2021 年湖北省新高考联考协作体高一上学期期中考试
高一数学试卷
考试时间：2021 年 11 月 10 日下午 试卷满分：150 分
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，每一小题只有一个选项正确。
1．已知集合 A 1, a 2, a 2 a 1 ，若 1 A ，则实数 a 的值为（ ）
A．1 B．1 或 0 C．0 D． 1 或 0
2．命题“ x 0, 2 ， x2 2x 0 ”的否定为（ ）
(
湖
北
省
新
高
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联
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协
作
体
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一上
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中
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数
学
试卷
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A． x 0, 2 ， x2 2x 0
C． x 0, 2 ， x2 2 x 0
3．已知定义域为 R 的偶函数 f x
B． x 0, 2 ， x2 2 x 0
D．x 0, 2 ， x2 2 x 0
，则“ f (1) f 2 ”是“函数 f ( x) 在0，+ 单调递增”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．因为疫情原因，某校实行凭证入校，凡是不带出入证者一律不准进校园，某学生早上上学，早上 他骑自行车从家里出发离开家不久，发现出入证忘在家里了，于是回到家取上出入证，然后改为乘
坐出租车以更快的速度赶往学校，令 x （单位：分钟）表示离开家的时间， y （单位：千米）表示离
开家的距离，其中等待红绿灯及在家取出入证的时间忽略不计，下列图象中与上述事件吻合最好的 是（ ）
A．B．C．D．
5．函数 f ( x)
8 2 x x2 的单调递增区间是（ ）
A． (,1]
B．[1, )
C．[1, 4] D．[2,1]
6.下列说法正确的序号为（ ）
①若 a>|b|，则 a2>b2；②若 a>b，c>d，则 a－c>b－d；③若 a>b，c>d，则 ac>bd；④若 a>b>0，c<0， 则 c c .
a b
A.①② B．② ③ C．①④ D.③④
2 x, ( x 2)
7．函数 f ( x) x 2 , (2 x 1) ，若 f ( x) 3 ，则 x （ ）
x 2, (x 1)
3 3
A． 1
B． 1 或 C． 或 3
D． 3
2 2
8．已知 x＞0、y＞0，且 2 1 1，若 2 x y m 2 8m 有解，则实数 m 的取值范围为（ ）
x y
A．( ∞, 1)∪(9,+∞) B．( 9,1) C．[ 9,1] D．( 1,9)
二、多选题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有 2 个或 2 个 以上选项符合要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．
9.下列各组函数不能表示同一个函数的是（ ）
A． f ( x)
x2 ， g ( x) | x |
(
2
)B． f x x 与 g x x
x
C． f ( x)
x2 4 ， g ( x)
x 2
x 2
D． f x x2 2x 1与 g t t 2 2t 1
10．若函数 f x 同时满足：①对于定义域上的任意 x ，恒有 f x f x 0 ；②对于定义城上的任
意 x ， x ，当 x x
时，恒有 f x1 f x2 0 ，则称函数 f x 为“理想函数”．下列四个函数中，
1 2 1 2
x1 x2
能被称为“理想函数”的有（ ）
A． f x 2 x 1
2 x 1
B． f x x3
C． f x x
x2 , x 0,
D． f x
x2 , x 0
11．下列说法中正确的有（ ）
A．不等式 a b 2
ab 恒成立 B．存在 a ，使得不等式 a 1 2 成立
a
C．若 a ， b 0, ，则 b a 2
a b
D． y
x2 2
1
x2 2
的最小值为 2
12．对于函数 f ( x)
A． f (-x) + f ( x) = 0
x
2 | x |
( x R )，下列判断正确的是（ ）
B．当 m (0,1) 时，方程 f ( x) m 总有实数解
C．函数 f ( x) 的值域为[1,1]
D．函数 f ( x) 的单调递增区间为 (, )
三、填空题：本大题有 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，请将正确答案填入相应的位置
13．给定集合 A、B，定义：A*B {x | x A 或 x B ，且 x A B} ，又已知 A 0，1，2 ，B 1，2，3，4 ， 用列举法写出 A*B .
