2021-2022学年北师大版八年级数学上册 5.4应用二元一次方程组——增收节支 同步达标训练（Word版含解析）

2021-2022学年北师大版八年级数学上册《5.4应用二元一次方程组——增收节支》
同步达标训练（附答案）
1．《孙子算经》中有一道题，原文是“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长x尺，绳长y尺，可列方程组为（　　）
A． B． C． D．
2．某校举行篮球赛，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分．八年级一班在16场比赛中得26分．设该班胜x场，负y场，则根据题意，下列方程组中正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．“十 一”国庆期间，学校组织466名八年级学生参加社会实践活动，现已准备了49座和37座两种客车共10辆，刚好坐满，设49座客车x辆，37座客车y辆．根据题意，得（　　）
A． B．
C． D．
4．母亲节来临，小明去花店为妈妈准备节日礼物．已知康乃馨每支2元，百合每支3元．小明将30元钱全部用于购买这两种花（两种花都买），小明的购买方案共有（　　）
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
5．《九章算术》是古代中国第一部自成体系的数学专著，其中《卷第八方程》记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙持钱各几何？”译文是：今有甲、乙两人持钱不知道各有多少，甲若得到乙所有钱的，则甲有50钱，乙若得到甲所有钱的，则乙也有50钱．问甲、乙各持钱多少？设甲持钱数为x钱，乙持钱数为y钱，列出关于x、y的二元一次方程组是（　　）
A． B． C． D．
6．《九章算术》中记载了一个问题，大意是甲、乙两人各带了若干钱．若甲得到乙所有钱的一半，则甲共有钱50．若乙得到甲所有钱的，则乙也共有钱50．甲、乙两人各带了多少钱？设甲带了钱x，乙带了钱y，依题意，下面所列方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．《九章算术》“盈不足”一卷中有这样一个问题：“今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买一顷，价钱一万．问善、恶田各几何？”意思是：“今有好田1亩，价值300钱；坏田7亩，价值500钱．今共买好、坏田1顷（1顷＝100亩），总价值10000钱．问好、坏田各买了多少亩？设好田买了x亩，坏田买了y亩，则下面所列方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．为迎接2022年北京冬奥会，某校开展了以迎冬奥为主题的演讲活动，计划拿出180元钱全部用于购买甲、乙两种奖品（两种奖品都购买），奖励表现突出的学生，已知甲种奖品每件15元，乙种奖品每件10元，则购买方案有（　　）
A．5种 B．6种 C．7种 D．8种
9．《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？译文：若3人坐一辆车，则两辆车是空的；若2人坐一辆车，则9人需要步行，问：人与车各多少？设有x辆车，人数为y，根据题意可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
10．《九章算术》卷八方程第十题原文为：“今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50．问：甲、乙两人各带了多少钱？设甲、乙两人持钱的数量分别为x，y，则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
11．中国古代人民在生产生活中发现了许多数学问题，在《孙子算经》中记载了这样一个问题，大意为：有若干人乘车，若每车乘坐3人，则2辆车无人乘坐；若每车乘坐2人，则9人无车可乘，问共有多少辆车，多少人，设共有x辆车，y人，则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
