠AMO＝90°，即此时A，B两点所在直线与x轴的夹角等于90°．
故答案为6，90．
12．解：根据直径所对的圆周角是直角，得Rt△ABC和Rt△ABD，
根据锐角三角函数，求得∠BAC＝45°，∠BAD＝30°，
①当AC和AD在直径AB的同侧时，∠CAD＝45°﹣30°＝15°；
②当AC和AD在直径AB的两侧时，∠CAD＝45°+30°＝75°．
因此，∠CAD的度数为15°或75°．
13．解：设⊙O的半径是R，过点O作OD⊥AB于点D，交⊙O于点C，连接OA，
∵AB＝0.8m，OD⊥AB，
∴AD＝＝0.4m，
∵CD＝0.2m，
∴OD＝R﹣CD＝R﹣0.2，
在Rt△OAD中，
OD2+AD2＝OA2，即（R﹣0.2）2+0.42＝R2，解得R＝0.5m．
∴2R＝2×0.5＝1米．
故答案为：1米．
14．解：连接OA、OB、OC、OD，
∵OA＝OB＝OC＝OD＝1，AB＝，CD＝1，
∴OA2+OB2＝AB2，
∴△AOB是等腰直角三角形，
△COD是等边三角形，
∴∠OAB＝∠OBA＝45°，∠ODC＝∠OCD＝60°，
∵∠CDB＝∠CAB，∠ODB＝∠OBD，
∴α＝180°﹣∠CAB﹣∠OBA﹣∠OBD＝180°﹣∠OBA﹣（∠CDB+∠ODB）＝180°﹣45°﹣60°＝75°．
15．解：∵OB＝2，OA＝2，
∴AB＝＝4，
∵∠AOP＝45°，
∴P点横纵坐标相等，可设为a，即P（a，a），
∵∠AOB＝90°，
∴AB是直径，
∴Rt△AOB外接圆的圆心为AB中点，坐标C（，1），
可得P点在圆上，P点到圆心的距离为圆的半径2，
过点C作CF∥OA，过点P作PE⊥OA于E交CF于F，
∴∠CFP＝90°，
∴PF＝a﹣1，CF＝a﹣，PC＝2，
∴在Rt△PCF中，利用勾股定理得：（a﹣）2+（a﹣1）2＝22，
舍去不合适的根，可得：a＝1+，
则P点坐标为（+1，+1）．
∵P与P′关于圆心（，1）对称，
∴P′（﹣1，1﹣）．
故答案为：（+1，+1）或（﹣1，1﹣）
三．解答题（共5小题，满分50分）
16．解：（1）答案不唯一，如图①、②
（2）过点A，B分别作CD的垂线，垂足分别为M，N，
∵S△ACD＝CD AM＝CD AE sinα，S△BCD＝CD BN＝CD BE sinα，
∴S四边形ACBD＝S△ACD+S△BCD＝CD AE sinα+CD BE sinα
＝CD （AE+BE）sinα＝CD AB sinα＝m2 sinα．
（3）存在．分两种情况说明如下：
①当AB与CD相交时，由（2）及AB＝CD＝知S四边形ACBD＝AB CD sinα＝R2sinα，
②当AB与CD不相交时，如图④．
∵AB＝CD＝，OC＝OD＝OA＝OB＝R，
∴∠AOB＝∠COD＝90°．
而S四边形ABCD＝SRt△AOB+SRt△OCD+S△AOD+S△BOC＝R2+S△AOD+S△BOC
延长BO交⊙O于点E，连接EC，
则∠1+∠3＝∠2+∠3＝90°．
∴∠1＝∠2．
∴△AOD≌△COE．
∴S△AOD＝S△OCE
∴S△AOD+S△BOC＝S△OCE+S△BOC＝S△BCE
过点C作CH⊥BE，垂足为H，
则S△BCE＝BE CH＝R CH．
∴当CH＝R时，S△BCE取最大值R2
综合①、②可知，当∠1＝∠2＝90°．
即四边形ABCD是边长为的正方形时，S四边形ABCD＝R2+R2＝2R2为最大值．
17．解：（1）∵∠ADC＝∠BCD＝90°，
∴AC、BD是⊙O的直径，
∴∠DAB＝∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∵AD＝CD，
∴四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD；
（2）连接DO，延长交圆O于F，连接CF、BF．
∵DF是直径，
∴∠DCF＝∠DBF＝90°，
∴FB⊥DB，
又∵AC⊥BD，
∴BF∥AC，∠BDC+∠ACD＝90°，
∵∠FCA+∠ACD＝90°
∴∠BDC＝∠FCA＝∠BAC
∴四边形ACFB是等腰梯形，
∴CF＝AB．
根据勾股定理，得
CF2+DC2＝AB2+DC2＝DF2＝20，
∴DF＝，
∴OD＝，即⊙O的半径为．
18．解：这辆卡车能通过厂门．理由如下：
如图M，N为卡车的宽度，过M，N作AB的垂线交半圆于C，D，过O作OE⊥CD，E为垂足，
则CD＝MN＝1.6m，AB＝2m，
由作法得，CE＝DE＝0.8m，
又∵OC＝OA＝1m，
在Rt△OCE中，OE＝＝＝0.6（m），
∴CM＝2.3+0.6＝2.9m＞2.5m．
所以这辆卡车能通过厂门．
19．解：（1）当BD＝AC＝4时，△PAD是以AD为底边的等腰三角形．
∵P是优弧BAC的中点，
∴＝．
∴PB＝PC．
又∵∠PBD＝∠PCA（圆周角定理），
∴当BD＝AC＝4，△PBD≌△PCA．
∴PA＝PD，即△PAD是以AD为底边的等腰三角形．
（2）过点P作PE⊥AD于E，
由（1）可知，
当BD＝4时，PD＝PA，AD＝AB﹣BD＝6﹣4＝2，
则AE＝AD＝1．
∵∠PCB＝∠PAD（在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等），
∴cos∠PAD＝cos∠PCB＝，
∴PA＝．
20．解：（1）∵BC为半圆O的直径，OA为半径，且OA⊥BC，
∴∠B＝∠OAF＝45°，OA＝OB，
又∵AE＝CF，AB＝AC，
∴BE＝AF，
∴△BOE≌△AOF
∴S四边形AEOF＝S△AOB＝OB OA＝2．
（2）∵BC为半圆O的直径，
∴∠BAC＝90°，且AB＝AC＝2，
y＝S△OEF＝S四边形AEOF﹣S△AEF＝2﹣AE AF＝2﹣x（2﹣x）
∴y＝x2﹣x+2（0＜x＜2）．