怀仁市 202 1—202 2 学年度上学期中 7.已知直线 x+y﹣1＝0 与直线 2 x+my+3＝0 平行，则它们之间的距离是
高二教学质量调研测试 3 5 3A． B．1 C． D．
4 4 2
理科数学 8．如图在平行六面体 ABCD A1B1C1D1 中，底面 ABCD是边长为 1 的正方形，侧棱
AA1 2且 A1AD A1AB 60 ，则 AC1
（考试时间 120 分钟，满分 150 分）
A．2 2 B． 10
一．选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合要求的 C． 2 3 D． 14
1．过两点 A(0, y)，B(2 3, 3)的直线的倾斜角为 60°，则 y的值为 9．已知圆 x2 y2 6x 0 ，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为
A．﹣9 B．﹣3 C．5 D．6 A．1 B．2 C．3 D．4
2．过点 M（2，﹣3）且与直线 x+2y﹣9＝0 垂直的直线方程是 x 2
10.已知 F ,F 是双曲线C： y 2 1的左右焦点，过F 的直线 l与曲线C的右支交于
A．2x-y+8＝0 B．2x-y-7＝0 C．x+2y+4＝0 D．x+2y 1 2 2﹣1＝0 2
3.已知圆的方程为 x2+y2﹣4x﹣1＝0 则下列选项不正确的是 A,B两点，则 AF1 B的周长的最小值为
A．关于点（2,0）对称 B．关于直线 y＝0 对称
A. 4 2 B. 5 2 C. 6 2 D. 7 2
C．关于直线 x+3y﹣2＝0 对称 D．关于直线 x﹣y+2＝0 对称
2 2
4.如果向量 a 2, 1,3 ， b 1,4,2 ， c 1, 1,m 共面，则实数m的值是 11 x y．已知椭圆C : 1 (a b 0) ，直线 y x与椭圆相交于 A， B两点，若椭
a2 b2
A. 1 B. 1 C. 5 D. 5
1
1 圆上存在异于 A， B两点的点 P使得 kPA kPB ,0 ，则离心率 e的取值范围为5.若平面 ∥ ，且平面 的一个法向量为 n 2,1, ，则平面 的法向量可以是 3
2
2 2 6 6
1 1 1 A． 0, B． ,1 C． 0, D． ,1
A． 1, ,2 4
B． (2, 1,0) C． (1,2,0) D． ,1, 2 3 3 3 3
2
x2 y2
y2 x2 12．已知
F1,F2 是双曲线4 E : 2 2 1(a 0,b 0)的左、右焦点，0 是坐标原点，过
F2作
6．设双曲线C : 2 2 1(a 0,b 0) 的实轴长为 8，一条渐近线为 y x，则双曲线的
a b
a b 3
E 的一条渐近线的垂线，垂足为P .若 PF1 6 OP .则双曲线的离心率为
方程为
x2 y2 y2 x2 x2 y2 2 2 A. 2 B. 3 C. 2 D. 5
A． 1 B． 1 C． 1 D y x． 1
64 36 36 64 9 16 16 9
高二年级调研测试·数学 ·理科· 第1页 共 4 页 高二年级调研测试·数学 ·理科· 第2页 共 4页
二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 19.（本小题 12 分）如右下图，已知 PA 平面 ABCD，底面 ABCD为正方形，
13. 已知直线 l的方向向量为m (1, 2, 1)，若点 p( 1,1, 1) 为直线 l外一点，A(4,1, 2) , PA AD AB 2 ，M ,N分别为 AB,PC的中点．
为直线 l上一点，则 P到直线 l的距离为___________。
（1）求证：MN 平面 PCD；
2 2
14. x y若方程 1所表示的曲线为C，给出下列命题： （2）求 PD与平面PMC所成角的正弦值．4 t t 1
20.（本小题 12 分）已知圆C的圆心在直线 x 2 y 0上，且与 y轴相切于点(0,1) .
①若C为椭圆，则实数 t的取值范围为 1,4 ； ② 若C为双曲线，则实数 t的取
（Ⅰ）求圆C的方程；
值范围为 - ，1 4， ； ③ 曲线C不可能是圆； ④若C为椭圆，且长轴在 x
（Ⅱ）若圆C与直线 l： x y m 0 交于A ， B两点，_____________，求m的值.
从下列两个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：条件①： ACB 120 ；条件②：
轴上，则实数 t 5 的取值范围为 1， ；
2
AB 2 3 .注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.
其中真命题的序号为 （把所有正确命题的序号都填在横线上）
21. (本小题 12 分)如图，直三棱柱 ABC A1B1C1 中，点D是棱 B1C1 的中点.