12．《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”其大意是：“今有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也为50．问甲、乙各有多少钱？”设甲的钱数为x，乙的钱数为y，根据题意，可列方程组为 　 　．
13．《孙子算经》记载：今有3人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文：今有若干人乘车，若每三人共乘一辆车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一辆车，最终剩余9人无车可乘．问共有多少人？多少辆车？若设有x人，y辆车，则可列方程组为　 　．
14．我国古代数学名著《九章算术》上有这样一个问题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？”其大意是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱．现用30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买得多少？设醇酒为x斗，行酒为y斗，根据题意，可列方程组为　 　．
15．《孙于算经》是中国古代重要的数学著作，其中一道题的原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行，问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为 　 　．
16．小慧去花店购买鲜花，若买5支玫瑰和3支百合，则她所带的钱还剩下10元；若买3支玫瑰和5支百合，则她所带的钱还缺4元．若只买8支玫瑰，则她所带的钱还剩下 　 　元．
17．在我国新冠疫情虽然得到了有效的控制，但防范意识仍不能松懈，小丽去药店购买口罩和酒精消毒湿巾，若买150只一次性口罩和10包酒精消毒湿巾，需付75元；若买200只一次性口罩和12包酒精消毒湿巾，需付96元．设一只一次性医用口罩x元，一包酒精消毒湿巾y元，根据题意可列二元一次方程组：　 　．
18．某超市销售时令水果，两次购进一定数量的草莓．已知第一次购买每千克售价是第二次的1.5倍，且第二次购买400千克比第一次购买200千克多花了1000元，求两次购买草莓每千克的售价分别是多少元？若设第一、二次购买草莓每千克的售价分别为x元和y元，根据题意可列方程组为 　 　．
19．我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题，”今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”若设鸡有x只，兔有y只，则列出的方程组为　 　（列出方程组即可，不求解）．
20．《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？”
译文：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问每头牛、每只羊各值金多少两？”设每头牛值金x两，每只羊值金y两，可列方程组为　 　．
21．阅读下列材料：
我们知道方程2x+3y＝12有无数组解，但在实际生活中我们往往只需要求出其正整数解．
例：由2x+3y＝12，得y＝＝4﹣x，（x、y为正整数）
∴则有0＜x＜6
又y＝4﹣x为正整数，则x为正整数．
从而x＝3，代入y＝4﹣×3＝2
∴2x+3y＝12的正整数解为．
利用以上方法解决下列问题：
七年级某班为了奖励学习进步的学生，购买了单价为3元的笔记本与单价为5元的钢笔两种奖品，共花费35元，问有几种购买方案？
22．有黑白两种小球各若干个，且同色小球质量均相等，在如图所示的两次称量的天平恰好平衡，如果每只砝码质量均为5克，每只黑球和白球的质量各是多少克？
