怀仁市 2021—2022 学年度上学期期中 x2 9 0
高一教学质量调研测试 C. f (x) ， g(x) x 3 D. f (x) 1， g(x) (x 1)x 3
数学 II卷
8. 我们从这个商标 中抽象出一个图象如右下图，其对应函数可能是
（考试时间 120分钟，满分 150分）
一．选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分。在每小题给出的四个选项中， 1 1A. f (x)
x2
B. f (x)
1 x2 1
只有一项是符合要求的
1 1 1．若集合 X＝{x|x>－1}，下列关系式中成立的为 C. f (x) D. f (x)
A．0 X B．{0}∈X C. X D．{0} X | x 1 | || x | 1 |
2.命题“ x R,都有x 2 x 1 0”的否定是
9. 若函数 f (x) ax 2 2x 3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围
A.不存在 x R, x 2 x 1 0 B. x0 R, x
2
0 x0 1 0
为
C. x R, x 20 x0 1 0 D. x R, x
2 x 1 0 1 1 1 1
A.[－ ，0] B.[－ ，0) C. (－ ，＋∞) D.[－ ，＋∞)
4 4 4 4
3. 下列函数中，既是偶函数，又是在区间 (0, )上单调递减的函数为 10．如右下图，梯形 ABCD中，AB / /CD，AB 2CD，M 是 BC中点，若 AB a，AD b
1
A. y = x-2 B. y x 1 C. y = x2 D. y x3 且 AB 2 2 ， AD 1， DAB ，则 AM 4
2 x 2
4.函数 y 的定义域为 19 5A 131 x ． B． C． D．22 2 2
A. - 2，2 B. - 2，2 C. - 2，0 0，2 D. - 2，-1 -1，1 1，2
11．已知偶函数 f (x)的图象经过点 ( 1, 3)，且当0 a b时，不等式
5.向量 a 2, x ,b 2,1 ，且 a / /b，则 x ( f (b) f (a))(b a) 0恒成立，则使得 f (x 2) 3 0成立的 x取值范围为
A．-1 B．1 C．7 D．0
A． (3, ) B． (1,3) C． ( ,1) (3, ) D．[1,3]
6. 下列命题中，真命题是
12. 符号 [x]表示不超过 x的最大整数，如[2.1] 2，[ ] 3，[ 1.2] 2，定义函数
A. x R, 2x x 2 B. x R,ex 0
x x [x]，以下结论正确的是
C. 若 a b,c d ，则 a c b d ； D. ac2 bc2 是 a b的充分不必要条件
①. 函数 x 的定义域是 R，值域为[0,1) x 1②. 方程 有无数个解
7. f (x)与 g(x) 2表示同一函数的是
③. 函数 x 是奇函数 ④. 函数 x 是增函数.
2 x
A. f (x) x g(x) x2 B. f (x)
( x )
， g(x)
x ( x )2 A.①② B.②③ C. ①②③ D. ②③④
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二．填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分
x 6, x 0
20．（本小题 12分）已知函数 f (x) ．
13. 已知向量 a (2,1),b (3, 1)．则向量 a与b的夹角为 。 x
2 2x 2, x 0
14.已知 x 1，则 4x 1 的最小值为 。 （1）求不等式 f (x) 5的解集；
x 1
15. 已知向量 a (2, 3),b (1, 3),c (1, )，若 (a 2b) c，则 ______。
g(x) f (x) m
2
（2）若函数 有三个零点，求实数m的取值范围．
2
16．在下列命题中，正确的命题有________．(填写正确的序号)
2
4 ax b 1 x 32
①若 x R，则 x 9 2 21. （本小题 12分）已知 ．2 的最小值是 6
y x 1
；
x 9 x 1
（1）当 a 1，b 2时，求 y的取值范围；
1 1
②如果不等式 ax 2 bx 2 0的解集是 , ，那么 a b 10恒成立；
2 3 （2）当 a 0，b R时，求 y 1时 x的取值集合．
③设 x， y 0, ，且 x y 1，则 x2 y2 3 xy的最小值是 ； 22.（本小题 12 分） 为摆脱美国政府针对中国高科技企业的封锁，加强自主性，某企业
4
④已知两非零向量b 与a的夹角为120 ，且 a 2，2a b 4 3，则 b 4； 计划加大对芯片研发部的投入.据了解，该企业研发部原有 100 名技术人员，年人均投入 a
三、解答题：共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
万元，现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员 x名( x N且
17．（本小题 10分）已知二次函数 f (x) x2 4x 3，非空集合 A {x | 0 x a}．
（1）当 x A时，二次函数的最小值为 1，最大值为 3求实数a
45 x 75 )，调整后研发人员的年人均投入增加 4x %，技术人员的年人均投入调整
的取值范围；
（2）当 时，求二次函数 f (x) x2 4x 3的最值以及取到最值时 x的取值． a m 2x 为 万元.
在①a 1，②a 4，③a 5 25，这三个条件中任选一个补充在（2）问中的横线上，并
求解．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．）
（1）要使这100 x名研发人员的年总投入不低于调整前 100 名技术人员的年总投入，
18．（本小题 12分）已知集合 A x1 x 3}，集合 B {x | 2m x 1 m}．
求调整后的技术人员的人数最多多少人？
（1）当m 1时，求 A B； R A B ; （2）是否存在这样的实数 m，使得技术人员在已知范围内调整后，同时满足以下两个条
（2）若“ x B”是“ x A”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
mx 1 件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的
19.（本小题 12 分）已知函数 f (x) 2 是定义在 R上的偶函数.1 x
（1）求实数m的值； 年总投入.若存在，求出 m 的范围；若不存在，说明理由.