15．若中心在原点，焦点坐标为（0，±5 2 ）的椭圆被直线 3x﹣y﹣2＝0 截得的弦的中
1 （Ⅰ）求证： AC1 / / 平面 A1BD；
点的横坐标为 ，则椭圆方程为 .
2
（Ⅱ）若 AB AC 2 ，BC BB1 2，在棱 AC 上是否
16．已知点 A(m, m 6)， B(m 2, m 8)，若圆C : x2 y2 4x 4y 10 0上存在不同的
存在点M ，使二面角 B A1D M 的大小为 45 ，若存在，
两点 P，Q，使得PA PB，且QA QB，则m的取值范围是________．
AM
三．解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 求出 的值；若不存在，说明理由.
AC
17.（本小题 10 分）（1）已知椭圆 C的两焦点分别为 F1( 3,0),F2 ( 3,0)，且经过点
2
1 22．（本小题 12 分）已知定圆 A : x 3 y 2 16 ,动圆M 过点 B 3,0 ,且和圆 AP 3, ，求椭圆 C的标准方程.
2 相切．
2 2
（2 x y）求与双曲线 1有相同渐近线，且右焦点为 ( 5,0) 的双曲线方程. （1）求动圆圆心M 的轨迹 E的方程；
4 6
18．（本小题 12 分）已知直线 l经过点 P 2, 3 ． （2）设不垂直于 x轴的直线 l与轨迹 交于不同的两点 P、Q，点 N(4,0)．若 P、Q、
（1）若原点到直线 l的距离为 2，求直线 l的方程； N 三点不共线,且 ONP ONQ．证明：动直线 PQ经过定点．
（2）若直线 l被两条相交直线 2x y 2 0和 x y 1 0 所截得的线段恰被点 P平
分，求直线 l的方程．
高二年级调研测试·数学 ·理科· 第3页 共 4 页 高二年级调研测试·数学 ·理科· 第4页 共 4页2021-2022学年上学期期中高二数学理科答案 (2)设直线 l与直线2x y 2 0交于点 A x1, y1 ，与直线 x y 1 0交于点
一．选择题（60分） B x2 , y2
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
因 AB被点 P平分，即 x1 x2 4， y1 y2 6，则 x2 4 x1， y2 6 y1，
答案 A B D B A D C B B C D B
二．填空题（20分） 2x1 y1 2 0 2x1 y1 2
因 ，则 ，解得 x 3， y 8，
x2 y2 1 0
x
1 1
1 y1 11
13. x
2 y2
17 14. ②④ 15. 1 16. 2 7, 2 7
25 75 即 A( 3, 8) k
8 ( 3)
，直线 l的斜率是 5，直线 l 方程为 y ( 3) 5[x ( 2)]，
3 ( 2)
三．解答题（本大题共 70分）
即 y 5x 7， 所以直线 l的方程为： y 5x 7 ...........................12 分
2 2
17. x y（本小题 10分）【解析】：（1）设椭圆 C的标准方程为 2 2 1(a b 0)a b 19.（本小题 12分）【解析】（1）以A为原点建立如图所示空间直角坐标系，则
则2a PF1 PF2 ( 3 3)2
1
( 3 3)2 1 7 1 4 M 1,0,0 ,P 0,0,2 ,C 2,2,0 ,N 1,1,1 ,D 0,2,0 .
4 4 2 2
x2 a 2又 c 3 b2 a2 c2 4 3 1 椭圆 C的标准方程为 y2 1...................5分 MN 0,1,1 ,PC 2,2, 2 ,PD 0,2, 2 ，
4
x2 y2
（2）设双曲线的方程为 1（ 0且 1）， M N4 6
P C 2 2 0，所以MN PC,MN PD ,
MN PD 2 2 01
因为焦点为 ( 5,0)，因此 0，则 4 6 5
2 由于 PC PD P，所以MN 平面 PCD ...................6分
x2 y2 所求双曲线的方程为 1 ....................................................................................10分
2 3 （2）PD 0,2, 2 ，
18．（本小题 12分）【解析】(1)当直线 l的斜率不存在时，直线 l方程为 x 2，满足
原点到直线 l的距离为 2， MP 1,0,2 ,MC 1,2,0 ，
当直线 l斜率存在时，设直线 l方程为 y 3 k x 2 ，即 kx y 2k 3 0，
设平面PMC的法向量为 n x, y, z ，则
2k 3 5 n
于是得 2， 解得 k ， MP x 2z 0
k 2 1 12 ，令 z 1，则 x 2, y 1，所以 n 2, 1,1 . n MC x 2y 0
5 5 13
l 设直线 与平面 所成角为 ，则直线 的方程为 y 3 x 2 ，即 y x ， PD PMC
12 12 6
n PD 4 3
5 13 所以 sin .............................................................12分
综上，直线 l的方程为 x 2或 y x ；........................6 分 n PD 6 2 2 3
12 6
高二年级调研测试·数学 ·理科· 第1页 共 5 页 高二年级调研测试·数学 ·理科· 第2页 共 5页
20.（本小题 12分）【解析】（Ⅰ）设圆心坐标为C a,b ，半径为 r . 设平面 BA1D
的法向量为 n x1, y1, z1 ，
由圆C的圆心在直线 x 2 y 0上，知： a 2b . n BA1 2x1 2z1 0
则
又∵圆C与 y轴相切于点(0,1)，∴b 1， a 2，则 r a 0 2 . n
AD
2
x 2 y 0
1 2 1 2 1
C 2,1 C 2 2∴圆 的圆心坐标为 ，则圆 的方程为 x 2 y 1 4 ....................6 分
∴取平面 BA1D的一个法向量 n 2, 2,1 .