23．一项调查显示，全世界每天平均有13000人死于与吸烟有关的疾病，我国吸烟者约3.56亿人，占世界吸烟人数的四分之一，比较一年中死于与吸烟有关的疾病的人数占吸烟者总数的百分比，我国比世界其他国家约高0.1%．
根据上述资料，试用二元一次方程组解决以下问题：
我国及世界其他国家一年（按365天计算）中死于与吸烟有关的疾病的人数分别是多少？（只需设出未知数，列出方程组即可）
24．【概念学习】
定义：对于一个三位的自然数n，各数位上的数字都不为0，且百位数字与十位数字之和除以个位数字的商为整数，则称这个自然数n为“好数”．
例如：714是“好数”，因为它是一个三位的自然数，7，1，4都不为0，且7+1＝8，8÷4＝2，2为整数；643不是“好数”，因为6+4＝10，10÷3的商不是整数．
【初步探究】
（1）自然数312，675，981，802是“好数”的为 　 　；
（2）在横线上填“真”或“假”：
①个位数字为1的一个三位自然数一定是“好数”是 　 　命题；
②各数位上的数字都相同的一个三位自然数一定是“好数”是 　 　命题；
【深入思考】求同时满足下列条件的“好数”：
（1）百位数字比十位数字大5；
（2）百位数字与十位数字之和等于个位数字．
25．如表是某校七、八、九年级某月课外兴趣小组活动时间统计表，其中各年级文艺小组每次活动时间为2h；各年级科技小组每次活动时间为1.5h．
课外小组活动总时间/h 文艺小组活动次数 科技小组活动次数
七年级 12.5 　 　 　 　
八年级 12 　 　 　 　
九年级 8.5 　 　 　 　
（1）若七年级科技小组活动次数比文艺小组活动次数少一次，请你用一元一次方程的知识求七年级科技小组与文艺小组的活动次数分别为多少；
（2）请你利用表格信息，直接写出八年级科技小组活动次数为　 　次；
（3）求九年级科技小组与文艺小组的活动次数分别为多少．
26．某商场计划用56000元从厂家购进60台新型电子产品，已知该厂家生产甲、乙、丙三种不同型号的电子产品，设甲、乙型设备应各买入x，y台，其中每台的价格、销售获利如下表：
甲型 乙型 丙型
价格（元/台） 1000 800 500
销售获利（元/台） 260 190 120
（1）购买丙型设备　 　台（用含x，y的代数式表示）；
（2）若商场同时购进三种不同型号的电子产品（每种型号至少有一台），恰好用了56000元，则商场有哪几种购进方案？
（3）在第（2）题的基础上，为了使销售时获利最多，应选择哪种购进方案？此时获利为多少？
27．阅读下面材料
两位同学在用标有数字1，2，…，9的9张卡片做游戏．
甲同学：“你先从这9张卡片中随意抽取两张（按抽取的先后顺序分别称为“卡片A”和“卡片B”），别告诉我卡片上是什么数字，然后你把卡片A上的数字乘以5，加上7，再乘以2，再加上卡片B上的数字，把最后得到的数M的值告诉我，我就能猜出你抽出的是哪两张卡片啦!”
乙同学：“这么神奇？我不信”
……
试验一下：
（1）如果乙同学抽出的卡片A上的数字为2，卡片B上的数字为5，他最后得到的数M＝　 　；
（2）若乙同学最后得到的数M＝57，则卡片A上的数字为　 　，卡片B上的数字为　 　．
解密：
请你说明：对任意告知的数M，甲同学是如何猜到卡片的．
28．两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数．已知前一个四位数比后一个四位数大990．若设较大的两位数为x，较小的两位数为y，回答下列问题：
（1）可得到下列哪一个方程组？
A.；
B.；
C.；
D.；
（2）解所确定的方程组，求这两个两位数．
29．已知某酒店的三人间和双人间客房标价为：三人间为每人每天200元，双人间为每人每天300元，为吸引客源，促进旅游，在“十 一”黄金周期间酒店进行优惠大酬宾，凡团体入住一律五折优惠．一个50人的旅游团在十月二号到该酒店住宿，租住了一些三人间、双人间客房．
（1）如果租住的每个客房正好住满，并且一天一共花去住宿费6300元，求租住了三人间、双人间客房各多少间？
（2）设三人间共住了x人，这个团一天一共花去住宿费y元，请写出y与x的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