（2）判断并用定义法证明函数 y f (x)在 0, 上的单调性.
高一年级调研测试·数学II卷 第3页 共 4 页 高一年级调研测试·数学II卷 第4页 共 4页2021 上学期期中高一教学质量调研测试 数学 II卷答案 18.（本小题 12分）【解析】
一．选择题（60分） （1）当m 1时， A {x |1 x 3}， B {x | 2 x 2}．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
A B {x |1 x 3} {x 2 x 2} {x | 2 x 3}；
答案 D B A D A D B D A B C A
R A B x x 1或x 3} {x 2 x 2} {x 2 x 1} ............................6分
二．填空题（20分）
4 （2）若“ x B”是“ x A”的必要不充分条件，
13.45° 14. 8 15. 16. ②③④．
9
则 A B A {x |1 x 3}，集合 B {x | 2m x 1 m}，
三．简答题（共 70分）
17.（本小题 10分）【解析】（1）作出二次函数 f (x) x2 4x 3 (x 2)2 1的图 2m 1 ，解得m 2． 实数m的取值范围是 ( ， 2）．.................................12分
1 m 3
象如图所示，
19.（本小题 12 分）【解析】
mx 1
（1）因为函数 f (x) 2 是R上的偶函数，1 x
m ( x) 1 mx 1
所以 f ( x) f (x) ，即 x1 ( x) 2 1 x2 对任意实数 恒成立，
当0 x a，二次函数的最小值为 1，最大值为 3，则a的取值范围为 2 a 4 .....5分． 所以m ( x) 1 mx 1即 2mx 0对任意实数 x恒成立，
（2）选择方案①， 所以m 0；.............................................................................................................................6 分
1 0,
由图像可知，当a 1时， f (x) f (0) 3，此时 x 0， （2）由（1）得 f (x) 2 ，此函数在 上为减函数，max 1 x
f (x)min f (1) 0，此时 x 1．.................................................................................10分 证明：任取 x1, x2 (0, )，且 x1 x2，
选择方案②， f x f x 1 1 x
2 x2 x x x x
则 1 2
2 1 2 1 2 1
1 x21 1 x
2
2 1 x2 2 21 1 x2 1 x1 1 x2 . 2
当a 4时， f (x)max f (0) f (4) 3，此时 x 0或 x 4，
因为 x1, x2 (0, )
2 2
，且 x1 x2，所以 1 x1 1 x2 0， x2 x1 0， x2 x1 0，
f (x)min f (2) 1，此时 x 2．..............................................................................10分
所以 f x1 f x2 0，即 f x1 f x2 ，
选择方案③，
1
当a 5时， f (x)max f (5) 8 0, ，此时 x 5， 所以函数 f (x) 2 在 上为减函数.....................................................................12 分1 x
f (x) f (2) 1 x 2 20.（本小题 12分）【解析】（1）当 x 0时，由 x 6 5，得 1 x 0；min ，此时 ................................................................................．10分
当 x 0 2时，由 x 2x 2 5，得 x 3，
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综上所述，不等式的解集为 ( 1,0] (3, ) ......................................................................5分． (b 1)x 3 bx 2 (bx 2)(x 1) 0
（2）当 a 0时， y 1，即 0， ，
x 1 x 1 x 1 0
m 2 m2
（2）函数 g(x) f (x) 有三个零点，即方程 f (x) 0有三个不同实数根，
2 2 ①当b 0时，解集为{x | x 1}；
m2 ②当 b 0时，解集为{x | x 1 x
2
或 }；
等价于函数 y f (x)与函数 y 的图像有三个不同的交点，如图所示， b
2 2
③当 1，即b 2，解集为 ；
m2
b
由图可知，1 2，解得 2 m 2或 2 m 2， 2 2
2 ④当 1，即0 b 2
时，解集为 x |1 x b
；
b
2 2
所以实数m的取值范围为 ( 2, 2) ( 2, 2) ．...........................................................12分 ⑤当0 1，即b 2时，解集为 x | x 1 ；.......................12 分
b b
22.（本小题 12 分）
【解析】（1）依题意可得调整后研发人员的人均投入为 1 （4x）％ a万元，则
100 - x 1 (4x)％ a 100a(a 0)，解得0 x 75，因为 45 x 75所以调整后的
技术人员的人数最多 75人。..................................................................................................4分
21.（本小题 12分） 【解析】
2x 2x2
（2）①由技术人员年人均投入不减少有
a m a，解得m 1，
（1） 当 a 1 b 2 y x 3x 3 1 ， 时， x 1 5， (x 1)， 25 25
x 1 x 1
当 x 1时，即 x 1 0， y x 1 1 5 2 (x 1) 1 5 2 5 7， ②由研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入有
x 1 x 1
100 - x 1 (4x) a 2x 100 x1 ％ x m a, (a 0)整理得m 3故有
当且仅当 x 1 ，即 x 2时取等号； 25 x 25
x 1
当 x 1时， x 1 0 2x 1 m 100 x 3 100 x 100 x， ，因为 3 2 3 7当且仅当 x 50
25 x 25 x 25 x 25
y x 1 1 5 5 1 1 2x (x 1) 2 (1 x) 5 2 5 3， 时等号成立所以m 7。又因为 45 x 75，当 x 75时， 1取的最大值 7，所以x 1 x 1 1 x 25
1 m 7，所以7 m 7，所以m 7，即存在这样m的满足条件。...........................12分
当且仅当 (x 1) ，即 x 0时取等号；
x 1
所以 y的取值范围为 y 3或 y 7 ...............................................................................6分
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