（Ⅱ）如果选择条件①： ACB 120 ，而 CA CB 2， ADM m 设平面 1 的法向量为 x2 , y2 , z2 ，
2 1 m
∴圆心C到直线 l的距离 d 1，则 d 1，解得m 2 1或 2 1.....12 分 m A1M ay2 2z 2
0
1 1
则
m A1D
2 2
x2 y2 0 0
如果选择条件②： AB 2 3，而 CA CB 2， 2 2
2 1 m ∴取平面 A1DM 的一个法向量m 2,2,a .
d 1
∴圆心C到直线 l的距离 d 1，则 1 1 ，解得m 2 1或 2 1.......12 分 2 2 2 2 a
cos45 cos m,n 2
21.（本小题 12分）【解析】（Ⅰ）证明：连接AB1，交 A1B于点O
2
，则O为AB1中点， 5 a 8 2
连接OD，又D是棱 B1C
2 2
1的中点， OD AC 21 ∴3a 16 2a 24 0，得 a 6 2或 a
3
OD 平面 A1BD， AC1 平面 A1BD，
a 2 2∵0 a 2 ，∴
AC1 平面 A1BD ............................................................................................................4分 3
AM 2
（Ⅱ）解：由已知，AB AC，则AB，AC，AA
∴存在点M ，此时 ，使二面角 B A1D M 的大小为 45°............................12分
1两两垂直 AC 3
A xyz 22.（本小题 12分）【解析】：(1)圆 A的圆心为 A( 3，0) ,半径 r1 4 . 设动圆M 的半以 A为原点，如图建立空间直角坐标系
径为 r2 ,依题意有 r MB2 2 2 ．由 AB 2 3 ,可知点 B在圆 A内,从而圆M 内切于圆 A ,
则B 2，0,0 , A1 0,0, 2 ,D ， , 2 ,C 0, 2，0 ，
2 2 故 MA r1 r2 ,
设M 0,a，0 0 a 2
即 MA MB 4 .所以动点M 的轨迹 E是以 A、 B为焦点,长轴长为 4的椭圆,
2 2 则BA1 2，0,2 ， A1D ， , 0 ， A1M 0,a, 2
2 2
其方程为 ............................................................................................................6分
高二年级调研测试·数学 ·理科· 第3页 共 5 页 高二年级调研测试·数学 ·理科· 第4页 共 5页
y kx b，
(2) 设直线 的方程为 y kx b(k 0) ,联立{ 消去 得,
x2 4y2 4，
(1 4k 2)x2 8kbx 4b2 4 0 , 16(4k 2 b2 1) .
设P(x1，kx1 b) ,Q(x1，kx1 b) ,
x x 8kb , x x 4b
2 4
则 1 2 1 4k 2 1 2
.
1 4k 2
kx1 b kx2 b 2kx1x2 (4k b)(x1 x 2 ) 8b于是 x1 4 x2 4 (x
,
1 4)(x1 4)
由 ONP ONQ知 .
2
即 2kx1x2 (4k b)(x1 x2 ) 8b 2k
4b 4 (4k b) 8kb 8b
1 4k 2 1 4k 2
8k 3 8k 32k 2b 8kb2
8b 0 ,得b k ,2 16(3k
2 1) 0 .
1 4k 1 4k 2
故动直线 的方程为 y kx k ,过定点 (1，0) .........................................12分
高二年级调研测试·数学 ·理科· 第5页 共 5 页 高二年级调研测试·数学 ·理科· 第6页 共 5页