（3）一天6300元的住宿费是否为最低？如果不是，请设计一种方案：要求租住的房间正好被住满，并使住宿费用最低，请写出设计方案，并求出最低的费用．
30．为准备趣味跳绳比赛，王老师花100元买了若干条跳绳，已知商店里的跳绳规格与价格如下表：
规格 A型 B型 C型
跳绳长度（米） 4 8 12
价格（元/条） 4 6 9
（1）若购买了三种跳绳，其中B型跳绳和C型跳绳的条数同样多，且所有跳绳的总长度为120米，求购买A型跳绳的条数；
（2）若购买的A型跳绳有13条，则购买的所有跳绳的总长度为多少米？
参考答案
1．解：由用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，可得方程y＝x+4.5，
由将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，可得方程y＝x﹣1，
故，
故选：D．
2．解：设该班胜x场，负y场，
依题意得：．
故选：D．
3．解：依题意，得：．
故选：A．
4．解：设可以购买x支康乃馨，y支百合，
依题意，得：2x+3y＝30，
∴y＝10﹣x．
∵x，y均为正整数，
∴，，，，
∴小明有4种购买方案．
故选：B．
5．解：设甲、乙的持钱数分别为x，y，
根据题意可得：，
故选：B．
6．解：设甲需带钱x，乙带钱y，
根据“甲、乙两人各带了若干钱．若甲得到乙所有钱的一半，则甲共有钱50．若乙得到甲所有钱的，则乙也共有钱50”，得，
故选：A．
7．解：设他买了x亩好田，y亩坏田，
∵共买好、坏田1顷（1顷＝100亩）．
∴x+y＝100；
∵今有好田1亩，价值300钱；坏田7亩，价值500钱，购买100亩田共花费10000钱，
∴300x+y＝10000．
联立两方程组成方程组得：．
故选：B．
8．解：设购买x件甲种奖品，y件乙种奖品，
依题意得：15x+10y＝180，
∴x＝12﹣y．
又∵x，y均为正整数，
∴或或或或，
∴共有5种购买方案．
故选：A．
9．解：设共有y人，x辆车，
依题意得：．
故选：B．
10．解：设甲需持钱x，乙持钱y，
根据题意，得：，
故选：A．
11．解：根据题意可得：
，
故选：A．
12．解：由题意可得，
，
故答案为：．
13．解：依题意，得：．
故答案为：．
14．解：依题意，得：．
故答案为：．
15．解：设有x人，y辆车，根据题意可得：
，
故答案为：．
16．解：设每支玫瑰x元，每支百合y元，
依题意得：5x+3y+10＝3x+5y﹣4，
∴y＝x+7，
∴（5x+3y+10）﹣8x＝[5x+3（x+7）+10]﹣8x＝8x+31﹣8x＝31．
故答案为：31．
17．解：依题意得：，
故答案是：．
18．解：若设第一、二次购买草莓每千克的售价分别为x元和y元，
根据题意得到：．
故答案是：．
19．解：设鸡有x只，兔有y只，由题意得：
．
故答案为．
20．解：根据题意得：．
故答案为：．
21．解：设购买单价为3元的笔记本m本，单价为5元的钢笔n支，
根据题意得：3m+5n＝35，其中m、n均为正整数，
∴n＝＝7﹣m，
∴，
解得：0＜m＜．
∵n＝7﹣m为正整数，
∴m为正整数，即m为5的倍数，
∴当m＝5时，n＝4；当m＝10时，n＝1．
答：有两种购买方案，方案一：购买单价为3元的笔记本5本，单价为5元的钢笔4支；方案二：购买单价为3元的笔记本10本，单价为5元的钢笔1支．
22．解：设每只黑球和白球的质量分别是x、y克，
依题意得，
解得，
答：每只黑球3克，白球1克．
23．解：设我国一年（按365天计算）中死于与吸烟有关的疾病的人数为x人，世界其他国家一年（按365天计算）中死于与吸烟有关的疾病的人数为y人，
根据题意得：．
24．解：【初步探究】
（1）由题意可得：312是“好数”，因为它是一个三位的自然数，3，1，2都不为0，且3+1＝4，4÷2＝2，2为整数；675不是“好数”，因为6+7＝13，13÷5的商不是整数．981是“好数”，因为它是一个三位的自然数，9，8，1都不为0，且9+8＝17，17÷1＝17，17为整数；802不是“好数”，因为数字不能为0，
∴“好数”为312，981，
故答案为：312，981；