14．若函数 y m2 3m 3 xm2 2 m 4 为幂函数，且在 0, 单调递增，则实数 m 的值为 ．
15．因为电资源严重不足，为了提倡节约用电，各地纷纷出台各种政策，孝感地区为了鼓励居民节 约用电，错峰用电，孝感地区把居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价，电价表如 下：
电价（单位：元/千瓦时） 用电量（单位：千瓦时） 高峰电价 低谷电价
50 及以下的部分 0.55 0.30
超过 50 至 200 的部分 0.60 0.40
超过 200 的部分 0.80 0.55
已知郑老师在 10 月份收到如下电费通知：“尊敬的客户，户号：***，户名：***，地址：***，本期
电量 400 度（其中低．谷．100 度），电费***元．”则按这种计费方式郑老师本月应付的电费为 元（用数字做答）．
16.设 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数，当 x 0 时， f ( x) x2 2 x 3，则 f (1) ，函数 f ( x) 的 解析式是 ．
四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，每小题请写出必要的解答步骤和计算过程
17．（本小题 10 分）
已知集合 A x 1 x 1 5 ， B x a x 2a 1 .
2
（1）在① a 1 ，② a 2 ，这两个条件中选择一个条件，使得 A B ，并求 A B ；
（2）已知 A B A ，求实数 a 的取值范围.
18．（本小题 12 分）
已知集合 A {x | ( x a)( x 3a) 0} ，集合 B. x f ( x)
3 x
x 2
（1）当 a 1 时， 求 A CR B ；
（2）设 a 0 ，若“ x A ”是“ x B ”的必要条件，求实数 a 的取值范围.
19．（本小题 12 分）
已知二次函数 f x ax 2 4x c 的值域为0, ．
（1）若此函数在1, 3 上不单调，求实数 a 的取值范围；
（2）求 f x 在1, 上的最小值 g a ．
20.（本小题 12 分）
已知函数 y f ( x) 的定义域为 1,1 ，且对任意 a, b R ，都有 f a b f a f b .
（1）求 f 0 的值；
（2）证明： f ( x) 为奇函数；
（3）若 f ( x) 在定义域上单调递减，且 f 1 a +f 1 a 2 0 ，求 a 的取值范围．
21．（本小题 12 分） 党中央、国务院对节能减排高度重视，各地区、各部门认真贯彻党中央、国务院关于“十三五”节能
减排的决策部署，把节能减排作为转换发展方式，经济提质增效，建设生态文明的重要抓手，取得 重要进展.新能源汽车环保、节能、以电代油，减少排放，既符合我国国情，也代表了汽车产业发展 的方向.为了响应国家节能减排的号召，2021 年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析：
全年需投入固定成本 2500 万元.每生产 x （百辆）新能源汽车，需另投入成本 C x 万元，且
10 x2 500 x, 0 x 40
C x
6400
.由市场调研知，每辆车售价 9 万元，且生产的车辆当年能全部销
901x 6300, x 40
x
售完.
（1）请写出 2021 年的利润 L x （万元）关于年产量 x（百辆）的函数关系式；（利润＝销售－成本）
（2）当 2021 年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.
22．（本小题 12 分）
已知函数 f x
x m nx2 1
是定义在1,1 上的奇函数，且 f 1 1 ．
2
（1）求 m，n 的值；
（2）判断 f x 在1,1 上的单调性，并用定义证明；
（3）设 g x kx 5 2k ，若对任意的 x1 1，1 ，总存在 x2 0，1 ，使得 f x1 g x2 成立，求实数
k 的取值范围．2
2021 年湖北省新高考联考协作体高一上学期期中考试 19. 2【解】（1）由题意可知数 f x ax 4x c开口向上，且在对称轴 x 处取得最小值 0，a
数学答案 2所以 a 0 f 2 a 2 2 4 4，且 4 c c 0 ，即 c ，
a a a a a
单项选择题
1-8 CBBC DCDA 9、BC 10、BD 11、BC 12、ABD f x ax 2因此 4x 4 ，（2 分）
a
填空题 因为函数在 1,3 上不单调，
13. 0,3，4 14. 2 15、232.5
x2 2x 3, x 0 所以1 2 3，
16、 2， f x 0, x 0 （第一空 2分，第二空 3 分） a
x
2 2x 3, x 0 又由 a 0 2所以 a 2，
3
解答题
故实数 a 的取值范围为 2 ,2 ；（6 分）17【解】集合 A x 4 x 12 3
2
（2）若 1，即 a 2，所以 f x ax
2 4 4x 在 1, 上单调递增，
（1）若选①，则 B x 1 x 3 ，此时 A B ，不合乎题意； a a
4
所以 f x min f 1 a 4 ；若选②，则 B x 2 x 5 ，则 A B x 4 x 5 ，合乎题意；（5 分） a
2 2 4 2 2
（2） A B A.，则 B A . 若 ≥1，即0 a 2，所以 f x ax 4x 在
a a
1, 上单调递减，在 , 上单调递增，
a a
当 B 时， a 2a 1，即 a 1满足条件；（7 分）
f x f 2
a
所以
2a 1 min
0，（11 分）
11 a
当 B 时，则有 a 4 ，解得 4 a . 4
2 a 4,a 2
2a 1 12 所以 g(a)
a ，（12 分）
0,0 a 2
综上，实数 a的取值范围是 , 11 1 4, .（10 分） 20【解】 2
（1）令 a = b = 0，
18.【解】（1）当 a 1时，， A {x |1 x 3} f (0) 2 f (0)，则 f (0) 0．（2 分）
由题意得
（2）证明：定义域为 1,1 ，关于原点对称，（4 分）
3 x 0 x 3
(x 2)(x 3) 0
0 2 x 3x 2 x 2 x 2 设 a x,b x，则 f (x ( x)) f (x) f ( x)=，
B {x | 2 x 3}
即f (x) f ( x)=（f 0）=0
,CRB {x | x 2或x 3} 即f ( x)= f (x)
所以 A C B {x |1 x 2}.（6分） 函数 y f (x)是 1,1 上的奇函数；（6分）R
（3）∵ f (x)在定义域上为奇函数，
（2）因为 a 0，所以 A x | a x 3a ，B {x | 2 x 3}， 由 f 1 a +f 1 a2 0 得 f 1 a < f a2 1 f a2 1
因为“ x A”是“ x B ”的必要条件，所以 B A， 即 f 1 a a 0，
∵ f (x)所以 在定义域上单调递减 a 2,
3a 3, 1 1 a 1 0 a 2
解得：1 a 2（12 分） ∴ 1 a
2 1 1，解得 0 a2 2 ，
1 a a
2 1 a
2 a 2 0
0 a 2 x x 2 2
1 2
x1 x2x1 x2 x1x2 x2 x1 x2 x1 x1x2 1 x2 x1 2
∴ 0 a 2 ， x1 1
x 2 1 x 2 1 x 2 1 x 22 1 2 1 1 x 2 1 ，2
2 a 1
a 其中
x
:0 a 1 0 a 1 12 1
x2 1 0, x2 x1 0，所以 f x1 f x2 0 f x1 f x2 ，
解得 ，故 的取值范围 ．（ 分）
21 2【解】（1）当0 x 40时， L x 9 100x 10x 500x 2500 10 2 400x 2500 ；（2 分） 故 f x 在 1,1 上递增.(5 分)
当 x≥40时， L x 9 100x 901x 6400 6300 2500 3800 x 6400 ；（4 分） （3）由于对任意的 x1 1，1 ，总存在 x2 0，1 ，使得 f x1 g x2 成立，x x
10x2 400x 2500,0 x 40 所以 f x g xmax max .（6 分）
所以 L x 3800 x 6400
（5 分）
,x 40
x f x fmax 1
1
.（7 分）
2
（2）当0 x 40时， L x 10 1x 20 2 1500， 当 k=0， g x 5 恒成立2
当 x= 20时， L x 1500；（7 分） k 0 g x kx 5 2k 0,1 g x max g 1 5 kmax 当 时， 在 上递增， ，
1 9
x≥40 6400 6400 所以 5 k 0 k .当 时， x 40，L x 3800 x 3800 2 x 3800 160 3640 . 2 2
x x
当 k 0时， g x kx 5 2k在 0,1 上递减， g x g 0 5 2kmax ，
（当且仅当 x 6400 即 x 80时，“＝”成立）（10 分）
x 1
所以 5 2k k 0 .
因为3640 1500 2
所以，当 x 80时，即 2021 年生产 80 百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为 3640 万元. （11 分） 9
综上所述， k .（12 分）
2
L x 10x
2 400x 2500,0 x 40
答：（1）2021 年的利润 （万元）关于年产量 x（百辆）的函数关系式为 L x .
3800
10000 x ,x 40
x
（2）当 x 80时，即 2021 年生产 80 百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为 3640 万元.（12 分）
22．【解】
（1）依题意函数 f x x m 是定义在[ 1，1]上的奇函数，
nx2 1
所以 f 0 m 0， m 0
1 1 ，f 1 n 1
n 1 2
x
所以 f x 2 ，经检验，该函数为奇函数.（2 分）x 1
（2） f x 在 1,1 上递增，证明如下：
任取 -1 x1 < x2 1，
x1 x
x 2
2 1 x2 1 x2 x 2 1 f x1 f x2 2 1x1 1 x 22 1 x 21 1 x 22 1