（2）①例如801不是“好数”，故个位数字为1的一个三位自然数一定是“好数”是假命题，
②各数位上的数字都相同的一个三位自然数一定是“好数”是真命题；
故答案为：假，真；
【深入思考】
设十位数字为x，个位数字为y，
由题意可得：x+x+5＝y，
∵1≤y≤9，1≤x≤9，
∴1≤2x+5≤9，
∴1≤x≤2，
∴x＝1或2，
当x＝1时，好数为617，
当x＝2，好数为729，
综上所述：满足条件的好数为617或729．
25．解：（1）设七年级科技小组活动次数为x次，则文艺小组活动次数为（x+1）次，
依题意得：1.5x+2（x+1）＝12.5，
解得：x＝3，
∴x+1＝4．
故答案为：4；3．
（2）设八年级文艺小组活动次数为m次，科技小组活动次数为n次，
依题意得：2m+1.5n＝12，
∴n＝8﹣m．
又∵m，n均为正整数，
∴．
故答案为：4．
（3）设九年级文艺小组活动次数为a次，科技小组活动次数为b次，
依题意得：2a+1.5b＝8.5，
∴b＝，
又∵a，b均为正整数，
∴．
故答案为：2；3．
26．解：（1）购买丙型设备（60﹣x﹣y）台．
故答案为：（60﹣x﹣y）．
（2）依题意，得：1000x+800y+500（60﹣x﹣y）＝56000，
整理得：5x+3y＝260，
∴x＝52﹣y．
又∵x，y，（60﹣x﹣y）均为正整数，
∴y为5的倍数，
当y＝5时，x＝49，60﹣x﹣y＝6；
当y＝10时，x＝46，60﹣x﹣y＝4；
当y＝15时，x＝43，60﹣x﹣y＝2；
当y＝20时，x＝40，60﹣x﹣y＝0，不合题意，舍去．
∴共有3种购进方案，方案1：购进甲型设备49台，乙型设备5台，丙型设备6台；方案2：购进甲型设备46台，乙型设备10台，丙型设备4台；方案3：购进甲型设备43台，乙型设备15台，丙型设备2台．
（3）选择方案1的销售利润为260×49+190×5+120×6＝14410（元）；
选择方案2的销售利润为260×46+190×10+120×4＝14340（元）；
选择方案3的销售利润为260×43+190×15+120×2＝14270（元）．
∵14410＞14340＞14270，
∴购进甲型设备49台，乙型设备5台，丙型设备6台，获利最多，此时利润为14410元．
27．解：（1）M＝（2×5+7）×2+5＝39，
故答案为：39；
（2）设卡片A上的数字为x，卡片B上的数字为y，
则（5x+7）×2+y＝57，
10x+14+y＝57，
10x+y＝43，
∵x、y都是1至9这9个数字，
∴x＝4，y＝3，
故答案为：4，3；
解密：
设卡片A上的数字为x，卡片B上的数字为y（其中x、y为1，2，…，9这9个数字），
则M＝2（5x+7）+y＝（10x+y）+14，
得：M﹣14＝10x+y，其中十位数字是x，个位数字是y，
所以由给出的M的值减去14，所得两位数十位上的数字为卡片A上的数字x，个位数上的数字为卡片B上的数字y．
28．解：设较大的两位数为x，较小的两位数为y，
根据题意，得
，
故选：C；
（2）由（1）知，，
化简得：，
由①+②，得2x＝78，即x＝39．
由①﹣②，得2y＝58，即y＝29．
所以这两个数分别是39和29．
29．解：（1）设三人间有a间，双人间有b间，
根据题意得：，
解得：，
答：租住了三人间8间，双人间13间；
（2）根据题意得：y＝100x+150（50﹣x）＝﹣50x+7500（0≤x≤50），
（3）因为﹣50＜0，所以y随x的增大而减小，
故当x满足、为整数，且最大时，
即x＝48时，住宿费用最低，
此时y＝﹣50×48+7500＝5100＜6300，
答：一天6300元的住宿费不是最低；若48人入住三人间，则费用最低，为5100元．
所以住宿费用最低的设计方案为：48人住3人间，2人住2人间．
30．解：（1）设购买的A型跳绳x条，B型跳绳和C型跳绳的条数为y条，可得：，
可得：，
答：购买A型跳绳的条数为10条；
（2）当购买的A型跳绳有13条，设B型跳绳和C型跳绳的条数为a条，
可得：，
解得：a≤3.2，
∵a＞0，且为整数，
∴a＝3最大，
所以购买的所有跳绳的总长度为13×4+8×3+12×3＝112．
答：购买的所有跳绳的总长度为112米．